H() – частотно-зависимая комплексная функция. Ее модуль называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а арктангенс отношения мнимой и вещественной частей – фазо-частотной характеристикой (ФЧХ). На векторной диаграмме представлена геометрическая интерпретация передаточной функции. С ее помощью легко понять, как получаются выражения для АЧХ и ФЧХ.

Поскольку выражения для АЧХ и ФЧХ содержат частотно-зависимые компоненты, естественно, что обе эти характеристики частотно-зависимые (отсюда их названия). По сути, именно эту особенность мы и используем для фильтрации.

Рассмотрим выражения для АЧХ в двух крайних точках. При частоте = 0 на входе имеем постоянный ток, значение АЧХ стремится к нулю вследствие большой величины знаменателя. В другой крайней точке частотастремится к бесконечности, а значение АЧХ приближается к единице. Это дает нам представление о поведении АЧХ как функции частоты.

Еще одной важной точкой на графике АЧХ является «частота среза». Она задается как точка, в которой значение АЧХ падает до (1/
) от своей величины в полосе пропускания, и обычно называется «точкой 3 дБ». Ее можно рассчитать, используя выражение для АЧХ, после возведения в квадрат обеих частей равенства. Частота срезаf c = 1/2RC указывает на точку перегиба в ФЧХ фильтра. У ФВЧ, за частотой среза практически отсутствует затухание входного сигнала.

ФЧХ можно рассчитать по соответствующему выражению. ФЧХ начинается с 90-градусным опережением на низких частотах и падает до 45 о на частоте среза. За частотой среза и далее, в направлении более высоких частот, сдвиг фазы продолжает падать. Во всех реальных приложениях нас интересует поведение ФЧХ в полосе пропускания. В данном конкретном случае ФЧХ в полосе пропускания изменяется от 45 о (опережение фазы) до 0 о. Возможно, что это отвечает требованиям для ряда приложений, например таких, как низкокачественная запись речи.

1. Фильтр нижних частот

Простой ФНЧ представляет собой RC-цепочку, состоящую из конденсатора и резистора. Характеристики ФНЧ очень похожи на характеристики ФВЧ, который мы только что рассмотрели. Единственная разница заключается в том, что они повернуты по частоте в обратном направлении (реверсируются), как и ожидалось. АЧХ опускается ниже единицы за частотой среза. Фаза выходного сигнала отстает от фазы входного сигнала на 45 о на частоте среза, и это отставание возрастает до 90 о на более высоких частотах.

Мы познакомились с двумя очень простыми фильтрами. Теперь мы знаем, что сигнал ослабляется на определенных частотах, а фаза выходного сигнала изменяется с частотой. Но как убедиться в том, что характеристики фильтра отвечают нашим целям? Что является критерием при сравнении характеристик фильтров?

Теперь определимся с терминологией и сформулируем некоторые требования к характеристикам фильтров.

1. Ачх в дБ и частота в декадах

Диапазон возможных чисел будет больше, а количество нулей в записи числа меньше, если представлять числа в логарифмическом масштабе. Традиционно АЧХ фильтров представляется в децибелах (дБ). Децибел определяется следующим образом: АЧХ (дБ) = 20 lg (АЧХ).

Декада – это единица измерения, используемая для частоты, которая, аналогично децибелам, позволяет охватить больший диапазон частот нетривиальным способом. Например, спад 20 дБ/декада означает, что затухание фильтра увеличивается на 20 дБ за каждую декаду частоты ) .

Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики (АЧХ и ФЧХ).

АЧХ представляет собой зависимость модуля коэффициента усиления от частоты входного сигнала, ФЧХ – зависимость угла сдвига фаз между входным и выходным напряжением от частоты.

Типовая АЧХ приведена на рис.5, а ФЧХ на рис. 6.

Рис. 5. Амплитудо-частотная характеристика усилителя.

На рис. 5 f Н и f В - нижняя и верхняя граничные частоты, за пределами которых коэффициент усиления усилителя уменьшается в раз по сравнению с коэффициентом усиления на средней частоте, а (f В - f Н) – полоса пропускания усилителя.

При усилении сигналов сложной формы, содержащей ряд гармонических составляющих, могут возникнуть искажения, так как гармоники усиливаются неодинаково из-за наличия реактивных элементов в схеме усилителя. Искажения, возникающие при этом, называются частотными и характеризуются коэффициентом частотных искажений М. Определяют искажения на нижней и верхней частотах:

М Н = К О / К Н и М В = К О /К В. , где К Н и К В – коэффициенты усиления на нижней и верхней граничных частотах. Амплитудно-частотная характеристика может быть построена в логарифмическом масштабе (ЛАЧХ). При этом, коэффициент усиления выражается в дБ, а по оси абсцисс откладывают частоты в логарифмическом масштабе.

Фазовые искажения возникают при сдвиге по фазе различных гармонических составляющих при усилении сигнала. Типовая ФЧХ приведена на рис. 6. Она также может быть построена в логарифмическом масштабе.

Рис. 6. Фазо-частотная характеристика усилителя.

Переходная характеристика усилителя представляет собой зависимость выходного сигнала (тока или напряжения) от времени при воздействии скачкообразного (импульсного) напряжения на входе. Вид переходной характеристики представлен на рис.5, где “δ” определяет выброс фронта выходного импульса, а “Δ” - спад вершины импульса.

3.3 Примеры расчета

Для звеньев, заданных передаточными функциями

, ,

построить частотные характеристики при различных значениях постоянных времени и коэффициента усиления.

Пример 1. Рассмотрим реальное дифференцирующее звено.

1. Передаточная функция реального дифференцирующего звена: , откуда –

,

откуда .

Получили: .

3. Подставляя значения k = 2, T = 3 , строим амплитудно-фазовуючастотнуюхарактеристикупри w , изменяющемся от 0

до ¥ (рис. 2).

Рисунок 2. Амплитудно-фазовые частотные характеристики

5. Задаваясь значениями w из интервала от 0 до 6, с шагом 0,1, строим амплитудно-частотную характеристику (рис. 3).

Рисунок 3. Амплитудно-частотные характеристики

реального дифференцирующего звена

6. Фазовая частотная характеристика имеет вид:

7. Задаваясь значениями w из интервала от 0 до 6, с шагом 0,1, строим фазово-частотную характеристику рис. 4.

8. Изменяя значение k = 4 , при прежнем T = 3 , строим w , изменяющемся от 0 до ¥ (см. рис. 2).

9. Амплитудная частотная характеристика при w от 0 до 6, с шагом 0,1 рис. 3.

10. Так как фазовая частотная характеристика имеет вид: , т.е. не зависит от коэффициента усиления, то график фазово-частотной характеристики при изменении коэффициента усиления меняться не будет (см. рис. 4).

Рисунок 4. Фазовые частотные характеристики

реального дифференцирующего звена

11. Изменяя значение T = 1 , при первоначальном , k = 2 строим амплитудно-фазовую частотную характеристику при w , изменяющемся от 0 до ¥ (см. рис. 2).

12. Амплитудная частотная характеристика при w от 0 до 6, с шагом 0,1 (см. рис. 3).

13. Фазово-частотная характеристика при w от 0 до 6, с шагом 0,1 (см. рис. 4).

Пример 2. Рассмотрим апериодическое звено второго порядка.

1. Передаточная функция апериодического звена второго порядка: . Заменив р на jω , получим: – амплитудно-фазовая частотная характеристика.

2. Освобождаемся от иррациональности в знаменателе. Для этого числитель и знаменатель домножаем на , получим:

откуда .

Получили:

, .

3. Подставляя значения k = 2, T 1 = 3, T 2 = 5 , строим амплитудно-фазовую частотную характеристику при w , изменяющемся от 0 до ¥ (рис. 5).

Рисунок 5. Амплитудно-фазовые частотные характеристики

апериодического звена второго порядка

4. Амплитудная частотная характеристика:

Задаваясь значениями w из интервала от 0 до 7 с шагом 0,1, строим амплитудно-частотную характеристику, (см. рис. 7).

5. Фазовая частотная характеристика имеет вид:

Задаваясь значениями w из интервала от 0 до 7 с шагом 0,1, строим фазово-частотную характеристику (рис. 6).

Рисунок 6. Фазово-частотные характеристики

апериодического звена второго порядка

Изменяя значение k = 4, при прежнем T 1 = 3, T 2 = 5, строим амплитудно-фазо-частотную характеристику при w , изменяющемся от 0 до ¥ (см. рис. 5).

6. Амплитудно-частотная характеристика при w от 0 до 7 с шагом 0,1 (рис. 7).

Рисунок 7. Амплитудно-частотные характеристики

апериодического звена второго порядка

7. Так как фазовая частотная характеристика имеет вид:

т.е. не зависит от коэффициента усиления, то фазово-частотная характеристика не изменится (см. рис. 6).

8. Изменяя значения T 1 = 1, T 2 = 2 ,припервоначальном , k = 2 строим амплитудно-фазо-частотную характеристику при w , изменяющемся от 0 до ¥ (см. рис. 5).

9. Амплитудная частотная характеристика при и задания

1. Назовите динамические характеристики объекта?

2. В каких формах может быть представлена частотная передаточная функция?

3. Как представляется частотная передаточная функции на комплексной плоскости?

4. Дать определение амплитудно-частотной характеристике.

5. Дать определение фазовой частотной характеристике.

6. Каков алгоритм построения частотных характеристик?

Я купил bluetooth-наушники Motorola Pulse Escape. Звучание в целом понравилось, но остался непонятен один момент. Согласно инструкции, в них имеется переключение эквалайзера. Предположительно, наушники имеют несколько вшитых настроек, которые переключаются по кругу. К сожалению, я не смог определить на слух, какие там настройки и сколько их, и решил выяснить это при помощи измерений.

Итак, мы хотим измерить амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) наушников — это график, который показывает, какие частоты воспроизводятся громче, а какие — тише. Оказывается, такие измерения можно произвести «на коленке», без специальной аппаратуры.

Нам понадобится компьютер с Windows (я использовал ноутбук), микрофон, а также источник звука — какой-нибудь плеер с bluetooth (я взял смартфон). Ну и сами наушники, конечно.

(Под катом — много картинок).

Подготовка

Вот такой микрофон у меня нашёлся среди старых гаджетов. Микрофон копеечный, для разговоров, не предназначенный ни для записи музыки, ни тем более не для измерений.

Конечно, такой микрофон имеет свою АЧХ (и, забегая вперёд, диаграмму направленности), поэтому сильно исказит результаты измерений, но для поставленной задачи подойдёт, потому что нас интересуют не столько абсолютные характеристики наушников, сколько то, как они изменяются при переключении эквалайзера.

У ноутбука имелся всего один комбинированный аудиоразъём. Подключаем туда наш микрофон:

Windows спрашивает, что за прибор мы подключили. Отвечаем, что это микрофон:

Windows — немецкий, извините. Я ведь обещал использовать подручные материалы.

Тем самым единственный аудиоразъём оказывается занятым, поэтому и нужен дополнительный источник звука. Скачиваем на смартфон специальный тестовый аудиосигнал — так называемый розовый шум. Розовый шум — это звук, содержащий весь спектр частот, причём равной мощности по всему диапазону. (Не путайте его с белым шумом! У белого шума другое распределение мощности, поэтому его нельзя использовать для измерений, это грозит повреждением динамиков).

Настраиваем уровень чувствительности микрофона. Нажимаем правую кнопку мыши на значке громкоговорителя в Windows и выбираем регулировку устройств записи:

Находим наш микрофон (у меня он получил название Jack Mic):

Выбираем его в качестве устройства записи (птичка в зелёном кружочке). Выставляем ему уровень чувствительности поближе к максимуму:

Microphone Boost (если есть) убираем! Это автоматическая подстройка чувствительности. Для голоса — хорошо, а при измерениях будет только мешать.

Устанавливаем на ноутбук измерительную программу. Я люблю TrueRTA за возможность видеть сразу много графиков на одном экране. (RTA — по-английски АЧХ). В бесплатной демо-версии программа измеряет АЧХ с шагом в октаву (то есть соседние точки измерения отличаются по частоте в 2 раза). Это, конечно, очень грубо, но для наших целей сойдёт.

При помощи скотча закрепляем микрофон около края стола, так чтобы его можно было накрыть наушником:

Важно зафиксировать микрофон, чтобы не сдвинулся в процессе измерений. Подсоединяем наушники проводом к смартфону и кладём одним наушником поверх микрофона, так чтобы плотно закрыть его сверху — примерно так наушник охватывает человеческое ухо:

Второй наушник свободно висит под столом, из него мы будем слышать включённый тестовый сигнал. Убеждаемся, что наушники лежат стабильно, их тоже нельзя сдвигать в процессе измерений. Можно начинать.

Измерения

Запускаем программу TrueRTA и видим:

Основная часть окна — поле для графиков. Слева от него находятся кнопки генератора сигналов, он нам не понадобится, потому что у нас внешний источник сигнала, смартфон. Справа — настройки графиков и измерений. Сверху — ещё кое-какие настройки и управление. Ставим белый цвет поля, чтобы лучше видеть графики (меню View → Background Color → White).

Выставляем границу измерений 20 Hz и количество измерений, скажем, 100. Программа будет автоматически делать указанное количество измерений подряд и усреднять результат, для шумового сигнала это необходимо. Выключаем отображение столбчатых диаграмм, пусть вместо них рисуются графики (кнопка сверху с изображением столбиков, отмечена на следующем скриншоте).

Сделав настройки, производим первое измерение — это будет измерение тишины. Закрываем окна и двери, просим детей помолчать и нажимаем Go:

Если всё сделано правильно, в поле начнёт вырисовываться график. Подождём, пока он стабилизируется (перестанет «плясать» туда-сюда) и нажмём Stop:

Видим, что «громкость тишины» (фоновых шумов) не превышает -40dBu, и выставляем (регулятор dB Bottom в правой части окна) нижнюю границу отображения в -40dBu, чтобы убрать фоновый шум с экрана и покрупнее видеть график интересующего нас сигнала.

Теперь будем измерять настоящий тестовый сигнал. Включаем плеер на смартфоне, начав с малой громкости.

Запускаем измерение в TrueRTA кнопкой Go и постепенно прибавляем громкость на смартфоне. Из свободного наушника начинает доноситься шипящий шум, а на экране возникает график. Добавляем громкость, пока график не достигнет по высоте примерно -10...0dBu:

Дождавшись стабилизации графика, останавливаем измерение кнопкой Stop в программе. Плеер тоже пока останавливаем. Итак, что мы видим на графике? Неплохие басы (кроме самых глубоких), некоторый спад к средним частотам и резкий спад к верхним частотам. Напоминаю, что это не настоящая АЧХ наушников, свой вклад вносит микрофон.

Этот график мы возьмем в качестве эталонного. Наушники получали сигнал по проводу, в этом режиме они работают как пассивные динамики без всяких эквалайзеров, их кнопки не действуют. Занесём график в память номер 1 (через меню View → Save to Memory → Save to Memory 1 или нажав Alt+1). В ячейках памяти можно сохранять графики, а кнопками Mem1..Mem20 в верхней части окна включать или отключать показ этих графиков на экране.

Теперь отсоединяем провод (как от наушников, так и от смартфона) и подключаем наушники к смартфону по bluetooth, стараясь не сдвинуть их на столе.

Снова включаем плеер, запускаем измерение кнопкой Go и, регулируя громкость на смартфоне, приводим новый график по уровню к эталонному. Эталонный график изображён зелёным, а новый — синим:

Останавливаем измерение (плеер можно не выключать, если не раздражает шипение из свободного наушника) и радуемся, что по bluetooth наушники выдают такую же АЧХ, как по проводу. Заносим график в память номер 2 (Alt+2), чтоб не ушёл с экрана.

Теперь переключаем эквалайзер кнопками наушников. Наушники рапортуют бодрым женским голосом «EQ changed». Включаем измерение и, дождавшись стабилизации графика, видим:

Хм. Кое-где есть отличия в 1 децибел, но это как-то несерьёзно. Скорее похоже на погрешности измерений. Заносим и этот график в память, переключаем эквалайзер ещё раз и после измерения видим ещё один график (если очень хорошо присмотреться):

Ну, вы уже поняли. Сколько я ни переключал эквалайзер на наушниках, никаких изменений это не давало!

На этом, в принципе, можно заканчивать работу и делать вывод: у этих наушников работающего эквалайзера нет . (Теперь понятно, почему его не получалось услышать).

Однако тот факт, что мы не увидели никаких изменений в результатах, огорчает и даже вызывает сомнения в правильности методики. Может, мы измеряли что-то не то?

Бонусные измерения

Чтобы убедиться, что мы измеряли АЧХ, а не погоду на Луне, давайте покрутим эквалайзер в другом месте. У нас же есть плеер в смартфоне! Воспользуемся его эквалайзером:

Эти характеристики полностью определяют структуру частотного спектра выходного напряжения. Амплитудно-частотная характеристика отражает усилительные свойства электрической цепи. Фазо-частотная характеристика определяет фазовый сдвиг выходного напряжения относительно входного.

В комплексной форме (3) выделяем вещественную P (ω ) и мнимуюQ (ω ) части

Амплитудно-частотная характеристика:

Фазо-частотная характеристика

(5)

Где параметр φ * подбирается так, чтобы обеспечить непрерывность функцииφ (ω ) при том значенииω к , при котором обращается в нуль знаменатель в аргументе арктангенса, т.е.

Рис. 6. Характеристики цепи: а – амплитудно-частотная; б–фазо-частотная

1. Определение устойчивости

Условие устойчивости состояния покоя электрической цепи заключается в том, что после прекращения действия внешних возмущений цепь возвращается в исходное состояние. Для этого необходимо, чтобы возникающие в цепи при нарушении состояния покоя переходные токи и напряжения были затухающими. Энергия переходного процесса преобразуется в активных сопротивлениях цепи в теплоту, которая отводится в окружающую среду. Достаточное условие устойчивости электрической цепи: если корни числителя – нули и корни знаменателя – полюса передаточной функции HU(p) = A(p)/B(p) имеют отрицательную вещественную часть, то цепь устойчива.

Bнашем случае имеется двукратный корень числителя (2),p =0, что является нейтральным условием по отношению к устойчивости. Приравняв нулю знаменатель (2) и решив полученное уравнение

найдем два комплексно-сопряжённых его корня:

. (6)

Это полюса передаточной функции. Отобразим положение полюсов и нулей фнкции на комплексной плоскости. Т.к. полюса (их отмечают крестиком) расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости корней (рис. 7), это означает, что переходные процессы в цепи затухают и цепь устойчивая.

Рис.7. Полюса и нуль функции H U (p ) на комплексной плоскости

1. Определение реакции цепи на периодическое негармоническое входное воздействие

Фильтрующие свойства цепи во временной области проявляются в виде реакции цепи на периодическое несинусоидальное воздействие или воздействие более сложной формы. Разложение входного напряжения в бесконечный тригонометрический ряд Фурье имеет вид

Ограничим ряд Фурье первыми пятью гармониками.

Частоту внешнего воздействия подберем исходя из того условия, чтобы в диапазоне от ω 1 до 9ω 1 зависимостьH U (ω ) претерпевала существенное изменение. Для рассматриваемого варианта можно принятьf 1 =1000 Гц,T 1 =10 -3 c. Амплитуду воздействия выберемU m =1В.

У гармоник с нечётными номерами начальная фаза нулевая, с чётными – равная π. Занесём в таблицу характеристики первых пяти гармоник разложения входного сигнала:

№ гармоники	Цикл. частота, с -1	Амплитуда, В	Начальная фаза, рад

Построим амплитудный и фазовый частотные спектры входного воздействия. Амплитудный и фазовый спектры первых гармоник напряжения U 1 (t ) даны на рисунке:

a)б)

Рис.8. Амплитудный (а) и фазовый (б) частотные спектры входного воздействия.

Рис. 9. Первые гармоники входного напряжения (1-5) и их сумма (6)

Расчет и построение выходного напряжения. Сначала найдём реакцию цепи на каждую гармонику входного напряжения в отдельности. Результирующая реакция равна сумме составляющих реакций. Амплитуда n-й гармоники на выходе определяется выражением

,

а фаза – выражением

Вычисления по этим формулам сведены в таблицу:

№ гармоники n	Цикл. частота ω n , с -1	Амплитуда , В	Начальная фаза , град.

Построим амплитудный и фазовый частотные спектры выходной реакции.

Рис. 10. Амплитудный и фазовый спектры по частоте для выходного сигнала.

Выведем на график пять первых гармоник выходного сигнала и их сумму, аппроксимирующую отклик цепи на периодически повторяющийся прямоугольный импульс, подаваемый на вход. На графике хорошо заметны искажения формы сигнала. Понизился и интегральный уровень сигнала, хотя пиковые значения по-прежнему достигают 1 вольта. Поэтому для более качественной аппроксимации не следует ограничиваться всего пятью гармониками, т.к. при увеличении частоты AЧXне спадает, а даже растёт, и вклад высоких гармоник существенен.

Рис. 11. Пять гармоник на выходе и их сумма