Полезно напомнить, что внутри дискретного канала всегда содержится непрерывный канал. Преобразование непрерывного канала в дискретный осуществляет модем. Поэтому в принципе можно вывести математическую модель дискретного канала из моделей непрерывного канала при заданном модеме. Такой подход часто является плодотворным, однако он приводит к сложным моделям.
Рассмотрим простые модели дискретного канала, при построении которых свойства непрерывного канала и модема не учитывались. Следует, однако, помнить, что при проектировании системы связи имеется возможность варьировать в довольно широких пределах модель дискретного канала при заданной модели непрерывного канала изменением модема.
Модель дискретного канала содержит задание множества возможных сигналов на его входе и распределение условных вероятностей выходного сигнала при заданном входном. Здесь входным и выходным сигналами являются последовательности кодовых символов. Поэтому для определения возможных входных сигналов достаточно указать число различных символов (основание кода), а также длительность передачи каждого символа. Будем считать значение одинаковым для всех символов, что выполняется в большинстве со
временных каналов. Величина определяет количество символов, передаваемых в единицу времени. Как указывалось в гл. 1, она называется технической скоростью и измеряется в бодах. Каждый символ, поступивший на вход канала, вызывает появление одного символа на выходе, так что техническая скорость на входе и выходе канала одинакова.
В общем случае для любых должна быть указана вероятность того, что при подаче на вход канала любой заданной последовательности кодовых символов на выходе появится некоторая реализация случайной последовательности Кодовые символы обозначим числами от 0 до что позволит производить над ними арифметические операции. При этом все -последовательности (векторы), число которых равно образуют мерное конечное векторное пространство, если "сложение" понимать как поразрядное суммирование по модулю и аналогично определить умножение на скаляр. Для частного случая такое пространство было рассмотрено в гл. 2.
Введём ещё одно полезное определение. Будем называть вектором ошибок поразрядную разность (разумеется, по модулю между принятым и переданным векторами. Это значит, что прохождение дискретного сигнала через канал можно рассматривать как сложение входного вектора с вектором ошибки. Вектор ошибки играет в дискретном канале примерно ту же роль, что и помеха в непрерывном канале. Таким образом, для любой модели дискретного канала можно записать, пользуясь сложением в векторном пространстве (поразрядным, по модулю
где и случайные последовательности из символов на входе и выходе канала; случайный вектор ошибки, который в общем случае зависит от Различные модели отличаются распределением вероятностей вектора Смысл вектора ошибки особенно прост в случае двоичных каналов когда его компоненты принимают значения 0 и 1. Всякая единица в векторе ошибок означает, что в соответствующем месте передаваемой последовательности символ принят ошибочно, а всякий нуль означает безошибочный приём символа. Число ненулевых символов в векторе ошибок называется его весом. Образно говоря, модем, осуществляющий переход от непрерывного канала к дискретному, преобразует помехи и искажения непрерывного канала в поток ошибок. Перечислим наиболее важные и достаточно простые модели дискретных каналов.
Постоянный симметричный канал без памяти определяется как дискретный канал, в котором каждый переданный кодовый символ может быть принят ошибочно с фиксированной вероятностью и правильно с вероятностью причём в случае ошибки вместо переданного символа может быть с равной вероятностью принят любой другой символ. Таким образом, вероятность того, что принят символ если был передан
Термин "без памяти" означает, что вероятность ошибочного приёма символа не зависит от предыстории, т.е. от того, какие символы передавались до него и как они были приняты. В дальнейшем, для сокращения, вместо "вероятность ошибочного приёма символа" будем говорить "вероятность ошибки".
Очевидно, что вероятность любого -мерного вектора ошибки в таком канале
где - число ненулевых символов в векторе ошибки (вес вектора ошибки). Вероятность того, что произошло ошибок, расположенных как угодно на протяжении последовательности длины определяется формулой Бернулли
где биномиальный коэффициент, равный числу различных сочетаний I ошибок в блоке длиной
Эту модель называют также биномиальным каналом. Она удовлетворительно описывает канал, возникающий при определённом выборе модема, если в непрерывном канале отсутствуют замирания, а аддитивный шум белый (или по крайней мере квазибелый). Нетрудно видеть, что вероятность появления ошибок в двоичной кодовой комбинации длины (кратному согласно модели (4.53) при
Вероятности переходов в двоичном симметричном канале схематически показаны в виде графа на рис. 4.3.
Постоянный симметричный канал без памяти со стиранием отличается от предыдущего тем, что алфавит на выходе канала содержит дополнительный символ, часто обозначаемый знаком "?". Этот символ появляется тогда, когда 1-я решающая схема (демодулятор) не может надёжно опознать переданный символ. Вероятность такого отказа от решения или стирания символа в данной модели постоянна и не зависит от передаваемого символа. За счёт введения стирания удаётся значительно снизить вероятность ошибки, иногда её даже считают равной нулю. На рис. 4.4 схематически показаны вероятности переходов в такой модели.
Несимметричный канал без памяти характеризуется, как и предыдущие модели, тем, что ошибки возникают в нём независимо друг от друга, однако вероятности ошибок зависят от того, какой символ передаётся. Так, в двоичном несимметричном канале вероятность приёма символа 1 при
Рис. 4.3. Переходные вероятности в двоичном симметричном канале
Рис. 4.4. Переходные вероятности в двоичном симметричном канале со стиранием
Рис. 4.5. Переходные вероятности в двоичном несимметричном канале
передаче символа 0 не равна вероятности приёма 0 при передаче 1 (рис. 4.5). В этой модели вероятность вектора ошибки зависит от того, какая последовательность символов передаётся.
В общем случае под каналом передачи информации понимается совокупность технических средств, обеспечивающих передачу сигналов от источника информации к потребителю.
Наиболее общую классификацию каналов связи можно осуществить по характеру сигналов на их входе и выходе. Различают поэтому два типа каналов:
1. Непрерывные каналы . В таких каналах сигналы на входе и выходе непрерывны (по уровням).
2. Дискретные каналы . Навходе и выходе таких каналов наблюдаются дискретные сигналы или символы из конечномерного алфавита. Наибольшее распространение получили дискретные модели каналов.
Дискретным каналом является канал, рассматриваемый от входа кодера до выхода декодера.
Рис. 3. Дискретный канал передачи информации.
На вход канала поступают символы Xi , а с выхода – символыYi .
Дискретный канал математически описан, если задан входной алфавит сигналов {X }={ X k , K = 1… M } вместе с их априорными вероятностями {Р(X k)} и выходной алфавит сигналов {Y * }={ Y * k , K = 1. . . M +1 } , который в общем случае может содержать символ стирания Q и значения вероятностей переходов Р(Y * i / X k) , т. е. вероятностей того, что на выходе канала появится сигнал Y * i при условии, что на вход подан сигнал X k .
Удобно вероятностные характеристики канала задавать матрицами. Так априорные вероятности группируются в матрицу-строку априорных вероятностей
||P(X k) ||=|| P(X 1) P(X 2) . . . P(X m) ||
Характеристики, связанные с входным и выходным алфавитами, определяются свойствами источника сообщений и полосой пропускания канала.
Объем выходного алфавита {Y j } (J = 1, 2, …, M+1} определяется способом построения системы передачи информации.
Условная вероятность Р(Y * i / X k) определяется в основном характеристиками дискретного канала и его свойствами.
Если для любых сочетаний Y * i и X k эта вероятность не зависит от момента времени взятия отсчета, т.е.
(5)
то канал называется однородным.
Если данное условие не выполняется, то канал является – неоднородным.
Если справедливо условие
(6)
то такой канал называют каналом без памяти.
Если данное условие не выполняется, то такой канал называют каналом с памятью на n символов.
Реальные дискретные каналы являются неоднородными и с памятью. Это обусловлено следующими причинами:
Искажением и влиянием помех в непрерывном канале;
Задержкой во времени выходной последовательности сигналов по отношению к входной последовательности;
Нарушением тактовой синхронизации.
Однако, модель дискретного однородного канала без памяти, как модель первого приближения, нашла широкое применение. Она позволяет упростить методы анализа и получения исходных данных.
Рассмотрим математические модели дискретных каналов с помехами и без них.
Страница 1
УДК 621.397
Модели дискретных каналов связи
Михаил Владимирович Марков , магистрант, mmarkov 1986@ mail . ru ,
ФГОУВПО «Российский государственный университет туризма и сервиса»,
г. Москва
The basic models of the discrete communication channels used for information transfer in wireless systems of access to information resources are described. The basic merits and demerits of various communication channels are considered and their general characteristic is given. The mathematical apparatus that is necessary for the description of the pulsing nature of the traffic in real channels of transfer is presented. The mathematical calculations used for definition of functions of density of probability are given. Models of channels with the memory, characterized by packing of errors in the conditions of a frequency-selective dying down and multibeam distribution of signals are considered.
Описаны основные модели дискретных каналов связи, используемых для передачи информации в беспроводных системах доступа к информационным ресурсам. Рассмотрены основные достоинства и недостатки различных каналов связи и дана их общая характеристика. Приведен математический аппарат, необходимый для описания пульсирующей природы трафика в реальных каналах передачи. Даны математические выкладки, используемые для определения функций плотности вероятности. Рассмотрены модели каналов с памятью, характеризующиеся пакетированием ошибок в условиях частотно-селективных замираний и многолучевого распространения сигналов.
Key words
: models of communication channels, discrete channels without memory, channels with deleting, asymmetrical channels without memory, channels with memory
Ключевые слова
: модели каналов связи, дискретные каналы без памяти, каналы со стиранием, несимметричные каналы без памяти, каналы с памятью.
Постановка задачи
Для описания каналов передачи информации принято использовать математические модели, учитывающие особенности распространения радиоволн в окружающей среде. Среди таких особенностей можно, например, отметить наличие частотно-селективных замираний, приводящих к явлению межсимвольной интерференции (МСИ). Эти явления существенно сказываются на качестве принимаемой информации, так как приводят в ряде случаев к пакетированию одиночных ошибок. Для описания процессов пакетирования было разработано множество моделей каналов связи с памятью. В статье описаны основные модели, обладающие различными характеристиками, описываемыми с помощью полигеометрических распределений длин безошибочных промежутков и пачек ошибок.
Каналы связи принято называть дискретными по времени только в том случае, если входные и выходные сигналы доступны для наблюдения и дальнейшей обработки в строго фиксированные моменты времени. Для определения моделей дискретных каналов связи достаточно описать случайные процессы, происходящие в них, а также знать вероятности появления ошибок. Для этого необходимо иметь входной (А
) и выходной () наборы передаваемых символов, должна быть задана совокупность переходных вероятностей p
(
| a
), которая зависит от следующих величин: 
– случайной последовательности символов входного алфавита, где 
– символ на входе канала в i
-й момент времени; 
– последовательности принятых символов, взятой из выходного алфавита, где 
– символ на выходе канала в i
-й момент.
С математической точки зрения вероятность 
можно определить как условную вероятность приема последовательности при условии, что передана последовательность a
. Количество переходных вероятностей прямо пропорционально возрастает с увеличением длительности входных и выходных последовательностей. Например, при использовании бинарного кода для последовательности длиной n, количество переходных вероятностей составит 
. Ниже приведено описание математических моделей дискретных каналов, содержащих ошибки. С их помощью можно достаточно просто определить переходные вероятности для заданной последовательности длиной п.
Этот тип канала характеризуется тем, что вероятность появления символа на его выходе определяется только набором символов на его входе. Это утверждение справедливо для всех пар символов, передаваемых через данных канал связи. Наиболее ярким примером канала без памяти является бинарный симметричный канал. Принцип его функционирования можно описать в виде графа, показанного на рис. 1.
На вход канала подается произвольный символ из последовательности а . На приемной стороне он воспроизводится верно с постоянной вероятностью q равной , или неверно, в случае, если вероятность определяется выражением
Диаграмма переходов для бинарного канала (БСК) показана на рис. 1.
Рис. 1. Дискретный канал без памяти
Для БСК можно легко определить вероятность получения любой последовательности символов на выходе при условии, что задана некоторая входная последовательность, обладающая фиксированной длиной. Допустим, что такая последовательность имеет длину 3
Для удобства анализа представим БСК как канал, к которому подключен генератор ошибок. Такой генератор выдает случайную последовательность ошибок 
. Каждый её символ 
складывается по модулю с символом 
, принадлежащим двоичному каналу - 
. Сложение выполняется только при условии, что позиции ошибки и символа совпадают. Таким образом, если ошибка { } имеет единичное значение, передаваемый символ изменится на обратный, то есть на приемной стороне будет декодирована последовательность {
}, содержащая ошибку.
Переходные вероятности, описывающие стационарный симметричный канал имеют вид
Из вышеприведенного выражения видно, что канал можно полностью описать статистикой последовательности ошибок { }, где 
{0, 1} . Такую последовательность, обладающую длиной n
,
принято называть вектором ошибок. Компоненты данного вектора принимают единичные значения только на позициях, соответствующих неправильно принятым символам. Число единиц в векторе определяет его вес.
Этот вид канала во многом аналогичен каналу без памяти за исключением того, что входной алфавит содержит дополнительный (m+1) символ "? ". Используется этот символ только в том случае, если детектор не способен надежно распознать переданный символ a i . Вероятность такого события Р с всегда является фиксированной величиной и не зависит от передаваемой информации. Граф вероятностей переходов для данной модели показан на рис. 2.
Рис. 2. Симметричный канал без памяти со стиранием
Несимметричный канал без памяти
Данный канал связи можно охарактеризовать тем, что отсутствует зависимость между вероятностями возникновения ошибки. Но сами они определяются передаваемыми в текущий момент времени символами. Таким образом, для бинарного канала можно записать 
. Переходные вероятности, описывающие данную модель, показаны на рис. 3.
Рис. 3. Несимметричный канал без памяти
Дискретный канал с памятью.
Этот канал можно описать зависимостью между символами входной и выходной последовательностей. Каждый принятый символ зависит как от соответствующего переданного, так и от предыдущих входных и выходных бит. Большая часть реально функционирующих систем связи содержит именно такие каналы. Наиболее существенной причиной наличия памяти в канале является межсимвольная интерференция, проявляющаяся из-за ограничений, накладываемых на полосу пропускания канала связи. Каждый выходной символ обладает зависимостью от нескольких последовательных символов на входе. Вид этой зависимости определяется импульсной характеристикой канала связи.
Второй, не менее важной, причиной эффекта «памяти» являются паузы в передаче данных в канал. Длительность таких пауз может значительно превышать длительность одного бита данных. Во время перерыва в передаче вероятность неправильного приема информации резко возрастает, в результате возможно появление групп ошибок, называемых пакетами.
По этой причине многими исследователями рекомендуется использовать понятие “состояния канала”. В результате каждый символ принятой последовательности статистически зависит как от входных символов, так и с состояния канала в текущий момент времени. Под термином “состояние канала” обычно понимают вид последовательности входных и выходных символов вплоть до заданного момента времени. На состояние канала в том числе оказывает сильное влияние и межсимвольная интерференция. Память у каналов связи подразделяется на два вида: память по входу и выходу. Если присутствует зависимость между выходным символом и битами на входе 
, то такой канал обладает памятью по входу. Его можно описать переходными вероятностями вида 
, i
= –1, 0, 1, 2, … С точки зрения математического анализа память канала бесконечна. На практике количество символов оказывающих влияние на вероятность правильного или неверного приема информации конечно.
Память канала вычисляется как число символов N, начиная с которого справедливо равенство условных вероятностей
Для всех 
. (4)
Последовательность входных символов 
можно представить как состояние канала 
в (i-
1)-й момент. В таком случае канал можно охарактеризовать набором переходных вероятностей вида 
.
В том случае если принятый бит данных 
характеризуется зависимостью от предшествующих выходных символов, то канал связи принято называть каналом с памятью по выходу. Переходные вероятности можно представить в виде выражения
где выходные символы 
определяют состояние канала 
в (i
–1)-й момент.
Использование переходных вероятностей для описания каналов с памятью очень неэффективно в виду громоздкости математических выкладок. Например, если имеется канал с межсимвольной интерференцией, а его память ограничена пятью символами, то количество возможных состояний канала составит 2 5 =32.
Если же память только по входу или только по выходу ограничивается в двоичном канале N символами, то число состояний равно 2 N , то есть растет по экспоненциальному закону в зависимости от количества символов памяти N. На практике чаще всего приходиться сталкиваться с каналами, обладающими памятью в десятки, сотни и даже тысячи символов.
Рассмотрим дискретно-непрерывный канал на входе которого имеются независимые символы a
i
, а на выходе присутствует непрерывный сигнал 
.
Для его описания воспользуемся переходными (условными) плотностями 
декодируемой реализации z
(t)
при условии, что передан символ , а также априорными вероятностями передаваемых символов 
. Переходные плотности также принято называть функциями правдоподобия. С другой стороны, дискретно-непрерывный канал можно описать апостериорными вероятностями 
передачи символа при получении на выходе колебания z
(t
). При использовании формулы Байеса получим
,
(6).
В данном выражении используется плотность декодируемого колебания, которая определяется как
(7).
Непрерывно-дискретный канал описывается аналогично.
замираниями
Замирания возникают, когда амплитуда или фаза сигнала, переданного через канал изменяются по случайному закону. Понятно, что замирания приводят к существенному ухудшению качества принятой информации. Одной из наиболее существенных причин появления замираний считается многолучевое распространение сигналов.
Здесь буквами E, T обозначена энергия и длительность сигнала,
–целые числа, l
k
>
1. (9).
На приемной стороне будет наблюдаться случайный процесс y (t )
В данном выражении используются следующие параметры:
µ -коэффициент передачи канала, выбираемый случайным образом,
- случайный фазовый сдвиг,
n (t ) - белый гауссовский шум (АБГШ). Его спектральная плотность мощности равна N 0 /2.
Если передается некоторая последовательность a , то выходной сигнал когерентного демодулятора примет вид . Названная последовательность поступает на вход декодера. Полученную последовательность можно представить в виде вектора
, для вычисления компонент которого используются выражения (11) и (12):
(12)
, 
-
квадратурные компоненты в сумме дающие коэффициент передачи канала,
- случайные величины, связанные с влиянием белого гауссовского шума,
--
отношение сигнал/шум.
Данные выражения имеют силу, только если передается символ 
.
Если имеет место передача символа 
, то правые части равенств (11) и (12) меняются местами. Случайные величины подчиняются гауссовскому распределению, обладающему параметрами
(15)
Анализируя эти выражения можно прийти к выводу, что канальный коэффициент передачи 
зависит от рэлеевского распределения.
Канал с замираниями характеризуется наличием памяти между элементами последовательности символов . Эта память зависит от характера связей между членами рядов
Предположим, что
, (18),
где 
.
В таком случае µ c и µ s образуют независимые Марковские последовательности. А функция плотности вероятностей w (µ) для последовательности µ при N> 1 будет равна
(20)
(21).
В приведенном выражении (х) является функцией Бесселя первого рода нулевого порядка. Параметр будет равен среднему значению отношения С/Ш для релеевского канала. Параметр r характеризует зависимость случайных канальных коэффициентов передачи от времени. Этот параметр может лежать в интервале 0,99-0,999.
Зная все вышеперечисленные параметры можно определить условную функцию плотности вероятности 
. Аналитическое выражение для этой функции имеет вид
С учетом выше приведенных уравнений, получим
(23).
Таким образом, условные функции плотности вероятности 
являются произведением функций плотности вероятности в случае центрированного и не центрированного X
2
– распределения. Такое распределение имеет две степени свободы.
Модель Гильберта
К сожалению, все выше описанные модели каналов не способны описать пульсирующую природу реальных каналов передачи. Поэтому Гильбертом была предложена следующая модель канала с ошибками. Вероятность ошибки в текущем состоянии сети зависит от того, в каком состоянии находилась сеть в предыдущий момент времени. То есть подразумевается, что имеет место корреляция между двумя последовательными событиями. Таким образом, проявляется память канала и его пульсирующая природа. Модель Гильберта по сути является моделью Маркова первого порядка с двумя состояниями – «хорошим» и «плохим». Если ошибки в принятых данных отсутствуют, то речь идет о «хорошем» состоянии. В «плохом» состоянии вероятность ошибки принимает некоторое значение большее, чем 0. На рис. 4 показана модель Гильберта.
Рис. 4. Схематическая иллюстрация модели Гильберта
Рис. 5. Схематическая иллюстрация модели Гильберта-Эллиота
Вероятность того, что канал находится в «плохом» состоянии равна
(24),
и таким образом, полная вероятность ошибки
Модель Гильберта является самовозобновляемой моделью, это означает, что длины пачек ошибок и длины безошибочных промежутков не зависят от предшествующих пачек и промежутков ошибок. Это так называемая скрытая модель Маркова (HMM). Текущее состояние модели (Х или П) не может быть определено до тех пор, пока не будет получен выходной сигнал модели. Кроме того, параметры модели {p , q , P(1|B) } не могут быть получены непосредственно во время моделирования. Они могут быть оценены лишь с помощью специальных триграмм или с помощью аппроксимации кривых, как это предложено в работе Гильберта.
Из-за возможности прямой оценки параметров чаще всего использовалась упрощенная версия модели Гильберта, в которой вероятность ошибки в «плохом» состоянии всегда равна 1. Эта модель может быть несколько модифицирована и представлена в виде цепи Маркова первого порядка с двумя состояниями. Два параметра упрощенной модели Гильберта {p, q} могут быть вычислены непосредственно путем измерений трасс ошибок при учете средней длины пачек ошибок
(26)
и среднем значении длин промежутков
или полной вероятности ошибки
Улучшения модель Гильберта впервые была описана в работе Элиота. В ней ошибки могут происходить также и в хорошем состоянии, как это показано на рис. 5.
Эта модель, также известная как канал Гильберта – Элиота (GEC), преодолевает ограничение модели Гильберта в отношении геометрических распределений длин пачек ошибок. Кроме того, что данная модель должна соответствовать модели HMM, она должна быть не возобновляемой, то есть длины пачек ошибок должны быть статистически независимы от длин промежутков. Это привносит новые возможности для моделирования радиоканала, но и усложняет процедуру оценки параметров. Параметры для не возобновляемой модели HMM и модели GEC могут быть оценены с использованием алгоритма Баума-Валия.
Рис. 6. Разделенные цепи Маркова
В 1960-х годах, исследователи Бергер, Манделброт, Суссман и Элиот предложили использовать возобновляемые процессы для моделирования характеристик ошибок коммуникационных каналов. Для этого Бергер и Манделброт использовали независимое распределение Парето вида
для интервалов между последовательными ошибками.
Рис. 7. Разделенные цепи Маркова с двумя безошибочными и тремя ошибочными состояниями
Дальнейшие улучшения модели Гильберта были опубликованы Фричманом (1967), который предложил разделить цепи Маркова на несколько цепей с ошибочными и безошибочными состояниями (рис. 6). Было введено ограничение по количеству запрещенных переходов между ошибочными состояниями и состояниями, свободными от ошибок. Параметры этой модели могут быть несколько улучшены благодаря выборочной аппроксимации полигеометрических распределений длин промежутков и длин пачек ошибок. Полигеометрическое распределение вычисляется как
при следующих ограничениях
0 i 1 и 0 i 1.
Параметры μ i и λ i соответствуют вероятностям перехода к новому состоянию и вероятности перехода в пределах нового состояния, K – это число безошибочных состояний, N – общее количество состояний.
Конфигурация данной модели показана на рис. 7. Она включает в себя два безошибочных состояния и три состояния соответствующие ошибкам. Однако все еще имеется статистическая зависимость между текущим промежутком и предыдущей пачкой ошибок, а также между текущим промежутком (пачкой ошибок) и предыдущим промежутком (пачкой ошибок). Поэтому для полного описания модели эти зависимости также необходимо рассмотреть. Однако здесь имеется ограничение, связанное с сохранением фиксированных пропорций вероятностей перехода из одного состояния в другое. В связи с этим модель становится возобновляемой. Например, в случае конфигурации модели 2/3 соотношения между вероятностями будут такими: p 13 : p 14 : p 15 = p 23 : p 24 : p 25 и p 31 : p 32 = p 41 : p 42 = p 51 : p 52 . Так, модель Фричмана, показанная на рис. 8, является частным случаем разделенной цепи Маркова. На этом рисунке показано только одно ее ошибочное состояние. Такая конфигурация распределения промежутков между ошибками уникально характеризует модель, а ее параметры могут быть найдены путем аппроксимации соответствующей кривой. Каждое состояние модели Фричмана представляет собой ошибочную модель без памяти, и поэтому модель Фричмана ограничивается полигеометрическими распределениями длин промежутков и пачек ошибок.
Рис. 8. Модель Фричмана
В статье были рассмотрены основные модели каналов связи, используемых для передачи различной дискретной информации и обеспечивающих доступ к разделяемым информационным ресурсам. Для большинства моделей даны соответствующие математические выкладки, на основе анализа которых сделаны выводы об основных достоинствах и ограничениях этих моделей. В работе было показано, что все рассматриваемые модели обладают существенными различиями в характеристиках ошибок.
Литература
В общем случае каналы классифицируются по характеру входного и выходного сигналов. Канал называют непрерывным (по уровням сигналов), если множество сигналов на входе и выходе является несчетным. Если множество сигналов с дискретным временем на входе и выходе является конечным (по уровням), канал называется дискретным. Канал называют полунепрепрывным, если он является дискретным по входу и непрерывным по выходу.
Радиоканалы, содержащие в своем составе радиолинию - открытое пространство, в принципе являются непрерывными каналами. Реальные радиоканалы отличаются большим разнообразием с точки зрения их свойств и характеристик. В целях упрощения задачи определения статистических характеристик сигналов, наблюдаемых на выходах каналов, во многих случаях целесообразно использовать типичные модели реальных каналов, отображающих их наиболее существенные свойства. Для задания математической модели достаточно указать ограничения, накладываемые на множество возможных входных сигналов и, что особенно существенно, вероятностные характеристики выходных колебаний.
Рассмотрим вначале наиболее типичные и широко используемые модели непрерывных каналов. Эти модели представляют интерес при передаче сигналов, как от непрерывных, так и дискретных источников. Далее будем полагать, что все модели представляют каналы с аддитивным гауссовским шумом n(t) , имеющим нулевое математическое ожидание и заданную корреляционную функцию. Наиболее типичной является модель с белым шумом, аппроксимирующим тепловой флуктуационный шум, неизбежно присутствующий во всех реальных каналах.
Канал с точно известным сигналом. Сигнал на выходе канала представляет собой
Предполагается, что форма сигнала s(t) , множитель интенсивности А и задержка известны (в частности , что соответствует изменению начала отсчета времени на выходе канала). Здесь распределение сигнала х является гауссовским. Эта модель применима для РЛС в идеализированных условиях, когда дальность, скорость и ЭПР объекта являются постоянными. Она также может быть использована для аппроксимации радиотелеграфных каналов спутниковой связи, а также для радиоканалов с медленно меняющимися параметрами, для которых значения А и могут быть предсказаны с достаточной точностью.
Канал со случайной фазой сигнала. В отличие от предыдущего задержка является случайной величиной. Для узкополосных сигналов s(t) с центральной частотой спектра выражение для выходного сигнала представляется в виде
где и - функции, сопряженные по Гильберту; - случайная начальная фаза. Как правило, предполагается, что фаза является равномерно распределенной в интервале . Эта модель может быть использована для тех же каналов, что и предыдущая, если начальная фаза сигналов на выходе канала по тем или иным причинам флуктуирует (нестабильность частоты генераторов, флуктуации протяженности пути распространения сигналов).
В каналах радиосвязи со случайной фазой нередко случайной является также и амплитуда А . При рэлеевских изменениях амплитуды и равновероятной фазе квадратурные компоненты и являются гауссовскими случайными величинами. При точно известном сигнале s(t) рассматриваемый канал может быть назван гауссовским каналом с квазидетерминированпным сигналом, т. е. сигналом известной формы, конечное число параметров которого являются случайными.
Радиотелеграфный канал с межсимвольной интерференцией. Межсимвольная интерференция радиотелеграфных сигналов является следствием рассеяния сигналов во времени. Она проявляется в том, что полезный сигнал на выходе канала, описываемый общим выражением вида
является результатом суперпозиции откликов канала на воздействие сигналов одной и той же формы, поступающих в канал с различной задержкой во времени. Межсимвольная интерференция прежде всего является следствием нелинейности фазочастотной характеристики канала передачи. В радиоканалах различных диапазонов волн причиной возникновения межсимвольной интерференции часто является многолучевое распространение радиоволн.
Канал с квазидетерминированным сигналом и посторонними мешающими воздействиями.
В канале на фоне белого гауссовского шума присутствуют сигнал известной формы со случайными параметрами и совокупность мешающих сигналов 
,так что выходной сигнал представляется в виде
Эта модель применима для радиоканалов передачи сигналов от источников дискретных сообщений в условиях сильной перегрузки канала посторонними сигналами с одинаковой структурой, а также в условиях создания активных преднамеренных помех.
Гауссовский канал со случайным сигналом . Сигнал на выходе канала представляется в виде
где и шум и сигнал представляют собой случайные процессы. Нередко предполагается, что сигнал S и, следовательно, х распределены по гауссовскому закону. В некоторых случаях гауссовская модель удовлетворительно описывает каналы передачи сообщений от непрерывных источников с применением амплитудной модуляции.
Канал со структурно-детерминированным сигналом и посторонними мешающими воздействиями . Под структурно-детерминированным сигналом понимается радиосигнал , характеристики переносчика и вид модуляции которого известны, в то время как модулирующий сигнал A(t) является непрерывным случайным процессом с известными статистическими характеристиками. В общем случае сигнал на выходе канала может быть представлен в виде
Рассматриваемая модель отличается от модели канала с квазидетерминированными сигналами только характером множества случайных параметров, закодированных в радиосигналах известной структуры и формы.
Модели дискретного канала при теоретическом исследовании радиосистем представляют существенный интерес, поскольку помехоустойчивость систем в условиях воздействия интенсивных помех в значительной мере определяется способами кодирования и декодирования модулирующих и демодулированных сигналов. При решении указанных задач целесообразно использовать простые модели дискретного канала, при построении которых свойства непрерывного канала непосредственно не учитываются. В дискретном канале входными и выходными сигналами являются последовательности импульсов, представляющих поток кодовых символов. Поэтому в модели дискретного канала наряду с ограничениями на параметры множества возможных сигналов на входе достаточно указать распределение условных вероятностей выходного сигнала при заданном входном. Для определения множества входных сигналов достаточно указать число m различных символов, число n импульсов в последовательности и, если это необходимо, длительность T in и T out каждого импульса на входе и выходе канала. Как правило, эти длительности одинаковы, так что одинаковыми являются и длительности любых n -последовательностей на входе и выходе. Вследствие воздействия помех в канале последовательности импульсов на входе и выходе канала могут оказаться различными. В общем случае для любого n необходимо указать вероятность того, что при передаче некоторой последовательности В на выходе появится конкретная реализация случайной последовательности В .
Рассматриваемые здесь n -последовательности можно представлять векторами в m n -мерном эвклидовом пространстве, в котором операции «сложения» и «вычитания» понимаются как поразрядное суммирование по модулю m и аналогично определяется умножение на целое число. В этом пространстве целесообразно ввести в рассмотрение «вектор ошибки» Е , под которым следует понимать поразрядную разность между входным (переданным) и выходным (принятым) векторами, или иначе, представлять принятый вектор в виде суммы переданного и вектора ошибки: , где случайный вектор ошибки Е в определенном смысле играет роль помехи n(t) в модели непрерывного канала. Различные модели дискретного канала отличаются распределением вероятностей вектора ошибки. В общем случае распределение вероятностей Е может зависеть от реализации вектора . Вектор ошибки приобретает особенно наглядное толкование в случае двоичного канала, когда m = 2. Появление символа 1 в любом месте вектора ошибки свидетельствует о наличии ошибки в соответствующем разряде переданной n -последовательности. Число ненулевых символов в векторе ошибки называют весом вектора ошибки.
Наиболее простой моделью дискретного канала является симметричный канал без памяти. Таковым является канал, в котором каждый переданный кодовый символ может быть принят ошибочно с фиксированной вероятностью р и правильно с вероятностью q = 1 - р , причем в случае ошибки вместо переданного символа может быть с равной вероятностью принят любой другой символ , т. е.
> (2.13)
Термин «без памяти» означает, что вероятность появления ошибки в любом разряде n-последовательности не зависит от того, какие символы передавались до этого разряда и как они были приняты.
Вероятность появления какого-либо n -мерного вектора ошибки веса l в этом канале равна
Вероятность того, что произошло l любых ошибок, расположенных произвольным образом на протяжении n -последовательности, определяется законом Бернулли
(2.14)
где 
- биноминальный коэффициент (число различных сочетаний l
ошибок в n
-последовательности).
Модель симметричного канала без памяти (биномиального канала) является хорошей аппроксимацией канала с аддитивным белым шумом при неизменном множителе интенсивности сигнала. Рис. 1,а демонстрирует граф, отображающий вероятности переходов в двоичном симметричном канале без памяти.
В несимметричном канале без памяти ошибки возникают также независимо друг от друга, однако вероятности перехода символов 1 в 0 и обратно при прохождении сигнала в канале являются различными. Соответствующий граф переходных вероятностей в этом канале представлен на рис. 1 ,б.
Дискретный канал предназначен для передачи дискретных сигналов (символов). При передаче по такому каналу сообщение представляется некоторой последовательностью элементарных дискретных сообщений , принадлежащих конечному множеству. В результате помехоустойчивого кодирования последовательность заменяется другой последовательностью , которая ставится в соответствие сообщению . Последовательность , состоящая из кодовых символов , подается на вход дискретного канала. Кодовые символы обычно (но не всегда) являются цифрами двоичной системы счисления. Таким образом, сообщение на входе дискретного канала может быть представлено последовательностью , где - номер позиции, а - дискретная случайная величина, принимающая значение 0 и 1. Сообщение на выходе дискретного канала также представляется в виде , где , а - аналогичная случайная величина. В идеальном случае, при отсутствии помех и искажений, для всех .
Ограничения на входные символы дискретного канала обычно задаются указанием алфавита символов и скорости их следования. Основной характеристикой дискретного канала является вероятность того или иного изменения символа на данной позиции. Эта характеристика определяется теми преобразованиями, которые претерпевает символ при передаче по каналу:
Смещение во времени (задержка символов);
Отличие на некоторых позициях выходных символов от входных (аддитивные ошибки);
Смещение номеров позиций выходной последовательности относительно номеров входной (ошибки синхронизации);
Появление на некоторых позициях символов стирания (невозможность принять надежное решение по какому-либо символу).
Первый фактор (задержка) является детерминированным или содержит детерминированную и случайную составляющие. Все остальные факторы случайны.
При действии рассмотренных факторов основная характеристика дискретного канала – вероятность искажения символа на определенной позиции – зависит от номера позиции, от значения передаваемого и всех ранее переданных символов.
Так определяются характеристики для нестационарного несимметричного канала с неограниченной памятью. Полное описание таких каналов задается совокупностью условных (переходных) вероятностей вида , т.е. вероятностей того, что выходные символы примут значения , если входные символы имеют значения , где и - номера позиций последовательностей и , - длина конечной последовательности (сообщение).
Естественно, что эти вероятности должны быть известны при любых и . Если рассматриваются стационарные каналы с идеальной синхронизацией, то полное описание канала задается системой переходных вероятностей . Располагая этой системой вероятностей, можно, например, найти такую важную характеристику, как пропускную способность дискретного канала.
В ряде случаев, особенно при анализе методов повышения достоверности, дискретный канал удобно описывать методами случайных процессов, а не заданием системы условных вероятностей рассмотренного вида.
Для канала с идеальной синхронизацией используется понятие потока ошибок. Поток представляет собой дискретный случайный процесс Е (иногда используется термин «последовательность ошибок»). Каждая позиция потока Е складывается по определенному правилу с соответствующей позицией процесса Y.
В общем случае реализации потока ошибок зависят от реализации помех в непрерывном канале, вида модели и реализации процесса Y. Так, например, при стационарном канале и стационарной передаваемой последовательности Y поток ошибок также будет стационарным.
Существует тип дискретного канала, для которого характеристики потока ошибок не зависят от вида информации, передаваемой по каналу. Такой тип канала принято называть симметричным. В этом случае переходные вероятности имеют вид , где - реализация потока ошибок.
Из изложенного следует, что модель двоичного канала это, но сути дела, статистическое описание двоичной последовательности Е. Полное описание таких последовательностей достигается на основе многомерных распределений, например, интервалов между элементами последовательности или через многомерные переходные вероятности. Располагая математической моделью, дающей полное описание ошибок двоичного симметричного канала, можно определить любую характеристику методов повышения достоверности при передаче информации по такому каналу. Наиболее удобный вариант модели для проектирования задается теорией случайных процессов в виде потока ошибок.
Представляется логичным и достаточно удобным рассматривать поток ошибок дискретного канала связи как ступенчатый случайный процесс. Такой подход позволяет при исследовании каналов связи использовать многочисленные важные результаты, полученные для случайных процессов.
Выделим среди различных способов задания потоков следующие два.
Первый способ описания потоков. Для задания потоков ошибок этим способом необходимо для любого натурального числа и произвольного набора чисел , указать r -мерную функцию распределения случайного вектора , где - количество ошибок, появившихся в промежутке времени , или найти
Где - начало отсчета времени.
Таким образом, есть вероятность того, что на последовательно расположенных промежутках времени (откладываемого от момента времени ), появится соответственно ошибок. Это распределение полностью определяет поток ошибок. На практике (1) наиболее часто используется для , что соответствует одномерному распределению числа ошибок в промежутке времени :
Для стационарного потока зависимость от отсутствует.
Второй способ описания потоков. Пусть - моменты наступления событий потока ошибок. Можно определить поток, задав распределение - мерного вектора:
Однако часто удобнее получать распределение моментов наступления событий потока не на основе , а несколько иначе. Положим , тогда поток считается заданным, если определено - мерное распределение вектора , т.е.
Если , то имеем одномерную функцию распределения интервалов, которая в общем случае может зависеть от номера интервала, что отражается следующим образом:
.
