(Документ)
1. Канал связи и преобразование информации в его элементах.
2. Классификация сигналов
3. Динамическое представление сигналов на основе функций включения и дельта–функций.
4. Спектральное представление сигналов (периодический сигнал).
5. Спектральное представление сигналов (непериодический сигнал).
6. Основные свойства преобразований Фурье.
7. Спектральные плотности модулируемых сигналов
8. Понятие случайного процесса. Стационарность случайного процесса.
9. Статистические параметры случайного процесса. Свойства.
10. Измерение характеристик случайного процесса.
11. Связь корреляционной и спектральной теории случайного процесса.
12. Физические системы преобразования информации и их математические модели.
13. Прохождение детерминированных сигналов через системы преобразования информации.
14. Прохождение случайных сигналов через системы преобразования информации
15. Классификация помех. Электрические помехи.
16. Методы борьбы с электрическими помехами.
17. Акустические помехи.
18. Измерение информации. Энтропия.
19. Энтропия дискретного сигнала
20. Энтропия непрерывных сигналов.
21. Энтропия статистически зависимых сигналов.
22. Информационная модель сигнала в интроскопии и акустике.
23. Кодирование и передача информации в дискретном канале
24. Передача сигналов по непрерывному каналу
25. Согласование характеристик сигнала и канала передачи
26. Оптимальные фильтры устройств обнаружения дефектов.
27. Согласованные фильтры
28. Методы синтеза оптимальных фильтров. Синтез согласованного фильтра для прямоугольного видеоимпульса спектральным методом.
29. Оптимальная фильтрация по критерию минимума среднеквадратичной ошибки.
30. Неразрушающий контроль изделий и обнаружение сигналов. Обнаружение сигнала методом статистических решений.
31. Обнаружение сигналов с использованием критерия Неймана – Пирсона.
32. Обнаружение сигналов на фоне реверберационной помехи.
33. Последовательные обнаружители.
34. Основные параметры и характеристики систем ОИ. Обобщённая методика расчёта систем ОИ.
35. Варианты задания исходных данных для определения параметра обнаружения
36. Частотные коэффициенты передачи основных звеньев приборов НК
37. Методика расчета параметров оптической системы прибора по требуемому отношению сигнал/шум
38. Выбор полосы пропускания, расчёт пороговой чувствительности, КПД системы первичной обработки информации (на примере оптико-электронного прибора)
Вопрос 1
1 Канал связи и преобразование информации в его элементах.
Информационным называется процесс, возникающий в результате установления связи между двумя объектами материального мира. При этом один из объектов является генератором информации (источником), а другой - приёмником информации (получателем).
Материальная среда, определяющая взаимодействие между источником и приёмником информации, называется каналом связи.
Общими элементами большинства каналов связи являются: источник информации, кодирующее устройство, приёмник информации, устройство хранения, обработки и отображения информации.
Любое устройство НК представляет собой систему преобразования информации. При этом преобразование информации необходимо производить объективно, т.е. без искажений.
Преобразование информации в элементах каналов связи можно условно разделить на следующие этапы:
Выбор информативных параметров с учётом поставленных целей и задач. Объект контроля характеризуется всегда большой совокупностью параметров. При реализации этого этапа необходимо определить, какие параметры наиболее важны для достижения поставленной цели, каким образом связаны с качеством объекта.
Формирование сообщений, т.е. преобразование информации в форму удобную для дальнейшего использования.
Ввод преобразованной информации в техническое устройство для последующей обработки Данный этап обычно включает следующие операции: считывание информации, образование кодовой комбинации для выбранных информационных элементов, передача кодовой комбинации в канал связи.
Этап передачи и приёма информации. Процесс передачи информации представляется как некоторое отображение множества сообщений в множество сигналов. Каждому элементу комбинация ставится в соответствие определённый сигнал или их последовательность.
Хранение и поиск информации. Необходимость этого этапа возникает в тех случаях, когда число приходящих в систему сообщений превышает пропускную способность устройства ввода.
Переработка информации. Данный этап предусматривает получение статистической характеристики, прогнозирования проведения информационного процесса.
Отображение информации. Сущность данного этапа заключается в представлении информации в наиболее удобной форме для восприятия.
Вопрос 2
2 Классификация сигналов
Под сигналом понимают процесс изменения во времени физического состояния какого-либо объекта.
В зависимости от вида модели, которой описывается сигнал (вещественная или комплексная), сигналы подразделяются на вещественные и комплексные.
Так же различают одномерные и многомерные сигналы. Одномерным называется сигнал, математической моделью которого является она функция времени.
Под многомерным сигналом понимают: сигнал, образованный совокупностью одномерных сигналов. Многомерные сигналы в практике НК используются достаточно часто, например, оценка качества продукции по нескольким информативным параметрам.
В зависимости от возможности или невозможности предсказания мгновенных значений сигнала в любой момент времени выделяют детерминированные и случайные сигналы. Детерминированный сигнал – сигнал модель которого позволяет осуществить такое предсказание. Если модель сигнала не позволяет осуществить такое предсказания, то сигнал называют случайным.
Различают сигналы непрерывные и импульсные.
Непрерывным наз-т сигнал, значение которого определенно в любой момент времени на отрезке наблюдения сигнала.
Импульсный сигнал представляет собой колебания в пределах конечного отрезка времени.
Сигналы разделяют на аналоговые и дискретные.
Аналоговым наз-т сигнал, значение которого можно измерить в любой момент времени на отрезке наблюдения сигнала.
В отличие от аналоговых сигналов дискретные сигналы
Воспроизводят значения только лишь в отдельные моменты времени.
Особой разновидностью дискретного сигнала является цифровой сигнал. Для цифрового сигнала отсчётные значения представляются в форме чисел.
В сущности, любой дискретный сигнал является сигналом аналоговым, если рассматривать сам сигнал как физический процесс. Дискретизация сигнала выполняется с определённой целью, например, передача по одному каналу нескольких сигналов одновременно. Такой режим называется режимом разделения времени.
Вопрос 3
3. Динамическое представление сигналов на основе функций включения и дельта–функций.
Преобразование сигналов в системах обработки информации требует располагать информацией не только о мгновенных значениях сигнала, но и знать поведение сигнала на всей временной оси. Способ получения таких моделей сигналов состоит в следующем. Реальный сигнал приближенно представляется суммой элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. При этом, если устремить к 0 длительности элементарных сигналов, то получим точное представление моделируемого (исходного) сигнала.
Для построения динамических моделей используют ступенчатые функции (ф-ции включения) и прямоугольные импульсы (?-функции).
1) Функция включения (Хэвисайда) ?(t):
(1) 
(2) 
(3)
В технике обработки сигналов используют допущения(2).
Построим график функции включения (см.2)
Функция представляет единичн. скачок в момент времени t.
В произвольный момент времени t0 функция имеет вид(3).
С помощью функции включения очень удобно строить модели прямоугольных видеоимпульсов.
2) Динамическое представление сигналов осуществляется с помощью?-функций. Предположим, что есть сигнал, представляющий прямоугольный импульс. Если для такого импульса длительность устремить к нулю, то амплитуда такого импульса будет неограниченно расти. Площадь импульса равна 1/? ?=1 Импульс с такими свойствами
Называют функцией Дирака(?-функцией) .
С точки зрения математики?-функция принимает значения:
С помощью?-функции можно осуществить динамическое представление сигнала в следующем виде: 
Если непрерывную функцию проинтегрировать во времени, предварительно умножив ее на?-функцию, то результат будет соответствовать значению непрерывной функции в точке, где сосредоточена?-функция. Фактически, данная формула показывает фильтрующие свойства?-функции. Это значит, что в любой момент может быть получено мгновенное значение сигнала S(t), но для этого необходима информация о характере поведения сигнала на всей временной оси.
Практическая реализация динамического представления сигнала осуществлена в приборах, обладающих возможностью измерения мгновенных значений сигнала.
Вопрос 4
4. Спектральное представление сигналов (периодический сигнал).
Наиболее часто для разложения сигналов используют совокупность гармонических колебаний кратной частоты, т.е. cos(nx) и sin(mx). Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических составляющих с кратными частотами, то говорят, что осуществлено спектральное разложение сигналов. При этом совокупность отдельных гармонических составляющих называют спектром сигнала. Гармонические составляющие кратной частоты используют для разложения сигналов по следующим причинам:
1) гармонические сигналы инвариантны (не чувствительны) относительно преобразований, осуществляемых линейными сигналами. Это значит, что цепь, возбуждённая источником гармонических колебаний имеет на выходе тоже гармонический сигнал.
2) техника генерирования гармонических сигналов относительно проста. Один и тот же сигнал имеет 2 совершенно равноправные мат. модели: функция во временной области S(t); функция в частотной области.
Для детерминированных сигналов она обозначается S(?) и называется спектральной плотностью сигнала. Часто мат. модель сигнала представляется во временной области и является сложной и не достаточно наглядной. В то же время описание сигналов в частотной области оказывается простым. Кроме того, спектральное представление сигналов открывает прямой путь к анализу прохождения сигналов через устройства и системы обработки. Периодический сигнал в частотной области м.б. представлен рядом Фурье:
В большинстве случаев n = m , при этом группа коэффициентов a i вычисляется:
В соответствии с записанными выражением, периодический сигнал составляет постоянную составляющую и бесконечно большое число периодических составляющих (гармоник). Частота? 1 называется основной
частотой
последовательности
.
Все остальные частоты называются кратными
частотами
.
Составляющие сигнала при n
=2,3
…
называются высшими
гармониками
. Графическое изображение спектрального разложения сигнала называют спектральной
диаграммой
. Различают амплитудные и фазовые спектральные диаграммы. В случае построения амплитудой спектральной диаграммы по горизонтальной оси в некотором масштабе откладывают частоты гармоник, а по вертикальной – амплитуды гармоник, сосредоточенных на этих частотах. При построении фазо-спектральной диаграммы по вертикальной оси – фазы гармоник, сосредоточенных на соотв. частотах.
Вопрос 5
5. Спектральное представление сигналов (непериодический сигнал).
Наиболее часто для разложения сигнала используют совокупность гармонических колебаний кратной частоты. Если к.-л. сигнал представить в виде суммы гармонических составляющих с кратными частотами, то говорят что осуществлено спектральное разложение сигнала. При этом совокупность отдельных гармонических составляющих называют спектром сигнала. Часто мат. модель сигнала, представленная во временной области является сложной и недостаточно наглядной. В то же время описание сигналов в частотной области оказывается простым. Метод разложения в ряд Фурье позволяет получить спектральное представление для непериодического сигнала. Наибольший интерес среди непериодических сигналов представляют импульсные сигналы. Для получения формулы непериодического сигнала мысленно дополняют временную ось таким же сигналом, а период в полученной последовательности устремляют к бесконечности. В этом случае ряд Фурье выражается в интеграл Фурье, а спектр сигнала становится сплошным.
(1) (обратное преобразование)
(2) (прямое преобразование)
(1) и (2) – пара преобразований Фурье.
Данные формулы применимы лишь в том случае, если выполняется условие Дирихле, а именно, функция S(t) должна быть абсолютно интегрируемой, а это значит, что
.
Т.о. в частотной области непериодический сигнал характеризуется спектральной плотностью, а его модель во временной области связана со спектральной плотностью парой преобразования Фурье.
Вопрос 6
6. Основные свойства преобразований Фурье.
1. Линейность.
Есть совокупность сигналов S1(t), S2(t),…, SN(t). S1(?) – спектральная плотность сигнала S1(t), S2(?) – сп. плотн. S2(t), SN(?) – сп.плотн. SN(t). При этом линейная комбинация указанных сигналов имеет спектральную плотность равную линейной комбинации спектральных плотностей этих сигалов.
2. Спектральная плотность сигнала смещённого во времени.
Сигнал S(t) имеет спектральную плотность S(?), то:
S(t-t0) ? S(?)·e-j·?·t0.
3. Зависимость спектральной плотности сигнала от выбора масштаба времени.
Сигнал S(t) имеет спектральную плотность S(?), то сигнал S(k·t) подверженный изменению масштаба времени будет иметь спектральную плотность 
.
4. Спектральная плотность произведения двух сигналов.
Если S1(?) – спектральная плотность сигнала S1(t), S2(?) – сп. плотн. S2(t), то:
S1(t)∙ S2(t) ?
(свёртка спектральных плотностей).
5. Спектральная плотность производной сигнала.
Если сигнал S(t) имеет спектральную плотность S(?), то производная сигнала S’(t) будет иметь спектральную плотность j?∙ S(?), где j? – оператор дифференцирования.
6. Спектральная плотность интеграла сигнала.
Если сигнал S(t) имеет спектральную плотность S(?), то
где 1/j? – оператор интегрирования.
Вопрос 7
7. Спектральные плотности модулируемых сигналов
В простейшем случае модуляция заключается в том, что один из параметров, характеризующий сигнал во временной области изменяют по определенному закону. Сигнал S(t) является гармоническим, амплитуду – А0, частота – ?0, нач. фаза – ?0.
В таком колебании все 3 параметра, характеризующие сигнал являются постоянными.
При модуляции, один из параметров изменяется по заранее известному закону, что с математической точки зрения может быть описано путем умножения изменяемого параметра на величину 1 + mF(t), где F(t) – называют модулирующей функцией, m – глубиной модуляции.
Предположим, что происходит амплитудная модуляция сигнала S(t), промодулированный сигнал обозначим 
.
Модулируемый сигнал, зависящий от времени окажется равным:
Сигнал, полученный с помощью модуляции.
Первое слагаемое в полученном выражении представляет собой исходное колебание, второе и третье – новые гармоники, которые появились в результате модуляции. Частоты этих гармоник?0–? и?0+? называются боковыми частотами. Т.о. модуляция сигнала ведет к изменению спектра сигнала, причем в большинстве случаев спектр сигнала становится более широким.
Вопрос 8
8. Понятие случайного процесса. Стационарность случайного процесса.
Понятие случайного процесса.
Теория случайных величин изучает вероятностные явления как фиксированные результаты некоторых физических экспериментов, т.е. изучает физические процессы в статике. Для описания сигналов, которые отображают, развивающиеся во времени, физические процессы методом классической теории вероятности оказалось недостаточно. Подобные задачи изучает особая ветвь в математике, которая называется теория случайных процессов.
Случайные процессы принято обозначать x(t). Случайный процесс x(t) – это особого вида функция, характеризующая тем, что в любой момент времени ее значение является случайным. Иногда говорят, что x(t) – случайная функция. Имея дело с детерминированными сигналами, мы отображаем их функциональной зависимостью S(t) или осциллограммой. Имея дело со случайным сигналом, приходящегося фиксировать мгновенное значение случайного сигнала и получать при этом единичную реализацию случайного процесса.
Случайный процесс x(t) представляет собой бесконечное число случайной реализации x i (t), которые образуют статистический ансамбль {x i (t)}.
Классификация случайных процессов.
Случайные процессы подразделяют на: стационарные и нестационарные, эргодические и неэргодические.
Деление случайных процессов на стационарные и нестационарные базируется на понятии плотности вероятности случайных процессов. (*)
Рассмотрим случайный процесс x(t) заданный статистическим ансамблем x1(t), x2(t)… (рис.). Зафиксируем момент времени t. Указанная процедура называется сечением случайного процесса и она позволяет получить выборку случайных процессов, которая характеризует состояние случайного процесса в момент времени x1. Зафиксируем момент времени t2 и рассмотрим сечение случайного процесса в данный момент времени.
Для двух случайных величин полученных в момент времени t1 и t2 можно ввести двумерную плотность вероятности p(x1,x2,t1,t2). Предположим, что зафиксировано n случайных измерений. В этом случаи можно говорить, о n-мерной плотности распределения вероятности p(x1,x2,…,xn,t1,t2,…,tn). Физический смысл показывает вероятность реализации случайной величины x1 в момент времени t1; вероятность реализации случайной величины x2 в момент времени t2.
Случайный процесс называется стационарным, если его n – мерная плотность распределения вероятности не зависит от временного сдвига по оси времени. Для определения стационарности и не стационарности случайного сигнала исследуют источник этого сигнала, и если обнаруживается, что нет явных изменений в параметрах источника сигнала, то генерируемый сигнал считается стационарным.
Некоторые стационарные процессы обладают интересным свойством. Оно заключается в том, практически каждая реализация случайного процесса ведет себя так, как и весь статистический ансамбль. В результате динамику такого случайного процесса можно изучать по одной из реализаций. Сам же случайный процесс называется эргодическим.
Вопрос 9
9. Статистические параметры случайного процесса. Свойства.
Используются следующие параметры:
1. Мат. ожид. случ. процесса m x (t)
2. Дисперсия D x (t)
3. Кореляц. ф-ция R x (t1,t2)
Мат. ожид. случ. Процесса - неслучайная ф-ция, значение которой при каждом фиксированном моменте аргументе моменте времени равно мат. ожид. сечения, соотв. этому моменту времени.
Дисперсия случ. процесса - неслучайная и неотрицательная ф-ция, значение которой при каждом фиксированном моменте времени равно дисперсии сечения, соотв. этому моменту времени.
Корреляц. ф-ция случ. процесса- неслучайная ф-ция, значение которой при каждой паре фиксированных аргументов равно корреляц. моменту сечений, соотв. данным величинам.
Статистические параметры могут быть вычислены математически и экспериментально.
Мат. ожид:
Дисперсия:
Корреляц. ф-ция:
Если корреляционные и взаимокорреляционные функции не зависят от аргументов, то процессы – стационарно связанные.
Описание процессов с помощью статических характеристик – корреляционная теория сл. процессов.
Вопрос 10
10. Измерение характеристик случайного процесса.
Измерение математического ожидания и дисперсии базируется на следующем принципе: сначала определяется плотность распределения вероятностей, а потом производится интегрирование полученного результата. Предположим, что имеется одна случайная реализация x(t). Оказывается, что одномерная плотность распределения вероятности эргодического случайного процесса пропорциональна времени пребывания случайных реализаций этого процесса на уровне между величиной x и x+∆х.
Устройство для измерения одномерной плотности распределения вероятности содержит компаратор, на один из входов которого подается случайная реализация x(t), на 2-ой вход уровень сигнала х, формирователь импульсов ФИ, интегрирующий прибор (стрелочный прибор, выполняющий функцию интегрирования).
Таким образом данное устройство позволяет измерять математическое ожидание случайного процесса. При измерении дисперсии случайного процесса после формирователя импульсов включается емкость С, а в качестве инерционного прибора применяют квадратичный вольтметр, который выполняет функцию возведения результатов измерения в квадрат.
Прибор для измерения корреляционной функции называется коррелометром. Принцип работы коррелометра следующий (1): мгновенное значение исследуемого сигнала после фильтрации постоянной составляющей разделяют на два канала. В одном из каналов осуществляют задержку сигнала на время?. После этого полученные сигналы перемножают, и результат перемножения измеряют инерционным прибором, осуществляющим интегрирование. Полученный результат соответствует корреляционной функции сигнала.
Вопрос 11
11. Связь корреляционной и спектральной теории случайного процесса.
Представление случайного сигнала в частотной области носит название спектральной теорией случайного процесса. Данная теория для описания случайного процесса использует спец. функцию, которую называют спектральной плотностью мощности случ. Процесса (спектром мощности). Wx(?) – спектр мощности случайного процесса х.
Посмотрим на аналогию детерминированного и случайного процессов: Sx(?) и Wx(?). Sx(?) и Wx(?) – величины различные. Но между моделями корр. и спектр. cвязаны преобразованиями Фурье. Спектр мощности Wx(?) и Rx(?) связаны между собой парой преобразования Фурье:
Для пояснения физического смысла Wx(?), положим: значение?=0, в этом случае корреляционная функция окажется равной дисперсии случайного процесса Rx(0)=D(x) , то есть дисперсия есть средняя мощность флуктуации среднего стационарного случайного процесса. Чем шире спектр мощности, тем хаотичнее реализация случайного процесса.
Wy (? ) > Wx (? ), Wy (? ) – шире. Необходимо отметить, что спектральная плотность мощности не содержит информации о фазовых соотношениях м-ду отдельными реализациями случ. процесса. Это значит, что по спектру мощности нельзя восстановить отдельную реализацию случ. процесса. Рассмотрим случ. процесс, который имеет постоянный спектр мощности Wx (? )= Wx (0)= const .
Случайный процесс с постоянным спектром мощности называют белым шумом. В природе он не существует. Белым шумом – называется мат. модель, которой удобно заменять на практике широко полостные случайные процессы с целью упрощения вопросов. Особенно выгодны такие замены в тех случаях когда полоса пропускания оказывается существенно уже ширины спектра шума.
Вопрос 12
12. Физические системы преобразования информации и их математические модели.
Системы, применяемые для обработки сигналов разнообразны как по принципам внутреннего устройства, так и по внешним характеристикам, однако в любом случае устройство обработки сигналов всегда представляет собой систему (совокупность блоков и связей между ними).
В структуре системы всегда можно выделить вход и выход.
Входной сигнал Uвх(t) и выходной сигнал Uвых(t) связаны между собой системным оператором Т:
Математической моделью системы называют совокупность системного оператора Т и двух областей Dвх – область допустимых входных сигналов и Dвых – область допустимых выходных сигналов.
С точки зрения классификации систем выделяют:
Стационарные и нестационарные
Линейные и нелинейные
Сосредоточенные и распределенные
Статические и динамические
Системы называются стационарными, если выходная реакция не зависит от того, в какой момент времени поступило входное воздействие
Иногда стационарные системы называют системами с постоянными параметрами. Если сигнал на выходе Uвых(t) зависит от выбора начала отсчета, то такую систему называют нестационарной или параметрической.
Система называется линейной если преобразование суммы двух сигналов эквивалентно сумме преобразований каждого сигнала в отдельности
Если данные условия не выполняются, то сумму называют нелинейной.
Линейные системы замечательны тем, что для них можно решить задачу о преобразовании сигнала.
Сосредоточенной называют такую систему, которая содержит соединительные проводники по длине гораздо меньше, чем длина волны распространяющегося по этим проводникам сигнала
Распределенной называется система, когда длина соединительных проводников превышает длину волны несущего колебания.
Динамическая система обладает следующим свойством: выходной сигнал определяется не только величиной входного сигнала в рассмотренный момент времени, но и состоянием сигнала в предшествующий момент времени.
Для статической системы нет зависимости от времени.
Вопрос 13
13. Прохождение детерминированных сигналов через системы преобразования информации.
Импульсной характеристикой системы называют отклик этого устройства на функцию Дирака?(t)
, 
.
В частотной области вводится понятие частотного коэффициента передачи системы, который связан с импульсной характеристикой h(t) этого устройства парой преобразований Фурье.
- прямое преобразование.
- обратное преобразование.
Таким образом любую систему можно обработки сигналов можно рассматривать либо во временной области с помощью импульсной характеристики, либо в частотной области с помощью частотного коэффициента передачи. Оба подхода являются равнозначными, а выбор одного из них диктуется, прежде всего, удобством математических расчётов.
Частотный коэффициент передачи использует простую интерполяцию: если на вход устройство подаётся гармонический сигнал с частотой и комплексной амплитудой, U вх, то амплитуда сигнала на выходе окажется равной:
,
K(jw)- отражает внутреннее состояние системы.
Методика анализа прохождения детерминированного сигнала через систему обработки информации состоит в следующем:
1) По импульсной характеристике h(t) находят частотный коэффициент передачи системы K(jw):
2) По модели сигнала во временной области S(t) находят спектральную плотность сигнала S(w):
.
3) Сигнал на входе устройства находят путём умножения спектральной плотности на входе на K(jw).
Вопрос 14
14. Прохождение случайных сигналов через системы преобразования информации
Расчёт сигнала на выходе системы в случае прохождения через неё случайного сигнала проводится следующим образом:
1) для устройства обработки информации по известной импульсной характеристике находим частотный коэффициент передачи (используя прямое преобразование Фурье):
;
2) по корреляционной функции сигнала находим спектр мощности (используя прямое преобразование Фурье):
;
3) спектр мощности на выходе устройства находится следующим образом:
;
4) корреляционную функцию на выходе системы находим, используя обратное преобразование Фурье:
.
Вопрос 15
15. Классификация помех. Электрические помехи.
По виду воздействия на сигнал различают аддитивные и мультипликативные помехи.
Помеха n(t), называется аддитивной, если действие этой помехи и полезного сигнала на устройство обработки независимы. Общий сигнал в тракте обработки в случае аддитивной помехи может быть представлен в следующем виде: X(t) = S(t)+n(t)
Помеха называется мультипликативной, если она модулирует полезный сигнал. Общий сигнал в этом случае оказывается равен: X(t) = a∙?(t)∙S(t),
Где S(t) – полезный сигнал; ?(t) – мультипликативная помеха; а – постоянный коэффициент, который показывает глубину модуляции (рис2)
В большинстве случаев при НК имеет место совместное действие мульт-й и аддитивной помехи. Тогда результирующий сигнал можно представить как:
X(t) = a∙?(t)∙S(t)+n(t)
Большинство помех при НК порождается электрическими процессами. Эти помехи называются электрическими. Они делятся на внутренние (возникают внутри аппаратуры) и внешние.
Существуют так же реверберационные помехи – возникают в результате рассеяния зондирующего излучения на неоднородностях в контролируемом материале.
Электрические помехи можно разделить на 3 класса:
1) флуктуационные; 2) квазигармонические;
3) импульсные.
1) Флуктуационные, представляют собой случайный процесс с нормальным законом распределения плотности вероятности. С физ-й точки зрения, флуктуационные помехи порождаются случайными отклонениями тех или иных физ-х величин от средних значений.
Флуктуационные помехи возникают в местах соединения отельных участков в цепи обработки сигналов; в различных элементах цепи от теплового шума; в источниках полезных сигналов и различного рода усилителях. Наиболее распространенная причина возникновения – тепловое движение.
2) К квазигармоническим помехам относятся сигналы посторонних радиостанций, излучение высокочастотных генераторов промышленного и медицинского назначения. Основным свойством помехи является то, что ширина спектра этого сигнала является чрезвычайно узкой.
3) Импульсные помехи представляют собой последовательность импульсов произвольной формы, произвольной длительности и амплитуды, возникающих в случайные моменты времени. К таким помехам относятся многие виды атмосферных (гроза) и индустриальных воздействий на аппаратуру НК.
Вопрос 16
16. Методы борьбы с электрическими помехами.
Универсальных способов борьбы с эл. помехами не существует. Наиболее распространенные способы борьбы с электрическими помехами, которые применяются в аппаратуре НК:
1) снижение уровня помех за счёт уменьшения числа источников помех. Этот способ основан на предотвращении возникновения источников помех или их подавлении путём компенсации.
3) способ основан на том, что помеха и полезный сигнал не коррелированны. Создаётся принципиальная возможность отделения помехи от полезного сигнала. Отделение полезного сигнала от помехи зачастую основано на использовании различных частотных спектров полезного сигнала и помехи. Данный способ получил название фильтрации. Устройства, которые выполняют фильтрацию, называются фильтрами.
Передача сигналов сопровождается шумами, которые искажают передаваемую информацию. Поэтому на протяжении всего развития техники связи центральной проблемой остается борьба с помехами и шумами (далее, обобщенно, - шумами). Если мощность полезного сигнала соизмерима со средней мощностью шума, трудно не только выделить, но и обнаружить сигнал. Одним из путей повышения помехоустойчивости является различение сигналов, соответствующих разным сообщениям. Затем нужно выбрать такой метод приема, который наилучшим образом реализует это различие. При этом важнейшей задачей является выделение информации с максимальной достоверностью - оптимальный (согласованный) прием. Для этого в состав приемника включают оптимальный фильтр, цепи после- детекторной обработки, следящие схемы АПЧ и ФАПЧ.
Уменьшение влияния шумов достигается различными способами, в том числе выбором наилучших характеристик цепей, через которые проходит смесь сигнала и шума. Основой большинства практических методов выделения сигнала из аддитивной смеси сигнала и шума в приемниках является оптимальная линейная фильтрация , использующая линейные частотные фильтры. Удобнее всего описывают оптимальные фильтры с помощью импульсной или частотной (коэффициент передачи) характеристики.
Критерии оптимального приема сигналов. В зависимости от назначения системы передачи информации и характера принимаемого сигнала на фоне действующих помех принимают различные критерии оптимального приема. В одних случаях критерием является обнаружение полезного сигнала, в других - разрешение сигналов, в третьем - измерение параметров этого сигнала.
Обнаружение - это сам факт приема полезного радиосигнала. Такой случай характерен для радиолокации.
Поп разрешением сигналов понимают, какое именно из нескольких возможных переданных сообщений поступило на вход радиоприемного устройства. Например, при передаче цифровых сообщений двоичным кодом необходимо определить, какой бит, 1 или 0, передан в данный момент по радиоканалу.
Измерение параметров сигналов позволяет извлечь необходимую информацию об объекте, с которого она поступила.
Качество принятого сообщения в зависимости от его характера оценивается по-разному. В цифровых системах передачи битовой информации это качество определяется вероятностью ошибки принятого символа. Например, если вероятность составляет 10 3 , то это означает, что из тысячи принятых бит один может быть ошибочным. При передаче речи качество принятого сообщения оценивается по его разборчивости, т.е. по числу правильно понятых слов, смысл которых не искажен. При передаче телевизионного сигнала вводится несколько критериев, по которым оценивается качество принятого изображения. Отмеченные разнородные критерии при передаче аналоговых сообщений являются функцией отношения мощности сигнала к мощности шума на выходе приемника.
При обнаружении сигнала в шумах наиболее эффективен критерий максимума отношения сигнал/шум по мощности на выходе фильтра. Линейный фильтр, для которого отношение максимально, называют оптимальным (подразумевая - наилучшим) или согласованным фильтром , а также коррелятором.
Отношение сигнал/шум. Используем в приемнике линейный фильтр с таким частотным коэффициентом передачи К(со), что значения его модуля |К(со)| велики в частотном диапазоне, где сконцентрирована основная доля мощности полезного сигнала, и малы в частотных областях, где существенна спектральная плотность мощности шума. Следует ожидать, что при подаче на вход оптимального фильтра аддитивной суммы полезного сигнала и шума на его выходе можно получить заметное увеличение отношения сигнал/шум. Оценим количественно данное положение. Пусть на входе линейного фильтра радиоприемника присутствует входное колебание, являющееся суммой полезного сигнала u(t) и шума r(t):
На практике и сигнал, и шум являются узкополосными с одинаковыми центральными частотами со 0 . Кроме того, они некоррелированны, т.е. среднее значение их произведения на некотором интервале Т равно
Также предположим стационарность шумов на протяженном интервале времени.
Интенсивность колебаний на входе линейного фильтра характеризуют значением среднего квадрата (средней мощности) входного сигнала, которая в силу равенства (7.2) есть сумма средних квадратов полезного сигнала и шума:
где о 2 - дисперсия (мощность) входного шума.
Для описания относительного уровня полезного сигнала вводят так называемое отношение сигнал/шум на входе фильтра
Отметим, что безразмерное число Q nx характеризует уровень сигнала по отношению к уровню шума весьма приближенно. Пользоваться этим отношением целесообразно лишь тогда, когда заранее известно, что колебания сигнала и реализации шума «схожи» между собой. Так, входной шум обычно хорошо описывается моделью нормального узкополосного случайного процесса. Отдельные реализации шума представляют собой квазигармони- ческие колебания. Естественно, что в этом случае можно пользоваться формулой (7.3) для оценки уровня полезных сигналов с амплитудной или частотной модуляцией.
Пример 7.1
Пусть на входе линейного фильтра действуют однотональный АМ-сигиал м дм(0 = U n cosoy и гауссов шум г(?)
с односторонним спектром мощности
Найдем отношение сигнал/шум на входе фильтра.
Решение
Средняя мощность АМ-сигпала согласно формуле (2.70)
Здесь первое слагаемое 0,5U 2 соответствует средней мощности несущего колебания, которое не содержит информации о передаваемом сообщении. Поэтому при расчетах помехоустойчивости принято опускать эту составляющую и считать
Дисперсия шума на входе фильтра
Отношение сигнал/шум U„M 2 /(F 0 Q) оказывается прямо пропорциональным квадрату коэффициента модуляции и обратно пропорциональным частоте модуляции.
Одним из основных параметров фильтров приемника является коэффициент передачи. Определим коэффициент передачи оптимального фильтра приемника при условии, что сигнал принимается на фоне белого шума с двусторонней спектральной плотностью мощности W 0 (односторонней N n = 2W tt).
Представим коэффициент передачи оптимального фильтра в виде
где К{ со) - АЧХ; (р^(со) - ФЧХ фильтра.
Пусть входной сигнал u(t) имеет спектральную плотность
Здесь S(со) и ф с (со) - амплитудный и фазовый спектры принимаемого сигнала.
Отметим некоторый, пока неизвестный, момент времени t = ? 0 , при котором отношение сигнал/шум на выходе фильтра будет максимальным. В соответствии с формулой (4.5) сигнал на выходе фильтра (линейного четырехполюсника)
Поскольку *? вых (со) = 5 цх (со)/С(со), то с помощью соотношения (3.28) находим среднюю мощность (дисперсию) белого шума на выходе фильтра".
Используя формулы (7.5) и (7.6), найдем отношение мощностей сигнала и шума:
Введем эквивалентный коэффициент передачи линейного фильтра:
Оптимальный коэффициент передачи анализируемого фильтра максимизирует правую часть выражения (7.7).
Задачу нахождения оптимального коэффициента передачи К((о) решают на основе неравенства Буняковского - Коши - Шварца, имеющего вид
Прямая подстановка показывает, что неравенство обращается в равенство, если
где А - постоянный коэффициент; S* (со) - функция, комплексно-сопряженная с 5(со).
Представим эквивалентный коэффициент передачи (7.8) в виде произведения с фазовым множителем:
Отсюда находим коэффициент передачи фильтра
Формула (7.9) полностью определяет коэффициент передачи оптимального фильтра, максимизирующего отношение сигнал/шум. Отсюда же следуют требования к АЧХ и ФЧХ оптимального фильтра:
По определению частотный коэффициент передачи - безразмерная величина, поэтому постоянный коэффициент А должен иметь размерность , обратную размерности амплитудного спектра входного сигнала S(со).
Суть метода обработки принимаемого сигнала оптимальным фильтром приемника поясняет рис. 7.21, где показаны спектры входных сигнала 5(со), белого шума W 0 и выходного сигнала 5 ВЬ1Х (со), а также АЧХ фильтра К(со) и энергетический спектр выходного шума aj(co).
Рис. 7.21.
а - спектры входных сигнала и шума; б - спектр выходного сигнала и АЧХ фильтра;
в - спектр выходного шума
Соотношение (7.10) устанавливает, что АЧХ фильтра К(со) должна с точностью до масштабного множителя А совпадать по форме с амплитудным спектром S(со) входного сигнала. Благодаря этому подавляющая часть спектральных составляющих входного сигнала, имеющих наибольшие амплитуды, проходит на выход оптимального фильтра без ослабления и вносит основной вклад в образование пикового значения. Из множества спектральных компонентов входного белого шума, располагающихся в бесконечной полосе частот, на выход фильтра проходят и не ослабляются те, которые находятся иод кривой его АЧХ, т.е. в ограниченной полосе частот. Это приводит к ослаблению средней мощности шума а 2 х на выходе фильтра по сравнению со спектральной плотностью мощности белого шума W 0 на входе. В результате этого действия отношение сигнал/шум на выходе оптимального фильтра увеличивается.
Формула (7.11), описывающая ФЧХ оптимального фильтра, трактуется как условие компенсации начальных фаз гармонических составляющих спектра выходного сигнала. Согласно этому условию оптимальный фильтр должен иметь такую ФЧХ, чтобы получаемый в нем фазовый сдвиг каждой гармоники -ф с (со) был равен по значению и противоположен по знаку начальной фазе соответствующей составляющей спектральной плотности S(со) входного сигнала. Оптимальный фильтр проводит компенсацию начальных фаз всех спектральных составляющих входного сигнала u(t ), в результате чего и образуется пик выходного сигнала. Составляющая ФЧХ -со? 0 указывает на то, что пик выходного сигнала задержан относительно начала действия входного сигнала на интервал t 0 . Связь между фазовой характеристикой ф с (со) входного сигнала, компенсирующей ее фазовой характеристикой -ф с (со) и ФЧХ фильтра поясняется на рис. 7.22. Фазовая характеристика выходного сигнала, определяемая формулой
показана на рис. 7.22 прямой линией.
Рис. 7.22.
Итак, коэффициент передачи фильтра, описываемый формулой (7.4), согласован с амплитудным и фазовым спектрами входного сигнала. Поэтому рассмотренный оптимальный линейный фильтр часто называют согласованным.
Вернемся к формуле (7.7) и рассмотрим энергетические соотношения между принимаемым сигналом и шумом на выходе исследуемого оптимального фильтра. Так как квадрат модуля комплексного числа равен квадрату его действительной части, то после несложных преобразований получим выражение
Числитель в формуле (7.13) в соответствии с равенством Парсеваля представляет собой энергию входного сигнала Э. Тогда последнее соотношение примет вид
Согласно формуле (7.14) оптимальный фильтр максимизирует отношение сигнал/шум, которое зависит от энергии входного сигнала и спектральной плотности мощности белого шума и не связано с формой входного сигнала.
Пример 7.2
Сигнал, поступающий на вход оптимального фильтра, представляет собой прямоугольный видеоимпульс с некоторой амплитудой Е и длительностью т н = = 10 мкс. Белый шум на входе фильтра имеет спектральную плотность мощности W 0 = 25 10 18 В 2 /Гц. Определим минимальное значение амплитуды Е, при котором возможно обнаружение сигнала, если приемник регистрирует его присутствие при отношении сигнал/шум Q mls = 3/W n = 2 дБ.
Решение
Требуемое значение отношения сигнал/шум найдем из условия 101g(3/W 0) = 2, откуда 3/W 0 = 1,57. Поскольку энергия импульса 3 = Е 1 т и, то
Импульсная характеристика оптимального фильтра. Чтобы определить импульсную характеристику оптимального фильтра, вычислим обратное преобразование Фурье от частотного коэффициента передачи (7.9). Используя уже применяемую ранее формулу для определения импульсной характеристики через коэффициент передачи
Поскольку 5*(со) = -5(со), то, переходя к новой переменной (о 2 = -со, после несложных преобразований запишем
Следовательно, импульсная характеристика оптимального фильтра совпадает с зеркально отраженной относительно оси ординат копией входного сигнала, сдвинутой на интервал? 0 по оси времени. Об этом говорит отрицательный знак при аргументе t в формуле (7.16). На рис. 7.23 показан прин-
Рис. 7.23. u(t) длительностью т и. Поскольку при t t 0 между началом действия сигнала на входе фильтра и моментом образования максимального пика сигнала на его выходе должна быть не менее длительности сигнала т и. Это одно (но недостаточное) из условий физической реализуемости оптимального фильтра, показывающее, что для создания максимального пика сигнала на выходе надо провести обработку фильтром всего входного сигнала u(t).
Фундаментальной особенностью оптимального фильтра является то, что обнаружение с его помощью сигнала в шумах зависит не от формы, а от его энергии. В частности, путем увеличения длительности входного импульса можно надежно обнаруживать сигналы небольшой амплитуды. Однако при этом проигрывают в скоростях обработки информации. Как правило, формы полезного сигнала на входе и выходе согласованного фильтра существенно отличаются друг от друга. В частности, задачей согласованного фильтра для двоичной системы является не восстановление формы сигнала, искаженной шумом, а получение одного отсчета, по которому можно судить о присутствии или отсутствии на входе фильтра сигнала известной формы.
За согласованным фильтром в приемнике может находиться выравнивающий фильтр, или эквалайзер; он необходим только в цифровых системах связи, в которых сигнал может искажаться вследствие межсимвольной интерференции, внесенной каналом. Принимающий и выравнивающий фильтры являются отдельными устройствами, что подчеркивает различие их функций. Впрочем, в большинстве случаев при использовании эквалайзера для выполнения обеих функций (а следовательно, и для компенсации искажения, внесенного передатчиком и каналом) можно включать единый фильтр. Такой составной фильтр называют просто выравнивающим или принимающим и выравнивающим.
Согласованным фильтром может быть пассивный фильтр на линиях задержки, или коррелятор, или специальное цифровое устройство, преобразующее входную смесь сигнал/шум в частотную область, умножающее полученный спектр на спектр, комплексно-сопряженный со спектром входного сигнала, на который настроен оптимальный приемник, и возвращающий результат обратно во временную область. Но в любом случае это будет устройство, АЧХ которого повторяет амплитудный спектр сигнала, а ФЧХ есть зеркальное отражение фазовой характеристики сигнала. Согласованный с неким сигналом фильтр - это линейный четырехполюсник, импульсная характеристика которого является зеркальным отражением этого сигнала.
Отметим, что функцию оптимального фильтра для входного сигнала в приемнике может выполнять коррелятор, что имеет важное практическое значение, поскольку в ряде случаев реализовать коррелятор проще, чем оптимальный фильтр. В возможности выполнять коррелятором функцию оптимального фильтра можно убедиться, сравнив спектры сигналов на выходе оптимального фильтра и коррелятора.
3. Модулированные сигналы. Теория передачи сигналовМодулированные сигналы различаются по виду переносчика (несущей) и по его модулированным параметрам. В качестве переносчиков в настоящее время широко используются гармонические колебания, периодическая последовательность импульсов и узкополосный случайный процесс. Каждый из этих переносчиков характеризуется определенным числом параметров. Параметры, изменяющиеся во времени под действием передаваемого сообщения, называются информационными, так как в их изменениях заложена передаваемая информация. Параметры, которые остаются неизменными, являются постоянными признаками сигнала; они могут быть использованы на приеме для отличения сигнала от помех. Во многих случаях модулированный сигнал можно представить как произведение двух функций
где - функция, представляющая несущее колебание (переносчик), а - модуляционная функция, выражающая воздействие передаваемого сообщения u (t ) на несущую f (t ). Когда для представления несущей выбирается аналитический сигнал (2.98), то для каждой модуляционной функции M (t ) существует комплексный модулированный сигнал s (t ). При аналитическом представлении сигнала его действительная и мнимая части соответствуют реально существующему модулированному сигналу, а его модуль определяет огибающую. В случае, когда несущей является гармоническое колебание , модуляционная функция выражает воздействие видеосигнала u (t ) на амплитуду (частоту или фазу) несущей.
Спектр модулированного колебания (3.1) согласно теореме о спектре произведения определяется сверткой
(3.2)
Отсюда следует, что процесс модуляции приводит к сложному преобразованию спектра сигнала. Если несущая представляет собой узкополосное колебание, то модуляция приводит к расширению спектра и переносу его в область около несущей частоты (рис. 3.1 а). Если несущая - чистая синусоида, то имеет место простое смещение спектра (рис. 3.1 б). Если несущая записывается в форме аналитического сигнала, спектр которого существует только для положительных частот, то частотное преобразование относится только к положительным частотам, как показано на рис. 3.1.
Рис. 3.1. Смещение спектра при модуляции: общий случай аналитической несущей (а), случай гармонической несущей (б)
К основным видам аналоговой модуляции относятся амплитудная модуляция (AM), фазовая модуляция (ФМ) и частотная модуляция (ЧМ). Разновидностями AM являются балансная (БМ) и однополосная (ОМ) модуляции.
Непосредственная передача. Наиболее простым сигналом для передачи непрерывного сообщения u (t ) является сигнал, пропорциональный u (t ):
s (t )= Au (t ), (3.3)
где А - некоторая постоянная. Такой сигнал соответствует форме (3.1), если в ней положить f (t )= A и М [ u (t )]= u (t ). Примером такой непосредственной передачи сообщений является обычная телефонная связь по проводам.
Амплитудная модуляция. Для этого вида модуляции: f
(t
)=,
где т - коэффициент модуляции.
Модулированный сигнал запишется
Это выражение даёт представление реального AM сигнала
Спектр сигнала в общем случае определяется как преобразование Фурье от s (t ):
Учитывая, что 
и 
где - спектр передаваемого сообщения. Отсюда видно, что при AM происходит перенос спектра сообщения на частоту (рис. 3.16). Ширина спектра сигнала F при AM в два раза шире спектра сообщения Fm :
u (t )=,
Из этого выражения следует, что амплитуда модулированного сигнала
изменяется от 
до 
, а мощность
сигнала соответственно от 
до 
Где мощность несущего колебания. Средняя мощность AM сигнала равна:
При m=l и Pcp =1,5 PH ; отношение средней мощности к максимальной равно 0,375. "Эти соотношения указывают на существенный недостаток амплитудной модуляции - плохое использование мощности передатчика.
Балансная модуляция (БМ). Кроме обычной AM применяется передача AM без несущей - балансная модуляция. Для этого вида модуляции:
f (t )=, (3.7)
Спектр сигнала при БМ
Здесь имеются только две боковые полосы - несущая отсутствует.
При однополосной модуляции (ОМ) передается только одна боковая полоса. Для этого вида модуляции при передаче верхней боковой полосы:
f
(t
)=,
(3.10)
Спектр сигнала ОМ
(3.12)
Действительно, если разложить функции u (t ) и (t ) в ряд Фурье:
и учесть, что cosx; и sinx являются парой преобразования Гильберта, по получим
Такое представление является аналитическим для всех >0. Замена модуляционной функции [ u (t )] на сопряженную ей *[ u (t )]= u (t )- i (t ) дает форму сигнала s (t ), соответствующую нижней боковой полосе.
Системы БМ и ОМ позволяют сократить бесполезный расход энергии на составляющую несущей частоты, а при ОМ дополнительно вдвое сократить ширину спектра передаваемого сигнала. Однако реализация указанных преимуществ требует более сложной аппаратуры.
Угловая модуляция. В случае угловой модуляции (ЧМ и ФМ) модуляционная функция имеет вид
При синусоидальной несущей f (t )= модулированный сигнал будет иметь следующее выражение:
Реальный сигнал
Это обычное представление сигнала с угловой модуляцией. Согласно (3.15) полная фаза высокочастотного колебания равна:
(3.16)
а мгновенная частота колебания изменяется по закону производной от , т. е.
(3.17)
Наоборот, при изменении частоты по закону ω(t ) (3.17) фаза колебания ψ(t) будет изменяться по закону интеграла от ω(t ):
(3.18)
В случае фазовой модуляции 
.
Тогда на основании (3.15) и (3.16)
имеем:
(З.19) (3.20)
При частотной модуляции по закону передаваемого сообщения изменяется частота несущего колебания
(3.21)
где- амплитуда частотного отклонения (девиация частоты). Полная фаза колебания при этом будет равна:
Тогда выражение ЧМ сигнала запишется в виде
При модуляции одним тоном, когда и (t )= cosΩt , выражения сигнала при ФМ и ЧМ по форме имеют одинаковый вид:
где т - индекс модуляции: при ФМ при ЧМ
Для определения спектра сигнала заменим в (3.24) косинус суммы двух углов по известным формулам из тригонометрии
Здесь для упрощения записи мы положим =0. Из теории бесселевых функций известны следующие соотношения:
где - бесселева функция первого рода k - г o порядка от аргумента т. После подстановки (3.26) и (3.27) в (3.25) получаем
Таким образом, оказывается, что даже при синусоидальных ЧМ и ФМ получается теоретически безграничный спектр. Он состоит из несущей ω0 и двух боковых полос . Амплитуда несущей А010(т) при ЧМ и ФМ. в отличие от AM, зависит от модулирующего колебания. При некоторых значениях т она может быть вообще равна нулю (т =2, 3; 5,4). Амплитуда боковых частот равна . Однако практически ширина спектра ЧМ и ФМ сигналов ограничена.
Рис. 3.2. Спектр сигнала с угловой модуляцией
На рис. 3.2 приведен спектр сигнала с угловой модуляцией одним тоном при m=5. Как видим, амплитуды боковых частот быстро убывают с увеличением номера гармоники k . При k > m составляющие спектра малы и ими можно пренебречь. Практически ширина спектра сигнала при угловой модуляции равна F=2(m+l)Fm, где F т = частота модулирующего колебания.
Различие между ЧМ и ФМ проявляется только при изменении частоты модуляции Ω. При ЧМ т=, поэтому при m >>1 полоса практически не зависит от Fm . При ФМ b
при m>>1 ширина спектра будет равна F =2 ΔφfmFm т. е. она зависит от модулирующей частоты Fm . В этом и состоит различие в спектрах ЧМ и ФМ.
В случае малого индекса модуляции спектр ЧМ и ФМ сигналов, так же как и в случае AM, имеет только три составляющие:
Это непосредственно следует из (3.28), если учесть, что при m << l sin (msinΩt ) msinΩt , а cos (msinΩt ) 1.
Сравнение (3.6) и (3.29) показывает, что различие спектров сигналов при AM и угловой модуляции заключается только в сдвиге фазы колебания нижней боковой частоты на 180° относительно его положения при AM. Это различие существенно и иллюстрируется векторными диаграммами, изображенными на рис. 3.3.
Рис. 3.3. Векторные диаграммы: AM сигнала (а), ЧМ сигнала (ш<1) (б)
Однополосная угловая модуляция. Если функция - аналитическая:
то сигнал
также является аналитической функцией при . Он не содержит отрицательных частот, хотя и имеет бесконечный спектр в области положительных частот:
Выражение (3.30) определяет новый модулированный сигнал. Этот сигнал представляет собой вариант сигнала однополосной угловой модуляции. Для доказательства этого рассмотрим случай частотной модуляции одним тоном u (t ) = sinΩt . Для этого случая функция φ(t ) и ее преобразование Гильберта принимают вид:
Где индекс модуляции. Модулирующая функция при этом преобразуется к виду
, а модулированный сигнал 
Отсюда видно, что спектр модулированного сигнала состоит из одной боковой полосы частот. Сигнал однополосной ЧМ можно получить из обычного ФМ сигнала путем преобразования Гильберта (например, посредством фазового сдвига на ) и модуляции амплитуды по экспоненциальному закону. Тогда ограничение такого сигнала в приемнике восстановит нижнюю боковую полосу частот и позволит применить для детектирования обычный дискриминатор.
При дискретной модуляции закодированное сообщение u (t ), представляющее собой последовательность кодовых символов {}, преобразовывается в последовательность элементов сигнала {} . Последние отличаются от кодовых символов лишь электрическим представлением. В частном случае дискретная модуляция состоит в воздействии кодовых символов {а i } на переносчик f (t ). Такая дискретная модуляция аналогична непрерывной.
Посредством модуляции один из параметров переносчика изменяется по закону, определяемому кодом. При непосредственной передаче переносчиком может быть постоянный ток, изменяющимися параметрами которого являются величина и направление. Обычно же в качестве переносчика, как и при непрерывной модуляции, используется переменный ток (гармоническое колебание). В этом случае можно получить амплитудную (AM), частотную (ЧМ) и фазовую (ФМ) модуляции. Дискретную модуляцию часто называют манипуляцией, а устройство, осуществляющее дискретную модуляцию (дискретный модулятор), называют манипулятором или генератором сигналов.
На рис. 3.4 приведены графики сигналов при различных видах манипуляции. При AM символу 1 соответствует передача несущего колебания в течение времени (посылка), символу 0 - отсутствие колебания (пауза). При ЧМ передача несущего колебания с частотой соответствует символу 1, а передача колебания соответствует 0. При ФМ меняется фаза несущей на 180° при каждом переходе от 1 к 0 и от 0 к 1.
Рис. 3.4. Сигналы при различных видах дискретной модуляции
Наконец, в настоящее время применяется относительная фазовая модуляция (ОФМ). В отличие от ФМ, в системе ОФМ фаза несущего колебания изменяется на 180° при передаче символов 1 и остается неизменной при передаче символов 0.
При ОФМ манипуляция каждой данной посылки осуществляется относительно предыдущей. Очевидно, таким способом можно манипулировать (изменять) любой параметр несущего колебания: при изменении частоты получим относительную частотную манипуляцию (ОЧМ), при изменении амплитуды относительную амплитудную манипуляцию (ОАМ). Дельта-модуляция, о которой мы упоминали в § 1.6, также является одним из видов относительной манипуляции.
Рассмотрим спектры сигналов при некоторых видах дискретной модуляции. Будем полагать, что модуляция производится двоичным сообщением u (t ), представляющим собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов с периодом .
Амплитудная манипуляция. Сигнал AM можно записать в виде
где периодическая функция u (t ) на интервале равна:
(3.33)
Представим u (t ) рядом Фурье
(3.34)
Тогда сигнал AM запишется в виде
(3.35)
Рис. 3.5. Спектр сигнала при амплитудной манипуляции
Спектр сигнала AM, построенный по ф-лам (3.35), показан на рис. 3.5. Он состоит из несущего колебания с амплитудой и двух боковых полос, спектральные составляющие которых имеют амплитуды
(3.36)
Огибающая спектра дискретного сигнала AM выражается формулой
(3.37)
т. е. представляет собой смещенный на частоту спектр одиночного импульсного сигнала u (t ).
Фазовая манипуляция. Сигнал ФМ можно записать в виде
Периодическая функция, определяющая закон изменения фазы на интервале , выражается формулой
(3.39)
Подстановка (3.39) в выражение (3.38) дает
Представим u (t ) рядом Фурье
Тогда сигнал ФМ запишется в виде
(3.40)
Рис. 3.6. Спектры сигналов при фазовой манипуляции
Спектр сигнала ФМ для различных значений девиаций фазы , построенной на
основании ф-лы (3.40), показан на рис. 3.6. Он состоит из несущего колебания и двух боковых полос.
Амплитуда несущего колебания зависит от : 
и при =-
обращается в 0. Амплитуды спектральных составляющихв боковых полосах также зависят от . При увеличении от 0 до , как видно из рис. 3.6,
амплитуда несущего колебания убывает до нуля, а амплитуды боковых частот
увеличиваются.
Когда =- вся энергия сигнала ФМ содержится только в боковых полосах. Так же, как и при AM, огибающая дискретного спектра боковых частот представляет собой смещенный на частоту спектр одиночного импульсного сигнала u (t ), умноженный нa sin:
(3.41)
Аналогично определяется спектр сигнала при частотной манипуляция.
В системах связи с импульсной модуляцией переносчиком Информации служит периодическая последовательность импульсов одинаковой формы
(3.42)
где U (t ) - нормированная функция, характеризующая форму импульса; A 0 - амплитуда импульса; - начало переднего фронта k -го импульса ; - период следования импульсов; - начало отсчета последовательности; - длительность k -го импульса, отсчитываемая на некотором заданном уровне.
3.7. Сигналы при различных видах импульсной модуляции
При модуляции один из параметров последовательности изменяется в соответствии с передаваемым сообщением (рис. 3.7). Так, при амплитудно-импульсной модуляции (АИМ) изменяется амплитуда импульса А:
(3.43)
Рис. 3.8. Параметры периодической последовательности прямоугольных импульсов
При широтно-импульсной модуляции (ШИМ) изменяется длительность импульса
(3.44)
где - максимальное отклонение фронта импульсов в одну сторону.
При фазовой импульсной модуляции (ФИМ) изменяется сдвиг
импульсов относительно тактовых точек .
При частотно-импульсной модуляции (ЧИМ) в соответствии с
передаваемым сообщением изменяется частота следования импульсов.
Так же, как и при ФИМ, импульсы сдвигаются относительно тактовых точек, но в другой закономерности. Различие между ФИМ и ЧИМ аналогично различию между ФМ и ЧМ синусоидального переносчика.
Периодическую последовательность прямоугольных импульсов
(рис. 3.8) можно записать в следующем виде:
Такую последовательность импульсов можно представить рядом Фурье. В соответствии с выражениями (2.67) и (2.68) имеем
,где 
,
В нашем случае
(3.47)
(3.48)
где 
Спектр амплитуд периодической последовательности прямоугольных импульсов приведен на рис. 3.9. Амплитуды спектральных компонент определяются значениями модуля спектральной плотности || (3.47) на гармониках частоты повторения . Форма огибающей частотного спектра периодической последовательности определяется формой отдельного импульса. С увеличением периода повторения интервал частот между соседними спектральными компонентами сокращается, их число растет, а амплитуда каждой компоненты уменьшается при сохранении постоянного соотношения между ними. При неограниченном увеличении периодическая последовательность вырождается в одиночный импульс, а линейчатый спектр становится сплошным.
Рис. 3.9. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов
Спектр периодической последовательности радиоимпульсов получается из спектра последовательности видеоимпульсов переносом шкалы частот на несущую частоту и дополнением полученного спектра его зеркальным отображением.
При модуляции параметры, входящие в выражения (3.46) и (3.48), являются функциями времени:. Модулированная последовательность будет представлять теперь уже непериодическую функцию, деформированную относительно исходной:
или согласно (3.48)
Полученная формула определяет частотный спектр деформированной последовательности импульсов. Для получения спектров сигналов при различных видах модуляции в ф-лу (3.50) необходимо подставить соответствующее выражение модулированного параметра.
Для примера найдем спектр при АИМ. При модуляции одним тоном u (t )= sinΩ (t ) и A = A 0 (1+ msinΩt ); остальные параметры последовательности неизменны:
После подстановки этих значений в (3.50) и несложных тригонометрических преобразований для частотного спектра АИМ сигнала получаем
На рис. 3.10 приведен график спектра АИМ сигнала. Сравнение его с рис. 3.9 показывает, что при АИМ модулируется по амплитуде каждая составляющая спектра немодулированной последовательности импульсов как изолированная «несущая». В спектре содержится низкочастотное модулирующее сообщение u (t ) с частотой Ω, следовательно, демодуляция при АИМ может быть осуществлена с помощью фильтра нижних частот, пропускающего низкочастотное колебание u (t ).
Аналогично определяется спектр и для других видов импульсной модуляции. Для вычисления спектра при ФИМ в (3.50) необходимо подставить выражение (3.45), определяющее изменение положения импульса в соответствии с передаваемым сообщением, а при ШИМ - выражение (3.44), определяющее изменение длительности импульса.
При импульсно-кодовой модуляции (ИКМ) передача отдельных значений сигнала сводится к передаче определенных групп импульсов. Эти группы передаются друг за другом через относительно большие промежутки времени по сравнению с длительностью отдельных импульсов. Каждая кодовая группа импульсов представляет собой регулярный непериодический сигнал, спектр которого может быть вычислен на основании преобразований Фурье обычным образом.
Рис. 3.10. Спектр АИМ сигнала
Ширина спектра последовательности импульсов практически не зависит от частоты повторения и определяется, главным образом, шириной спектра одного импульса. При наличии модуляции любого вида спектр расширяется незначительно за счет боковых частот крайних составляющих спектра немодулированных импульсов. Поэтому рабочая полоса частот, занимаемая импульсными сигналами, практически не зависит от вида модуляции и определяется длительностью и формой импульса.
До сих пор мы рассматривали модуляцию несущего колебания детерминированным процессом u (t ), который отображает определенное сообщение или отдельную его реализацию. Совокупность же возможных сообщений представляет собой некоторый случайный процесс. Так, при передаче речи или музыки статистические свойства передаваемых сообщений очень близки к свойствам нормального случайного процесса. Важнейшими характеристиками колебания, модулированного случайным процессом, являются функция корреляции и энергетический спектр.
Следует подчеркнуть, что модулированный сигнал является нестационарным случайным процессом даже тогда, когда модулирующие процессы (сообщения) стационарны. Энергетический спектр нестационарного случайного процесса определяется посредством двукратного усреднения - по множеству и по времени. Сначала определяется усредненная по времени корреляционная функция, а затем обратным преобразованием Фурье - искомый энергетический спектр.
Рассмотрим случай, когда передаваемое сообщение u (t ) представляет собой стационарный процесс с u (t )=0, а переносчик - гармоническое колебание .
При амплитудной модуляции
s (t ) = А0 cos ω 0 t ,
где m - среднеквадратическое значение коэффициента модуляции. Функция корреляции модулированного сигнала
где Bu (t ) - функция корреляции передаваемого сообщения u (t ). Как видим, функция B (t , τ) зависит от времени, что указывает на нестационарность модулированного сигнала. После усреднения по времени получаем
Применяя к В (τ) преобразование Фурье (2.84), находим энергетический спектр сигнала при AM
Таким образом, спектр модулированного по амплитуде гармонического колебания случайным процессом состоит из несущего колебания с частотой и смещенного на спектра передаваемого сообщения u (t ).
Сигнал при угловой модуляции (ЧМ и ФМ) можно записать в общем виде
s (t ) = А0 cos ,
При ФМ , а при ЧМ.
Здесь и - среднеквадратические значения девиации
соответственно фазы и частоты.
Функция корреляции модулированного сигнала
При усреднении по времени первое слагаемое обращается в нуль. Второе слагаемое не зависит от времени t поэтому
Обозначим разность и по известной формуле представим косинус суммы двух углов в виде
Средние по множеству значения косинуса и синуса можно найти, если известен закон распределения вероятностей сообщения u (t ). Если u (t ) подчиняется нормальному закону, то , являющееся линейным преобразованием от u (t ), также будет иметь нормальное распределение с нулевым средним значением и дисперсией . Легко убедиться, что в этом случае:
Таким образом, усредненная по времени функция корреляции сигнала при угловой модуляции
(3.54)
Дисперсию процесса можно выразить через функцию корреляции или энергетический спектр сообщения u (t ). Действительно.
где -
функция корреляции процесса .
При , поэтому 
; при ЧМ , где ,
поэтому 
. Далее можно определить энергетический спектр модулированного сигнала путем
преобразования Фурье (2.81) от функции (3.54).
В качестве переносчика можно использовать не только периодические колебания, но и узкополосный случайный процесс. Такие переносчики также находят практическое применение. Например, в оптических системах связи, в которых используется некогерентное излучение, сигнал, по существу, представляет собой узкополосный гауссов шум.
Согласно (2.36) узкополосный случайный процесс можно представить как квазигармоническое колебание
с медленно изменяющимися огибающей и фазой . При амплитудной модуляции в соответствии с передаваемым сообщением изменяется огибающая U (t ), при фазовой модуляции - фаза и при частотной - мгновенная частота .
Рассмотрим амплитудную модуляцию шумовой несущей. Выражение для модулированной несущей в этом случае можно записать в виде
y (t ) = f (t ), (3.57)
где f (t ) - переносчик, u (t ) - модулирующая функция (видеосигнал), m - коэффициент модуляции.
Предполагается, что модулирующий процесс u (t ) также представляет собой стационарный нормальный процесс со средним значением, равным нулю u (t ) = 0. Процессы f (t ) и u (t ) независимы. При этих ограничениях функция корреляции модулированной по амплитуде шумовой несущей будет
Теперь находим энергетический спектр
Первый интеграл дает энергетический спектр шумовой несущей . Для второго интеграла на основании теоремы о спектре произведения имеем
Окончательно спектр модулированной несущей будет равен:
Таким образом, спектр модулированной по амплитуде шумовой несущей получается суперпозицией спектра несущей и свертки этого спектра со спектром передаваемого сообщения, сдвинутого в область высоких частот на величину .Аналогично определяются функция корреляции и энергетический спектр при ФМ и ЧМ.
Применение «шумовых» сигналов позволяет ослабить влияние замираний в каналах с многолучевым распространением радиоволн. Поясним это на простейшем примере. Пусть на вход приемника поступают сигналы двух лучей и сдвигом на τ . время т. Мощность результирующего сигнала, определяемая за достаточно большое время Т,
где - функция корреляции сигнала, Р0 - его средняя мощность. Функция корреляции шума быстро убывает с увеличением т и тем быстрее, чем шире его спектр. Следовательно, при достаточно большой ширине спектра можно считать 0 и , т. е. средняя мощность принятого сигнала, несмотря на замирания, остается примерно постоянной.
Применение в качестве переносчика реализаций реального шума связано с определенными трудностями, которые возникают при формировании и приеме таких сигналов. Поэтому на практике нашли применение шумоподобные сигналы. Эти сигналы не являются случайными. Они формируются по определенному алгоритму. Однако их статистические свойства близки к свойствам шума: энергетический спектр почти равномерный, а функция корреляции имеет узкий основной пик и небольшие боковые выбросы. Шумоподобные и шумовые сигналы относятся к типу широкополосных сигналов (TF >>1).
В настоящее время известны методы формирования шумоподобных сигналов, которые при большой базе 2TF позволяют независимо воспроизводить их на приемном и передающем концах и отвечают требованиям синхронизации этих сигналов.
Широкое применение находят дискретные сигналы, которые строятся следующим образом. Информационная посылка длительностью Т разбивается на N бинарных элементов длительностью (рис. 3.11). Такое разбиение позволяет получить сигнал длительностью Т с полосой - и значением базы 2 TF . Последовательности бинарных элементов образуют коды, которые выбираются так, чтобы обеспечить заданные свойства сигнала. С помощью модуляции или гетеродинирования формируется высокочастотный сигнал, который передается по каналу. Часто при этом используется модуляция фазы на два положения: 0 и π
Функция корреляции дискретных сигналов при достаточно большом значении числа элементов N имеет главный максимум, сосредоточенный в области , и боковые лепестки, имеющие сравнительно малый уровень (рис. 3.11). Эта функция сильно напоминает функцию автокорреляции отрезка шума с полосой F . Отсюда и произошло название шумоподобные сигналы.
В системах связи, в которых используются шумоподобные (составные) сигналы, каждый элемент сообщения передается не одним, а несколькими элементами сигнала, несущими (повторяющими) одну и ту же информацию. Число N может достигать нескольких сотен и даже тысяч. Как будет показано в дальнейшем, это позволяет реализовать накопление сигнала, обеспечивающее высокую помехоустойчивость даже в том случае, когда уровень сигнала ниже уровня помех.
Рис. 3.11. Принцип построения сложного широкополосного сигнала
Обширный класс дискретных сигналов строится на основе линейных рекуррентных последовательностей. Эти сигналы имеют хорошие корреляционные свойства и сравнительно несложную практическую реализацию. Структура сигналов имеет случайный характер, хотя способ их формирования вполне регулярен. Непрерывные ФМ сигналы, построенные на основе рекуррентных последовательностей, могут иметь почти идеальную автокорреляционную функцию.
Среди линейных рекуррентных последовательностей особое место занимают псевдослучайные М -последовательности Хаффмена. Они представляют собой совокупность N периодически повторяющихся символов , каждый из которых может принимать одно из двух значений: +1 или -1. Это значение определяется взятым с противоположным знаком произведением значений двух или большего числа (но всегда четного) предыдущих сигналов
и . Почти каждому целому числу п соответствует несколько чисел k , при которых по правилу (3.60) образуется последовательность.Из выражения (3.63) следует, что число N является максимальным периодом бесконечной последовательности Хаффмена. Могут образоваться также последовательности меньшего периода. Максимальное число различных последовательностей максимального периода для любого п равно:
(3.64)
где - функция Эйлера.
Бинарные псевдослучайные последовательности Хаффмена обладают рядом замечательных свойств. Нормированная функция автокорреляции в непрерывном режиме работы имеет главный максимум, равный единице, и одинаковые по величине боковые лепестки, равные . Функция взаимной корреляции для различных последовательностей равна -1/М. В импульсном режиме работы уровень боковых лепестков не превышает величины . Различные последовательности при заданном п отличаются как порядком чередования символов +1 и -1, так и максимальным значением боковых лепестков. При этом можно указать последовательность, у которой максимальный уровень боковых лепестков будет наименьшим среди возможных последовательностей для заданного п. Генерирование псевдослучайных последовательностей Хаффмена сравнительно просто осуществляется с помощью регистров сдвига.
Кроме сигналов Хаффмена, практическое применение находят и другие виды дискретных сигналов. Можно указать сигналы ПэлиПлоткина, последовательность символов Лежандра, коды Баркера, многофазные коды Фрэнка . Возможны, наконец, различные варианты составных сигналов.
В радиолокации широко применяются сигналы с линейным изменением частоты внутри импульса (ЛЧМ). Объясняется это тем,. что сигналы ЛЧМ имеют хорошие корреляционные свойства и прием их легко может быть осуществлен с помощью согласованных фильтров.
Шумоподобный сигнал может подвергаться всем известным способам модуляции. При амплитудной модуляции изменяются амплитуды всех его элементов. При частотной модуляции варианты сигнала отличаются средней частотой, при фазовой - разностью фаз между элементами двух посылок.
Специфическим видом модуляции, свойственным только широкополосным системам связи, является структурная модуляция или модуляция по форме сигнала. В этом случае в качестве вариантов сигнала используются колебания, построенные из одинаковых элементов, но с разным взаимным расположением этих элементов. Например, двоичную передачу можно осуществить с помощью сигналов вида:
Аналогично строятся многопозиционные широкополосные системы
со структурной модуляцией. В этом случае используется ансамбль шумополобных
сигналов 
.
При
этом, конечно, различие между этими сигналами должно быть достаточным для их
разделения на приеме. С этой точки зрения большой интерес представляют
противоположные и ортогональные сигналы.
1. Изобразите векторные диаграммы AM и ЧМ сигналов.
2. Определите среднюю мощность AM сигнала.
3. При каком виде модуляции ширина спектра сигнала минимальна? Чему она равна? Чему равна ширина спектра ЧМ сигнала?
4. Перечислите основные виды дискретной модуляции. Поясните принцип ОФМ.
5. Докажите, что при спектр сигнала при фазовой манипуляции ничем не отличается от спектра сигнала при балансной модуляции.
6. Назовите основные виды импульсной модуляций. Поясните их принцип.
7. Чем в основном определяется ширина спектра сигнала при импульсной модуляции?
8. Поясните принцип модуляции шумовой несущей.
9. Изобразите графически смещение спектра при шумовой и гармонической несущих.
10. Поясните принцип построения дискретных шумоподобных сигналов. Приведите примеры.
11. Является ли дискретная псевдослучайная последовательность случайным процессом? В чем ее сходство с шумом?
12. Как осуществляется модуляция шумоподобных сигналов?
Глава 13. OBPAEOTKA СИГНАЛОВ
В ПРИЕМНИКЕ
13.1. ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИИ ПРИЕМНИКА
Условия приема . Исходя из особенностей передачи электрических сигналов по линиям электросвязи (см. ч. 3), можно считать, что в подавляющем большинстве случаев наблюдаются следующие условия приема:
1. Принятый сигнал из-за значительного ослабления линий связи (как проводных, так и радио) имеет весьма низкий уровень: 1 ... 10 мкВ в магистральной радиосвязи на метровых волнах, 10-" ...10-"4 Вт - в спутниковых каналах, - 50... - 55 дБо - ;
в канале тональной частоты кабельных линий и т. д.
2. На входе приемника, кроме полезного модулированного сигнала, всегда присутствуют помехи. Это не только внешние и внутренние шумы различного происхождения, но и сигналы посторонних -радиосредств в радиосвязи, других каналов многоканальной электросвязи, которые для заданного сигнала являются помехами. Суммарная мощность всех помех может в сотни и тысячи раз превосходить мощность полезного сигнала. Так, близко расположенный передатчик может наводить в антенне ЭДС до 0,1...05 В.
3. При организации приема всегда имеются предварительные (априорные) сведения о передаваемом сигнале. К ним относятся сведения о несущей частоте, виде модуляции, амплитуде, длительности, коде и т. д. Это весьма важное обстоятельство, так как
абсолютно неизвестный сигнал нельзя принять (как различить, чем сигнал отличается от помехи?).
Известные параметры сигнала используются в приемнике для лучшего отделения сигнала от помехи. Чем больше мы знаем о сигнале, тем совершенней могут быть методы приема. Однако сигнал, о котором заранее все знаем, никакой информации не несет.
Задача приема . В зависимости от вида и назначения системы связи при приеме сигналов возникают следующие основные задачи: 1) обнаружение сигналов, 2) различение сигналов и 3) восстановление сигналов.
При обнаружении сигналов задача сводится к получению ответа на вопрос, имеется на входе приемника сигнал или нет, точнее, имеются ли на входе сигнал плюс помеха или толькопомеха.
Это типичная задача радиолокации, она также имеет место в системах с пассивной паузой, когда при передаче элемента кодовой комбинации 0 сигнал отсутствует (пауза).
При передаче двух и более дискретных сигналов возникает задача не обнаружения, а различения сигналов . Здесь необходимо дать ответ на вопрос: какой из сигналов s>, или s 1 , или s 2 ,....., или s m имеется на входе? Ответ на этот вопрос определяется уже не свойствами каждого сигнала в отдельности, а их различием. Основное значение имеет степень отличия одного сигнала от другого. Естественно стремиться к тому, чтобы это отличие было значительным и устойчивым к воздействию помех. Этими соображениями руководствуются при выборе типа сигнала и вида модуляции.
Случай обнаружения можно рассматривать как частный случай различия двух сигналов, когда один из них тождественно равен нулю.
Задача восстановления первичного сигнала существенно отличается от задач обнаружения и различения сигналов. Она состоит в том, чтобы получить принятый первичный сигнал u пр (t),наименее отличающийся от переданного u(t), т. е. восстановить
форму переданного первичного сигнала. При этом переданный первичный сигнал и(t) заранее неизвестен, известно лишь, к какому классу он принадлежит (речевой, вещательный, телевизионный и др.) и некоторые его параметры. Задача восстановления
возникает и решается при передаче непрерывных (аналоговых) первичных сигналов и является более трудной, так как обычно от приемника требуется высокая точность восстановления.
Главные функции приемника . Условия приема требуют выполнения в приемнике следующих основных операций над принятым совместно с помехами сигналом: обработка, усиление, демодуляция. Эти главные функции приемника взаимосвязаны ме-
(жду собой и выполняются не обязательно в указанной выше последовательности.
Обработка принятого сигнала , под которой понимают процесс выделения сигнала из его смеси с помехами, является одной из важнейших функций приемника. Основная цель обработки - увеличение отношения сигнала к помехе. Только обеспечив превышение сигнала над помехой, можно его усиливать и демодулировать. Обработка сигналов обычно не сосредоточена в какой-то части приемника, а является неотрывной функцией всех его блоков и, как правило, сводится к тем или иным методам фильтрации.
Извлечение из принимаемого сигнала модулирующего первичного сигнала происходит в демодуляторе приемника . Однако неследует думать, что демодуляция всего лишь операция, обратнаямодуляции, выполняемая над пришедшим из канала модулированным сигналом. Эта простейшая обратная операция выделенияинформационного параметра переносчика осуществляется детектором.
Задача демодулятора является более широкой. В результате искажений и
воздействия помех пришедший к детектору сигнал может существенно отличаться от переданного. Для лучшего воспроизведения первичного сигнала принятый сигнал не
только детектируется, а также подвергается анализу с учетом всех априорных сведений о переданном сигнале, поэтому демодулятор, помимо детектора, содержит цепи последетекторной обработки.
Додетекторная обработка обычно осуществляется резонансными усилителями в радиоприемных устройствах различного на- значения, полосовыми фильтрами в аппаратуре многоканальной электросвязи, обеспечивающими необходимую частотную селекцию.
При приеме непрерывных первичных сигналов функцию последетекторной обработки выполняет фильтр нижних частот, дающий улучшение качества подачи детектированного сигнала к воспроизводящему устройству.
При приеме дискретных первичных сигналов в функцию приемника не входит восстановление формы переданного сигнала, поскольку она известна. В демодуляторе в результате анализа принятого сигнала должно быть принято решение, какой из стандарт
ных дискретных сигналов передавался. Это решение поступает к декодеру. Та часть демодулятора, которая осуществляет анализ параметров приходящих сигналов и принимает решение о переданном сигнале, называется решающим устройством (или решающей схемой). Для двоичных сигналов это обычно сравнивающее устройство, подключаемое к целям последетекторной обработки. Цель обработки состоит в таком преобразовании сигналов, чтобы они имели максимальное отличие от помех и друг от друга. Тогда уменьшается вероятность ошибочных решений.
Обобщенная структурная схема демодулятора, осуществляющего вышеприведенные операции над сигналами, приведена на рис. 13.1. В некоторых случаях при приеме дискретных сигналов детектор может отсутствовать. В этом случае в демодуляторе про водятся обработка и анализ дискретно-модулированных сигналов и по их различию принимается решение.
Рис. 13.1 Структурная схема обработки сигналов в демодуляторе: а – непрерывных сигналов; б – дискретных сигналов
Усиление сигналов до величин, при которых могут нормально работать детектор, решающее или воспроизводящее устройства, производится совместно с их обработкой фильтрацией. В настоящее время благодаря освоению транзисторов, микросхем, СВЧ и квантовых приборов особых трудностей в получении требуемого коэффициента усиления не возникает. Главное внимание при проектировании усилителей обращается на линейность АЧХ и ФЧХ в полосе частот сигнала, шумовые свойства и распределение усиления в канале связи.
Когерентный и некогерентный приемы . Любой модулированный сигнал при гармонической несущей характеризуется начальной фазой, которую можно учитывать или не учитывать при приеме. Если прием производится с учетом начальной фазы, то он называется когерентным; прием без учета фазы- некогерентный. Обычно сведения о начальной фазе принимаемого сигнала используются при детектировании.
Детектирование сигнала с учетом начальной фазы (когерентный прием) обеспечивает увеличение отношения сигнал-помеха на выходе детектора в 2 раза по сравнению с некогерентным приемом. Это объясняется тем, что на выходе когерентного детектора напряжение помехи пропорционально косинусу разности фаз сигнала и помехи ,. Составляющие помехи с ослабляются по косинусоидальному закону, а помехи с вообще не оказывают никакого мешающего действия на сигнал, поскольку cos() =0.
Цифро вая обработка . Развитие микроэлектроники и ЭВМ позволяет перейти от аналоговой к цифровой обработке сиг- налов, в первую очередь последетекторной. Для этого непрерыв- ный сигнал одним из способов преобразуется в цифровой (см. ф 16.2). Затем с помощью микропроцессора или специализирован- ной ЭВМ проводятся математические операции над числами. Это и есть цифровая обработка. При этом можно обеспечитывысокую ее точность и быструю адаптацию к изменяющимся внешним ус- ловиям (достаточно сменить программу действий).
Цифровая обработка.не только позволяет осуществлять традиционные операции обработки (фильтрация, интегрирование, частотное и временное разделение сигналов и др.), но и выполнять сложные, ранее трудно реализуемые методы разделения сигнала и помех. За ней будущее техники электросвязи.
13.2. ФИЛЬТРАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ
Оптимальный фильтр . Идея частотной фильтрации основана на отличии спектров полезного сигнала и помехи. При приеме непрерывных сигналов задачей приемника является восстановление формы переданного первичного сигнала. От фильтров обработки требуется не только подавление помехи (узкая полоса пропускания), но и неискаженная передача сигнала (широкая полоса пропускания). Какие же характеристики должен иметь фильтр с такими противоречивыми требованиями к нему?
Естественным является стремление разработчиков реализовать наилучший (оптимальный) фильтр. Общей оценкой качества передачи непрерывных сигналов является среднеквадратическая разность (ошибка) (1,5), поэтому оптимальным будет фильтр, минимизирующий ее.
Задача отыскания оптимального фильтра непрерывных сигналов по критерию минимума в начале 40-х годов была решена независимо выдающимися математиками нашего времени акад. А. Н. Колмогоровым и американским ученым Н.Винером. Найденный ими фильтр называют оптимальным линейным фильтром Колмогорова - Винера . Параметры фильтра определяются спектральными характеристиками сигнала и помех.
Передаточная амплитудно-частотная характеристика фильтра
(13.1)
где G s (), G n () - спектральные плотности мощности сигнала и
помехи соответственно. Фазочастотная характеристика при любых, сигналах и помехах должна быть линейной, поскольку только линейная ФЧХ обеспечивает отсутствие линейных искажений
Анализ АЧХ фильтра Колмогорова- Винер а.
В общем случае из (13.1) следует, что когда спектры сигнала и помехи полностью или частично перекрываются, коэффициент передачи оптимального фильтра уменьшается с увеличением спектра помехи. Тем самым в оптимальном фильтре создаются условия,
при которых подавление спектра помехи сопровождается возможно меньшим подавлением (искажением) спектра сигнала.
На практике в системах электросвязи при фильтрации непрерывных сигналов наиболее часто встречаются следующие случаи:
1. Спектры сигнала и помехи имеют примерно одинаковую интенсивность, но не перекрываются, т. е. для тех частот а, где спектральная плотность мощности сигнала G s () 0, помехи отсутствуют: G n () =0 и наоборот (рис. 13.2,a). Это типичный случай многоканальной электросвязи с частотным разделением каналов, радиосвязи, где помехами являются сигналы других каналов или посторонних радиостанций. Из (13.1) получим
В этом случае оптимальным оказывается идеальный полосовой (или низкочастотный) фильтр , полоса пропускания которогосовпадает с полосой, занимаемой сигналом. Физически этот результатлегко объясним: фильтр выделяет спектр сигнала и полностью подавляет спектр помехи. На выходе такого фильтра оказывается сигнал, полностью «очищенный» от помехи, что и тре-
Рис. 13.2 Амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра: а – спектры сигнала помехи не перекрываются; б – спектры сигнала и помехи перекрываются
буется для получения наилучшего качества восстановления сигнала.
2. Спектры сигнала и помехи перекрываются, но интенсивность (спектральная плотность мощности) помехи намного меньше сигнала, т. е. 
Такими помехами являются внутренние и внешние помехи типа белого шума в правильно спроектированных каналах связи, когда отношение сигнал-помеха много больше единицы. Тогда в знаменателе уравнения (13.1) значением G n () можно пренебречь и снова получить для Н опт () соотношение (13.2): оптимальным оказывается идеальный фильтр, описанный в п. 1.
3. Спектры сигнала и помехи перекрываются, но помеха является узкополосной по сравнению с сигналом, а ее спектральная плотность мощности намного превышает спектральную плотность мощности сигнала: 
Это случай воздействия на
сигнал мощных сосредоточенных помех (фон переменного тока 50 Гц, контрольные частоты в многоканальной электросвязи и др.). Из (13.1) следует, что
т. е. в таких случаях в тракт приемника, кроме идеального полосового фильтра, включается идеальный заграждающий фильтр, обеспечивающий подавление помехи в ее полосе (рис. 13.2,б).
Частотные фильтры систем связи . Из теории оптимальной фильтрации следует, что в большинстве случаев для наилучшего разделения сигнала и помехи требуются идеальные полосовые, низкочастотные или режекторные фильтры. Но из теории цепей известно, что идеальные фильтры практически нереализуемы, поэтому в системах передачи непрерывных сигналов используют фильтры с характеристиками, в той или иной степени приближающимися к идеальным. Требования к АЧХ как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания обычно задаются ГОСТ на аппаратуру.
Находят применение следующие типы фильтров:
Баттерворта с максимально плоской амплитудно-частотной характеристикой в полосе пропускания;
Чебышева с равновеликими пульсациями амплитуды в полосе пропускания и монотонным затуханием в полосе задерживания либо с равновеликими пульсациями в полосе задерживания и максимально плоской характеристикой в полосе пропускания;
Гаусса (Бесселя) с линейной фазо-частотной характеристикой и некоторые другие.
Традиционно в аппаратуре связи использовались и продолжают использоваться LC-фильтры. Эти фильтры достаточно дешевы, легко перестраиваются по частоте, обладают малыми собственными потерями и, соответственно, малыми собственными шумами. Это позволяет применять их во входных цепях малошумящих усилителей.
В проводных системах связи фильтры обычно реализуются в виде одного фильтра высокого порядка (так называемые полиномиальные фильтры сосредоточенной избирательности). В усилительных трактах радиоприемных устройств с невысокими требованиями к избирательности применяется так называемая распределенная избирательность, когда одноконтурные или двухконтурные фильтры помещаются в, разных каскадах. Параметры таких фильтров хуже полиномиальных, но при заданной добротности звеньев каскадная реализация позволяет получить более узкую полосу пропускания.
Кроме LC-фильтров, в настоящее время на низких и средних частотах (до единиц мегагерц) эффективно используются активные RC-фильтры, на более высоких частотах - отрезки длинных линий (см. ф 8.8).
Большие потенциальные возможности по фильтрации на частотах до десятков мегагерц открываются с применением цифровых фильтров и фильтров на основе пьезотроник и (кварцевые, пьезокерамические, электромеханические пьезофильтры и др.).
Они по некоторым параметрам, в частности по приближению АЧХ к прямоугольной, существенно превышают LC-фильтры.В конкретной аппаратуре применение тех или иных фильтроврашается на основе технико-экономического анализа.
13.3. ОБРАБОТКА ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
Согласованная фильтрация . Одним из основных методов обработки дискретных сигналов является фильтрация . Цель фильтрации такая же, как и при приеме непрерывных сигналов, но требования к фильтру существенно другие. Конечно, фильтр должен подавлять помеху и чем больше, тем лучше, однако при этом допускается искажение формы сигнала . Напомним, что при приеме дискретных сигналов основной задачей приемника является обнаружение или различение сигналов. На фоне помех сигнал легче обнаружить, если он имеет импульсный характер и по амплитуде превышает помехи (рис. 13.3). Качество обнаружения сигналов будет тем лучше, чем больше отношение пиковой мощности сигнала к дисперсии (средней мощности) помехи.
Фильтр, который обеспечивает максимальное отношение сигнал-помеха на выходе, получил название оптимального согласованного фильтра. Характеристики согласованного фильтра для заданного сигнала s(t) при воздействии на него помехи типа белого шума со спектральной плотностью мощности N 0 следующие: комплексная передаточная функция
Импульсный отклик
(13.4)
отношение сигнал-помеха на выходе
(13.5)
где F" () = - функция, комплексно сопряженная со спектром сигнала; 
с
- произвольный коэффициент пропорциональности, t 0
- момент, при котором амплитуда сигнала на выходе фильтра принимает максимальное значение (задержка в фильтре); W s - энергия сигнала.
Из (13.3) следует, что комплексная передаточная функция согласованного фильтра является величиной, комплексно сопряженной со спектром сигнала (с точностью до постоянной задержки, определяемой множителем ). Если выражение (13.3) переписать в виде двух равенств
то из них видно, что АЧХ согласованного фильтра с точностью до постоянного множителя совпадает с амплитудным спектром сигнала, а ФЧХ - с фазовым спектром сигнала, но имеет противоположный знак. Таким образом, передаточная функция фильтра полностью определяется спектром сигнала, «согласована» с ним. Отсюда и название - согласованный фильтр.
Фаза сигнала на выходе согласованного фильтра
При t=to (t 0) =0, т. е. в момент t 0 все гармонические составля-
Рис. 13.3 Передаточная АЧХ фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом: а
– нормированный амплитудный спектр прямоугольного импульса; б
– АЧХ согласованного фильтра
ющие сигнала имеют одинаковую фазу и складываются арифметически, образуя пик сигнала на выходе фильтра. Спектральные составляющие помехи на входе фильтра имеют случайную фазу, и случайный характер фаз сохранится после прохождения помехи через согласованный фильтр, поэтому результат суммирования спектральных составляющих помехи на выходе фильтра будет случайным и вероятность образования ими большого
выброса в момент t=t 0 мала. Этим физически и объясняется тот факт, что согласованный фильтр максимизирует отношение сигнал-помеха на выходе.
Пример 13.1 . Определить передаточную АЧХ фильтра, согласованного с прямоугольным видеоимпульсом длительностью t и.
Для прямоугольного видеоимпульса и в (t) амплитудный F в () спектр был
определен в примере 2.4 и построен на рис. 2.11. Принимая в (13.3) коэффициент пропорциональности c=1/F в (0), получаем, что в согласованном фильтре АЧХ Н СФ () совпадает с нормированным амплитудным спектром сигнала. Для физически существующих положительных частот эта характеристика изображена на рис. 13.4.
Отношение сигнал-помеха на выходе согласованного фильтра, определяемое равенством (13.5), является максимально достижимым для линейных фильтров и не зависит от формы принимаемого сигнала, а определяется его энергией. Из этого следует, что согласованным фильтром можно выделять сигналы, средняя мощность которых намного меньше средней мощности шума. Численные подтверждения дает нижеприведенный пример.
Рис.13.4 К обнаружению импульсного сигнала
Пример 13.2. Определить отношение сигнал-помеха на выходе согласованного фильтра для сложного сигнала длительностью t s =1 мс, шириной спектра
1 МГц, если отношение сигнал-шум на входе фильтра вх =Р s /Р n =0,01.
Для вычисления в sх по (13.5) необходимо знать энергию сигнала W s и
спектральную плотность мощности помехи N 0 . Из (2.26) W s =Р s t s . При определении отношения сигнал-помеха мощность помехи обычно измеряется в полосе частот сигнала и спектральная плотность мощности N 0 = (см. пример 2.7). Зная W s и N 0 , определяем
Примечание. При отношении сигнал-помеха р вых =20 прием считается уверенным.
Сигнал на выходе согласованного фильтра в предположении, что в отсутствие помех на вход фильтра подается сигнал s вх (t),по отношению к которому данный фильтр является согласованным, можно найти, например, используя интеграл Дюамеля
(13.7)
Сравнив полученную формулу с (2.21), видим, что выходной сигнал с точностью до постоянного множителя совпадает с функцией автокорреляции входного сигнала, сдвинутого в сторону запаздывания на время to, т. е.
Отметим сходства и отличия оптимального фильтра Колмогорова - Винера и оптимального согласованного фильтра.
1. Оба фильтра предназначены для выделения сигнала и подавления помех, оба улучшают отношение сигнал-помеха на выходе, но критерии их работы существенно, различны: фильтр Колмогорова - Винера минимизирует среднеквадратическую разность, согласованный фильтр максимизирует отношение сигнал-помеха.
2. Искажения сигнала на выходе фильтра Колмогорова - Винера минимальны, согласованный фильтр так искажает форму сигнала, чтобы в какой-то момент 4 получить его пик сигнала. Можно сказать, что согласованный фильтр максимально искажает
форму сигнала, но целенаправленно, чтобы максимально выделить его на фоне помех.
3. Согласованный фильтр может быть реализован для детермированных конечных сигналов известной формы, фильтр Колмогорова - Винера - для случайных сигналов с известной спектральной плотностью мощности.
Квазиоптимальные фильтры . Как правило, практически реализовать согласованный фильтр затруднительно, поэтому часто для обработки простых дискретных сигналов применяют фильтры более простой конструкции, но обеспечивающие отношение сигнал-помеха на выходе, близкое к максимально достижимому при согласованной фильтрации. Эти фильтры имеют заданную форму АЧХ, а для максимизации отношения сигнала к
помехе на выходе выбирается оптимальной полоса пропускания фильтра. Такие фильтры принято называть квазиоптимальными. Теорию квазиоптимальной фильтрации разработал чл.-корр. АН СССР В. И. Сифоров.
Как показывает анализ, полоса пропускания квазиоптимальных фильтров зависит от формы сигнала и вида амплитудно-частотной характеристики. Так, для прямоугольного радиоимпульса длительностью t и, оптимальная эффективная шумовая полоса пропускания Пэфф будет равна: для идеального полосового фильтра-1,37/t и; для фильтра в виде одиночного колебательного контура - 0,4/t и; для колоколообразного фильтра - 0,72/t и. Напомним, что эффективная шумовая полоса фильтра (см. $ 2.7) вычисляется по методу равновеликого прямоугольника для квадрата модуля передаточной функции фильтра.
Наличие оптимальной полосы фильтра физически объясняется следующим: с уменьшением полосы пропускания фильтра уменьшается мощность помех на выходе, но при этом будет уменьшаться и сигнал, не достигая своего установившегося значения в силу замедления переходных процессов в фильтре. При увеличении полосы пропускания, мощность шума увеличивается пропорционально полосе, а сигнал, достигший значения, близкого к установившемуся, увеличивается незначительно.
Отношение сигнал-помеха на выходе квазиоптимальных фильтров при простых сигналах,(одиночные радио- или видеоимпульсы) уменьшается по сравнению с соответствующим согласованным фильтром на величину порядка 10 ... 20%. Необходимо отметить, что фильтры с плавной; АЧХ дают лучшие результаты, чем идеальные фильтры, поэтому при приеме дискретных сигналов не следует стремиться к применению фильтров с крутыми скатами (близкими к идеальным).
На выбор полосы пропускания квазиоптимальных фильтров накладывают ограничение также переходные (межсимвольные) помехи , которые возникают при приеме случайной последовательности дискретных сигналов. В момент принятия решения об i -м
сигнале на вход решающего устройства поступает остаточное напряжение от предыдущих сигналов, так как переходные процессы в квазиоптимальных, фильтрах сравнительно медленные. Это остаточное напряжение и образует межсимвольные помехи.
В согласованных фильтрах межсимвольные помехи отсутствуют, поскольку их импульсный отклик и, соответственно, реакция на сигнал имеют конечную длительность и переходные процессы к моменту принятия решения о следующем сигнале оканчиваются.
Многочисленные расчеты переходных процессов в различных квазиоптимальных фильтрах показывают, что у них при оптимальной полосе пропускания межсимвольные помехи недопустимо велики, поэтому приходится выбирать полосу пропускания больше оптимальной, вследствие чего отношение сигнал-помеха на выходе фильтра может существенно уменьшаться.
При приеме дискретных сигналов в виде прямоугольных импульсов основную фильтрацию часто проводят последетекторным фильтром, который называют манипуляционным. Его полоса пропускания выбирается равной 1,4/t и на уровне затухания б дБ, т. е. примерно в 4 раза шире оптимальной полосы квазиоптимального фильтра для одиночного прямоугольного видеоимпульса.
Стробирование. Стробирование сигналов является наиболее простым методом обработки. Широко применяется.на практике, и его часто называют приемом с однократным отсчетом.
При стробировании в определенный момент, на интервале длительности сигнала t s , отсчитывается текущее значение смеси сигнала и помехи, которое затем подается в решающее устройство. Так как.статистические характеристики помех мало зависят от
выбора момента регистрации, то момент стробирования (отсчета) необходимо выбирать в момент максимального значения сигнала и минимальных его искажений за счет, переходных процессов. Это обычно середина дискретного сигнала. Если стробированию предшествует согласованный фильтр, то отсчет в момент t 0 обеспечит наилучший (оптимальный) прием. При неоптимальной фильтрации до стробирования понижение помехоустойчивости значительно.
Интегральный прием . Стремление увеличить помехоустойчивость приема привело к идее принятия решения на основe не однократного, а многократного или непрерывного анализа
сигнала на интервале его длительности t s . Такой метод обработки называется интегральным и реализуется путем непрерывного интегрирования или дискретного суммирования отсчетов.,
Если на входе интегратора действует сигнал z(t) =s(t)+n(t),
то на его выходе получим величину
где первое слагаемое представляет собой сигнал, а второе - помеху на выходе интегратора. Превышение мощности сигнала над помехой на выходе интегратора
(13.8)
где - отношение сигнал-помеха и Эффективная ширина спектра помехи на входе интегратора соответственно. Интегрирование видео импульсов после детектора может быть выполнено простейшей коммутируемой RС-цепью (рис. 13.5) . Постоянную
времени этой цепи выбирают из соотношения RС 1,25t s чтобы напряжение на емкости в конце интервала интегрирования нахо-
Рис..13.5 Схема простейшего коммутируемого интегратора
дилось в пределах линейного участка переходной характеристики. В конце каждого дискретного сигнала при t=t s отсчитывается напряжение на выходе интегратора, а при
t=t s + емкость разряжается и тем самым подготавливается к приему следующего дискретного сигнала.
Межсимвольные помехи при интегральном приеме отсутствуют, а сравнивая (13.8) и (13.6), видим, что отношение сигнал-помеха на выходе интегратора в 2 раза хуже, чем при обработке дискретного сигнала согласованным фильтром.
Из перечисленных выше методов обработки дискретных сигналов в реальных системах передачи дискретных сообщений нельзя отдать предпочтение каким-то одному-двум. Все зависит от вида модуляции, требуемых качественных показателей, отношения сигнал-помеха на входе приемника и т. д. Но если требуется получить максимально высокую помехоустойчивость при неблагоприятных условиях приема (например, в сверхдальних космических линиях радиосвязи), то необходимо применять согласованную фильтрацию или методы, эквивалентные ей. При невысоких требованиях к качеству или при малых помехах на входе приемника можно ограничиться и более простыми в реализации методами обработки.
Библиографический список
В процессе приема сигналов на вход приемного устройства поступает либо смесь сигнала и помехи, либо помеха. Оптимальное приемное устройство обнаружения на первичном этапе обработки должно наилучшим образом вынести решение о принятом сигнале, т.е. определить, присутствует или отсутствует сигнал, какой тип сигнала присутствует (на втором этапе обработки), оценить значение того или иного параметра (амплитуды, длительности, времени прихода, направление прихода и т.д.). Сформулированная задача может решаться при априорно неизвестных моделях сигналов и помех, при неизвестных (мешающих) параметрах или неизвестных распределениях сигналов и помех. Основная цель заключается в синтезе оптимальной структуры приемного устройства. Синтезированная структура чаще всего практически нереализуема, однако ее эффективность является потенциальной и дает верхнюю границу эффективности любых практически реализуемых структур.
Синтез оптимальных процедур обработки сигналов и помех может производиться с использованием различных методов оптимизации:
1. Использование корреляционной теории:
а) критерий максимума отношения сигнал/помеха;
б) критерий минимума среднеквадратической ошибки.
2. Использование теории информации для максимизации пропускной способности системы. Главное направление – построение наилучших методов кодирования.
Применение теории статистических решений.
Задача оптимизации может быть решена только при наличии критерия, который задается разработчиком системы.
Чтобы воспользоваться теорией статистических решений при синтезе оптимальных приемных устройств, необходимо иметь математические модели сигналов и помех. Эти модели должны включать описание формы сигнала (если она известна). Статистические характеристики и характер взаимодействия сигнала и помехи вплоть до n-мерных плотностей вероятностей.
Теория статистических решений имеет следующие составные части:
1) теорию проверки статистических гипотез:
а) двухальтернативные задачи обнаружения или распознавания сигналов;
б) многоальтернативные задачи при различении многих сигналов на фоне помех;
2) теорию оценки параметров, если эти параметры составляют счетное множество;
3) теорию оценки процесса, который необходимо выделить из входной смеси с минимальной ошибкой.
Постановка задачи синтеза оптимального приемного устройства и ее решение существенным образом зависят от объема априорных (доопытных) сведений о характеристиках сигналов и помех. По объему априорных данных различают задачи с полной априорной определенностью (детерминированный сигнал и помеха с полностью известными вероятностными характеристиками), с частичной априорной определенностью (имеются известные параметры сигнала и помехи) и с априорной неопределенностью (известны лишь некоторые сведения о классах сигналов и помех) . Следует заметить, что эффективность разработанных обнаружителей и измерителей параметров существенно зависит от объема априорной информации.
Следует заметить, что, если о сигналах и помехах ничего неизвестно (полностью отсутствует информация о них), то такая задача не может быть решена.
Сигнал – это процесс, служащий для передачи информации или сообщения. Остальные процессы, воспринимаемые приемным устройством вместе с сигналом, являются помехами.
Сигналы классифицируются по объему априорных сведений:
а) детерминированные сигналы (неслучайные);
б) детерминированные по форме сигналы со случайными параметрами (квазислучайные);
в) псевдослучайные, шумоподобные сигналы (они близки по свойствам к случайным процессам, но генерируются детерминированным образом и при воспроизведении полностью повторяются);
г) случайные сигналы.
В зависимости от характера изменения во времени сигналы подразделяются на дискретные и непрерывные. Дискретные сигналы используются в цифровых устройствах, в радиолокации. Непрерывные (континуальные) – в телефонии, радиовещании, телевидении и т.д. В последнее время дискретные сигналы используются и в цифровом телевидении и радиовещании.
Каждый сигнал может быть охарактеризован по степени сложности в зависимости от величины, называемой базой сигнала: B = F∙T, где F – эффективная ширина спектра сигнала; Т – эффективная длительность сигнала. Если B » 1, то сигнал называется простым, при B >> 1 – сложным сигналом. Сложные сигналы получают либо из совокупности простых сигналов, либо с помощью модуляции. К сложным сигналам могут быть отнесены шумовые и шумоподобные сигналы. У таких сигналов , где Т – эффективная длительность сигнала (когда сигнал эквивалентен по энергии сигналу с прямоугольной формой); – интервал корреляции процесса.
В различных системах, как правило, излучают радиосигналы, отличающиеся по виду модуляции: амплитудно-модулированные, частотно-модулированные, фазомодулированные, сигналы с импульсными видами модуляции; манипулированные (по амплитуде, частоте, фазе и совмещенные) сигналы.
В радиолокации чаще всего излучается последовательность радиоимпульсов.
Упрощенная структура РЛС представлена на рис. 1, где использованы следующие обозначения: РПУ – радиопередающее устройство; РПрУ – радиоприемное устройство; АП – антенный переключатель; s0(t) – зондирующий сигнал; s(t) – отраженный сигнал; А – антенна; О – обнаруживаемый объект; V – скорость сканирования антенны. Облучение пространства производится периодическим зондирующим сигналом.
Импульс отражается от объекта обнаружения и возвращается с задержкой к антенне РЛС. Задержка определяется расстоянием между РЛС и объектом. Интенсивность отраженного сигнала зависит от эффективной поверхности рассеяния (ЭПР) объекта и условий распространения радиосигнала. В РЛС одна и та же антенная система используется при передаче и приеме сигналов. Интенсивность облучения объекта зависит от формы диаграммы направленности антенны и угла между направлением на объект и направлением максимального коэффициента направленного действия. При сканировании антенной системы (механическом или электронном вращении диаграммы направленности) огибающая пачки импульсов отраженного сигнала повторяет форму диаграммы направленности (рис. 1). В режиме сопровождения объекта огибающая пачки импульсов может иметь прямоугольную форму.
При обзоре время облучения ограничено, и принимаемый сигнал представляет собой ограниченную по времени пачку радиоимпульсов. Модуляция по амплитуде импульсов в пачке определяется не только формой диаграммы направленности, но и скоростью V обзора, от нее зависит и число импульсов в пачке. Обычно огибающая пачки – детерминированная функция, поскольку вид диаграммы направленности и скорость обзора известны.
Запаздывание отраженного сигнала зависит от дальности r до объекта – , где c – скорость распространения радиоволны в пространстве. При распространении сигнал ослабляется относительно излученного в 106 – 1010 раз по напряжению. Кроме того, изменение угла между направлением максимума диаграммы направленности антенны и объектом и поворот объекта за время облучения приводит к случайным изменениям амплитуды импульсов принимаемого сигнала. За счет радиальной скорости объекта Vr изменяется и частота отраженного сигнала (доплеровский эффект), при этом приращение частоты несущего колебания . Изменяются параметры сигнала в канале связи и во входных трактах приемной системы.
При отражении сигнала от объекта происходит изменение поляризации падающей волны. Эти изменения зависят от формы объекта и могут быть использованы при распознавании объектов.
Построить модель сигнала, которая учитывала бы все эти влияния и изменения сложно, поэтому учитывают только часть рассмотренных изменений.
Основные модели сигналов
а) Детерминированный сигнал:
Все параметры сигнала: амплитуда А, закон ее изменения во времени S0(t), частота w0 и закон изменения начальной фазы во времени известны, т.е. огибающая S(t) и фаза являются детерминированными функциями времени.
б) Одиночный сигнал со случайной амплитудой и фазой
где А, j, t – случайные параметры.
Случайные параметры задаются плотностями вероятности. Распределение амплитуд А чаще всего полагают релеевским
,
где s2 – дисперсия флюктуаций амплитуды.
Начальная фаза j и задержка t распределены равномерно, т.е.
где Т – период зондирования, определяемый максимальной однозначной дальностью действия РЛС.
Функции s0(t) и – детерминированные.
Для движущихся объектов локации к несущей частоте w0 добавляется доплеровский сдвиг 
, где – случайная величина, знак которой зависит от направления перемещения объекта в радиальном направлении относительно РЛС.
в) Нефлюктуирующая пачка радиоимпульсов
где ; функция H2(t) – функция, обусловленная формой диаграммы направленности (рис. 2б); Т0 – период следования импульсов в пачке; К = const.
г) Флюктуирующая пачка импульсов:
– дружно-флюктуирующая пачка – амплитуды радиоимпульсов в пачке неизменны, но изменяются независимо от пачки к пачке, что соответствует медленному изменению ЭПР отражающего объекта во времени или изменению параметров канала распространения электромагнитной волны и т.д. (рис. 2);
– быстро-флюктуирующая пачка – амплитуды радиоимпульсов изменяются в пачке от импульса к импульсу независимо (рис. 3).
В зависимости от характера изменения начальной фазы колебаний от импульса к импульсу в пачке различают когерентные и некогерентные пачки радиоимпульсов. Когерентная пачка может быть образована путем вырезания импульсов из непрерывного стабильного гармонического колебания. Начальные фазы в этом случае или одинаковы во всех радиоимпульсах пачки, или изменяются по известному закону. Некогерентная пачка состоит из радиоимпульсов с независимо-изменяющейся начальной фазой.
Помехи разделяются на естественные (неорганизованные) и искусственные (организованные), внутренние и внешние.
По способу образования помехи могут быть пассивными и активными. Естественные пассивные помехи создаются отражениями от местных предметов (в радиолокации) и земной поверхности, растительности и т.д.; отражениями от метеорных следов и атмосферных неоднородностей (в радиосвязи на УКВ).
Активные помехи имеют самостоятельный источник, в то время как пассивные помехи обусловлены излучением зондирующего сигнала. По характеру изменения во времени помехи бывают флюктуационные (гладкие) и импульсные.
В качестве помех могут быть случайные, шумоподобные или детерминированные процессы. Из всех помех наибольшее воздействие на подавляемую РЛС оказывает белый (широкополосный) шум с нормальным распределением, поскольку он имеет наибольшую информационную емкость.
Чаще всего в качестве моделей помех используется их описание с помощью статистических характеристик. Наиболее полной характеристикой является n-мерная плотность вероятности. Однако в некоторых частных, но очень важных случаях помеха может быть охарактеризована одномерной или двумерной плотностями вероятности.
Сигналы и помехи могут быть представлены в виде некоторых множеств в частотно-временной системе координат (рис. 4).
Каждый сигнал или помехи занимают по осям w и t определенные отрезки, зависящие от полосы частот Dw и длительности t. Чем больше Dw и t, тем эффективнее помеха с точки зрения подавления сигнала. Наилучшей помехой является белый шум, который заполняет всю плоскость w, t, и обладает наибольшими дезинформационными свойствами. Если шум узкополосный, то он занимает ограниченную площадь, поскольку имеет неравномерную спектральную плотность мощности. От такой помехи можно избавиться, перестроив несущую частоту w0 сигнала.
Для пространственно-временных сигналов и помех используются дополнительные координаты: угол места и азимут. И тогда источники помех могут быть точечными по угловым координатам или распределенные в конкретных секторах.
Геометрическое представление сигналов и помех связано с введением многомерного пространства выборок и широко используется в теории сигналов . Пусть имеется реализация x(t) случайного процесса X(t). В соответствии с теоремой Котельникова эта реализация может быть представлена в виде дискретных отсчетов xi = x(iDt). Число этих отсчетов (единичных измерений) – N, совместно они образуют выборку X размером N – , i – номер измерения в выборке X. Если представим n-мерное пространство, в котором на каждой оси координат отложим соответствующие по номеру измерения, то вся выборка будет соответствовать точке этого пространства или вектору, конец которого лежит в этой точке. Длина вектора в данном пространстве может быть представлена так:
.
Эта величина называется нормой вектора в эвклидовом пространстве. В пространстве Хемминга норма выражается иначе:
Если и , то в пределе переходим к бесконечному пространству , в котором норма определяется так
.
Для реальных процессов и имеет размерность величины x.
Все указанные пространства линейны, и для них определены операции сложения элементов множества и умножения элемента на число. Причем обе эти операции удовлетворяют условиям коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.
Среди линейных пространств можно выделить метрические пространства, для которых существует метрика , т.е. норма разности векторов, которая больше или равна нулю. Метрика (расстояние) обладает следующими свойствами:
а) ; б) 
; в) ,
где x, y, z – элементы пространства.
Для эвклидова конечно-мерного пространства –
,
для непрерывного пространства аналогично
.
Важным является понятие скалярного произведения. Оно характеризует собой проекцию одного вектора на другой и определяется в так:
,
т.е. сумма произведений одноименных проекций векторов на оси координат. В непрерывном пространстве : 
, причем скалярное произведение 
всегда не больше произведения норм векторов (неравенство Шварца).
Угол между векторами определяется так
.
Если определить норму через скалярное произведение, то говорят, что норма порождена скалярным произведением, а пространство, отвечающее такому произведению, называется гильбертовым.
Введем понятие случайного вектора. Случайный вектор – это такой вектор, координаты которого есть случайные величины. Этот вектор 
в пространстве выборок не занимает какого-либо фиксированного положения. Его конец может оказаться в той или иной области пространства с известной вероятностью, которую можно подсчитать, зная совместное распределение случайных величин . Конец вектора можно представить себе не как определенную точку, а как облако, переменная плотность которого выражает вероятность нахождения конца вектора в данном элементе объема пространства. Геометрически это облако отображается гиперсферой в n-мерном пространстве (рис. 5).
Элементарный объем в пространстве выборок 
. Вероятность попадания конца вектора в этот объем будет равна
где – плотность вероятности случайного процесса X(t).
Если гиперсфера имеет размеры W, то попаданию точки в эту гиперсферу соответствует вероятность
где 
– проекции гиперсферы W на оси координат системы.
Это выражением может быть записано в векторной форме
.
Если распределены по нормальному закону с одинаковой дисперсией каждой их независимых компонент, то вероятность попасть в элементарный объем пространства выборок равна
,
где – расстояние от начала системы координат до элемента .
В данном случае облако имеет сферическую форму. При различных дисперсиях облако вытягивается вдоль тех осей, которым соответствуют единичные измерения с большей дисперсией.
Если даны два случайных процесса x и h, то косинус угла между их векторами соответствует нормированному коэффициенту взаимной корреляции. Геометрически он характеризует проекцию единичных векторов одного на другой. Если x = h, то – линейная зависимость, если же они перпендикулярны, то – показывает полное отсутствие коррелированности. В этом случае векторы ортогональны, а процессы некоррелированы.
Для нормальных процессов некоррелированность означает и независимость, поскольку для них иной случайной зависимости, кроме линейной, не существует. Доказывается такое утверждение подстановкой коэффициента корреляции, равного нулю, в двумерную нормальную плотность вероятности. В результате такой подстановки плотность вероятности преобразуется к произведению одномерных плотностей вероятности, что является необходимым и достаточным условием статистической независимости двух случайных величин, входящих в систему.
1. Наиболее полными вероятностными характеристиками случайных процессов (СП) являются различные виды распределений вероятностей мгновенных значений, среди которых основное применение получили интегральная функция распределения вероятностей и плотность вероятности.
Для ансамбля реализаций СП (рис. 6) одномерная интегральная функция распределения определяется как вероятность того, что мгновенные значения реализаций не превысят некоторый фиксированный уровень x в момент времени t.
Аналогично определяется n-мерная интегральная функция распределения как вероятность совместного выполнения неравенств:
Виды одномерной интегральной функции распределения для различных процессов показаны на рис. 8.
В отличие от интегральных функций распределения случайных величин, эта характеристика СП в общем случае (для нестационарных СП) зависит от времени.
Так же как и для случайных величин, (положительная определенность), 
при x2 > x1 (интегральная функция является неубывающей), (ограниченность).
Хотя интегральная функция распределения вероятности определена и для непрерывных, и для дискретных процессов, большее распространение получила плотность вероятности, определенная только для непрерывных СП.
Одномерная плотность вероятности определяется как производная от интегральной функции по аргументу x:
.
Для n-мерной плотности в соответствии с (1) имеем:
Из представления производной в виде предела отношения конечных приращений 
можно сделать вывод, что плотность вероятности характеризует относительную частоту пребывания мгновенных значений в элементарном интервале Dx.
На рис. 7 приведены графики плотности вероятности для реализаций различной формы.
Аналогичное рассмотрение n-мерной плотности вероятности позволяет интерпретировать ее как вероятность того, что значение функции находятся в пределах n коридоров Dx или, иначе, что реализация примет заданную форму (рис. 8).
Свойства плотности вероятности:
– положительная определенность – ;
– свойство симметрии – значения плотности вероятности не меняются при перестановке аргументов;
– свойство нормировки ;
– свойство согласованности (число интегралов в правой части равно n – m)
– плотность вероятности меньшего порядка вычисляется путем интегрирования по «лишним» аргументам;
– размерность плотности вероятности обратна размерности случайной величины.
Наиболее широко в радиотехнике используются следующие распределения.
1. Нормальной (гауссово) распределение (рис. 9):
,
где m – математическое ожидание; s – среднеквадратическое отклонение (СКО).
Для нормального распределения характерна симметрия относительно математического ожидания и большие значения случайной величины встречаются значительно реже малых:
.
2. Равномерное распределение (рис. 10):
Экспоненциальное распределение (рис. 11):
4. Распределение Рэлея (распределение огибающей узкополосного нормального СП):
2. Распределения вероятностей, хотя и является наиболее употребимыми в теории характеристиками, не всегда доступны для экспериментального определения и во многих случаях слишком громоздки в теоретических исследованиях. Более простыми являются числовые характеристики СП, определяемые как некоторые функционалы от плотности вероятности. Наиболее широко из них используются моментные функции, определяемые как среднее значение различных степенных преобразований СП.
Начальные одномерные моменты определяются в виде
. (3)
Особое значение имеют первый начальный момент – математическое ожидание 
и второй начальный момент
.
сигнал случайный помеха прием
Физический смысл этих характеристик: среднее значение и средняя мощность СП, выделяемая на сопротивлении в 1 Ом, соответственно (если СП есть напряжение, стационарное по постоянной составляющей и мощности). Второй начальный момент характеризует степень разбросанности случайной величины относительно начала координат. Размерность математического ожидания совпадает с размерностью величины x (для x в виде напряжения – вольты), а размерность m2 – с размерностью квадрата величины x.
В случае стационарных СП моменты не зависят от времени, для нестационарных могут быть функциями времени (в зависимости от типа не-стационарности), что поясняется рис. 13.
Центральные моменты определяются аналогично начальным моментам, но для центрированного процесса 
:
. (4)
Поэтому всегда .
Второй центральный момент – дисперсия СП – определяется в виде
и характеризует степень разбросанности значений относительно математического ожидания или, иначе, среднюю мощность переменной составляющей процесса, выделяемой на сопротивлении в 1 Ом. Очевидна связь между начальными и центральными моментами:
, в частности 
.
Отметим, что третий центральный момент (p = 3 в (4)) характеризует асимметрию распределения вероятностей (для симметричных плотностей вероятности ), а четвертый (p = 4) – степень остроты вершины плотности вероятности.
Рассмотрим пример вычисления одномерных моментов распределения.
ПРИМЕР 1. Процесс с треугольной симметричной плотностью вероятности виден на экране осциллографа в виде шумовой дорожки с размахом от -2 до +4 В. При выключенной развертке яркость вертикальной линии в центре экрана равномерна. Оценить математическое ожидание и дисперсию процесса.
Решение примера 1. Сведения о форме распределения и его границах позволяет записать аналитическое выражение для плотности вероятности (рис. 14).
При этом максимальное значение плотности вероятности fm, достигаемое при x=1 В, определяется из условия нормировки, т.е. равенства площади треугольника единице:
,
Такое симметричное треугольное распределение называют также законом Симпсона.
В соответствии с определениями математическое ожидание и дисперсия равны
.
Однако удобнее вычислить вначале второй начальный момент
тогда = 6 В2.
Смешанные начальные моменты определяются соотношением
Смешанные центральные моменты определяются аналогично, но с заменой x в формуле (5) на центрированное значение .
Ввиду того, что значения x в смешанных моментах определяются в различные моменты времени, появляется возможность оценки статистической взаимозависимости значений процессов, разделенных заданными интервалами. Наиболее важным является простейший из смешанных моментов, отображающий линейную статистическую взаимозависимость и называется корреляционной и ковариационной функцией:
Как видно из определения, размерность корреляционной функции определяется размерностью квадрата величины x (для напряжения – В2).
Для стационарного СП корреляционная функция зависит только от разности :
.
Следует заметить, что при t = 0 максимальное значение K(0) = s2.
На рис. 15 приведены примеры реализаций процессов с разными корреляционными функциями.
Кроме функционалов на основе степенных функций (моментов) возможны и другие типы функционалов в качестве статистических характеристик СП. Важнейшим среди них является функционал, основанный на экспоненциальном преобразовании и называемый характеристической функцией
. (7)
Нетрудно заметить, что данное выражение представляет преобразование Фурье от плотности вероятности, отличающееся от обычного лишь знаком в показателе экспоненты.
Поэтому можно записать и обратное преобразование, позволяющее по характеристической функции восстановить плотность вероятности:
.
Соответственно для n-мерного случая имеем
Основные свойства характеристической функции состоят в следующем:
– свойство нормировки 
;
– свойство симметрии 
;
– свойство согласованности
– определение характеристической функции суммы независимых случайных величин
Как видно из анализа перечисленных свойств, различные преобразования характеристической функции проще плотности вероятности. Простая связь также между характеристической функцией и моментами плотности вероятности.
Пользуясь определением характеристической функции (7), продифференцируем ее k раз по аргументу u:
.
Можно заметить, что операция дифференцирования намного проще, операция интегрирования при определении моментов плотности вероятности.
ПРИМЕР 2. Может ли существовать процесс с характеристической функцией прямоугольной формы?
Решение примера 2. На рис. 16 представлена характеристическая функция прямоугольной формы (а) и соответствующая ей плотность вероятности (б).
Так как характеристическая функция является преобразованием Фурье от плотности вероятности, то ее обратное преобразование Фурье должно обладать всеми свойствами плотности вероятности. В данном случае
График плотности вероятности представлен на рис. 16б.
Как видно из выражения для f(x) и рисунка, полученная плотность вероятности не удовлетворяет условию положительной определенности (), следовательно, процесс с заданной характеристической функцией не может существовать.
К энергетическим характеристикам СП относят корреляционную функцию, спектральную плотность мощности и непосредственно связанные с ними параметры СП.
В разделе 2 было дано определение корреляционных функций как смешанных центральных моментов второго порядка соответственно автокорреляционной и взаимнокорреляционной функций, т.е.
.
Основные свойства автокорреляционной функции:
– свойство симметрии 
, для стационарных процессов – четность 
;
– свойство ограниченности , для стационарных процессов 
;
– свойство неограниченного убывания с ростом аргумента (для эргодических процессов) ;
– свойство положительной определенности интеграла
;
– размерность соответствует квадрату размерности случайного процесса.
Это свойство следует из определения спектральной плотности мощности (для случайных напряжений и тока через сопротивление 1 Ом), которое будет приведено ниже.
Для взаимнокорреляционной функции аналогично можно записать:
; 
;
; 
.
Ввиду ограниченности корреляционной функции частот используют нормированные корреляционные функции
; 
,
причем ; .
Для более компактного описания свойств случайного процесса вводят понятие интервала корреляции, определяющего интервал времени, на котором существует связь между значениями процесса.
Основные определения интервала корреляции:
– интегральный (для положительно определенных корреляционных функций) 
. Геометрически он характеризует ширину основания прямоугольника, равновеликого по площади функции k(t) при t > 0 (рис. 17а);
– абсолютный интервал корреляции 
(в отличие от предыдущего может использоваться для знакопеременных функций ) (рис. 17б);
– квадратичный интервал корреляции 
;
– максимальный интервал корреляции (на уровне a) (рис. 18)
.
Обычно уровень a выбирается исходя из рассматриваемой задачи и имеет значения 1/e; 0,1; 9,05; 0,01 и т.д.
Последнее определение не является более произвольным, чем предыдущие, так как выбор конкретного вида функционала протяженности произволен и определяется удобством математического решения конкретной задачи. Практически этот интервал корреляции используется в радиоизмерениях для определения интервала, вне которого случайные величины в сечениях случайного процесса можно считать некоррелированными. Достоверность такого предположения определяется выбором уровня a.
Большое значение в статистической радиотехнике имеют спектральные характеристики СП. При этом используются различные интегральные преобразования процесса вида
.
При исследовании линейных систем с постоянными параметрами особое значение имеет ядро преобразования вида , так как отклик линейных систем на гармоническое воздействие также является гармоническим.
Преобразование Фурье от k-й реализации СП дает также случайную функцию частоты, зависящую от номера реализации:
.
В условиях реального наблюдения можно получить лишь текущий спектр реализации за интервал наблюдения T
.
Приведенные выражения в существенной степени формальны, так как для многих СП условия применимости преобразования Фурье не выполняются, и интеграл не сходится к какому-либо определенному пределу.
Определим квадрат модуля спектральной плотности k-й реализации
Предполагая процесс стационарным и центрированным, заменяя и производя статистическое усреднение по множеству реализаций, определим:
.
Разделив обе части полученного равенства на T и беря предел , получим
.
Поясним физический смысл этой характеристики. Учитывая теорему Релея
,
определим 
; 
;
;
; 
.
Таким образом, спектральная плотность мощности или энергетический спектр – это усредненная по всем реализациям функция распределения мощности по частотам.
Следовательно, спектральная плотность мощности и корреляционная функция связаны преобразованием Фурье (теорема Винера – Хинчина):
(9)
Полагая t = 0, получим
.
Учитывая свойство четности корреляционной функции, запишем
,
.
В полученных формулах G(w) определялась для положительных значений круговой частоты w, причем G(w) = G(–w). В отличие от такого «двухстороннего» математического спектра, введем односторонний физический спектр:
Тогда формулы теоремы Винера – Хинчина примут вид:
(10)
Часто используется нормированная спектральная плотность мощности
.
Из определения G(w) следуют методы его экспериментального определения (рис. 19). А именно: измеряется квадратичным прибором среднеквадратическое отклонение процесса в узкой полосе (с помощью полосового фильтры с прямоугольной АЧХ), возводится в квадрат, а затем делится на эту полосу Dfэ (полоса такая, что S(f0) » const в пределах Dfэ) (рис. 20).
Рис. 19 Рис. 20
Для одиночного колебательного контура 
, где Q – добротность контура, следовательно
.
Спектральная плотность мощности не отражает фазовой структуры сигнала. Две совершенно разные зависимости могут иметь одинаковую спектральную плотность мощности.
Поскольку G(w) и K(t) связаны преобразованием Фурье, для них справедливы основные теоремы о спектрах.
Ширина спектра определяется так же, как и интервал корреляции.
Эффективная (или неудачное название – энергетическая) ширина спектра
.
Определяют также ширину спектра на уровне a: 
.
Рассмотрим связь интервала корреляции и ширины спектра.
Так как 
, а 
, то
. (11)
Таким образом, произведение – порядка единицы.
Различают широкополосные и узкополосные процессы (рис. 22а и б).
Для узкополосных процессов . Поскольку для узкополосных случайных процессов значение спектральной плотности мощности при нулевой частоте всегда равно нулю (или очень близко к нему), то корреляционная функция является всегда знакопеременной и ее площадь равна нулю (из теоремы Винера – Хинчина).
Один из широко распространенных в теории широкополосных процессов – белый шум с равномерным спектром 
. Его корреляционная функция равна
.
Противоположный случай – узкополосный процесс – квазидетерминированный СП с дискретным спектром
где x1, x2 – случайные величины, не зависящие от t, .
Функция X(t) представляет собой гармоническое колебание со случайной амплитудой 
и фазой , распределение которого не зависит от времени. Этот процесс будет стационарным лишь при 
и при 
. Тогда зависит только от t, причем x1 и x2 некоррелированы.
В этом случае 
;
. (рис. 23)
Для стационарных СП X(t) и Y(t) вводят также взаимную спектральную плотность мощности
;
; 
;
; 
.
Взаимная спектральная плотность мощности двух процессов комплексная, если взаимная корреляционная функция нечетная, действительная часть такой спектральной плотности четная, а мнимая – нечетная функция: .
Для суммы стационарных и стационарно-связанных процессов существует соотношение
.
Важность этих процессов для статистической радиотехники требуют более подробного их рассмотрения.
Для более подробного анализа определим огибающую и фазу узкополосного случайного процесса (УСП). Часто огибающую определяют по формуле
, (12)
где – сопряженный с по Гильберту процесс. Применяя преобразование Гильберта к исходному выражению для УСП, получаем . Точность выражения иногда может вызывать сомнение, поскольку только для гармонических колебаний равенство (12) несомненно. Определим, насколько параметры УСП влияют на точность этой формулы.
Используя известные соотношения для комплексной амплитуды аналитического сигнала , получим
И 
. (13)
Применяя преобразование Гильберта к исходному выражению для УСП и используя составляющие (13) комплексной огибающей, можно записать
Разложим функции и в подынтегральных выражениях в ряд Тейлора в окрестности точки x=t и почленно проинтегрируем. Получим
где Q(t) – остаточное слагаемое, характеризующее отброшенную часть суммы. Подставив в выражение (14) и , получим
Из формулы (15) видно, что если можно пренебречь функцией Q(t), то сопряженный по Гильберту УСП имеет такую же огибающую, что и исходный УСП.
Из таблиц определенных интегралов известно:
С учетом этих выражений формулу для Q(t) можно записать:
Считаем, что полоса огибающей равна , поэтому вторые производные по своим значениям не превосходят . Поэтому можно полагать, что
.
Следовательно:
.
Отсюда видно, что для УСП функции u(t) и u1(t) имеют одинаковую огибающую с погрешностью, зависящей от отношения ширины спектра к его средней частоте. Для узкополосных случайных процессов обязательным является выражение , следовательно, огибающая удовлетворяет требованиям, которые к ней предъявляются в соответствии с определением УСП, т.е. является касательной в точках, соответствующих максимальным значениям УСП (или вблизи от них), и имеет общие значения с ним в точках касания. Степень «близости» точки касания к максимальному значению зависит от того же отношения .
Фаза однозначно определяется известными соотношениями для представления комплексного числа в показательной форме.
Графически УСП можно представить в виде вектора, вращающегося с угловой скоростью , длина вектора медленно меняется во времени так же, как и фазовый угол . Исходный УСП является проекцией вектора на горизонтальную ось. Если всю систему координат заставить вращаться с той же угловой скоростью, но в противоположном направлении, то та же проекция будет огибающей .
Если исходный УСП является нормальным, то и также являются нормальными случайными процессами. Если УСП u(t) нормален, стационарен, имеет нулевое среднее значение и функцию корреляции 
, то и также имеют нулевые средние значения и корреляционную функцию . В то же время и взаимно некоррелированы, а так как они нормальны, то и взаимно независимы. Сомножитель является огибающей корреляционной функции .
Огибающая и фаза узкополосного случайного процесса. Плотности вероятности огибающей и фазы УСП можно получить, совершая преобразования, которые были использованы для их получения. Эти преобразования показывают, что огибающая и фаза являются независимыми. СВ как в совпадающие, так и в несовпадающие моменты времени. Одномерная плотность вероятности огибающей (в один момент времени) подчиняется закону Рэлея, а плотность вероятности фазы равномерна в пределах от до .
Сложные преобразования показывают, что центрированная корреляционная функция огибающей приближенно равна квадрату огибающей корреляционной функции исходного УСП. Спектральная плотность мощности огибающей имеет два слагаемых: дельта-функцию, соответствующую постоянной составляющей огибающей, и спектральную плотность флюктуационной составляющей, которая является преобразованием Фурье от квадрата огибающей корреляционной функции исходного УСП.
Если СП является суммой узкополосного нормального процесса и синусоиды со случайной начальной фазой, то мгновенные значения синусоиды распределены по закону арксинуса, сумма – по бимодальному закону, соответствующему свертке нормального закона и закона арксинуса. После применения тех же преобразований, что и для узкополосного нормального СП, получим для огибающей распределение Райса
,
где , А0 – амплитуда синусоидального сигнала; – среднеквадратическое отклонение шума.
При распределение Райса переходит в распределение Рэлея.
При больших отношениях , т.е. при А0 >> 1 (отношение сигнал/шум), распределение Райса может быть аппроксимировано нормальным распределением с математическим ожиданием, равным А0.
Во многих случаях, особенно при экспериментальных исследованиях, вместо ансамбля есть лишь одна реализация. Тогда усреднение производится по времени и при некоторых условиях дает результаты, близкие к усреднению по множеству.
Простейший вариант усреднения состоит в определении среднего арифметического значения. Выделим в отрезке реализации СП длительностью T n дискретных отсчетов с интервалом между ними Dt,
Среднее арифметическое значение определим известным образом:
Умножим числитель и знаменатель этого выражения на Dt:
.
При Dt ® 0 и n ® ¥ сумма перейдет в интеграл, описывающий временное усреднение реализации (обозначается чертой сверху или в данном пособии: ) или функции от нее:
. (16)
В общем виде можно записать операцию (16) с помощью оператора временного усреднения ST:
.
Для того чтобы результат не зависел от длительности отрезка T, возьмем предел при T ® ¥:
.
При экспериментальных исследованиях выполнение условия T ® ¥ невозможно, но достаточно выполнения условия .
Часто начало реализации и начало времени интегрирования не совпадают, поэтому оператор правильнее записать в виде оператора текущего среднего:
. (17)
Используется также симметричная форма этого оператора:
. (18)
Частотные характеристики операторов (4.17) и (4.18) равны соответственно:
, 
,
т.е. отличаются лишь фазовым множителем .
Практически часто используется оператор экспоненциального сглаживания, реализуемый с помощью интегрирующей RC-цепи в форме
и имеющий характеристику
.
Производя временное усреднение некоторой функции g, лежащей в основе какой-либо вероятностной характеристики, получим соответствующую временную характеристику. В частности, дисперсия, полученная временным усреднением, равна
;
Временная корреляционная функция –
.
Аналогами распределений вероятностей являются величины относительного времени пребывания реализации ниже некоторого уровня и в интервале уровней (рис. 25).
Аналог интегральной функции распределения вероятностей – относительное время пребывания реализации ниже некоторого уровня (рис. 25а):
; 
.
Аналог плотности вероятности – относительное время пребывания реализации в интервале Dx на уровне x (рис. 25б):
;
.
Процессы, для которых временные характеристики сходятся в некотором смысле к вероятностным при T ® ¥, называются эргодическими. Различают два вида сходимости.
Последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине x, если для любого e > 0
.
Сходимость с вероятностью 1 (или почти всюду) определяется следующим образом:
.
Сходимость в среднем определяется из условия:
,
в частности, сходимость в среднеквадратическом –
.
Из сходимости почти всюду следует сходимость по вероятности, а из сходимости в среднеквадратическом также следует сходимость по вероятности.
Часто имеет место не эргодичность процесса, а эргодичность по отношению к математическому ожиданию, корреляционной функции или иной вероятностной характеристике.
Нестационарные СП, в отличие от стационарных, составляют столь широкий класс, что в нем трудно выделить свойства, относящиеся ко всему классу. Одним из таких свойств, лежащих в основе определения нестационарности, является зависимость вероятностных характеристик этих процессов от времени.
В частности,
,
.
Пример процесса, существенно нестационарного по математическому ожиданию, приведен на рис. 26а, по дисперсии – на рис. 26б.
Нестационарность по математическому ожиданию хорошо описывается моделью аддитивного нестационарного процесса:
X(t) = Y(t) + j(t),
где Y(t) – стационарный СП; j(t) – детерминированная функция.
Нестационарность по дисперсии описывается моделью мультипликативного нестационарного процесса: X(t) = Y(t)·j(t).
Простейшие примеры нестационарности по моментным функциям в более общем виде описываются зависимостями вероятностных распределений от времени.
Более сложным является отображение нестационарности в рамках многомерных (и даже двумерных) вероятностных характеристик. Наиболее широко используются корреляционные и спектральные характеристики. Поскольку корреляционная функция нестационарного СП зависит от двух моментов времени, спектр нестационарного процесса не может быть определен столь однозначно, как в стационарном случае. Существует несколько определений спектра нестационарных процессов:
а) двойной по частоте спектр или биспектр:
. (19)
В случае стационарного процесса и соотношение (19) переходит в теорему Винера – Хинчина. Биспектр (19) трудно физически интерпретировать и использовать при анализе цепей, хотя он отображает всю информацию о частотных свойствах процесса;
б) мгновенный частотно-временной спектр.
Заменим в переменные следующим образом: , t = t1 – t2 и выполним преобразование Фурье от корреляционной функции по аргументу t:
. (20)
Мгновенный спектр (20) зависит как от частоты, так и от времени и при медленной нестационарности имеет наглядную физическую интерпретацию как изменение «обычной» спектральной плотности мощности во времени (рис. 27);
в) усредненная спектральная плотность мощности
,
где 
.
Этот спектр не отображает динамики процесса, но дает представление о среднем распределении дисперсии процесса по частоте;
г) аппаратурный спектр определяется как среднее значение дисперсии процесса на выходе узкополосного фильтра с импульсной реакцией h(t):
Этот спектр допускает аппаратурное определение, но использование его в теории достаточно трудоемко.
Решение примера Рассмотрим пример нестационарного СП, имеющего плотность вероятности, выраженную функцией
где 
; a0 = 1 1/В; k = 2 1/Вс.
Необходимо найти математическое ожидание процесса и нарисовать ориентировочно возможный вид реализации процесса.
Для решения задачи прежде всего определим незаданную функцию А(t) из условия нормировки:
Отсюда A(t) = a(t).
Поскольку процесс нестационарный, его математическое ожидание может зависеть от времени и в данном случае равно
Учитывая известное значение определенного интеграла
при
где 
– гамма-функция, , получим
.
Возможный вид реализаций процесса, не противоречащий виду распределения, приведен на рис. 28.
На рис. 28 штриховой линией показано изменение математического ожидания процесса.
Классификация в любой науке служит для упорядочения объектов исследования, а значит, и используемых методов анализа и синтеза. В ряде случаев удачная, логически оправданная и естественная классификация процесса помогает вскрыть новые закономерности (например, периодическая система Менделеева, классификация звезд на основе диаграммы Герцшпрунга – Рассела в астрономии и т.д.).
Классификация производится по каким-либо признакам. Наиболее существенными признаками для СП являются зависимости их вероятностных характеристик от времени и номера реализации.
Обозначим через q(l) произвольную вероятностную характеристику;
– оператор усреднения по множеству;
– оператор усреднения по времени.
Если одновременно используется усреднение и по множеству, и по времени, то получаемая при этом оценка вероятностной характеристики (l) имеет такой вид:
,
где l – аргумент вероятностной характеристики (частота в спектральной плотности мощности; интервал в корреляционной функции).
Истинное значение оценки вероятностной характеристики получается с помощью предельного перехода при неограниченном возрастании числа реализаций N и их длительностей T, т.е.
.
Характеристику, полученную усреднением и по множеству, и по времени, будем называть средней вероятностной характеристикой. Если же усреднение производится только по множеству, то получается t – текущая вероятностная характеристика:
только по времени – k-текущая вероятностная характеристика:
В зависимости от видов получаемых характеристик СП можно классифицировать таким образом:
– (k, l) = (l) – однородный процесс, т.е. получаемая характеристика не зависит от номера реализации;
– (t, l) = (l) – стационарный процесс, т.е. получаемая характеристика не зависит от начала отсчета времени;
– (t, l) = (k, l) = (l) – эргодический случайный процесс.
Схематично процессы могут быть представлены в виде множеств, изображенных на рис. 29.
Приведенная укрупненная классификация, конечно, не является исчерпывающей, поэтому используется классификация по многим другим признакам.
По виду областей существования и значений случайной функции СП делятся на непрерывные (непрерывные области существования и значений – рис. 30а), дискретные (непрерывное множество значений аргумента и дискретное множество значений – рис. 30б), непрерывные случайные последовательности (дискретная область существования и непрерывная область значений – рис. 30в) и дискретные случайные последовательности (дискретная функция дискретного аргумента – рис. 30г).
По виду распределений вероятностей различают процессы с конечной и бесконечной областями значений, с симметричной и несимметричной плотностью вероятности, гауссовы (нормальные) и негауссовы.
По корреляционной связи значений различают коррелированные и некоррелированные СП, по виду спектра – широкополосные и узкополосные СП, по характеру временной связи – периодические, непериодические и почти периодические.
По виду нестационарности процессы делятся на аддитивные, мультипликативные, стационарные на интервале (квазистационарные), со стационарными приращениями, периодически нестационарные, с быстрой и медленной нестационарностью и т.д.
Выбор признаков классификации определяется характером решаемой задачи.
Рассмотрим пример классификации СП.
Решение примера 4. Охарактеризовать процесс X(t) в отношении стационарности, однородности и эргодичности, если процесс представлен моделью:
где А – случайная амплитуда с рэлеевским распределением; – случайная величина с равномерным распределением на интервале [–p, p]; 0 = const.
Выборочные реализации процесса X(t) представлены на рис. 31.
Из рис. 31 и аналитического представления квазидетерминированного процесса X(t) очевидно, что его вероятностные характеристики (например, математическое ожидание, дисперсия, плотность вероятности и т.д.) не зависят от времени, т.е. процесс является стационарным. В то же время каждая из реализаций характеризуется своей дисперсией, поэтому процесс неоднороден и не является эргодическим, т.е. его характеристики нельзя оценить по одной реализации.
ПРИМЕР 5. По заданной графически функции распределения стационарного случайного колебания (рис. 32) определить плотность вероятности и изобразить возможный вид реализации этого процесса.
Решение примера 5. Плотность вероятности связана с функцией распределения через производную, поэтому на первом участке u от -6 до -3 В производная, характеризующая тангенс угла наклона к оси u равна 0,4/3 = 0,13 1/В. При u = 1 В имеет скачок на 0,3, поэтому в плотности вероятности есть d-функция с площадью, равной величине скачка. На участке от 3 до 7 В также имеет постоянный наклон, равный 0,3/6 = 0,05 1/В. Полученная плотность вероятности представлена на рис. 3 Для проверки вычислений необходимо найти площадь, ограниченную плотностью вероятности (условие нормировки): 
.
mu = =
= –0,325 В.
Второй начальный момент – m2u = 
48,9 В2.
Дисперсия – 
= 48,5 – 0,105625 » 48,4 В2.
Реализация длительностью Т, судя по виду плотности вероятности на разных интервалах времени, должна иметь горизонтальные участки на уровне +1 В, суммарная длительность которых должна составлять Т/ На участках от -6 до -3 В и от +1 до +7 В в реализации имеются наклонные прямые линии со случайным наклоном, что соответствует неизменным значениям плотности вероятности. На первом участке мгновенные значения реализации находятся 0,4Т, а на втором – 0,3Т.
Возможный вид реализации представлен на рис. 34.
ПРИМЕР 6. На рис. 35 представлена реализация случайного процесса. Изобразить приближенно плотность вероятности и функцию распределения. Рассчитать (также приближенно) математическое ожидание, среднеквадратическое значение (СКЗ) и среднеквадратическое отклонение (СКО).
Решение примера 6. Для определения плотности вероятности необходимо в соответствии с ее определением рассчитать вероятности следующих событий:
Соответствия мгновенных значений уровню -10 мА (вероятность р1);
Нахождения мгновенных значений реализации в интервале от -10 до -4 мА (вероятность р2);
Соответствия мгновенных значений уровню -4 мА (вероятность р3);
Нахождения мгновенных значений реализации в интервале от -4 до + 8 мА (вероятность р4);
Соответствия мгновенных значений уровню + мА В (вероятность р5);
Нахождения мгновенных значений реализации в интервале от +8 до +10 мА (вероятность р6).
Для нахождения перечисленных вероятностей необходимо посчитать интервал времени, в течение которого происходили эти события, а затем поделить найденные интервалы на длительность реализации, составляющую 25 мс (см. рис. 35). В результате получим частоты событий (оценку вероятностей). Результаты расчетов представлены в табл. 1.
Таблица 1
| Вероятность |
||||||
|
вероятности |
Для расчета значений плотности вероятности в интервалах (-10, -4) мА, (-4, + 8) мА и (+8, +12) мА необходимо полученные вероятности разделить на соответствующие интервалы, предполагая на этих участках постоянную плотность вероятности, так как мгновенные значения в их пределах меняются по линейному закону (рис. 35). Результаты расчетов представлены на рис. 36.
Математическое ожидание равно:
мА
(в предположении стационарности заданного реализацией СП по математическому ожиданию).
Второй начальный момент –
m2i = 36,08 мА2
(в предположении стационарности заданного реализацией СП по второму начальному моменту).
Дисперсия –
= 36,08 – 0,1024 » 35,98 мА2
(в предположении стационарности заданного реализацией СП по дисперсии).
Следовательно, СКЗ = » 6,01 мА; СКО = » 6,0 мА.
Библиографический список
1. Гоноровский, И.С. Радиотехнические цепи и сигналы [Текст] / И.С. Гоноровский. – М. : Радио и связь, 2006. – 608 с.
1. Манжос, В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информа-ции на фоне помех [Текст] / Я.Д. Ширман, В.Н. Манжос. – М. : Радио и связь, 2011. – 416 с.
2. Жовинский, В.Н. Инженерный экспресс-анализ случайных процессов [Текст] / А.Н. Жовинский, В.Н. Жовинский. – М. : Энергия, 2009. – 112 с.
3. Царьков, Н.М. Многоканальные радиолокационные измерители [Текст] / Н.М. Царьков. – М. : Сов. радио, 2010. – 192 с.
2. Математические основы современной радиоэлектроники [Текст] / И.А. Большаков [и др.]. – М. : Сов. радио, 2009. – 208 с.
3. Федосов, В.П. Статистическая радиотехника [Текст] : конспект лекций / В.П. Федосов, В.П. Рыжов. – Таганрог: Изд-во ТРТИ, 2008. – 76 с.
4. Фомичев, К.И. Моноимпульсная радиолокация [Текст] / А.И. Леонов, К.И. Фомичев. – М. : Сов. радио, 2010. – 370 с.
5. Гнеденко, Б.Н. Курс теории вероятности [Текст] / Б.Н. Гнеденко. – М. : Физматгиз, 2011. – 203 с.
