Сайт о телевидении

Пример решения задачи линейного программирования с помощью MS Excel

Хозяйство специализируется в полеводстве на производстве зерна, сахарной свеклы и подсолнечника. В с.-х. предприятии имеются 3200 га пашни, трудовые ресурсы в объеме 7 000 чел.-дней и минеральные удобрения в объеме 15000 ц.д.в. Требуется найти такое сочетание посевных площадей, которое обеспечило бы получение максимума прибыли.

Следует также учесть, что

- площадь посева технических культур (сахарной свеклы и подсолнечника) не должна превышать 25% общей площади пашни;

- хозяйством заключен договор на продажу зерна в объеме 65000 ц.

Для разработки экономико-математической модели необходима подготовка входной информации (табл. 1).

Таблица 1

Показатели	Сельскохозяйственные культуры
	зерновые	сахарная свекла	подсолнечник
Урожайность, ц/га
Цена реализации 1 ц продукции, руб./ц.
Стоимость товарной продукции с 1 га, тыс. руб.	5,59	20,62	6,73
Затраты на 1 га: МДС, тыс. руб.		12,7
труда, чел.-дней.
минеральных удобрений, ц.д.в.
Прибыль с 1 га, руб.	2,89	7,93	3,63

За неизвестные примем площади посева сельскохозяйственных культур по видам:

X 1 - зерновых культур

X 2 - сахарной свеклы

X 3 - подсолнечника

Для построения экономико-математической модели задачи необходимо учесть все условия. В данном случае, по этим условиям можно составить пять ограничений:

- сумма площадей посева сельскохозяйственных культур не должна превышать площади, имеющейся в хозяйстве (3200 га). Коэффициентами при неизвестных в этом ограничении характеризуют расход пашни на 1 га каждой сельскохозяйственной культуры. В данном случае технико-экономические коэффициенты по неизвестным будут равняться единице. В правой части записывается общая площадь пашни.

1) Х1+Х2+Х3<=3200

- сумма площадей посева технических культур не должна превышать площади, которая может быть отведена для этой цели (3200*0,25=800 га). Коэффициентами при неизвестных в этом ограничении характеризуют расход пашни, отведенной под посевы технических культур, на 1 га каждой технической сельскохозяйственной культуры. В данном случае технико-экономические коэффициенты по неизвестным Х2 и Х3 будут равняться единице, а по нетехническим сельскохозяйственным культурам (Х3) - нулю. В правой части записывается максимальная площадь пашни, которая может быть отведена под посевы технических культур.

2) Х2+Х3<=800

- третье и четвертое ограничения гарантируют, что использование трудовых ресурсов и минеральных удобрений не превысит их наличие в хозяйстве. Другими словами, сумма произведений норм затрат ресурсов на 1 га на площади посева соответствующих сельскохозяйственных культур не должна превышать объемов ресурсов, имеющихся в с.-х. предприятии. Коэффициентами при неизвестных в этих ограничениях будут являться нормы расхода ресурсов (в третьем ограничении – трудовых ресурсов, в четвертом – минеральных удобрений) на 1 га площади посева сельскохозяйственных культур. В данном случае технико-экономические коэффициенты взяты из таблицы 1. В правой части записывается наличие этих ресурсов в хозяйстве.

3) 1,5Х1+4,5Х2+1,5Х3<=7000

4) 2Х1+15Х2+2,3Х3<=15000

- пятое ограничение гарантирует производство запланированного объема зерна. В качестве коэффициентов при переменных выступает выход зерна с 1 га площади посева с.-х. культур. При неизвестной Х1 это урожайность зерновых (таблица 1). При переменных Х2 и Х3 этот коэффициент равен нулю. В правой части записывается план производства зерна.

5) 26Х1>=65000

В результате получена система пяти линейных неравенств с тремя неизвестными. Требуется найти такие неотрицательные значения этих неизвестных Х1>=0; Х2>=0; Х3>=0, которые бы удовлетворяли данной системе неравенств и обеспечивали получение максимума прибыли от отрасли растениеводства в целом:

Z max = 2,89Х1+7,93Х2+3,53Х3

В качестве коэффициентов при неизвестных в целевой функции выступает прибыль, получаемая с 1 га площади посева сельскохозяйственных культур. Эти коэффициенты рассчитаны на основании данных таблицы 1.

Поскольку данная задача решается с помощью MS Excel , то и подготовку всей входной информации для построения экономико-математической модели целесообразно осуществлять также с использованием этого табличного процессора (рис 1). Это облегчает не только расчеты технико-экономических коэффициентов и других данных, но и дает в дальнейшем возможность автоматического обновления информации в экономико-математической модели.

Рисунок 1

Вся разработанная информация сводится в развернутую экономико-математическую модель и заносится в рабочий лист MS Excel . (Рис. 2.)

Рисунок 2

Данные в модель рекомендуется заносить в виде ссылок на ячейки с соответствующей информацией в расчетных рабочих листах или рабочих листах с исходными сведениями. На рисунке 3 показано, как в ячейке F9 представлена информация по норме затрат удобрений на 1 га посева подсолнечника.

Рисунок 3

В столбцы А («№»), В («Ограничения»), С («Единицы измерения») и H («Тип ограничений») вводятся соответствующие данные непосредственно в модель (рис.1). Они не используются в расчетах и служат для информативности и облегчения понимания содержания модели. В столбец I («Объем ограничений») вводятся ссылки на ячейки, содержащие соответствующую названию столбца информацию (значения правых частей построенных ранее неравенств).

Для искомых величин переменных Х1 , Х2 , Х3 нами были оставлены пустые ячейки - соответственно D5 , E 5 , F 5 . Изначально пустые ячейки программа MS Excel воспринимает как ячейки, значение которых равно нулю. Столбец G , названный нами «Сумма произведений », предназначен для определения суммы произведений значений искомых неизвестных (ячейки D5 , E 5 , F 5 ) и технико-экономических коэффициентов по соответствующим ограничениям (строки 6-10) и целевой функции (строка 11). Таким образом, в столбце G определяется:

- - количество используемых ресурсов (ячейка G6 – общей площади пашни; G7 – пашни, которая может быть использована под посевы технических культур; G8 – трудовых ресурсов; G9 – минеральных удобрений);

- - количество произведенного зерна (ячейка G10 );

- - величина прибыли (ячейка G11 ).

На рисунке 2 показано, как в ячейке G11 реализуется запись суммы произведений значений переменных (площадей посева с.-х. культур - ячейки D5 , E 5 , F 5 ) на соответствующие прибыли с 1 га их посева(ячейки D11 , E 11 , F 11 )с помощью функции MS Excel «СУММПРОИЗВ ». Так как при написании данной формулы использованы абсолютные адресации на ячейки от D5 до F 5 ,эта формула может быть скопирована в другие ячейки от G 6 до G10 .

Таким образом, построен опорный план (рис. 2) и получено первое допустимое решение. Значения неизвестных Х1 , Х2 , Х3 равны нулю (ячейки D5 , E 5 , F 5 - пустые ячейки), ячейки столбца G «Сумма произведений» по всем ограничениям (строкам 6-10) и целевой строке (строка 11) также имеют нулевые значения.

Экономическая интерпретация первого опорного плана звучит следующим образом: в хозяйстве имеются ресурсы, рассчитаны все технико-экономические коэффициенты, но процесс производства еще не начат; ресурсы не использовались, и, соответственно, прибыли нет.

Для оптимизации имеющегося плана воспользуемся инструментом Поиск решения, который находится в меню Сервис . Если нет такой команды в меню Сервис, необходимо в пункте Надстройка поставить галочку напротив Поиск решения . После этого данная процедура станет доступной в меню Сервис .

После выбора данной команды появится диалоговое окно (рис. 4).

Рисунок 4

Поскольку в качестве критерия оптимизации нами выбрана максимизация прибыли, в поле Установить целевую ячейку введите ссылку на ячейку, содержащую формулу расчета прибыли. В нашем случае это ячейка $G$11 . Чтобы максимизировать значение конечной ячейки путем изменения значений влияющих ячеек (влияющими, в данном случае это и изменяемые ячейки, являются ячейки, которые предназначены для хранения значений искомых неизвестных), переключатель установите в положение максимальному значению ;

В поле Изменяя ячейки введите ссылки на изменяемые ячейки, разделяя их запятыми; либо, если ячейки находятся рядом, указывая первую и последнюю ячейку, разделяя их двоеточием ($ D $5:$ F $5 ).

В поле Ограничения введите все ограничения, накладываемые на поиск решения. Добавление ограничения рассмотрим на примере добавления первого ограничения по общей площади пашни.

В разделе Ограничения диалогового окна Поиск решения нажмите кнопку Добавить . Появится следующее диалоговое окно (рис. 5)

Рисунок 5

В поле Ссылка на ячейку введите адрес ячейки, на значение которой накладываются ограничения. В нашем случае, это ячейка $ G $6 , где находится формула расчета используемой пашни в текущем плане.

Выберите из раскрывающегося списка условный оператор <= , который должен располагаться между ссылкой и ограничением.

В поле Ограничение введите ссылку на ячейку, в которой находится значение наличия площади пашни в хозяйстве, либо ссылка на это значение. В нашем случае, это ячейка $ I $6

В результате диалоговое окно примет следующий вид (рис. 6).

Рисунок 6

Чтобы принять ограничение и приступить к вводу нового, нажмите кнопку Добавить . Аналогично вводятся и другие ограничения. Чтобы вернуться в диалоговое окно Поиск решения , нажмите кнопку OK .

После выполнения вышеперечисленных инструкций диалоговое окно Поиск решения будет иметь следующий вид (рис. 7).

Рисунок 7

Для изменения и удаления ограничений в списке Ограничения диалогового окна Поиск решения укажите ограничение, которое требуется изменить или удалить. Выберите команду Изменить и внесите изменения либо нажмите кнопку Удалить .

Флажок Линейная модель в диалоговом окне Параметры Поиска решения (рис. 8) позволяет задать любое количество ограничений. Флажок Неотрицательные значения позволит соблюсти условие неотрицательности переменных (при решении нашей задачи – поставить обязательно). Остальные параметры можно оставить без изменений, либо установить нужные для вас параметры, при необходимости используя справку.

Рисунок 8

Для запуска задачи на решение нажмите кнопку Выполнить и выполните одно из следующих действий:

- чтобы восстановить исходные данные, выберите вариант Восстановить исходные значения .

Рисунок 9

Для того чтобы прервать поиск решения, нажмите клавишу ESC .

Лист Microsoft Excel будет пересчитан с учетом найденных значений влияющих ячеек. В результате решения и сохранения результатов поиска на листе модель примет следующий вид (табл. 10).

Рисунок 10

В ячейках D5 -F5 получены значения искомых неизвестных (площади посева равны: зерновых -2500 га, сахарной свеклы - 661 га, подсолнечника – 39 га), в ячейках G6 -G9 определены объемы используемых ресурсов (общей площади пашни – 3200 га; площади пашни, которая может быть использована под посевы технических культур – 700 га; трудовых – 6781,9 чел.-дней; минеральных удобрений – 15000 ц.д.в.), в ячейке G10 установлено количество произведенного зерна (65000 ц.). При всех этих значениях величина прибыли достигает 12603,5 тыс. руб. (ячейка G11 ).

В случае если в результате поиска не было найдено решение, удовлетворяющее заданным условиям, в диалоговом окне Результаты поиска решения появится соответствующее сообщение (рис. 11).

Рисунок 11

Одной из наиболее часто встречающихся причин невозможности найти оптимальное решение является такая ситуация, когда в результате решения задачи выясняется, что имеются ограничения, которые не выполняются. Сохранив найденное решение на листе, требуется построчно сравнить полученные значения столбцов «Сумма произведений» и «Объем ограничений» и проверить, удовлетворяет ли отношение между ними ограничению, стоящему в столбце «Тип ограничений». Найдя, таким образом, невыполняемые ограничения необходимо найти и ликвидировать причины, обуславливающие невозможность соблюдения данного конкретного условия (это может быть, например, слишком большие или, наоборот, очень маленькие запланированные объемы ограничений и т.п.).

Если ограничений в модели очень много, то визуально достаточно трудно сравнивать и проверять на верность каждую строку. Для облегчения рекомендуется добавить в модель еще один столбец «Проверка», где с помощью функций MS Excel «ЕСЛИ » и «ОКРУГЛ » можно организовать автоматическую проверку (рис. 12).

Рисунок 12

Ввод условий задачи состоит из следующих основных шагов:

Создание формы для ввода условий задачи.

Ввод исходных данных.

Ввод зависимостей из математической модели.

Назначение целевой функции.

ввод ограничений и граничных условий.

Ход решения задачи:

Форма для ввода условий задачи:

		Переменные
	Значение
	Коэффициент в целевой функции			(формула)
		Ограничения
		Коэффициенты в ограничениях				Правая часть ограничения

Поочередно в представленную форму заносятся коэффициенты целевой функции, ограничений, их знаки, формулы описания целевой функции и ограничений, представленные в математической модели задачи.

Для описания формулы целевой функции и ограничений используется диалоговое окно Мастер функций; категория функций – математические; функция СУММПРОИЗВ. (в диалоговом окне в массиве 1 указывается интервал ячеек значения переменной В3:С3, в массиве 2 – коэффициенты при этих переменных. В функции это интервал ячеек В4:С4, в ограничениях – В8:C8, В9:C9 и т.д.)

Решение задачи осуществляется с использованием команд Сервис, Поиск решения…

В диалоговом окне Поиск решения заполняем строки, указывая адреса ячеек:

Целевая функция: Е4

Равная: max (min)

Изменяя ячейки: указывается месторасположения переменных (В3:C3)

Ограничения: с использованием клавиши Добавить записываются адреса ячеек с указанием условий ограничений (например: D8>= F8 и т.д.). Обязательным является ввод ограничения целочисленного решения.

Если при вводе задачи возникает необходимость в изменении или удалении внесенных ограничений или граничных условий, то это осуществляется с помощью команд Изменить.., Удалить.

Для получения оптимального решения задачи линейного программирования в Поиске решения задействуется клавиша Параметры…:

Максимальное время: 100 сек

Предельное число итераций: 100

Относительная погрешность 0,000001

Допустимое отклонение: 5%

Устанавливаем флажок Линейная модель, что обеспечивает применение симплекс-метода.

В появившемся окне Поиск решения выполняем команду Выполнить.

Решение найдено, результат оптимального решения приведен в исходной таблице.

Решение задач линейного программирования в Excel

Используя данные прямой двойственной задачи, решите ее в системе Excel, с помощью следующих таблиц

Переменные

Ограничения

Вид ресурса	Коэффициенты в ограничениях		Левая часть ограничения (формула)		Правая часть ограничения

Инструментом для решений задач оптимизации в MS Excel служит надстройка Поиск решения . Процедура поиска решения позволяет найти оптимальное значение формулы, содержащейся в ячейке, которая называется целевой. Эта процедура работает с группой ячеек, прямо или косвенно связанных с формулой в целевой ячейке. Чтобы получить по формуле, содержащейся в целевой ячейке, заданный результат, процедура изменяет значения во влияющих ячейках.

Если данная надстройка установлена, то Поиск реше­ния запускается из меню Сервис . Если такого пункта нет, следует выполнить команду Сервис → Надстройки... и вы­ставить флажок против надстройки
Поиск решения (рис.2.1).

Команда Сервис → Поиск решения открывает диалоговое окно «Поиск решения» .

В окне Поиск решения имеются следующие поля:

Установить целевую ячейку – служит для указания целевой ячейки, значение которой необходимо максими­зировать, минимизировать или установить равным за­данному числу. Эта ячейка должна содержать формулу .

Равной – служит для выбора варианта оптимизации значения целевой ячейки (максимизация, минимизация или Подбор заданного числа). Чтобы установить число, введите его в поле.

Изменяя ячейки – служит для указания ячеек, значения которых изменяются в процессе поиска решения до тех пор, пока не будут выполнены наложенные ограничения и условие оптимизации значения ячейки, указанной в поле Установить целевую ячейку.

Предположить – используется для автоматического поиска ячеек, влияющих на формулу, ссылка на которую дана в поле Установить целевую ячейку. Результат поиска отображается в поле Изменяя ячейки.

Ограничения – служит для отображения списка граничных условий поставленной задачи.

Добавить - служит для отображения диалогового окна Добавить ограничение.

Изменить - Служит для отображения диалоговое окна Изменить ограничение.

Удалить - Служит для снятия указанного ограничения.

Выполнить – Служит для запуска поиска решения поставленной задачи.

Закрыть – Служит для выхода из окна диалога без запус­ка поиска решения поставленной задачи.

Параметры поиска решения, в котором можно загрузить или сохранить оптимизируемую модель и указать предусмотренные варианты поиска решения.

Восстановить – Служит для очистки полей окна диалога и восстановления значений параметров поиска ре­шения, используемых по умолчанию.

Для решения задачи оптимизации выполните следующие действия.

1. В меню Сервис выберите команду Поиск решения.

2. В поле Установить целевую ячейку введите адрес или имя ячейки, в которой находится формула оптимизируемой модели.

3. Чтобы максимизировать значение целевой ячейки путем изменения значений влияющих ячеек, установите переключатель в положение максимальному значению.

Чтобы минимизировать значение целевой ячейки путем изменения значений влияющих ячеек, установите, переключатель в положение
минимальному значению.

Чтобы установить значение в целевой ячейке равным некоторому числу путем изменения значений влияющих ячеек, установите переключатель в положение значению и введите в соответствующее поле требуемое число.

4. В поле Изменяя ячейки введите имена или адреса изменяемых ячеек, разделяя их запятыми. Изменяемые ячейки должны быть прямо или косвенно связаны с целевой ячейкой. Допускается установка до 200 изменяемых ячеек.

Чтобы автоматически найти все ячейки, влияющие на формулу модели, нажмите кнопку Предположить.

5. В поле Ограничения введите все ограничения, накладываемые на поиск решения.

6. Нажмите кнопку Выполнить.

Чтобы восстановить исходные данные, установите переключатель в положение

Этап С. Анализ найденного решения задачи оптимизации.

Для вывода итогового сообщения о результате решения используется диалоговое окно Результаты поиска решения.

Диалоговое окно Результаты поиска решения содержит следующие поля:

Восстановить исходные значения – служит для восста­новления исходных значений влияющих ячеек моде­ли.

Отчеты – служит для указания типа отчета, размещаемого на отдельном листе книги.

Результаты. Используется для создания отчета, состоящего из целевой ячейки и списка влияющих ячеек модели, их исходных и конечных значений, а также формул ограничений и дополнительных сведений о наложенных ограничениях.

Устойчивость. Используется для создания отчета, содер­жащего сведения о чувствительности решения к малым изменениям в формуле (поле Установить целе­вую ячейку, диалоговое окно Поиск решения) или в формулах ограничений.

Ограничения. Используется для создания отчета, состоящего из целевой ячейки и списка влияющих ячеек модели, их значений, а также нижних и верхних границ. Такой отчет не создается для моделей, зна­чения в которых ограничены множеством целых чисел. Нижним пределом является наименьшее значение, которое может содержать влияющая ячейка, в то время как значения остальных влияющих ячеек фиксированы и удовлетворяют наложенным ограничениям. Соответственно, верхним пределом называ­ется наибольшее значение.

Сохранить сценарий – служит для отображения диалогового окна Сохранение сценария, в котором можно сохранить сценарий решения задачи, чтобы использовать его в дальнейшем с помощью диспетчера сценариев MS Excel. В следующих разделах рассмотрим несколько конкретных моделей линейной оптимизации и примеры их решения с помощью MS Excel.

2.4 Задача о планировании производства

Постановка задачи. Предприятие должно производить изделия n видов: и 1 ,и 2 ,...и п , причем количество каждого выпускаемого изделия не должно превысить спрос β 1 , β 2 ,..., β n и одновременно не должно быть меньше запланированных величин b 1 ,b 2 ,...,b n соответственно. На изготовление изделий идет m видов сырья s l ,s 2 ,...,s m , запасы которых ограничены соответственно величинами γ 1 , γ 2 ,..., γ m . Известно, что на изготовление i -го изделия идет а ij единиц j -го сырья. Прибыль, получаемая от реализации изделий u 1 , ,и 2 ,...и п равна соответственно с 1 ,с 2 ,...,с п. Требуется так спланировать производство изделий, чтобы прибыль была максимальной и при этом выполнялся план на производство каждого изделия, но не превышался спрос на него.

Математическая модель. Обозначим за х 1 ,х 2 ,...х n количества единиц изделий u 1 , ,и 2 ,...и п, выпускаемых предприятием. Прибыль, приносимая планом (целевая функция), будет равна:

z = z(x 1 ,x 2 ,...,x n) = с 1 x 1 + c 2 x 2 + ...+c n x n → max. Ограничения на выполнение плана запишется в виде: х i ≥β i для i = 1,2,...,n Чтобы не превысить спрос, надо ограничить выпуск изделий: x i ≤β i для i = 1,2,...n. И, наконец, ограничения на сырье запишутся в виде системы неравенств:

α 11 x 1 + α 12 x 2 +...+ α 1n x n ≤b 1

α 21 x 1 + α 22 x 2 +...+ α 2n x n ≤b 2

................................................

α m1 x 1 + α m2 x 2 +...+ α mn x n ≤b m

при условии, что х 1 ,х 2 ,...х п неотрицательны.

Пример 2.1:

Рассмотрим конкретный пример задачи о планировании производства и приведем последовательность действий, необходимых для ее решения с помощью MS Excel.

Условие задачи. Предприятие выпускает два вида железобетонных изделий: лестничные марши и балконные плиты. Для производства одного лестничного марша требуется израсходовать 3,5 куб.м. бетона и 1 упаковку арматуры, а для производства плиты - 1 куб.м. бетона и 2 упаковки арматуры. На каждую единицу продукции при­ходится 1 человеко-день трудозатрат. Прибыль от прода­жи 1 лестничного марша составляет 200 руб., а одной плиты - 100 руб. На предприятии работает 150 человек, причем известно, что в день предприятие производит не более 350 куб.м. бетона и завозится не более 240 упаковок арматуры. Требуется составить такой производственный план, чтобы прибыль от производимой продукции была максимальной.

Решение.

1. На листе рабочей книги MS Excel заполните таблицу параметров задачи (рис. 2.2).

2. Создайте модель задачи и заполните ячейки для значений переменных (первоначально ячейки х { и х г заполняются произвольными числовыми значениями, например, значением 10), целевой функции (ячейка содержит формулу) и ограничений (ячейки содержат формулы)
(рис. 2.2)

3. Выполните команду Сервис Поиск решения и установите необходимые значения в полях диалогового окна Поиск решения, добавляя ограничения в окне Добавление ограничений.

Замечание. В окне Добавление ограничений при необходимости есть возможность установить ограничения на целочисленность переменных модели.

4. Нажмите на кнопку Выполнить и установите параметры в окне Результаты поиска решения (переключатель Сохранить найденное решение или Восстановить исходные значения и Тип отчета).

Замечание: В случае ошибок в формулах, ограничениях или неверных параметрах модели в данном окне могут появиться следующие сообщения: «Значения целевой ячейки не сходятся», «Поиск не может найти решения» или «Условия линейной модели не выполняются». При этом переключатель следует установить в положение Восстановить исходные значения, проверить данные на листе и процедуру поиска решения проделать заново.

5. В результате в ячейках с переменными задачи по­явятся значения, соответствующие оптимальному плану (80 лестничных маршей и 70 плит перекрытия в день), а в ячейке для целевой функции - значение прибыли (23 000 руб.), соответствующее данному плану (рис. 2.3)

6. Вслучае если полученное решение является удовлетворительным, можно сохранить оптимальный план и ознакомиться с результатами поиска, которые выводятся на отдельный лист.

Упражнение:

Упр. 2.1. Предприятие выпускает телевизоры, стереосистемы и акустические системы, используя общий склад комплектующих. Запасы шасси на складе составляют 450 шт., кинескопов – 250 шт., динамиков – 800 шт., блоков питания – 450 шт., плат – 600 шт. На каждое изделие расходуется количество комплектующих, указанное в таблице:

Прибыль от производства одного телевизора составляет 90 у.е, одной стереосистемы – 50 и аудиосистемы – 45. Необходимо найти оптимальное соотношение объемов выпуска изделий, при котором прибыль от производства всей продукции будет максимальной.

Лабораторная работа "Использование средства Поиск решения"

Задание:

Решить в Excel все приведенные ниже задачи (каждую на отдельном листе) и сохранить решения в файле LAB4.xls на своем пользовательском диске.

Задача 1 1

Решение задачи линейного программирования с помощью EXCEL. 2

Задача 2 4

Задача планирования производства красок 4

Задача 3 5

Решение транспортной задачи с помощью средства Поиск решения 5

Задача 1

Задача распределения ресурсов.

Если финансы, оборудование, сырье и даже людей полагать ресурсами, то значительное число задач в экономике можно рассматривать как задачи распределения ресурсов. Достаточно часто математической моделью таких задач является задача линейного программирования.

Например:

Требуется определить, в каком количестве надо выпускать продукцию четырех типов Прод1, Прод2, Прод3, Прод4, для изготовления которой требуются ресурсы трех видов: трудовые, сырье, финансы. Количество ресурса каждого вида, необходимое для выпуска единицы продукции данного типа, называется нормой расхода. Нормы расхода, а также прибыль, получаемая от реализации единицы каждого типа продукции, приведена ниже.Составим математическую модель, для чего введем следущие обозначения:

x j - количество выпускаемой продукции j-го типа, j=1,4 ;

b i - количество располагаемого ресурса i-го вида, i=1,3 ;

a ij - норма расхода i-го ресурса для выпуска единицы продукции j-го типа;

c j - прибыль, получаемая от реализации единицы продукции j-го типа.

Теперь приступим к составлению модели.

Для выпуска единицы Прод1 требуется 6 единиц сырья, значит, для выпуска всей продукции Прод1 требуется 6 х 1 единиц сырья, где х 1 - количество выпускаемой продукции Прод1. С учетом того, что для других видов продукции зависимости аналогичны, ограничение по сырью будет иметь вид:

6х 1 +5х 2 +4х 3

В этом ограничении левая часть равна величине потребного ресурса, а правая показывает количество имеющегося ресурса. Аналогично можно составить ограничения для остальных ресурсов и написать зависимость для целевой функции. Тогда математическая модель задачи будет иметь вид:

F=60x 1 +70x 2 +120x 3 +130x 4 --> max

x 1 +x 2 +x 3 +x 4

6x 1 +5x 2 +4x 3 +3x 4

4x 1 +6x 2 +10x 3 +13x 4

x j >=0; j=1,4

Решение задачи линейного программирования с помощью EXCEL.

1
. Сделать активной ячейку F6.

2. Мастер функций  Математические  СУММПРОИЗВ  на жмите кнопку Далее. На экране диалоговое окно

3. Введите зависимости для левых частей ограничений.

Работа в диалоговом окне Поиск решения.

1

. Сервис, Поиск решения...

2 . Курсор в поле Установить целевую ячейку и введите адрес F6.

3 . Введите направление целевой функции: Максимальному значению .

4 . Курсор в поле Изменяя ячейки и введите адреса B3:E3

5. Нажмите кнопку Добавить... и в ведите граничные условия на переменные

6. После ввода ограничений, нажмите кнопку Выполнить . В результате вычислений в ячейках В3:Е3, будут отражены найденные числовые значения х i , а в ячейке F6 – значение целевой функции.

Т.О, видно, что в оптимальном решении Прод1=В3=10, Прод2=С3=0, Прод3=D3=6, Прод4=Е3=0.

При этом максимальная прибыль будет составлять F6=1320 , количество использованных ресурсов равно трудовых=F9=16, сырья=F10=84, финансов=F11=100.

С помощью диалогового окна Результат поиска решения. Решение найдено можно получить отчеты трех типов: результаты, устойчивость, пределы.

Задача 2

Задача планирования производства красок

Для производства красок для наружных и внутренних работ используют два исходных продукта А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн, соответственно.

Суточный спрос на краску для внутренних работ никогда не превышает спроса на краску для наружных работ более чем на 1т.

Спрос на краску для внутренних работ не превышает 2т. в сутки.

Оптовые цены одной тонны красок равны: 3000 руб. для краски для наружных работ и 2000 руб. для краски для внутренних работ .

Какое количество краски каждого вида следует производить, чтобы доход от реализации был максимальным?

Расходы продуктов А и В на 1т. приведены в таблице:

исходный продукт	расход исходных продуктов на тонну краски		максимально возможный запас
	для внутренних работ	для наружных работ

х 1 - суточный объем производства краски для внутренних работ

х 2 - суточный объем производства краски для наружных работ

f -суммарная суточная прибыль от производства обоих видов красок (целевая функция)

f = 3000х 1 +2000х 2

Определить при каких допустимых значениях х 1 и х 2 значение f - максимальное

Ограничения:

Решение задачи в Excel

	Переменные
	Целевая функция:		3000*А3+2000*В3
	Ограничения

Выполните: Cервис, Поиск решения

Целевая ячейка С4

Установить: М аксимальному значению

Изменяемые ячейки: А3:В3

Ограничения:

После ввода данных нажмите кнопку Выполнить

Полученное решение:

	Переменные
	Целевая функция:
	Ограничения:

Вывод: оптимальным является производство 3,3 т. краски для наружных работ и 1,3 т. краски для внутренних работ в сутки. Этот объем принесет прибыль 12,7 тыс. руб.

Задача 3

Решение транспортной задачи с помощью средства Поиск решения

Фирма имеет четыре фабрики: А, В, С, D и пять центров распределения ее товаров: №1, №2, №3, №4, №5.

Производственные возможности фабрик соответственно составляют:

А – 200, В – 150, С – 225, D – 175 единиц продукции ежедневно.

Потребности центров распределения соответственно составляют:

№1 – 100, №2 – 200, №3 – 50, №4 – 250, №5 – 150 единиц продукции ежедневно.

Хранение на фабрике единицы продукции, не поставленной в центр распределения, составляет $0,75 в день.

Штраф за просроченную поставку единицы продукции, заказанной потребителем в центре распределения, но там не находящейся, равен $2,5 в день.

Стоимость перевозки единицы продукции с фабрик в пункты распределения представлена в таблице:

Спланировать перевозки так, чтобы минимизировать суммарные транспортные расходы.

Модель рассматриваемой задачи сбалансирована (суммарный объем произведенной продукции равен суммарному объему потребностей в ней), значит не нужно учитывать издержки, связанные как со складированием, так и с недопоставками продукции. В противном случае в модель следует ввести:

В случае перепроизводства – фиктивный пункт распределения, стоимость перевозок единицы продукции, в который полагается равной стоимости складирования, а объемы перевозок – объемам складирования излишков продукции на фабриках.

В случае дефицита – фиктивную фабрику, стоимость перевозок единицы продукции с которой полагается равной стоимости штрафов за недопоставку продукции, а объемы перевозок – объемам недопоставок продукции в пункты распределения.

x ij – объем перевозок с i-й фабрики в j-й центр распределения.

c ij – стоимость перевозки единицы продукции с i-й фабрики в j-й центр распределения.

а i – объем производства на i-й фабрике.

в j – спрос в j-м центре распределения.

Т

ребуется минимизировать суммарные транспортные расходы, т.е.

Ограничения:

x



ij  0 , i  , j 

Механизм решения задачи в Excel с использованием средства Поиск решения

В ячейки А1:Е4 введите стоимости перевозок.

А6:Е9 – отведите под значения неизвестных (объемы перевозок).

В ячейки G6:G9 введите объемы производства на фабриках.

В А11:Е11 – потребность в продукции в пунктах распределения.

В ячейку F10 – введите целевую функцию

В А10:Е10 –введите формулы, определяющие объем продукции, ввозимой в центры распределения

В F6: F9 – формулы, вычисляющие объем продукции, вывозимой с фабрик.

						СУММ(A6:E6)
						СУММ(A7:E7)
						СУММ(A8:E8)
						СУММ(A9:E9)
	СУММ(A6:A9)	СУММ(B6:B9)	СУММ(C6:C9)	СУММ(D6:D9)	СУММ(E6:E9)	СУММПРОИЗВ(A1:E4;A6:E9)

Сервис  Поиск решения

В окне диалога Поиск решения:
Установить целевую ячейку $F$10
Равной мин имальному значению
Изменяя ячейки: $А$6:$E$9
Ограничения:
$А$10:$E$10=$A$11:$E$11
$А$6:$E$9>=0
$F$6:$F$9=$G$6:$G$9

Щелкните на кнопке Параметры… и установите флажок Линейная модель

Нажмите кнопку Выполнить

Оптимальное решение транспортной задачи будет отражено в диапазоне А6:Е9

Решите транспортную задачу самостоятельно, используя выше описанный механизм.

				Excel необходимо: ... Задачи линейного программирования. Графический метод решения задач линейного программирования Решение Microsoft Excel . Решение задач выпуклого программирования при помощи линейной аппроксимации. Приближённое решение задач математического программирования методом сепарабельного программирования . Экономические задачи , решаемые с помощью ... Инструкция по использованию microsoft Excel для решения задач лп 5 3 Одноиндексные задачи лп 6 > 3 Ввод исходных данных 6 > 3 Решение задачи 13 Инструкция 1. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 “РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ Microsoft Excel ” 1.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ Приобретение навыков решения задач линейного программирования (ЛП) в табличном... Некоторые понятия линейного программирования Документ Мы приведем решение этой задачи с помощью программы Tora. рассмотрим реализацию задачи линейного программирования в... задачи с помощью Microsoft Excel . 1. Осуществляем ввод данных в таблицу Excel (рис. 1). Рис. 1. Заполнение листа для решения задачи ...

Для решения задач линейного программирования симплекс-методом в среде MS Excel заполняются ячейки исходными данными в режиме чисел и формулами математической модели.

MS Excel позволяет получить оптимальное решение без ограничения размерности системы неравенств целевой функции.

Решим задачу о выпускаемых изделиях симплекс-методом применяя надстройку «Поиск решения» в MS Excel.

1. Заполните таблицу Excel в режиме чисел (рис.1)

2. Заполните таблицу Excel в режиме формул (рис.2)

Рис.1 Таблица в режиме чисел

Рис.1 Таблица в режиме формул

Здесь: В9:С9 – результат (оптимальное количество изделий каждого вида);

В6:С6 – коэффициенты целевой функции;

В10 – значение целевой функции;

В3:С5 – коэффициенты ограничений;

D12:D14 – правая часть ограничений;

B12:B14 – вычисляемые (фактические) значения левой части ограничений.

Решим задачу с помощью команды Данные/Поиск решения. На экране появляется диалоговое окно Поиск решения.

В поле Установить целевую функция будет показана ссылка на активную ячейку, т.е. на В10. Причем эта ссылка абсолютная. В секции Равной устанавливаем переключатель Максимальному (минимальному) значению в зависимости от целевой функции. Ограничения устанавливаются с помощью кнопки Добавить, которая вызывает диалоговое окно их ввода Добавление ограничения.

В поле ввода Ссылка на ячейку: указывается адрес ячейки, содержащей формулу левой части ограничения. Затем выбирается из списка знак соотношения. В поле Ограничение указывается адрес ячейки, содержащей правую часть ограничения. Щёлкаем на кнопку Добавить и повторяем до следующего ограничения. После ввода всех ограничений нажимаем ОК.

Так как все переменные несут условия неотрицательности, то их положительность задается через кнопку Параметры в окне диалога Поиск решения. После щелчка по ней, на экране окно Параметры поиска решения.

Устанавливаем флажок Сделать переменные без ограничений неотрицательными и выбрать Метод решения Поиск решения линеных задач симплекс-методом. Щёлкаем на кнопке Найти решение.

Excel предъявит окно Результаты поиска решения с сообщением о том, что решение найдено, или о том, что не может найти подходящего решения.

Если вычисления оказались успешными, Excel предъявит следующее окно итогов. Их можно сохранить или отказаться. Кроме того, можно получить один из трёх видов отчётов (Результаты, Устойчивость, Пределы), позволяющие лучше осознать полученные результаты, в том числе, оценить их достоверность.

После найденного решения, в ячейках В9:С9 появится оптимальное количество изделий каждого вида.

При сохранении отчета выберите – Отчет по результатам (рис.3).

Из отчета видно, что ресурс 1 не используется полностью на 150 кг, а ресурс 2 и 3 используется полностью.

В результате получен оптимальный план, при котором изделий 1 вида необходимо выпустить в количестве 58 шт., а изделий 2 вида в количестве 42 шт. При этом прибыль от их реализации максимальная и составляет 4660 тыс.руб.

Рис.3 Отчет по результатам

1. Со станции формирования ежедневно отправляются пассажирские и скорые поезда, составленные из плацкартных, купейных и мягких вагонов. Число мест в плацкартном вагоне – 54, в купейном – 36, в мягком – 18. В таблице указаны состав поезда каждого типа и количество имеющихся в парке вагонов различного типа. Определить число скорых и пассажирских поездов, которые необходимо формировать ежедневно, чтобы число перевозимых пассажиров было максимальным.

Решение транспортных задач

Транспортными задачами называются задачи определения оптимального плана перевозок груза из данных пунктов отправления в заданные пункты потребления.

	b 1	b 2	…	b k	…	b g
a 1	}   Статьи по теме: Удобство использования на высоком уровне Подробная расшифровка некоторых характеристик акустики Как найти потерянный, украденный ноутбук Как снять с флешки защиту от записи Еще тоньше, ярче и автономнее Новое: Как передать музыку по блютузу? История Huawei: Как китайский бренд меняет... Способы загрузки ос с флешки Как сделать на ноутбуке подсветку клавиатуры Создание MIDI мелодии в программе Anvil Studio Hover-эффекты для изображений на чистом CSS3... Популярное: Варианты переноса строк Как перейти на строчку... Надоела стандартная раскладка клавиш? Приложения для Android: обучающие программы для... Power bi отчет с 1с. BI - системы. Критерии для... Почему не работают USB порты на компьютере? Как Zello рация для Андроид помогает водителям optest.ru Copyright © 2024