Суффиксный автомат (или ориентированный ациклический граф слов ) — это мощная структура данных, которая позволяет решать множество строковых задач.
Например, с помощью суффиксного автомата можно искать все вхождения одной строки в другую, или подсчитывать количество различных подстрок данной строки — обе задачи он позволяет решать за линейное время.
На интуитивном уровне, суффиксный автомат можно понимать как сжатую информацию обо всех подстроках данной строки. Впечатляющим фактом является то, что суффиксный автомат содержит всю информацию в настолько сжатом виде, что для строки длины он требует лишь памяти. Более того, он может быть построен также за время (если мы считаем размер алфавита константой; в противном случае — за время ).
Исторически , впервые линейность размера суффиксного автомата была открыта в 1983 г. Blumer и др., а в 1985 — 1986 гг. были представлены первые алгоритмы его построения за линейное время (Crochemore, Blumer и др.). Более подробно — см. список литературы в конце статьи.
На английском языке суффиксный автомат называется "suffix automaton" (во множественном числе — "suffix automata"), а ориентированный ациклический граф слов — "directed acyclic word graph" (или просто "DAWG").
Определение. Суффиксным автоматом для данной строки называется такой минимальный детерминированный конечный автомат, который принимает все суффиксы строки .
Расшифруем это определение.
Простейшим, и вместе с тем важнейшим свойством суффиксного автомата является то, что он содержит в себе информацию обо всех подстроках строки . А именно, любой путь из начального состояния , если мы выпишем метки дуг вдоль этого пути, образует обязательно подстроку строки . И наоборот, любой подстроке строки соответствует некоторый путь, начинающийся в начальном состоянии .
В целях упрощения объяснений, мы будем говорить, что подстроке соответствует тот путь из начального состояния, метки вдоль которого образуют эту подстроку. И наоборот, мы будем говорить, что любому пути соответствует та строка, которую образуют метки его дуг.
В каждое состояние суффиксного автомата ведёт один или несколько путей из начального состояния. Будем говорить, что состоянию соответствует набор строк, соответствующих всем этим путям.
Приведём примеры суффиксных автоматов, построенных для нескольких простых строк.
Начальное состояние мы будем обозначать здесь через , а терминальные состояния — отмечать звёздочкой.
Для строки :
Для строки :
Для строки :
Для строки :
Для строки :
Для строки :
Для строки :
Перед тем, как перейти непосредственно к описанию алгоритма построения, надо ввести несколько новых понятий и доказать простые, но очень важные для понимания суффиксного автомата леммы.
Рассмотрим любую непустую подстроку строки . Тогда назовём множеством окончаний множество всех позиций в строке , в которых оканчиваются вхождения строки .
Мы будем называть две подстроки и -эквивалентными, если их множества окончаний совпадают: . Таким образом, все непустые подстроки строки можно разбить на несколько классов эквивалентности соответственно их множествам .
Оказывается, что в суффиксном автомате -эквивалентным подстрокам соответствует одно и то же состояние . Иными словами, число состояний в суффиксном автомате равно количеству классов -эквивалентности среди всех подстрок, плюс одно начальное состояние. Каждому состоянию суффиксного автомата соответствуют одна или несколько подстрок, имеющих одно и то же значение .
Это утверждение мы примем как аксиому , и опишем алгоритм построения суффиксного автомата, исходя из этого предположения — как мы затем увидим, все требуемые свойства суффиксного автомата, кроме минимальности, будут выполнены. (А минимальность следует из теоремы Nerode — см. список литературы.)
Приведём также несколько простых, но важных утверждений касательно значений .
Лемма 1 . Две непустые подстроки и () являются -эквивалентными тогда и только тогда, когда строка встречается в строке только в виде суффикса строки .
Доказательство практически очевидно. В одну сторону: если и имеют одинаковые позиции окончаний вхождения, то является суффиксом , и она присутствует в только в виде суффикса . В обратную сторону: если является суффиксом и входит только как этот суффикс, то их значения равны по определению.
Лемма 2 . Рассмотрим две непустые подстроки и (). Тогда их множества либо не пересекаются, либо целиком содержится в , причём это зависит от того, является суффиксом или нет:
Доказательство. Предположим, что множества и имеют хотя бы один общий элемент. Тогда это означает, что строки и оканчиваются в одном и том же месте, т.е. — суффикс . Но тогда каждое вхождение строки содержит на своём конце вхождение строки , что и означает, что его множество целиком вкладывается в множество .
Лемма 3 . Рассмотрим некоторый класс -эквивалентности. Отсортируем все подстроки, входящие в этот класс, по невозрастанию длины. Тогда в получившейся последовательности каждая подстрока будет на единицу короче предыдущей, и при этом являться суффиксом предыдущей. Иными словами, подстроки, входящие в один класс эквивалентности, на самом деле являются суффиксами друг друга, и принимают всевозможные различные длины в некотором отрезке .
Доказательство.
Зафиксируем некоторый класс -эквивалентности. Если он содержит только одну строку, то корректность леммы очевидна. Пусть теперь количество строк больше одной.
Согласно лемме 1, две различные -эквивалентные строки всегда таковы, что одна является собственным суффиксом другой. Следовательно, в одном классе -эквивалентности не может быть строк одинаковой длины.
Обозначим через длиннейшую, а через — кратчайшую строку в данном классе эквивалентности. Согласно лемме 1, строка является собственным суффиксом строки . Рассмотрим теперь любой суффикс строки с длиной в отрезке , и покажем, что он содержится в этом же классе эквивалентности. В самом деле, этот суффикс может входить в только в виде суффикса строки (поскольку более короткий суффикс входит только в виде суффикса строки ). Следовательно, согласно лемме 1, этот суффикс -эквивалентен строке , что и требовалось доказать.
Рассмотрим некоторое состояние автомата . Как мы теперь знаем, состоянию соответствует некоторый класс строк с одинаковыми значениями , причём если мы обозначим через длиннейшую из этих строк, то все остальные будут суффиксами .
Также мы знаем, что первые несколько суффиксов строки (если мы рассматриваем суффиксы в порядке убывания их длины) содержатся в том же самом классе эквивалентности, а все остальные суффиксы (как минимум, пустой суффикс) — в каких-то других классах. Обозначим через первый такой суффикс — в него мы и проведём суффиксную ссылку.
Здесь мы считаем, что начальному состоянию соответствует отдельный класс эквивалентности (содержащий только пустую строку), и полагаем .
Доказательство. Рассмотрим произвольное состояние . Суффиксная ссылка ведёт из него в состояние, которому соответствуют строки строго меньшей длины (это следует из определения суффиксной ссылки и из леммы 3). Следовательно, двигаясь по суффиксным ссылкам, мы рано или поздно придём из состояния в начальное состояние , которому соответствует пустая строка.
Лемма 5 . Если мы построим из всех имеющихся множеств дерево (по принципу "множество-родитель содержит как подмножества всех своих детей"), то оно будет совпадать по структуре с деревом суффиксных ссылок.
Доказательство.
То, что из множеств можно построить дерево, следует из леммы 2 (о том, что любые два множества либо не пересекаются, либо одно содержится в другом).
Рассмотрим теперь произвольное состояние и его суффиксную ссылку . Из определения суффиксной ссылки и из леммы 2 следует:
что вкупе с предыдущей леммой и доказывает наше утверждение: дерево суффиксных ссылок по сути своей есть дерево вкладывающихся множеств .
Приведём пример дерева суффиксных ссылок в суффиксном автомате, построенном для строки :
Перед тем, как приступить к самому алгоритму, систематизируем накопленные выше знания, и введём пару вспомогательных обозначений.
Приступим к описанию самого алгоритма. Алгоритм будет онлайновым , т.е. будет добавлять по одному символу строки , перестраивая соответствующим образом текущий автомат.
Чтобы достичь линейного потребления памяти, в каждом состоянии мы будем хранить только значение , и список переходов из этого состояния. Метки терминальных состояний мы поддерживать не будем (мы покажем, как расставить эти метки после построения суффиксного автомата, если имеется необходимость в них).
Изначально автомат состоит из единственного состояния , которое мы условимся считать нулевым состоянием (остальные состояния будут получать номера ). Присвоим этому состоянию , а значению присвоим для удобства (означающее ссылку на фиктивное, несуществующее состояние).
Соответственно, вся задача теперь сводится к тому, чтобы реализовать обработку добавления одного символа в конец текущей строки. Опишем этот процесс:
и выйти.
и выйти.После клонирования мы проводим суффиксную ссылку из в это состояние , также перенаправляем суффиксную ссылку из в .
Наконец, последнее, что мы должны сделать — это пройтись от состояния по суффиксным ссылкам, и для каждого очередного состояния проверять: если имелся переход по букве в состояние , то перенаправлять его в состояние (а если нет, то останавливаться).
Если нам также нужно знать, какие вершины являются терминальными , а какие — нет, то мы можем найти все терминальные вершины после построения суффиксного автомата для всей строки. Для этого рассмотрим состояние, соответствующее всей строке (оно, очевидно, у нас сохранено в переменной ), и будем идти по его суффиксным ссылкам, пока не дойдём до начального состояния, и помечать каждое пройденное состояние как терминальное. Легко понять, что тем самым мы пометим состояния, соответствующие всем суффиксам строки , что нам и требовалось.
В следующем разделе мы подробно рассмотрим каждый шаг алгоритма и покажем его корректность .
Здесь же лишь отметим, что из алгоритма видно, что добавление одного символа приводит к добавлению одного или двух состояний в автомат. Таким образом, линейность числа состояний очевидна.
Линейность числа переходов, да и вообще линейное время работы алгоритма менее понятны, и они будут доказаны ниже, после доказательства корректности алгоритма.
Как можно увидеть из описания алгоритма, сплошные и несплошные переходы приводят к разным ветвям алгоритма. Сплошные переходы называются так потому, что, появившись впервые, они больше никогда не будут меняться. В противоположность им, несплошные переходы могут измениться при добавлении новых букв к строке (измениться может конец дуги-перехода).
Однако возникает сложность с тем, куда вести суффиксную ссылку из состояния . Нам требуется провести суффиксную ссылку в такое состояние, в котором длиннейшей строкой будет являться как раз эта самая , т.е. для этого состояния должен быть равен . Однако такого состояния могло и не существовать: в таком случае нам надо произвести "расщепление" состояния.
Как производить это расщепление? Мы "клонируем" состояние , делая его копию с параметром . Мы копируем в из все переходы, поскольку мы не хотим никоим образом менять пути, проходившие через . Суффиксную ссылку из мы ведём туда, куда вела старая суффиксная ссылка из , а ссылку из направляем в .
После клонирования мы проводим суффиксную ссылку из в — то, ради чего мы и производили клонирование.
Остался последний шаг — перенаправить некоторые входящие в переходы, перенаправив их на . Какие именно входящие переходы надо перенаправить? Достаточно перенаправить только переходы, соответствующие всем суффиксам строки , т.е. нам надо продолжить двигаться по суффиксным ссылкам, начиная с вершины , и до тех пор, пока мы не дойдём до фиктивного состояния или не дойдём до состояния, переход из которого ведёт в состояние, отличное от .
Во-первых, сразу оговоримся, что мы считаем размер алфавита константой . Если это не так, то говорить о линейном времени работы не получится: список переходов из одной вершины надо хранить в виде сбалансированного дерева, позволяющего быстро производить операции поиска по ключу и добавления ключа. Следовательно, если мы обозначим через размер алфавита, то асимптотика алгоритма составит при памяти. Впрочем, если алфавит достаточно мал, то можно, пожертвовав памятью, избежать сбалансированных списков, а хранить переходы в каждой вершине в виде массива длины (для быстрого поиска по ключу) и динамического списка (для быстрого обхода всех имеющихся ключей). Тем самым мы достигнем во времени работы алгоритма, но ценой потребления памяти.
Если мы рассмотрим все части алгоритма, то он содержит три места, линейная асимптотика которых не очевидна:
Воспользуемся известным фактом, что размер суффиксного автомата (как по числу состояний, так и по числу переходов) линеен . (Доказательством линейности по числу состояний является сам алгоритм, а доказательство линейности по числу переходов мы приведём ниже, после реализации алгоритма.).
Тогда очевидна линейная суммарная асимптотика первого и второго места : ведь каждая операция здесь добавляет в автомат один новый переход.
Осталось оценить суммарную асимптотику в третьем месте — в том, где мы перенаправляем переходы, ведущие в , на . Обозначим . Это суффикс строки , и с каждой итерацией его длина убывает — а, значит, и позиция как суффикса строки монотонно возрастает с каждой итерацией. При этом, если перед первой итерацией цикла соответствующая строка была на глубине () от (если считать глубиной число суффиксных ссылок, которые надо пройти), то после последней итерации строка станет -ой суффиксной ссылкой на пути от (которое станет новым значением ).
Таким образом, каждая итерация этого цикла приводит к тому, что позиция строки как суффикса всей текущей строки будет монотонно увеличиваться. Следовательно, всего этот цикл не мог отработать более итераций, что и требовалось доказать .
(Стоит заметить, что аналогичные аргументы можно использовать и для доказательства линейности работы первого места, вместо ссылки на доказательство линейности числа состояний.)
Вначале опишем структуру данных, которая будет хранить всю информацию о конкретном переходе (, , список переходов). При необходимости сюда можно добавить флаг терминальности, а также другую требуемую информацию. Список переходов мы храним в виде стандартного контейнера , что позволяет достичь суммарно памяти и времени на обработку всей строки.
struct state { int len, link; map< char ,int > next; } ;Сам суффиксный автомат будем хранить в виде массива этих структур . Как доказывается в следующем разделе, если — это максимально возможная в программе длина строки, то достаточно завести память под состояний. Также мы храним переменную — состояние, соответствующее всей строке на данный момент.
const int MAXLEN = 100000 ; state st[ MAXLEN* 2 ] ; int sz, last;Приведём функцию, инициализирующую суффиксный автомат (создающую автомат с единственным начальным состоянием):
void sa_init() { sz = last = 0 ; st[ 0 ] .len = 0 ; st[ 0 ] .link = - 1 ; ++ sz; /* // этот код нужен, только если автомат строится много раз для разных строк: for (int i=0; iНаконец, приведём реализацию основной функции — которая добавляет очередной символ в конец текущей строки, перестраивая соответствующим образом автомат:
void sa_extend (char c) { int cur = sz++ ; st[ cur] .len = st[ last] .len + 1 ; int p; for (p= last; p! = - 1 && ! st[ p] .next .count (c) ; p= st[ p] .link ) st[ p] .next [ c] = cur; if (p == - 1 ) st[ cur] .link = 0 ; else { int q = st[ p] .next [ c] ; if (st[ p] .len + 1 == st[ q] .len ) st[ cur] .link = q; else { int clone = sz++ ; st[ clone] .len = st[ p] .len + 1 ; st[ clone] .next = st[ q] .next ; st[ clone] .link = st[ q] .link ; for (; p! = - 1 && st[ p] .next [ c] == q; p= st[ p] .link ) st[ p] .next [ c] = clone; st[ q] .link = st[ cur] .link = clone; } } last = cur; }Как уже упоминалось выше, если пожертвовать памятью (до , где — размер алфавита), то можно достичь времени построения автомата даже для любых — но для этого придётся в каждом состоянии хранить массив размера (для быстрого поиска перехода по нужной букве) и список всех переходов (для быстрого обхода или копирования всех переходов).
Число состояний в суффиксном автомате, построенном для строки длины , не превышает (для ).
Доказательством этого является описанный выше алгоритм (поскольку изначально автомат состоит из одного начального состояния, на первом и втором шагах добавляется ровно по одному состоянию, а на каждом из остальных шагах могло добавляться по две вершины из-за расщепления состояния).
Однако эту оценку легко показать и без знания алгоритма . Вспомним о том, что число состояний равно количеству различных значений множеств . Кроме того, эти множества образуют дерево по принципу "вершина-родитель содержит в себе как подмножества всех детей". Рассмотрим это дерево, и немного преобразуем его: пока в нём есть внутренняя вершина с одним сыном, то это означает, что этого сына не содержит как минимум одно число из родителя; тогда создадим виртуальную вершину с , равным этому числу, и привесим этого сына к родителю. В итоге мы получим дерево, в котором каждая внутренняя вершина имеет степень больше единицы, а число листьев не превосходит . Следовательно, всего в таком дереве не более вершины.
Итак, мы показали эту оценку независимо, без знания алгоритма.
Интересно заметить, что эта оценка неулучшаема, т.е. существует тест, на котором она достигается . Этот тест выглядит таким образом:
При обработке этой строки на каждой итерации, начиная с третьей, будет происходить расщепление состояния, и, тем самым, будет достигаться оценка .
Число переходов в суффиксном автомате, построенном для строки длины , не превышает (для ).
Докажем это.
Оценим число сплошных переходов. Рассмотрим остовное дерево из длиннейших путей в автомате, начинающихся в состоянии . Этот остов будет состоять только из сплошных рёбер, а, значит, их количество на единицу меньше числа состояний, т.е. не превосходит .
Оценим теперь число несплошных переходов. Рассмотрим каждый несплошной переход; пусть текущий переход — это переход по символу . Поставим ему в соответствие строку , где строка соответствует длиннейшему пути из начального состояния в , а — длиннейшему пути из в какое-либо терминальное состояние. С одной стороны, все такие строки для всех несплошных переходов будут различными (поскольку строки и образованы только сплошными переходами). С другой стороны, каждая из таких строк , по определению терминального состояния, будет суффиксом всей строки . Поскольку непустых суффиксов у строки всего штук, и к тому же вся строка среди этих строк не могла содержаться (т.к. всей строке соответствует путь из сплошных рёбер), то общее число несплошных переходов не превосходит .
Складывая эти две оценки, мы получаем оценку . Однако, вспоминая, что максимальное число состояний достигается только на тесте вида , и на нём оценка явно не достигается, получаем окончательную оценку , что и требовалось доказать.
Интересно отметить, что также существует тест, на котором эта оценка достигается :
Докажем две теоремы, устанавливающие взаимную связь между суффиксным автоматом и суффиксным деревом .
Сразу оговоримся, что мы считаем, что входная строка такова, что каждый суффикс имеет собственную вершину в суффиксном дереве (поскольку для произвольных строк это, вообще говоря, неверно: например, для строки ). Обычно этого добиваются путём приписывания в конец строки какого-нибудь особого символа (обычно обозначаемого через знак доллара).
Для удобства введём обозначения: — это строка , записанная в обратном порядке, — это суффиксный автомат, построенный для строки , — это суффиксное дерево строки .
Введём понятие расширяющей ссылки : зафиксируем вершину суффиксного дерева и символ ; тогда расширяющая ссылка ведёт в вершину дерева, соответствующую строке (если этот путь оканчивается посередине ребра, то проведём ссылку в нижний конец этого ребра); если такого пути вообще нет в дереве, то расширяющая ссылка не определена. В некотором смысле, расширяющие ссылки противоположны суффиксным ссылкам.
Теорема 1 . Дерево, образованное суффиксными ссылками в , является суффиксным деревом .
Теорема 2 . — это граф расширяющих ссылок суффиксного дерева . Кроме того, сплошные рёбра в — это инвертированные суффиксные ссылки в .
Эти две теоремы позволяют по одной из структур (суффиксному дереву или суффиксному автомату) построить другую за время — эти два простых алгоритма будут рассмотрены нами ниже в теоремах 3 и 4.
В целях наглядности, приведём суффиксный автомат с его деревом суффиксных ссылок и соответствующее суффиксное дерево для инвертированной строки. Для примера возьмём строку .
И его дерево суффиксных ссылок (для наглядности мы подписываем каждое состояние его -строкой):
:
Лемма . Следующие три утверждения эквивалентны для любых двух подстрок и :
Доказательство её довольно очевидно: если начала вхождений двух строк совпадают, то одна строка является префиксом другой, а, значит, одна строка лежит в суффиксном дереве на пути другой строки.
Доказательство теоремы 1 .
В терминах инвертированной строки это означает, что суффиксная ссылка ведёт в такой длиннейший префикс строки, соответствующей состоянию , чтобы этому префиксу соответствовало отдельное состояние . Иными словами, суффиксная ссылка ведёт в предка вершины в суффиксном дереве, что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы 2 .
Состояния суффиксного автомата соответствуют вершинам суффиксного дерева.
Рассмотрим произвольный переход в суффиксном автомате . Наличие этого перехода означает, что — это такое состояние, класс эквивалентности которого содержит подстроку 
. В инвертированной строке это означает, что это такое состояние, которому соответствует подстрока, от которой (в тексте ) совпадает с от подстроки 
.
Это как раз и означает, что:
Первая часть теоремы доказана, осталось доказать вторую часть: что все сплошные переходы в автомате соответствуют суффиксным ссылкам в дереве. Сплошной переход отличается от несплошного тем, что , т.е. после приписывания символа мы попали в состояние со строкой, максимальной из класса эквивалентности этого состояния. Это означает, что при вычислении соответствующей расширяющей ссылки мы сразу попали в вершину дерева, а не спускались вниз до ближайшей вершины дерева. Таким образом, приписав один символ в начало, мы попали в другую вершину дерева — значит, если это и есть инвертированная суффиксная ссылка в дереве.
Теорема полностью доказана.
Теорема 3 . Имея суффиксный автомат , можно за время построить суффиксное дерево .
Теорема 4 . Имея суффиксное дерево , можно за время построить суффиксный автомат .
Доказательство теоремы 3 .
Суффиксное дерево будет содержать столько же вершин, сколько состояний в , причём вершине дерева, получившейся из состояния автомата, соответствует строка длины .
Согласно теореме 1, рёбра в дереве образуются как инвертированные суффиксные ссылки, и дуговые метки можно найти, исходя из разности состояний, и дополнительно зная для каждого состояния автомата один любой элемент его множества (этот один элемент множества можно поддерживать при построении автомата).
Таким образом, за время мы можем построить суффиксное дерево вместе с суффиксными ссылками в нём.
(Если мы считаем размер алфавита не константой, то на всё перестроение потребуется время .)
Доказательство теоремы 4 .
Суффиксный автомат будет содержать столько же состояний, сколько вершин в . У каждого состояния его длиннейшая строка будет соответствовать инвертированному пути из корня дерева до вершины .
Согласно теореме 2, чтобы построить все переходы в суффиксном автомате, нам надо найти все расширяющие ссылки .
Во-первых, заметим, что часть этих расширяющих ссылок получаются непосредственно из суффиксных ссылок в дереве. В самом деле, если для любой вершины мы рассмотрим её суффиксную ссылку , то это означает, что надо провести расширяющую ссылку из в по первому символу строки, соответствующей вершине .
Однако так мы найдём не все расширяющие ссылки. Дополнительно надо пройтись по суффиксному дереву от листьев до корня, и для каждой вершины просмотреть всех её сыновей, для каждого сына просмотреть все расширяющие ссылки , и скопировать эту ссылку в вершину , если по этому символу ссылка из вершины ещё не была найдена:
Этот процесс отработает за время , если мы считаем размер алфавита константным.
Таким образом, описанный алгоритм за время строит суффиксный автомат по суффиксному дереву для инвертированной строки.
(Если же мы считаем, что размер алфавита — также переменная величина, то асимптотика увеличится до .)
Ниже мы рассмотрим, какие задачи можно решать с помощью суффиксного автомата.
Условие . Дан текст , и поступают запросы в виде: дана строка , требуется проверить, входит или нет строка в текст как подстрока.
Асимптотика
. Препроцессинг 
и 
на один запрос.
Решение
. Построим суффиксный автомат по тексту за время .
Как теперь отвечать на один запрос. Пусть текущее состояние — это переменная , изначально она равна начальному состоянию . Будем идти по символам строки , соответствующим образом делая переход из текущего состояния в новое состояние. Если в какой-то момент случилось, что перехода из текущего состояния по нужному символу не оказалось — то ответ на запрос "нет". Если же мы смогли обработать всю строку , то ответ на запрос "да".
Понятно, что это будет работать за время . Более того, алгоритм фактически ищет длину наидлиннейшего префикса , встречающегося в тексте — и если входные образцы таковы, что эти длины маленькие, то и алгоритм будет работать значительно быстрее, не обрабатывая всю строку целиком.
Условие . Дана строка . Требуется узнать количество различных её подстрок.
Асимптотика
. 
.
Решение . Построим суффиксный автомат по строке .
В суффиксном автомате любой подстроке строки соответствует какой-то путь в автомате. Поскольку повторяющихся строк в автомате быть не может, то ответ на задачу — это количество различных путей в автомате, начинающихся в начальной вершине .
Учитывая, что суффиксный автомат представляет собой ациклический граф, количество различных путей можно считать в нём с помощью динамического программирования.
А именно, пусть — это количество различных путей, начинающихся с состояния (включая путь длины ноль). Тогда верно:
т.е. можно выразить как сумму ответов по всевозможным переходам из состояния .
Ответом на задачу будет значение (единица отнимается, чтобы не учитывать пустую подстроку).
Условие . Дана строка . Требуется узнать суммарную длину всех различных её подстрок.
Асимптотика
. .
Решение . Решение задачи аналогично предыдущей, только теперь надо считать в динамике две величины: количество различных подстрок и их суммарную длину .
т.е. мы берём ответ для каждой вершины , и прибавляем к нему , тем самым как бы приписывая в начало каждой из строк по одному символу.
Условие . Дана строка . Поступают запросы — числа , и требуется находить -ую в порядке сортировки подстроку строки .
Асимптотика . на один запрос (где — это ответ на этот запрос, — размер алфавита).
Решение . Решение данной задачи базируется на той же идее, что и предыдущие две задачи. Лексикографически -ая подстрока — это лексикографический -ый путь в суффиксном автомате. Поэтому посчитав для каждого состояния количество путей из него, мы сможем легко искать -ый путь, двигаясь от корня автомата.
Условие . Дана строка . Требуется найти лексикографически наименьший её циклический сдвиг.
Асимптотика
. .
Решение . Построим суффиксный автомат для строки . Тогда этот автомат будет содержать в себе как пути все циклические сдвиги строки .
Следовательно, задача сведётся к тому, чтобы найти в автомате лексикографически минимальный путь длины , что делается тривиальным образом: мы стартуем в начальном состоянии и каждый раз действуем жадно, переходя по переходу с минимальным символом.
Условие . Дан текст , и поступают запросы в виде: дана строка , требуется узнать, сколько раз строка входит в текст как подстрока (вхождения могут перекрываться).
Асимптотика
. Препроцессинг и на один запрос.
Решение . Построим суффиксный автомат по тексту .
Дальше нам надо сделать такой препроцессинг: для каждого состояния автомата посчитать число , равное размеру множества . В самом деле, все строки, соответствующие одному и тому же состоянию, входят в одинаковое число раз, равное количеству позиций в множестве .
Однако явно поддерживать множества для всех состояний мы не можем, поэтому научимся считать только их размеры .
Для этого поступим следующим образом. Для каждого состояния, если оно не было получено путём клонирования (и начальное состояние мы также не учитываем), изначально присвоим . Затем будем идти по всем состояниям в порядке убывания их длины и пробрасывать текущее значение по суффиксной ссылке:
Утверждается, что в конце концов мы так посчитаем для каждого состояния правильные значения .
Почему это верно? Всего состояний, полученных не путём клонирования, ровно , и -ое из них появилось, когда мы добавили первые символов. Следовательно, каждому из этих состояний мы ставим в соответствие эту позицию, при обработке которой оно появилось. Поэтому изначально у каждого такого состояния , а у всех остальных состояний .
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Вятский государственный гуманитарный университет»
Факультет информатики
Кафедра информатики и методики обучения информатике
Курсовая работа
Алгоритмы поиска подстроки в строке
Выполнил
студент III курса математического факультета
Белов Денис Владимирович
Проверил преподаватель кафедры информатики и методики обучения информатике
Иванов С. Ю.
Киров, 2006 г.
Введение. 3
Часть 1. Теоретические сведения об алгоритмах поиска подстроки в строке. 5
1.1. Основные понятия. 5
1.1.1 Строка, её длина, подстрока. 5
1.1.2. Понятие о сложности алгоритма. 6
1.2. Алгоритмы основанные на методе последовательного поиска. 7
1.2.1. Алгоритм последовательного (прямого) поиска (The Brute Force Algorithm). 7
1.2.2. Алгоритм Рабина. 7
1.3. Алгоритм Кнута - Морриса - Пратта (КМП). 10
1.4. Алгоритм Бойера – Мура и некоторые его модификации. 13
1.4.1. Алгоритм Боейера – Мура. 13
1.4.2. Модификации БМ. 15
1.5. Поиск подстрок с помощью конечного автомата. 17
1.5.1. Структура автомата. 17
1.5.2. Пример построения конечного автомата. 19
Часть 2. Экспериментальный анализ алгоритмов. 21
2.1. Суть эксперимента. 21
2.2. Результаты и анализ эксперимента. 22
Заключение. 24
Библиографический список. 25
Те, кому приходиться часто работать с текстовыми редакторами, знают цену функции нахождения нужных слов в тексте, существенно облегчающей редактирование документов и поиск нужной информации. Действительно, современные программы обработки текста приучили нас к такой удобной возможности, как поиск и замена фрагментов, и если вы разрабатываете подобную программу, пользователь вправе ожидать, что вы предоставите в его распоряжение соответствующие команды.
Конечно, сейчас функции поиска инкапсулированы во многие языки программирования высокого уровня – чтобы найти строчку в небольшом тексте вы, наверное, используете встроенную функцию. Но если такого рода поиск является ключевой задачей вашей программы, знать принципы организации функций поиска будет совсем нелишне. При этом. в готовых подпрограммах далеко не всегда все написано лучшим образом. Во-первых, в стандартных функциях не всегда используются самые эффективные алгоритмы, а во-вторых, вполне возможно, что вам понадобится изменить стандартное поведение этих функций (например, предусмотреть возможность поиска по шаблону). Наконец, область применения функции поиска не ограничивается одними лишь текстовыми редакторами. Следует отметить использование алгоритмов поиска при индексации страниц поисковым роботом, где актуальность информации напрямую зависит от скорости нахождения ключевых слов в тексте html – страницы . Работа простейшего спам – фильтра, заключается в нахождении в тексте письма фраз таких, как «Миллион за час» или «Раскрутка сайта». Все вышесказанное говорит об актуальности проблемы, затрагиваемой работой.
Поставим задачу поиска подстроки в строке. Пусть у нас есть строка, состоящая из некоторого количества символов. Нам нужно проверить, входит ли другая заданная строка в данный текст, и если входит, то начиная с какого символа текста.
В данной работе мы ставим цель, выявить наиболее оптимальный алгоритм, решающий поставленную задачу поиска.
Задачи данной работы:
· рассмотреть основные алгоритмы, решающих задачу поиска;
· систематизировать алгоритмы согласно используемым в них приемам;
· выявить эффективные, с точки зрения времени выполнения, алгоритмы.
Работа содержит две основных части. В первой будут рассмотрены алгоритмы, их теоретическое обоснование, алгоритмическая модель, будет проведена попытка их классификации. Во второй части работы будут приведены данные о практическом применении алгоритмов. В заключении будет сделан вывод о наиболее эффективном (с временной точки зрения) алгоритме.
Здесь мы приводим ряд определений, которые будем использовать в изложении материала .
Определение 1 . Строка (слово) - это последовательность знаков (называемых буквами) из некоторого конечного множества, называемого алфавитом.
Определение 2 . Длина строки – количество знаков в строке.
Слова будем обозначать буквами латинского алфавита, напр. X=xx…x[n] – слово длинной n, где x[i] (i-ая буква слова) принадлежит алфавиту. Lentgh(X)=
=n – обозначение длины строки.Определение 3 . Слово не содержащее ни одной буквы называется пустым.
Пустое слово обычно обозначают буквой L. Length(L)=0.
Определение 4 . Слово X называется префиксом слова Y, если есть такое слово Z, что Y=XZ. Причем само слово является префиксом для самого себя (т.к. найдется нулевое слово L, что X=LX.
Пример : слово ab является префиксом слова abcfa.
Определение 5 . Слово X называется суффиксом слова Y, если есть такое слово Z, что Y=ZX. Аналогично, слово является суффиксом самого себя.
Пример : слово bfg является суффиксом слова vsenfbfg.
Определение 6 .Слово X называется подстрокой строки Y, если найдутся такие строки Z 1 и Z 2 , что Y=Z 1 XZ 2 . При этом Z 1 называют левым, а Z 2 - правым крылом подстроки. Подстрокой может быть и само слово. Иногда при этом слово X называют вхождением в слово Y. Среди всех вхождений слова X в слово Y, вхождение с наименьшей длиной своего левого крыла называют первым или главным вхождением. Для обозначения вхождения используют обозначение X
Y.Пример : слова hrf и fhr является подстроками слова abhrfhr, gf
sfdgfro.Целью нашей работы является найти эффективный алгоритм, однако ничего пока не было сказано о методе оценки алгоритмов.
Традиционно в программировании понятие сложности алгоритма связано с использованием ресурсов компьютера: насколько много процессорного времени требует программа для своего выполнения, насколько много при этом расходуется память машины? Учет памяти обычно ведется по объему данных и не принимается во внимание память, расходуемая для записи команд программы. Время рассчитывается в относительных единицах так, чтобы эта оценка, по возможности, была одинаковой для машин с разной тактовой частотой.
В данной работе будут рассмотрены две характеристики сложности алгоритмов - временная и емкостная. Мы не будем обсуждать логическую сложность разработки алгоритма - сколько «человеко-дней» нужно потратить на создание программы, поскольку не представляется возможным дать объективные количественные характеристики.
Временную сложность будем подсчитывать в исполняемых командах: количество арифметических операций, количество сравнений, пересылок (в зависимости от алгоритма). Емкостная сложность будет определяться количеством переменных, элементов массивов, элементов записей или просто количеством байт .
Эффективность алгоритма также будет оцениваться с помощью подсчета времени выполнения алгоритмом конкретно поставленной задачи, т.е. с помощью эксперимента, подробнее об этом в части 2 данной работы.
Самый очевидный алгоритм. Обозначим S - слово, в котором ищется образец X. Пусть m и n - длины слов S и X соответственно. Можно сравнить со словом X все подслова S, которые начинаются с позиций 1,2,...,m-n+1 в слове S; в случае равенства выводится соответствующая позиция (Листинг 1).
Наиболее типичным приложением такой задачи является документальный поиск: задан фонд документов, состоящих из последовательности библиографических ссылок, каждая ссылка сопровождается «дескриптором», указывающим тему соответствующей ссылки. Надо найти некоторые ключевые слова, встречающиеся среди дескрипторов. Мог бы иметь место, например, запрос «Программирование» и «Java». Такой запрос можно трактовать следующим образом: существуют ли статьи, обладающие дескрипторами «Программирование» и «Java».
Поиск строки формально определяется следующим образом. Пусть задан массив Т из N элементов и массив W из M элементов, причем 0
Идея алгоритма:
1. I=1,
2. сравнить I-й символ массива T с первым символом массива W,
3. совпадение → сравнить вторые символы и так далее,
4. несовпадение → I:=I+1 и переход на пункт 2,
Условие окончания алгоритма:
1. подряд М сравнений удачны,
2. I+M>N, то есть слово не найдено.
Сложность алгоритма:
Худший случай. Пусть массив T→{AAA….AAAB}, длина │T│=N, образец W→{A….AB}, длина │W│=M. Очевидно, что для обнаружения совпадения в конце строки потребуется произвести порядка N*M сравнений, то есть O(N*M).
Недостатки алгоритма:
1. высокая сложность - O(N*M), в худшем случае – Θ((N-M+1)*M);
2. после несовпадения просмотр всегда начинается с первого символа образца и поэтому может включать символы T, которые ранее уже просматривались (если строка читается из вторичной памяти, то такие возвраты занимают много времени);
3. информация о тексте T, получаемая при проверке данного сдвига S, никак не используется при проверке последующих сдвигов.
Алгоритм КМП-поиска фактически требует только порядка N сравнений даже в самом плохом случае.
Пример.
(Символы, подвергшиеся сравнению, подчеркнуты.)
После частичного совпадения начальной части образа W с соответствующими символами строки Т мы фактически знаем пройденную часть строки и может «вычислить» некоторые сведения (на основе самого образа W), с помощью которых потом быстро продвинемся по тексту.
Идея КМП-поиска – при каждом несовпадении двух символов текста и образа образ сдвигается на все пройденное расстояние, так как меньшие сдвиги не могут привести к полному совпадению.
Особенности КМП-поиска:
1. требуется порядка (N+M) сравнений символов для получения результата;
2. схема КМП-поиска дает подлинный выигрыш только тогда, когда неудаче предшествовало некоторое число совпадений. Лишь в этом случае образ сдвигается более чем на единицу. К несчастью совпадения встречаются значительно реже чем несовпадения. Поэтому выигрыш от КМП-поиска в большинстве случаев текстов весьма незначителен.
На практике алгоритм БМ-поиска наиболее эффективен, если образец W длинный, а мощность алфавита достаточно велика.
Идея БМ-поиска – сравнение символов начинается с конца образца, а не с начала, то есть сравнение отдельных символов происходит справа налево. Затем с помощью некоторой эвристической процедуры вычисляется величина сдвига вправо s. И снова производится сравнение символов, начиная с конца образца.
Этот метод не только улучшает обработку самого плохого случая, но и даёт выигрыш в промежуточных ситуациях.
Почти всегда, кроме специально построенных примеров, БМ-поиск требует значительно меньше N сравнений. В самых же благоприятных обстоятельствах, когда последний символ образца всегда попадает на несовпадающий символ текста, число сравнений равно (N / M), в худшем же случае – О((N-M+1)*M+ p), где p – мощность алфавита.
Пусть алфавит D={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, то есть каждый символ в алфавите есть d–ичная цифра, где d=│D│.
Пример. Пусть образец имеет вид W = 3 1 4 1 5
Вычисляем значения чисел из окна длины |W|=5 по mod q, q - простое число.
23590(mod 13)=8, 35902(mod 13)=9, 59023(mod 13)=9, …
k1=314157(mod 13) – вхождение образца,
k2=673997(mod 13) – холостое срабатывание.
Из равенства ki= kj (mod q) не следует, что ki= kj (например, 31415=67399(mod 13), но это не значит, что 31415=67399). Если ki= kj (mod q), то ещё надо проверить, совпадают ли строки W и T на самом деле.
Если простое число q достаточно велико, то дополнительные затраты на анализ холостых срабатываний будут невелики.
В худшем случае время работы алгоритма РК - Θ((N-M+1)*M), в среднем же он работает достаточно быстро – за время О(N+M).
Пример: Сколько холостых срабатываний k сделает алгоритм РК, если
q= 11, 13, 17. Пусть W={2 6}
26 mod 11=4 → k =3 холостых срабатывания,
26 mod 13=0 → k =1 холостое срабатывание,
26 mod 17=9 → k =0 холостых срабатываний.
Очевидно, что количество холостых срабатываний k является функцией от величины простого числа q (если функция обработки образца mod q) и, в общем случае, от вида функции для обработки образца W и текста Т.
Абстрактный автомат Мили
Абстрактный синтез 1. Выбор количества триггеров. Так как автомат имеет 5 состояний, то требуется q=]log25[=3 триггера. 2. Кодирование внутренних состояний входных...
Алгоритмы поиска подстроки в строке
Построим конечный автомат, допускающий строку ababaca. Поскольку длина образца m = 7 символов, то в автомате будет m + 1 = 8 состояний. Найдем функцию переходов. В соответствии с определением (1), (q, a) =(Рqа), где -- префикс-функция...
Лексический и синтаксический анализатор языка высокого уровня
Управляющая таблица лексического анализатора для заданной выше грамматики показана в таблице 2. Листинг программы, реализующей данную управляющую таблицу, приведен в приложении А...
Лисп-реализация конечных автоматов
Конечный автомат - в теории алгоритмов математическая абстракция, позволяющая описывать пути изменения состояния объекта в зависимости от его текущего состояния и входных данных, при условии...
Поиск информации в Интернет
Конечный автомат - абстрактный автомат без выходного потока, число возможных состояний которого конечно. Результат работы автомата определяется по его конечному состоянию. Существуют различные варианты задания конечного автомата. Например...
Применение автоматного программирования в жизненной практике
Автоматы удобно описывать с помощью таблиц, а для наглядности использовать графы. При табличном описании задают две таблицы...
Синтез конечного автомата для устройства управления ЭВМ
Обобщенная структурная схема конечного автомата КА (рис.1) содержит запоминающее устройство ЗУ (память на триггерах Т1-Тn) и два комбинационных устройства КУ для формирования сигналов q1, q2,......
Недетерминированный конечный автомат это пятерка A=(Q,V,М,S,Z), где Q - множество (алфавит) внутренних состояний; V - входной алфавит; М - функция переходов...
Синтез конечного распознающего автомата
Детерминированный конечный автомат это пятерка А=(Q,V,М,S,Z), где Q - алфавит состояний; V - входной алфавит; М - функция переходов (Q*VР(Q)); S - начальное состояние; Z - множество заключительных состояний; SZ. В этом автомате...
Синтез конечного распознающего автомата
Программа, моделирующая работу конечного автомата, обеспечивает различение допускаемых и не допускаемых цепочек. Цепочки символов вводятся с клавиатуры компьютера, программа различения цепочек имеет как автоматический...
Процедуру построения недетерминированного автомата по автоматной грамматике: 1. Входным множеством автомата будет терминальное множество грамматики; 2. Множеством состояний автомата будет нетерминальное множество грамматики...
Синтез распознающего автомата
Процедура перехода от недетерминированного автомата к детерминированному: Обозначения: АД - детерминированный автомат АН - недетерминированный автомат 1...
Табличный метод структурного синтеза конечных автоматов
Для задания конечного автомата S необходимо задавать совокупность из пяти объектов: S (A, X, Y, d, d), где A = {a0,a1,a2,.,an} - множество внутренних состояний автомата, X = {x1, x2,…, xm} - множество входных сигналов (входной алфавит), Xi буква входного алфавита, Y = {y1, y2...
Эквивалентность и минимизация конечных автоматов
Разные конечные автоматы могут функционировать одинаково, даже если у них разное число состояний. Важной задачей является нахождение минимального конечного автомата, который реализует заданное автоматное отображение ...
