Имеется определенное количество ресурсов s 0 , которое необходимо распределить между n хозяйствующими субъектами на текущую деятельность в течение рассматриваемого периода (месяц, квартал, полугодие, год и т.д.) с целью получения совокупной максимальной прибыли. Размеры вложений ресурсов x i (;) в деятельность каждого хозяйствующего субъекта кратны некоторой величине h. Известно, что каждый хозяйствующий субъект в зависимости от объема используемых средств x i за рассматриваемый период приносит прибыль в размере f i (x i) (не зависит от вложения ресурсов в другие хозяйствующие субъекты).
Представим процесс распределения ресурсов между хозяйствующими субъектами как n-шаговый процесс управления (номер шага совпадает с условным номером хозяйствующего субъекта). Пусть s k () - параметр состояния, т.е. количество свободных средств после k-го шага для распределения между оставшимися (n - k) хозяйствующими субъектами. Тогда уравнения состояний можно записать в следующем виде:
Введем в рассмотрение функцию - условно оптимальная совокупная прибыль, полученная от k-го, (k+1) - го, …, n-го хозяйствующих субъектов, если между ними оптимальным образом распределялись ресурсы в объеме s k-1 (). Множество возможных управленческих решений относительно размера распределяемых ресурсов на k-ом шаге можно представить следующим образом: .
Тогда рекуррентные уравнения Р.Э. Беллмана (обратная схема) будут иметь вид:
Пример. Имеется определенное количество ресурсов s 0 =100, которое необходимо распределить между n=4 хозяйствующими субъектами на текущую деятельность в течение рассматриваемого периода (месяц) с целью получения совокупной максимальной прибыли. Размеры вложений ресурсов x i (;) в деятельность каждого хозяйствующего субъекта кратны величине h=20 и заданы вектором Q. Известно, что каждый хозяйствующий субъект в зависимости от объема используемых средств x i за рассматриваемый период приносит прибыль в размере f i (x i) () (не зависит от вложения ресурсов в другие хозяйствующие субъекты):
Необходимо определить, какой объем ресурсов нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль была наибольшей.
Решение. Составим рекуррентные уравнения Беллмана (обратную схему):
Определим условные максимумы в соответствии с (13), результаты расчетов представлены в таблице 1.
Таблица 1. Расчет условных оптимумов
|
22+20=42 |
|||||||||||
|
22+33=55 |
17+42=59 |
||||||||||
|
22+46=68 |
17+55=72 |
14+59=73 |
|||||||||
|
67+20=87 |
|||||||||||
По результатам условной оптимизации определим оптимальное распределение ресурсов:
Таким образом, оптимальное распределение ресурсов:
которое обеспечит наибольшую прибыль в размере 87 усл. ден. ед.
Ответ: оптимальное распределение ресурсов: , которое обеспечивает наибольшую прибыль в 87 усл. ден. ед.
Вывод
Динамическое программирование - это область математического программирования, включающая совокупность приемов и средств для нахождения оптимального решения, а также оптимизации каждого шага в системе и выработке стратегии управления, то есть процесс управления можно представить, как многошаговый процесс. Динамическое программирование, используя поэтапное планирование, позволяет не только упростить решение задачи, но и решить те из них, которым нельзя применить методы математического анализа. Упрощение решения достигается за счет значительного уменьшения количества исследуемых вариантов, так как вместо того, чтобы один раз решать сложную многовариантную задачу, метод поэтапного планирования предполагает многократное решение относительно простых задач. Планируя поэтапный процесс, исходят из интересов всего процесса в целом, т.е. при принятии решения на отдельном этапе всегда необходимо иметь в виду конечную цель. Однако динамическое программирование имеет и свои недостатки. В отличие от линейного программирования, в котором симплексный метод является универсальным, в динамическом программировании такого метода не существует. Каждая задача имеет свои трудности, и в каждом случае необходимо найти наиболее подходящую методику решения. Недостаток динамического программирования заключается также в трудоемкости решения многомерных задач. Задача динамического программирования должна удовлетворять два условия. Первое условие обычно называют условием отсутствия последействия, а второе - условием аддитивности целевой функции задачи. На практике встречаются такие задачи планирования, в которых заметную роль играют случайные факторы, влияющие как на состояние системы, так и на выигрыш. Существует разница между детерминированной и стохастической задачами динамического программирования. В детерминированной задаче оптимальное управление является единственным и указывается заранее как жесткая программа действий. В стохастической задаче оптимальное управление является случайным и выбирается в ходе самого процесса в зависимости от случайно сложившейся ситуации. В детерминированной схеме, проходя процесс по этапам от конца к началу, тоже находится на каждом этапе целый ряд условных оптимальных управлений, но из всех этих управлений, в конечном счете осуществлялось только одно. В стохастической схеме это не так. Каждое из условных оптимальных управлений может оказаться фактически осуществленным, если предшествующий ход случайного процесса приведет систему в соответствующее состояние. Принцип оптимальности является основой поэтапного решения задач динамического программирования. Типичными представителями экономических задач динамического программирования являются так называемые задачи производства и хранения, задачи распределения капиталовложений, задачи календарного производственного планирования и другие. Задачи динамического программирования применяются в планировании деятельности предприятия с учетом изменения потребности в продукции во времени. В оптимальном распределении ресурсов между предприятиями в направлении или во времени. Описание характеристик динамического программирования и типов задач, которые могут быть сформулированы в его рамках, по необходимости должно быть очень общим и несколько неопределенным, так как существует необозримое множество различных задач, укладывающихся в схему динамического программирования. Только изучение большого числа примеров дает отчетливое понимание структуры динамического программирования.
Метод динамического программирования позволяет с успехом решать многие экономические задачи (см., например, ). Рассмотрим одну из простейших таких задач. В нашем распоряжении имеется какой-то запас средств (ресурсов) К, который должен быть распределен между предприятиями . Каждое из предприятий при вложении в него каких-то средств приносит доход, зависящий от , т. е. представляющий собой какую-то функцию Все функции заданы (разумеется, эти функции - неубывающие).
Спрашивается, как нужно распределить средства К между предприятиями, чтобы в сумме они дали максимальный доход?
Эта задача легко решается методом динамического программирования. Хотя в своей постановке она не содержит упоминания о времени, можно все же операцию распределения средств мысленно развернуть в какой-то последовательности, считая за первый шаг вложение средств в предприятие за второй - в и т. д.
Управляемая система S в данном случае - средства или ресурсы, которые распределяются. Состояние системы S перед каждым шагом характеризуется одним числом S - наличным запасом еще не вложенных средств. В этой задаче «шаговыми управлениями» являются средства выделяемые предприятиям. Требуется найти оптимальное управление, т. е. такую совокупность чисел при которой суммарный доход максимален:
Решим эту задачу сначала в общем, формульном виде, а потом - для конкретных числовых данных. Найдем для каждого шага условный оптимальный выигрыш (от этого шага и до конца), если мы подошли к данному шагу с запасом средств S. Обозначим условный оптимальный выигрыш , а соответствующее ему условное оптимальное управление - средства, вкладываемые в предприятие, -
Начнем оптимизацию с последнего, шага. Пусть мы подошли к этому шагу с остатком средств S. Что нам делать? Очевидно, вложить всю сумму S целиком в предприятие Поэтому условное оптимальное управление на -м шаге: отдать последнему предприятию все имеющиеся средства S, т. е.
а условный оптимальный выигрыш
Задаваясь целой гаммой значений S (располагая их достаточно тесно), мы для каждого значения S будем знать . Последний шаг оптимизирован.
Перейдем к предпоследнему, шагу. Пусть мы подошли к нему с запасом средств S. Обозначим условный оптимальный выигрыш на двух последних шагах: (который уже оптимизирован). Если мы выделим на шаге предприятию средства то на последний шаг останется Наш выигрыш на двух последних шагах будет равен
и нужно найти такое , при котором этот выигрыш максимален:
Знак означает, что берется максимальное значение по всем какие только возможны (вложить больше, чем S, мы не можем), от выражения, стоящего в фигурных скобках. Этот максимум и есть условный оптимальный выигрыш за два последних шага, а то значение при котором этот максимум достигается, - условное оптимальное управление на шаге.
и соответствующее ему условное оптимальное управление - то значение при котором этот максимум достигается.
Продолжая таким образом, дойдем, наконец, до предприятия Здесь нам не нужно будет варьировать значения S; мы точно знаем, что запас средств перед первым шагом равен К:
Итак, максимальный выигрыш (доход) от всех предприятий найден. Теперь остается только «прочесть рекомендации». То значение при котором достигается максимум (13.4), и есть оптимальное управление на 1-м шаге.
После того как мы вложим эти средства в 1-е предприятие, у нас их останется . «Читая» рекомендацию для этого значения S, выделяем второму предприятию оптимальное количество средств: и т. д. до конца.
А теперь решим численный пример. Исходный запас средств (условных единиц), и требуется его оптимальным образом распределить между пятью предприятиями Для простоты предположим, что вкладываются только целые количества средств. Функции дохода заданы в таблице 13.1.
Таблица 13.1
В каждом столбце, начиная с какой-то суммы вложений, доходы перестают возрастать (реально это соответствует тому, что каждое предприятие способно «освоить» лишь ограниченное количество средств).
Произведем условную оптимизацию так, как это было описано выше, начиная с последнего, 5-го шага. Каждый раз, когда мы подходим к очередному шагу, имея запас средств?, мы пробуем выделить на этот шаг то или другое количество средств, берем выигрыш на данном шаге по таблице 13.1, складываем с уже оптимизированным выигрышем на всех последующих шагах до конца (учитывая, что средств у нас осталось уже меньше, как раз на такое количество средств, которое мы выделили) и находим то вложение, на котором эта сумма достигает максимума. Это вложение и есть условное оптимальное управление на данном шаге, а сам максимум - условный оптимальный выигрыш.
В таблице 13.2 даны результаты условной оптимизации по всем шагам. Таблица построена так: в первом столбце даются значения запаса средств S, с которым мы подходим к данному шагу. Далее таблица разделена на пять пар столбцов, соответственно номеру шага.
Таблица 13.2
В первом столбце каждой пары приводится значение условного оптимального управления, во втором - условного оптимального выигрыша. Таблица заполняется слева направо, сверху вниз. Решение на пятом - последнем - шаге вынужденное: выделяются все средства; на всех остальных шагах решение приходится оптимизировать. В результате последовательной оптимизации 5-го, 4-го, 3-го, 2-го и 1-го шагов мы получим полный список всех рекомендаций по оптимальному управлению и безусловный оптимальный выигрыш W за всю операцию - в данном случае он равен 5,6. В последних двух столбцах таблицы 13.2 заполнена только одна строка, так как состояние системы перед началом первого шага нам в точности известно: . Оптимальные управления на всех шагах выделены рамкой. Таким образом, мы получили окончательный вывод: надо выделить первому предприятию две единицы из десяти, второму - пять единиц, третьему - две, четвертому - ни одной, пятому - одну единицу. При этом распределении доход будет максимален и равен 5,6.
Динамическое программирование (ДП) – это метод нахождения оптимальных решений в задачах с многошаговой (многоэтапной) структурой.
Приведем
общую постановку задачи ДП. Рассматривается
управляемый процесс (распределение
средств между предприятиями, использование
ресурсов в течение ряда лет и т.п.). В
результате управления система (объект
управления) переводится из начального
состояния
в состояние
.
Предположим, что управление можно
разбить на
шагов. На каждом шаге выбирается одно
из множества допустимых управлений
,
переводящее систему в одно из состояний
множества
.
Элементы множества
и
определяются из условий конкретной
задачи. Последовательность состояний
системы можно изобразить в виде графа
состояний, представленного на рис. 3.1.
На
каждом шаге n
достигается эффект
.
Предположим, что общий эффект является
суммой эффектов, достигнутых на каждом
шаге. Тогда задача ДП формулируется
так: определить такое допустимое
управление
,
переводящее систему из состояния
в состояние
,
при котором функция цели
принимает наибольшее (наименьшее)
значение, т.е.
Решение задач методом ДП осуществляется на основе принципа оптимальности, который был сформулирован американским ученым Р.Беллманом: каково бы ни было состояние системы в результате какого-либо числа шагов, на ближайшем шаге нужно выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах, включая данный.
Обозначим
через
условно-оптимальное значение целевой
функции на интервале от шагаn
до последнего
-го
шага включительно, при условии, что
передn
-ым
шагом система находилась в одном из
состояний множества
,
а наn
-ом
шаге было выбрано такое управление из
множества
,
которое обеспечило целевой функции
условно-оптимальное значение, тогда
условно-оптимальное значение целевой
функции в интервале от (n
+1
)-го
до
-го
шага включительно.
В принятых обозначениях принцип оптимальности Беллмана можно записать в математической форме следующим образом
Равенство (3.1) называется основным функциональным уравнением динамического программирования. Для каждой конкретной задачи уравнение имеет особый вид.
Вычислительная процедура метода ДП распадается на два этапа: условную и безусловную оптимизацию.
На этапе условной оптимизации в соответствии с функциональным уравнением определяются оптимальные управления для всех возможных состояний на каждом шаге, начиная с последнего.
На
этапе безусловной
оптимизации
шаги рассматриваются, начиная с первого.
Поскольку исходное состояние
известно, выбирается оптимальное
управление из множества
.
Выбранное оптимальное управление
приводит систему во вполне определенное
состояние
.
Благодаря тому, что исходное состояние
в начале второго шага известно, становится
возможным выбрать оптимальное управление
на втором шаге
и т.д. Таким образом, строится цепь
взаимосвязанных решений безусловной
оптимизации.
Пусть
на реконструкцию и модернизацию основного
производства объединению выделяется
некоторый объем материальных ресурсов
Х
.
Имеется N
предприятий, между которыми нужно
распределить данный ресурс. Обозначим
через
прибыль, которому приносит народному
хозяйству выделениеj
-му
предприятию
единиц ресурса. Предполагается, что
размер прибыли зависит как от выделенного
количества ресурса, так и от предприятия.
Причем прибыль, получаемая предприятиями
измеряется в одних и тех же единицах и
общая прибыль объединения состоит из
прибылей отдельных предприятий.
Необходимо найти оптимальный план
распределения ресурсов между предприятиями,
при котором общая прибыль объединения
будет максимальной.
Поставленную задачу нужно рассмотреть как многошаговую.
На
этапе условной оптимизации будем
рассматривать эффективность вложения
средств на одном (например, на первом
предприятии), на двух предприятиях
вместе (на первом и втором), на трех
предприятиях вместе (на первом, втором
и третьем) и т.д., и наконец, на всех N
предприятиях вместе. Задача состоит в
определении наибольшего значения
функции
при условии, что
.
Воспользуемся
рекуррентным соотношением Беллмана
(3.1), которое для данной задачи приводит
к следующим функциональным уравнениям
при
:
Здесь
функция
определяет максимальную прибыль первого
предприятия при выделении емуx
единиц ресурса, функция
определяет максимальную прибыль первого
и второго предприятий вместе при
выделении имx
единиц ресурса, функция
определяет максимальную прибыль первого,
второго и третьего предприятий вместе
при выделении имx
единиц ресурса и т.д., и наконец, функция
определяет максимальную прибыль всех
предприятий вместе при выделении имx
единиц ресурса.
На этапе безусловной оптимизации определяется оптимальный план распределения ресурсов между предприятиями.
Пример 3.1.
Для
увеличения объемов выпуска пользующейся
повышенным спросом продукции четырем
предприятиям производственного
объединения выделены средства в размере
50 млн. руб. Каждому из предприятий может
быть выделено: 0, 10, 20, 30, 40 или 50 млн. руб.
При этом ежегодный прирост выпуска
продукции каждым из предприятий
в зависимости от капиталовложений
известен и приведен в табл. 3.1.
Таблица 3.1
|
Объем выделенных средств x (млн. руб.) |
Ежегодный прирост выпуска продукции (млн. руб.), в зависимости от объема выделенных средств |
|||
|
|
|
|
|
|
Найти оптимальный план распределения средств между предприятиями, обеспечивающий максимальный ежегодный прирост выпуска продукции производственным объединением.
Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для решения задачи оптимального распределения ресурсов заданных в виде функций f(x) . Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word (см. ).Инструкция . Выберите количество предприятий.
Пример №1 . Планируется работа двух предприятий на n лет. Начальные ресурсы равны s0. Средства x, вложенные в 1-е предприятие в начале года, дают в конце года прибыль f1(x), и возвращаются в размере g1(x). Средства y, вложенные в 2-е предприятие в начале года, дают в конце года прибыль f2(y) и возвращаются в размере g2(y). В конце года возвращенные средства заново перераспределяются между отраслями. Определить оптимальный план распределения средств и найти максимальную прибыль.
Задачу решим методом динамического программирования. Операцию управления производственным процессом разобьём на этапы. На каждом из них управление выберем так, чтобы оно приводило к выигрышу как на данном этапе, так и на всех последующих до конца операции. В этом состоит принцип оптимальности
, сформулированный американским математиком А. Беллманом.
Разобьём весь период на три этапа по годам и будем нумеровать их, начиная с первого.
Обозначим через x k
и y k
количество средств выделяемых каждому предприятию на k-ом этапе, а через x k
+ y k
= a k
- общее количество средств на этом этапе. Тогда первое предприятие приносит на этом этапе 3 x k
, а второе 4 y k
единиц дохода. Общий доход на k-ом этапе 3x k
+ 4y k
.
Обозначим через f
k (a
k) - максимальный доход, который получает отрасль от обоих предприятий на k-ом и всех последующих. Тогда функциональное уравнение, отражающее принцип оптимальности Беллмана, принимает вид:
f k (a k)=
max{3
x k + 4
y k +
f k +1 (a k +1)}.
(1)
Так как x k + y k = a k , то
y k = a k - x k и
3x k + 4y k = 3x k + 4(a k - x k) = - x k + 4a k . Поэтому
f k (a k) = max{-x k + 4a k + f k+1 (ak+1)}
. (2)
0 ≤ x k ≤ a k
Кроме того, ak - это средства выделяемые обои предприятиям на k-ом этапе, и они определяются остатком средств, получаемых на предыдущем (k-1)-ом этапе. Поэтому по условию задачи оптимальное управление на каждом этапе
a k = 0,5
x k -1 + 0,2
y k -1 = 0,5
x k -1 +0,2(a k -1 -
x k -1) = 0,3
x k -1 +0,2
a k -1 .
(3)
I.Условия оптимизации
Планирование начинаем с последнего третьего этапа
При k
=
3
получаем из (2)
f 3 (a 3) = max {- x 3 + 4a 3 + f 4 (a 4)}
0 ≤ x 3 ≤ a 3
Так как четвёртого этапа нет, то f 4 (a 4)=0
и
f 3 (a 3) = max {- x 3 + 4a 3 }=4a 3
0 ≤ x 3 ≤ a 3
(максимум выражения (-
x 3 + 4
a 3
) будет при x 3 =0)).
Итак, для третьего последнего этапа имеем: f 3 (a 3) = 4
a 3 ,
x 3 = 0,
y 3 =
a 3 -
x 3 =
a 3 ,
где a
3 = 0,3x 2
+ 0,2a 2 ,
что следует из формулы (3).
При k = 2
из (2) и (3) получаем:
f(a 2) = max {-x 2 + 4a 2 + f 3 (a 3)}=
0 ≤ x ≤ a 2
= max {-x 2 + 4a 2 + 4a 3 }= max {-x 2 + 4a 2 + 4(0,3x 2
+ 0,2a 2)} max{0,2x 2 + 4,8a 2 } 5a
0 ≤ x ≤ a
2
т. к. максимум выражения (0,2
x 2 + 4,8
a 2
) будет при x 2 =
a 2
.
То для второго этапа имеем: f 2 (a 2) = 5a 2 , x 2 = a 2 , y 2 = a 2 x 2 = 0 , при этом
a 2 = 0,3x 1 + 0,2a 1 с учетом (3).
При k = 1
с учетом (2) и (3) получаем:
f 1 (a 1) = max {-x 1 + 4a 1 + f 2 (a 2)}=
0 ≤ x ≤ a 1
= max {-x 1 + 4a 1 + 5a 2 }= max {-x 1 + 4a 2 + 5(0,3x 1 + 0,2a 2)}= max {0,5x 1 + 5a 1 }=5,5a 1
0 ≤ x ≤ a
1
при x 1 = a 1
.
Итак, для первого этапа f 1 (a 1) = 5,5
a 1 ,
x 1 =
a 1 ,
y 1 = 0.
Процесс закончен. На первом этапе общее количество распределяемых средств известно -a 1
= 900 ед. Тогда максимальный доход, получаемый обоими предприятиями за три года составит f 1 (a 1) = 5,5*900 = 4950 ден. ед.
II. Безусловная оптимизация
Выясним, каким должно быть оптимальное управление процессом выделения средств между первым и вторым предприятиями для получения максимального дохода в количестве 4950 ден. ед.
1-й год.
Так как x 1 =
a 1
и ,
y 1 = 0,
то все средства в количестве 900 ден. ед. отдаются первому предприятию.
2-й год.
Выделяются средства a 2 = 0,3x 1 + 0,2a 1 = 0,5 a 1
=450 ед., x 2 = a 2 , y 2 = 0.
Все они передаются первому предприятию.
3-й год
. Выделяются средства a
3 = 0,3x 2
+ 0,2a 2
= 0,5 a 2
= 225 ед., x 3 = 0,
y 3 =
a 3
. Все они передаются второму предприятию.
Результаты решения представим в виде таблицы.
| Период | Средства | Предприятие №1 | Предприятие №2 | Остаток | Доход |
| 1 | 900 | 900 | 0 | 450 | 2700 |
| 2 | 450 | 450 | 0 | 225 | 1350 |
| 3 | 225 | 0 | 225 | 45 | 900 |
| 4950 |
Краткая теория
Динамическое программирование (иначе - динамическое планирование) - это метод нахождения оптимальных решений в задачах с многошаговой (многоэтапной) структурой. Многие экономические процессы расчленяются на шаги естественным образом. Это все процессы планирования и управления, развиваемые во времени. Естественным шагом в них может быть год, квартал, месяц, декада, неделя, день и т. д. Однако метод динамического программирования может использоваться при решении задач, где время вообще не фигурирует; разделение на шаги в таких задачах вводится искусственно. Поэтому «динамика» задач динамического программирования заключается в методе решения.
В экономической практике встречается несколько типов задач, которые по постановке или способу решения относятся к задачам динамического программирования. Это задачи оптимального перспективного и текущего планирования во времени. Их решают либо путем составления комплекса взаимосвязанных статических моделей для каждого периода, либо путем составления единой динамической задачи оптимального программирования с применением многошаговой процедуры принятия решений. К задачам динамического программирования следует отнести задачи многошагового нахождения оптимума при размещении производительных сил, а также оптимального быстродействия.
Типичные особенности многошаговых задач.
1. Рассматривается система, состояние которой на каждом шаге определяется вектором . Дальнейшее изменение ее состояния зависит только от данного состояния и не зависит от того, каким путем система пришла в него. Такие процессы называются процессами без последействия.
2. На каждом шаге выбирается одно решение , под действием которого система переходит из предыдущего состояния в новое . Это новое состояние является функцией состояния на начало интервала и принятого в начале интервала решения т. е.
3. Действие на каждом шаге связано с определенным выигрышем (доходом, прибылью) или потерей (издержками), которые зависят от состояния на начало шага (этапа) и принятого решения.
4. На векторы состояния и управления могут быть наложены ограничения, объединение которых составляет область допустимых решений .
5. Требуется найти такое допустимое управление для каждого шага , чтобы получить экстремальное значение функции цели за все шагов.
Любую многошаговую задачу можно решать по-разному. Во-первых, можно считать неизвестными величинами щ и находить экстремум целевой функции одним из существующих методов оптимизации, т. е. искать сразу все элементы решения на всех шагах. Отметим, что этот путь не всегда приводит к цели, особенно когда целевая функция задана в виде таблиц или число переменных очень велико. Второй путь основан на идее проведения оптимизации поэтапно. Поэтапность отнюдь не предполагает изолированности в оптимизации этапов. Наоборот, управление на каждом шаге выбирается с учетом всех его последствий. Обычно второй способ оптимизации оказывается проще, чем первый, особенно при большом числе шагов. Идея постепенной, пошаговой оптимизации составляет суть метода динамического программирования. Оптимизация одного шага, как правило, проще оптимизации всего процесса в целом. Лучше много раз решать сравнительно простую задачу, чем один раз - сложную.
С первого взгляда идея может показаться тривиальной: если трудно оптимизировать сложную задачу, то следует разбить ее на ряд более простых. На каждом шаге оптимизируется задача малого размера, что уже нетрудно. При этом принцип динамического программирования вовсе не предполагает, что каждый шаг оптимизируется изолированно, независимо от других. Напротив, пошаговое управление должно выбираться с учетом всех его последствий.
Можно сформулировать следующие принципы, лежащие в основе динамического программирования: принцип оптимальности и принцип погружения.
Оптимальное управление на каждом шаге определяется состоянием системы на начало этого шага и целью управления. Или в развернутой форме: оптимальная стратегия обладает таким свойством, что, каковы бы ни были начальное состояние и начальные решения, последующие решения должны приниматься исходя из оптимальной стратегии с учетом состояния, вытекающего из первого решения. Этот принцип имеет довольно простую математическую интерпретацию, выражающуюся в составлении определенных рекуррентных соотношений (функциональных уравнений Р. Беллмана).
Природа задачи, допускающей использование метода динамического программирования не меняется при изменении количества шагов , т. е. форма такой задачи инвариантна относительно . В этом смысле всякий конкретный процесс с заданным числом шагов оказывается как бы погруженным в семейство подобных ему процессов и может рассматриваться с позиции более широкого класса задач.
Реализация названных принципов дает гарантию того, что решение, принимаемое на очередном шаге, окажется наилучшим относительно всего процесса в целом, а не узких интересов данного этапа. Последовательность пошаговых решений приводит к решению исходной -шаговой задачи.
Дадим математическую формулировку принципа оптимальности для задач с аддитивным критерием оптимальности (сепарабельная функция цели). Для простоты будем считать, что начальное и конечное состояния системы заданы. Обозначим через значение функции цели на первом этапе при начальном состоянии системы и при управлении , через -соответствующее значение функции цели только на втором этапе, …., через - на этапе, …, через - на -м этапе. Очевидно, что
Надо найти оптимальное управление такое, что доставляет экстремум целевой функции при ограничениях .
Для решения этой задачи погружаем ее в семейство подобных. Введем обозначения. Пусть - соответственно области определения для подобных задач на последнем этапе, двух последних и т.д.; - область определения исходной задачи. Обозначим через
соответственно условно-оптимальные значения функции цели на последнем этапе, двух последних и т.д., на последних и т.д., на всех этапах.
Начинаем с последнего этапа. Пусть - возможные состояния системы на начало -го этапа. Находим:
Для двух последних этапов получаем:
Аналогично:
…………………….
…………………….
Выражение (5) представляет собой математическую запись принципа оптимальности. Выражение (4) - общая форма записи условно-оптимального значения функции цели для оставшихся этапов. Выражения (1)-(5) называются функциональными уравнениями Беллмана. Отчетливо просматривается их рекуррентный (возвратный) характер, т.е. для нахождения оптимального управления на шагах нужно знать условно-оптимальное управление на предшествующих этапах и т.д. Поэтому функциональные уравнения часто называются рекуррентными (возвратными) соотношениями Беллмана.
Пример решения задачи
Производственное объединение выделяет четырем входящим в него предприятиям кредит в сумме 100 млн.ден.ед. для расширения производства и увеличения выпуска продукции. По каждому предприятию известен возможный прирост выпуска продукции (в денежном выражении) в зависимости от выделенной ему суммы . Для упрощения вычислений выделяемые суммы кратны 20 млн.ден.ед. При этом предполагаем, что прирост продукции на предприятии не зависит от суммы средств, вложенных в другие предприятия, а общий прирост выпуска в производственном объединении равен сумме приростов, полученных на каждом предприятии объединения.
Требуется найти оптимальное решение распределения кредита между предприятиями, чтобы общий прирост выпуска продукции на производственном объединении был максимальным.
| Выделяемые средства , млн.ден.ед. | Предприятие | №1 | №2 | №3 | №4 | Прирост выпуска продукции на предприятиях млн.ден.ед. | 20 | 10 | 12 | 11 | 16 | 40 | 31 | 24 | 36 | 37 | 60 | 42 | 36 | 45 | 46 | 80 | 62 | 52 | 60 | 63 | 100 | 76 | 74 | 77 | 80 |
Если сроки со сдачей контрольной работы поджимают, на сайте всегда можно заказать cрочное решение задач по методам оптимальных решений .
Динамическое программирование представляет собой многоэтапный поиск оптимального решения. Оптимизация многошагового процесса базируется на принципе оптимальности Р. Беллмана.
Вычисления в динамическом программировании выполняются рекуррентно - оптимальное решение одной подзадачи используется в качестве исходных данных для поиска оптимального решения следующей подзадачи. Решив последнюю подзадачу, мы получим оптимальное решение исходной задачи.
| Выделяемые средства | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 20 | 10 | 12 | 11 | 16 | 40 | 31 | 24 | 36 | 37 | 60 | 42 | 36 | 45 | 46 | 80 | 62 | 52 | 60 | 63 | 100 | 76 | 74 | 77 | 80 |
В соответствии с вычислительной схемой динамического программирования рассмотрим сначала случай , т.е. предположим, что все имеющиеся средства выделяются на реконструкцию и модернизацию одного предприятия. Обозначим через максимально возможный дополнительный доход на этом предприятии, соответствующий выделенной сумме . Каждому значению отвечает вполне определенное (единственное) значение дополнительного дохода, поэтому можно записать, что:
Пусть теперь , т.е. средства распределяются между двумя предприятиями. Если второму предприятию выделена сумма , то дополнительный доход на нем составит . Оставшиеся другому предприятию средства в зависимости от величины (а значит, и ) позволят увеличить дополнительный доход до максимально возможного значения . При этом условии общий дополнительный доход на двух предприятиях:
Пусть теперь , т.е. средства распределяются между тремя предприятиями. Если третьему предприятию выделена сумма , то дополнительный доход на нем составит . Оставшиеся средства в зависимости от величины (а значит, и ) позволят увеличить дополнительный доход до максимально возможного значения . При этом условии общий дополнительный доход на трех предприятиях:
Пусть теперь , т.е. средства распределяются между четырьмя предприятиями. Если четвертому предприятию выделена сумма , то дополнительный доход на нем составит . Оставшиеся средства в зависимости от величины (а значит, и ) позволят увеличить дополнительный доход до максимально возможного значения . При этом условии общий дополнительный доход на четырех предприятиях:
Оптимальный план распределения между 4 предприятиями 100 единиц ресурса:
| 0 | 20 | 40 | 40 |
При этом суммарный прирост продукции достигнет максимальной величины, равной 85.
Средняя стоимость решения контрольной работы 700 - 1200 рублей (но не менее 300 руб. за весь заказ). На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Стоимость онлайн-помощи на экзамене/зачете - от 1000 руб. за решение билета.
Все вопросы по стоимости можете задать прямо в чат, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.
Примеры близких по теме задач
Основная модель управления запасами
На примере решения задачи рассмотрена основная модель управления запасами (модель Уилсона). Вычислены такие показатели модели как оптимальный размер партии заказа, годовые затраты на хранение, интервал между поставками и точка размещения заказа.
Задача квадратичного программирования
Приведен образец решения задачи квадратичного выпуклого программирования графическим методом.
Игры в смешанных стратегиях
Содержит изложенные в краткой и доступной форме теоретические сведения о матричной игре без седловой точки и способе сведения такой задачи к задаче линейного программирования, для отыскания ее решения в смешанных стратегиях. Приведен пример решения задачи.
