3.3 Примеры расчета
Для звеньев, заданных передаточными функциями
, 
,
построить частотные характеристики при различных значениях постоянных времени и коэффициента усиления.
Пример 1. Рассмотрим реальное дифференцирующее звено.
1.
Передаточная функция реального дифференцирующего звена:
,
откуда 
–
,
откуда 
.
Получили: 
.
3. Подставляя значения k = 2, T = 3 , строим амплитудно-фазовуючастотнуюхарактеристикупри w , изменяющемся от 0
до ¥ (рис. 2).
Рисунок 2. Амплитудно-фазовые частотные характеристики
5. Задаваясь значениями w из интервала от 0 до 6, с шагом 0,1, строим амплитудно-частотную характеристику (рис. 3).
Рисунок 3. Амплитудно-частотные характеристики
реального дифференцирующего звена
6. Фазовая частотная характеристика имеет вид:
7. Задаваясь значениями w из интервала от 0 до 6, с шагом 0,1, строим фазово-частотную характеристику рис. 4.
8. Изменяя значение k = 4 , при прежнем T = 3 , строим w , изменяющемся от 0 до ¥ (см. рис. 2).
9. Амплитудная частотная характеристика при w от 0 до 6, с шагом 0,1 рис. 3.
10. Так как фазовая частотная характеристика имеет вид: , т.е. не зависит от коэффициента усиления, то график фазово-частотной характеристики при изменении коэффициента усиления меняться не будет (см. рис. 4).
Рисунок 4. Фазовые частотные характеристики
реального дифференцирующего звена
11. Изменяя значение T = 1 , при первоначальном , k = 2 строим амплитудно-фазовую частотную характеристику при w , изменяющемся от 0 до ¥ (см. рис. 2).
12. Амплитудная частотная характеристика при w от 0 до 6, с шагом 0,1 (см. рис. 3).
13. Фазово-частотная характеристика при w от 0 до 6, с шагом 0,1 (см. рис. 4).
Пример 2. Рассмотрим апериодическое звено второго порядка.
1.
Передаточная функция апериодического
звена второго порядка: 
.
Заменив
р
на
jω
,
получим:
– амплитудно-фазовая
частотная характеристика.
2. Освобождаемся от иррациональности в знаменателе. Для этого числитель и знаменатель домножаем на , получим:
откуда .
Получили:
, 
.
3. Подставляя значения k = 2, T 1 = 3, T 2 = 5 , строим амплитудно-фазовую частотную характеристику при w , изменяющемся от 0 до ¥ (рис. 5).
Рисунок 5. Амплитудно-фазовые частотные характеристики
апериодического звена второго порядка
4. Амплитудная частотная характеристика:
Задаваясь
значениями
w
из интервала от 0
до 7 с шагом 0,1, строим амплитудно-частотную характеристику, (см. рис. 7).
5. Фазовая частотная характеристика имеет вид:
Задаваясь значениями w из интервала от 0 до 7 с шагом 0,1, строим фазово-частотную характеристику (рис. 6).
Рисунок 6. Фазово-частотные характеристики
апериодического звена второго порядка
Изменяя значение k = 4, при прежнем T 1 = 3, T 2 = 5, строим амплитудно-фазо-частотную характеристику при w , изменяющемся от 0 до ¥ (см. рис. 5).
6. Амплитудно-частотная характеристика при w от 0 до 7 с шагом 0,1 (рис. 7).
Рисунок 7. Амплитудно-частотные характеристики
апериодического звена второго порядка
7. Так как фазовая частотная характеристика имеет вид:
т.е. не зависит от коэффициента усиления, то фазово-частотная характеристика не изменится (см. рис. 6).
8. Изменяя значения T 1 = 1, T 2 = 2 ,припервоначальном , k = 2 строим амплитудно-фазо-частотную характеристику при w , изменяющемся от 0 до ¥ (см. рис. 5).
9. Амплитудная частотная характеристика при и задания
1. Назовите динамические характеристики объекта?
2. В каких формах может быть представлена частотная передаточная функция?
3. Как представляется частотная передаточная функции на комплексной плоскости?
4. Дать определение амплитудно-частотной характеристике.
5. Дать определение фазовой частотной характеристике.
6. Каков алгоритм построения частотных характеристик?
H() – частотно-зависимая комплексная функция. Ее модуль называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а арктангенс отношения мнимой и вещественной частей – фазо-частотной характеристикой (ФЧХ). На векторной диаграмме представлена геометрическая интерпретация передаточной функции. С ее помощью легко понять, как получаются выражения для АЧХ и ФЧХ.
Поскольку выражения для АЧХ и ФЧХ содержат частотно-зависимые компоненты, естественно, что обе эти характеристики частотно-зависимые (отсюда их названия). По сути, именно эту особенность мы и используем для фильтрации.
Рассмотрим выражения для АЧХ в двух крайних точках. При частоте = 0 на входе имеем постоянный ток, значение АЧХ стремится к нулю вследствие большой величины знаменателя. В другой крайней точке частотастремится к бесконечности, а значение АЧХ приближается к единице. Это дает нам представление о поведении АЧХ как функции частоты.
Еще одной важной точкой на графике АЧХ
является «частота среза». Она задается
как точка, в которой значение АЧХ падает
до (1/
)
от своей величины в полосе пропускания,
и обычно называется «точкой 3 дБ». Ее
можно рассчитать, используя выражение
для АЧХ, после возведения в квадрат
обеих частей равенства. Частота срезаf c
= 1/2RC
указывает на точку перегиба в ФЧХ
фильтра. У ФВЧ, за частотой среза
практически отсутствует затухание
входного сигнала.
ФЧХ можно рассчитать по соответствующему выражению. ФЧХ начинается с 90-градусным опережением на низких частотах и падает до 45 о на частоте среза. За частотой среза и далее, в направлении более высоких частот, сдвиг фазы продолжает падать. Во всех реальных приложениях нас интересует поведение ФЧХ в полосе пропускания. В данном конкретном случае ФЧХ в полосе пропускания изменяется от 45 о (опережение фазы) до 0 о. Возможно, что это отвечает требованиям для ряда приложений, например таких, как низкокачественная запись речи.
Простой ФНЧ представляет собой RC-цепочку, состоящую из конденсатора и резистора. Характеристики ФНЧ очень похожи на характеристики ФВЧ, который мы только что рассмотрели. Единственная разница заключается в том, что они повернуты по частоте в обратном направлении (реверсируются), как и ожидалось. АЧХ опускается ниже единицы за частотой среза. Фаза выходного сигнала отстает от фазы входного сигнала на 45 о на частоте среза, и это отставание возрастает до 90 о на более высоких частотах.
Мы познакомились с двумя очень простыми фильтрами. Теперь мы знаем, что сигнал ослабляется на определенных частотах, а фаза выходного сигнала изменяется с частотой. Но как убедиться в том, что характеристики фильтра отвечают нашим целям? Что является критерием при сравнении характеристик фильтров?
Теперь определимся с терминологией и сформулируем некоторые требования к характеристикам фильтров.
Диапазон возможных чисел будет больше, а количество нулей в записи числа меньше, если представлять числа в логарифмическом масштабе. Традиционно АЧХ фильтров представляется в децибелах (дБ). Децибел определяется следующим образом: АЧХ (дБ) = 20 lg (АЧХ).
Декада – это единица измерения, используемая для частоты, которая, аналогично децибелам, позволяет охватить больший диапазон частот нетривиальным способом. Например, спад 20 дБ/декада означает, что затухание фильтра увеличивается на 20 дБ за каждую декаду частоты ) .
H() – частотно-зависимая комплексная функция. Ее модуль называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а арктангенс отношения мнимой и вещественной частей – фазо-частотной характеристикой (ФЧХ). На векторной диаграмме представлена геометрическая интерпретация передаточной функции. С ее помощью легко понять, как получаются выражения для АЧХ и ФЧХ.
Поскольку выражения для АЧХ и ФЧХ содержат частотно-зависимые компоненты, естественно, что обе эти характеристики частотно-зависимые (отсюда их названия). По сути, именно эту особенность мы и используем для фильтрации.
Рассмотрим выражения для АЧХ в двух крайних точках. При частоте = 0 на входе имеем постоянный ток, значение АЧХ стремится к нулю вследствие большой величины знаменателя. В другой крайней точке частотастремится к бесконечности, а значение АЧХ приближается к единице. Это дает нам представление о поведении АЧХ как функции частоты.
Еще одной важной точкой на графике АЧХ
является «частота среза». Она задается
как точка, в которой значение АЧХ падает
до (1/
)
от своей величины в полосе пропускания,
и обычно называется «точкой 3 дБ». Ее
можно рассчитать, используя выражение
для АЧХ, после возведения в квадрат
обеих частей равенства. Частота срезаf c
= 1/2RC
указывает на точку перегиба в ФЧХ
фильтра. У ФВЧ, за частотой среза
практически отсутствует затухание
входного сигнала.
ФЧХ можно рассчитать по соответствующему выражению. ФЧХ начинается с 90-градусным опережением на низких частотах и падает до 45 о на частоте среза. За частотой среза и далее, в направлении более высоких частот, сдвиг фазы продолжает падать. Во всех реальных приложениях нас интересует поведение ФЧХ в полосе пропускания. В данном конкретном случае ФЧХ в полосе пропускания изменяется от 45 о (опережение фазы) до 0 о. Возможно, что это отвечает требованиям для ряда приложений, например таких, как низкокачественная запись речи.
Простой ФНЧ представляет собой RC-цепочку, состоящую из конденсатора и резистора. Характеристики ФНЧ очень похожи на характеристики ФВЧ, который мы только что рассмотрели. Единственная разница заключается в том, что они повернуты по частоте в обратном направлении (реверсируются), как и ожидалось. АЧХ опускается ниже единицы за частотой среза. Фаза выходного сигнала отстает от фазы входного сигнала на 45 о на частоте среза, и это отставание возрастает до 90 о на более высоких частотах.
Мы познакомились с двумя очень простыми фильтрами. Теперь мы знаем, что сигнал ослабляется на определенных частотах, а фаза выходного сигнала изменяется с частотой. Но как убедиться в том, что характеристики фильтра отвечают нашим целям? Что является критерием при сравнении характеристик фильтров?
Теперь определимся с терминологией и сформулируем некоторые требования к характеристикам фильтров.
Диапазон возможных чисел будет больше, а количество нулей в записи числа меньше, если представлять числа в логарифмическом масштабе. Традиционно АЧХ фильтров представляется в децибелах (дБ). Децибел определяется следующим образом: АЧХ (дБ) = 20 lg (АЧХ).
Декада – это единица измерения, используемая для частоты, которая, аналогично децибелам, позволяет охватить больший диапазон частот нетривиальным способом. Например, спад 20 дБ/декада означает, что затухание фильтра увеличивается на 20 дБ за каждую декаду частоты ) .
Эти характеристики полностью определяют структуру частотного спектра выходного напряжения. Амплитудно-частотная характеристика отражает усилительные свойства электрической цепи. Фазо-частотная характеристика определяет фазовый сдвиг выходного напряжения относительно входного.
В комплексной форме (3) выделяем вещественную P (ω ) и мнимуюQ (ω ) части
Амплитудно-частотная характеристика:
Фазо-частотная характеристика
(5)
Где параметр φ * подбирается так, чтобы обеспечить непрерывность функцииφ (ω ) при том значенииω к , при котором обращается в нуль знаменатель в аргументе арктангенса, т.е.
Рис. 6. Характеристики цепи: а – амплитудно-частотная; б–фазо-частотная
Условие устойчивости состояния покоя электрической цепи заключается в том, что после прекращения действия внешних возмущений цепь возвращается в исходное состояние. Для этого необходимо, чтобы возникающие в цепи при нарушении состояния покоя переходные токи и напряжения были затухающими. Энергия переходного процесса преобразуется в активных сопротивлениях цепи в теплоту, которая отводится в окружающую среду. Достаточное условие устойчивости электрической цепи: если корни числителя – нули и корни знаменателя – полюса передаточной функции HU(p) = A(p)/B(p) имеют отрицательную вещественную часть, то цепь устойчива.
Bнашем случае имеется двукратный корень числителя (2),p =0, что является нейтральным условием по отношению к устойчивости. Приравняв нулю знаменатель (2) и решив полученное уравнение
найдем два комплексно-сопряжённых его корня:
. (6)
Это полюса передаточной функции. Отобразим положение полюсов и нулей фнкции на комплексной плоскости. Т.к. полюса (их отмечают крестиком) расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости корней (рис. 7), это означает, что переходные процессы в цепи затухают и цепь устойчивая.
Рис.7. Полюса и нуль функции H U (p ) на комплексной плоскости
Фильтрующие свойства цепи во временной области проявляются в виде реакции цепи на периодическое несинусоидальное воздействие или воздействие более сложной формы. Разложение входного напряжения в бесконечный тригонометрический ряд Фурье имеет вид
Ограничим ряд Фурье первыми пятью гармониками.
Частоту внешнего воздействия подберем исходя из того условия, чтобы в диапазоне от ω 1 до 9ω 1 зависимостьH U (ω ) претерпевала существенное изменение. Для рассматриваемого варианта можно принятьf 1 =1000 Гц,T 1 =10 -3 c. Амплитуду воздействия выберемU m =1В.
У гармоник с нечётными номерами начальная фаза нулевая, с чётными – равная π. Занесём в таблицу характеристики первых пяти гармоник разложения входного сигнала:
|
№ гармоники |
Цикл. частота, с -1 |
Амплитуда, В |
Начальная фаза, рад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построим амплитудный и фазовый частотные спектры входного воздействия. Амплитудный и фазовый спектры первых гармоник напряжения U 1 (t ) даны на рисунке:
a)
б)
Рис.8. Амплитудный (а) и фазовый (б) частотные спектры входного воздействия.
Рис. 9. Первые гармоники входного напряжения (1-5) и их сумма (6)
Расчет и построение выходного напряжения. Сначала найдём реакцию цепи на каждую гармонику входного напряжения в отдельности. Результирующая реакция равна сумме составляющих реакций. Амплитуда n-й гармоники на выходе определяется выражением
,
а фаза – выражением
Вычисления по этим формулам сведены в таблицу:
|
№ гармоники n |
Цикл. частота ω n , с -1 |
Амплитуда
|
Начальная
фаза |
Построим амплитудный и фазовый частотные спектры выходной реакции.
Рис. 10. Амплитудный и фазовый спектры по частоте для выходного сигнала.
Выведем на график пять первых гармоник выходного сигнала и их сумму, аппроксимирующую отклик цепи на периодически повторяющийся прямоугольный импульс, подаваемый на вход. На графике хорошо заметны искажения формы сигнала. Понизился и интегральный уровень сигнала, хотя пиковые значения по-прежнему достигают 1 вольта. Поэтому для более качественной аппроксимации не следует ограничиваться всего пятью гармониками, т.к. при увеличении частоты AЧXне спадает, а даже растёт, и вклад высоких гармоник существенен.
Рис. 11. Пять гармоник на выходе и их сумма
Фазо-частотная характеристика — это зависимость сдвига фаз между выходным синусоидальным колебанием и входным от частоты. Идеальной фазо-частотной зависимостью является линейная зависимость фазы от частоты, как это показано на рисунке 1.
Не все сигналы одинаково чувствительны к фазовым искажениям. Фазовые искажения звукового сигнала практически не ощущаются человеческим ухом, в то же самое время фазовые искажения телевизионного сигнала легко обнаруживаются человеческим глазом. Не менее вредны фазовые искажения при передаче импульсного или цифрового сигнала. Связано это с тем, что неискаженный сигнал должен быть просто задержан относительно входного, как это показано на рисунке 2.
Если разложить прямоугольный сигнал на синусоидальные составляющие, то можно отследить как меняется фаза в зависимости от частоты при отсутствии искажений. На рисунке 3 показаны три основных синусоидальных составляющих сигнала последовательности прямоугольных импульсов.
На этом рисунке красным цветом показана первая гармоника, синим цветом третья гармоника, а фиолетовым — пятая гармоника. Суммарный сигнал показан черным цветом. При задержке данного сигнала на 0,2 мС сдвиг фазы первой гармоники должен быть 90°, сдвиг фазы третьей гармоники — 270°, а пятой гармоники уже 450°! Как видно из данного примера, все точки находятся на одной прямой. Иными словами линейная фазо-частотная характеристика соответствует одинаковой временной задержке всех частотных составляющих полезного сигнала.
И действительно, ведь производная фазовой характеристики по частоте соответствует групповой задержке сигнала:
Следовательно линейной фазовой характеристике соответствует постоянное групповое время задержки сигнала. Причем чем больше крутизна фазовой характеристики, тем больше время запаздывания. Предельный случай — нулевая задержка соответствует нулевому сдвигу по фазе на всех частотах.
Литература:
Вместе со статьей "Фазо-частотная характеристика и зависимость задержки сигнала τ от частоты" читают:
Помехи отличаются от шумов тем, что поступают в радиоэлектронное устройство извне. Шумы образуются внутри радиоэлектронного устройства...
http://digteh.ru/Sxemoteh/Shum/
,
В
,
град.
