Метод представляет собой процедуру, состоящую из следующих шагов:
1.Находим в каждой строке матрицы С минимальный элемент и вычитаем его из каждого элемента этой строки. Если в полученной матрице окажутся столбцы, не содержащие нулевых элементов, то в каждом из них находим минимальный элемент и вычитаем его из всех элементов этого столбца. Таким образом, приходим к матрице, каждая строка и каждый столбец которой содержат, по меньшей мере, один нулевой элемент.
2.Если в полученной матрице можно выбрать по одному нулевому элементу так, чтобы соответствующие этим элементам решение было допустимым(то есть каждому исполнителю назначена была одна работа и каждая работа выполнялась одним исполнителем), то данное (нулевое) назначение будет оптимальным. Иначе переходим к следующему пункту.
3.Ищется минимальное множество строк и столбцов, содержащие нули. Далее вне этого множества находим минимальный элемент и вычитаем его из всех элементов приведенной матрицы. Затем преобразуем матрицу таким образом, чтобы не было отрицательных элементов. Эта процедура эквивалентна следующей: минимальный элемент вычитаем из элементов, не содержащих нулевые строки и столбцы. На пересечении этих вычеркнутых строк и столбцов, содержащих нулевые элементы, этот минимальный элемент прибавляется элементам приведенной матрицы, а остальные элементы вычеркнутых столбцов и строк берутся без изменения.
III.Практическая часть. Задача о назначениях.
Решение венгерским методом
Некоторая компания имеет четыре сбытовые базы и четыре заказа, которые необходимо доставить различным потребителям. Складские помещения каждой базы вполне достаточны, для, того, чтобы вместить один из этих заказов. В нижеприведенной таблице содержится информация о расстоянии между каждой базой и каждым потребителем. Как следует распределить заказы по сбытовым базам, чтобы общая дальность транспортировки была минимальной?
Для нахождения оптимального решения воспользоваться «венгерским методом».
Строим матрицу:
Решим ее венгерским методом.
1. Найдем в каждой строке минимальное значение и вычтем его из каждого элемента данной строки,(отмечены полужирным курсивом).
68 72 74 83 0 4 6 15
56 60 58 63 Получим 0 4 2 7
38 40 35 45матрицу: 3 5 0 10
47 42 40 45 7 2 0 5
2.Выберем в каждом столбце матрицы минимальный элемент и вычтем его из каждого элемента данного столбца: (отмечены полужирным курсивом).
0 4 6 15 0 2 6 10
3 5 0 10 3 3 0 5
7 2 0 5 7 0 0 0
3.Определяем число нулей в каждой строке: 1-1, 2-1, 3-1, 4-3и в каждом столбце: 1-2, 2-1, 3-2, 4-1. Максимальное число нулей (3) содержит 4-я строка и 1-й и 3-й столбец. Минимальным числом прямых вычеркнем все нули в матрице. Среди не вычеркнутых элементов выберем минимальный (выделен полужирным курсивом и подчеркнут – 2).
0 2 6 10
Прибавим его к элементам, стоящим на пересечении прямых и вычтем из всех не вычеркнутых элементов. Теперь перераспределим соответствующие назначения сбытовых баз и потребителей.
Получим скорректированную матрицу с назначениями для нулевых клеток:
Вычеркнем из матрицы ненужные нули:
0 0 7 8
0 0 2 0
3 1 0 3
9 0 2 0
Теперь требование о размещении четырех назначений в клетки с нулевой стоимостью выполняется, следовательно полученное решение является оптимальным. Перевозки осуществляются со сбытовой базы 1-к потребителю 1, с базы 2- к потребителю 2, с базы 3 – к потребителю 3 и с базы 4 – к потребителю 4. В результате в начальной таблице суммируются клетки, соответствующие выбранным элементам итоговой таблицы(по диагонали – 68+60+35+45=208), это и будет минимальное решение данной задачи.
Ответ: заказы по сбытовым базам распределены оптимально, общая дальность минимальна – 208 км.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Линейное программирование, математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных неравенств и равенств. Линейное программирование является одним из разделов математического программирования. В данном курсовом проекте был рассмотрен метод линейного программирования,на примере задачи: венгерский метод.
Суть венгерского метода состоит в следующем: путем прибавления определенным образом найденных чисел к некоторым столбцам и вычитания из них некоторых чисел находят систему так называемых независимых нулей. Набор нулей называется системой независимых нулей, если какие два9или больше) нуля не лежат на одной линии (в строке или столбце). Если число независимых нулей равно n, то приняв соответствующие им переменные xij равными 1, а все остальные – равными 0, получаем оптимальный план назначения.
Алгоритм венгерского метода состоит из предварительного шага и не более чем (n-2) последовательно повторяющихся итераций. На предварительном этапе в случае решения задачи на максимум, ее преобразуют в эквивалентную задачу на минимум. На этом же этапе выделяется система независимых нулей. Каждая последующая итерация направлена на увеличение хотя бы на 1 числа независимых нулей. Как только число независимых нулей k станет равным размерности матрицы (k=n), задача решена. Оптимальный план назначения определится положением независимых нулей на последней итерации.
Разработанная программа позволяет контролировать процесс ввода исходных данных путем вывода на экран соответствующих комментариев о некорректности вводимых показателей, что помогает своевременно устранить заведомо неверный исход решения задачи. У пользователя имеется возможность наблюдать за процессом решения, поскольку на экран выводятся результаты каждого этапа, согласно методике решения данного типа задач. Программный продукт можно использовать при изучении курса экономико-математические методы и модели в целях контроля правильности решения задач о назначениях венгерским методом, а также на предприятиях, где необходимо решить проблему по размещению кадров для осуществления экономически целесообразной деятельности.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И ИСТОЧНИКОВ
1. Агальцов, В.П. «Математические методы в программировании»: учебник. В.П. Агальцов, И.В. Волдайская. - М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2009 г.
2. Акулич И. А. «Математическое программирование в примерах и задачах». - М.: «Высшая школа», 2010.
3. Ашманов С.А. «Линейное программирование»,- М.: 2011г.
4. Балдин.К.В. «Математическое программирование»/ К.В.Балдин – М: Издательство «Дашков и К», 2009.
5. Васильев Ф.П., «Линейное программирование»/ Ф.П., Васильев, А.Ю. Иваницкий,2009.
6. Вершик А.М. «О Л.В. Канторовиче и линейном программировании»,2010г
7. Глебова Н.В. «Применение методов линейного программирования для решения экономических задач»: учебно –методическое пособие для студентов 3 курса ВВАГС, 2001 г.
8. Карасев А.Н. «Математические методы в экономике»/ А.Н.Карасев,Н.Ш.Кремер,Т.Н.Савельева,2010.
9. Лищенко А.В., «Линейное и нелинейное программирование»,2011.
10. Партыка, Т.Л. «Математические методы»: учебник. / Т.Л. Партыка, И.И.2009г.
11. Цирель, С. В. «Венгерский способ»/ С. Цирель. Москва: УРСС, 2007 г.
12. Шапкин, А.С. «Математические методы» / А. Шапкин. Учебник. Москва, 2010 г.
Вершик А.М. «О Л.В. Канторовиче и линейном программировании»,2010г.,с.45
Агальцов, В.П. «Математические методы в программировании»: учебник. В.П. Агальцов, И.В. Волдайская. - М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2009 г. - 224 с.: ил.
Шапкин, А.С. «Математические методы» / А. Шапкин. Учебник. Москва, 2010.- 104 с.
Ашманов С.А. «Линейное программирование»,- М.: 2011г,с.235
Балдин.К.В. «Математическое программирование»/ К.В.Балдин – М: Издательство «Дашков и К», 2009.с.67
Васильев Ф.П., «Линейное программирование»/ Ф.П., Васильев, А.Ю. Иваницкий,2009,с.76
Шапкин, А.С. «Математические методы» / А. Шапкин. Учебник. Москва, 2010- 100 с
Лищенко А.В., «Линейное и нелинейное программирование»,2011.С.84
Хазанова Л.Э. «Математическое программирование в экономике»: Учебное пособие. - М.: Издательство БЕК, 2008. - 141с.
Акулич И. А. «Математическое программирование в примерах и задачах». - М.: «Высшая школа», 2010.с 319
Карасев А.Н. «Математические методы в экономике»/ А.Н.Карасев,Н.Ш.Кремер,Т.Н.Савельева,2010.с.35
Акулич И. А. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.: «Высшая школа», 2010- 319 с.
Цирель, С. В. «Венгерский способ»/ С. Цирель. Москва: УРСС, 2007.- 120 с.
Цирель, С. В. Венгерский способ/ С. Цирель. Москва: УРСС, 2007.- 120 с.
Глебова Н.В. «Применение методов линейного программирования для решения экономических задач»: учебно –методическое пособие для студентов 3 курса ВВАГС, 2001.,с.53
Рассмотрим следующий пример. Пусть для выполнения пяти различных работ имеется пять человек. Из отчетных данных известно, какое время требуется каждому из них для выполнения каждой работы. Эти данные приведены в таблице.
|
исполнители |
||||||
|
потребности |
В данном случае величины представляют собой затраты времени каждого работника на выполнение каждой из работ, а величины равны либо 1, либо 0, причем равен 1, если работник i назначен на работу j, и 0 во всех остальных случаях. Таким образом задача сводится к минимизации функции. стоимость маршрут линейный программирование
при следующих ограничениях.
Ясно, что если отбросить последнее условие и заменить его условием
То получается транспортная задача, в которой все потребности и все ресурсы равны единице. В оптимальном решении все равны либо целому числу, либо нулю, причем единственным возможным целым является единица. Таким образом, решение транспортной задачи при этих условиях всегда приводит к равенству.
Однако вследствие вырожденности методы решения транспортных задач в случае задачи о назначении оказываются малоэффективными. При любом назначении всегда автоматически совпадают поставки по строке со спросом по столбцу и поэтому вместо 2n-1 получаем n ненулывых значений. В связи с этим необходимо заполнить матрицу n-1 величинами е, и может оказаться, что ненулевые значения определяют оптимальное решение, однако проверка его не обнаруживает, так как величины е расставлены неверно.
Метод решения задачи о назначении основан на двух довольно очевидных теоремах. Первая из них утверждает, что решение не изменится, если прибавить к любому столбцу или строке матрицы некоторую константу или вычесть ее из них. Эта теорема точно формулируется следующим образом:
Теорема 1.
Если минимизирует
по всем, таким что и
то минимизирует также функционал
где при всех
Теорема 2.
Если все и можно отыскать набор такой, что
то это решение оптимально.
Вторая теорема очевидна. Для доказательства первой теоремы заметим, что
Вследствие того что величины, вычитаемые из Z с целью получения, не зависят от, достигает минимума всегда, когда минимизируется Z, и наоборот.
Разработанный метод решения сводится к прибавлению констант к строкам и столбцам и вычитанию их из строк и столбцов до тех пор, пока достаточное число величин не обращается в нуль, что дает решение, равное нулю.
Отыскание решения начинают, вычитая наименьший элемент из каждой строки, а затем из каждого столбца. В таблице даны результаты для приведенного выше примера.
Таблица А)
|
исполнители |
вычитается |
|||||
Таблица Б)
|
исполнители |
|||||
|
вычитается |
Из столбцов и строк было вычтено всего 10 единиц. Поэтому для правильной оценки любого решения, получаемого при использовании таблицы (Б), необходимо прибавить к результату 10 единиц
Прежде всего стремятся отыскать решение, включающее лишь те клетки таблицы (Б),в которых стоят нулевые элементы, поскольку такое решение, если его удается найти, будет наилучшим из всех возможных. Однако встречаются случаи, когда несколько решений имеют одинаковое качество. Допустимое решение помечено в таблице (Б) скобками. Однако, для того чтобы определить, возможно ли улучшение решения, применяется следующий алгоритм.
Заметим предварительно, что любое дальнейшее вычитание из строки или столбца, хотя и может приводить к появлению новых нулей, неизбежно приводит в появлению отрицательных элементов, так что нулевое решение теперь не обязательно будет оптимальным. Однако отрицательные элементы можно исключить, прибавляя соответствующие числа к строкам или столбцам. Так например, если вычесть 2 из столбца 1 в таблице (Б), то в строке 1 появится элемент - 2. Если теперь прибавить 2 к строке 1, то вновь получим матрицу с неотрицательными элементами. Задача заключается в том, чтобы получать новые нули указанным способом, но вместе с тем в конечном счете получить матрицу, содержащую решение среди одних нулей. Можно доказать, что описываемый ниже алгоритм обеспечивает решение этой задачи.
1. Провести минимальное число горизонтальных и вертикальных прямых, пересекающих по крайней мере один раз все нули. Выполнение этого шага для таблицы (Б) дает результат в таблице 1.
Таблица 1
Заметим, что в данном случае используется только четыре линии, а следовательно, нулевые клетки не содержат оптимального решения.
Таблица 2
Этот шаг должен приводить к появлению нуля в клетке, где его ранее не было. В рассматриваемом примере это клетка (5,2).
4. Определить, имеется ли решение среди нового набора нулей. Если решение не обнаруживается (в данном примере оно отсутствует), то вернуться к шагу 1 и выполнить все последующие шаги, пока не будет найдено решение. продолжая рассматривать данный пример, получаем результат, приведенный в таблице 3.
Таблица 3
В этой таблице уже содержится решение, помеченное скобками и имеющее значение 13, что на 1 лучше исходного допустимого решения. , .
Пример 2.
Представлено четыре студента и четыре вида работ. Следующая таблица соответствует матрице стоимостей для этой задачи.
Выполним первый шаг алгоритма.
Теперь вычтем минимальные стоимости из элементов соответствующих строк.
На втором шаге алгоритма находим минимальные значения по столбцам и вычитаем их из элементов соответствующих столбцов. В результате получим матрицу, представленную в следующей таблице.
В последней матрице расположение нулевых элементов не позволяет назначить каждому ребенку одну работу. Например, если мы назначим Даше уборку гаража, из дальнейшего рассмотрения исключается первый столбец и тогда, в строке Аллы не окажется нулевых элементов.
В задаче данного примера требуется провести три прямых, это приводит к следующей таблице:
Наименьший невычеркнутый элемент равен 1. Этот элемент вычитаем из остальных невычеркнутых элементов и прибавляем к элементам, стоящим на пересечении прямых. В результате получим матрицу, представленную в следующей таблице.
Оптимальное решение, показанное в таблице, предлагает Даше убрать гараж, Кате стричь газоны, Алле мыть машины, а Саше выгуливать собак. Соответствующее значение целевой функции равно 1+10+5+5=21. Такое же значение можно получить путем суммирования значений и и значения элемента, наименьшего среди всех невычеркнутых.
Предварительный этап .
Шаг 1 . При максимизации целевой функции С найти максимальный элемент и каждый элемент этого столбца вычесть из максимального. При минимизации целевой функции (суммы показателей эффективности назначений) в каждом столбце матрицы С найти минимальный элемент и вычесть его из каждого элемента этого столбца.
С с неотрицательными элементами. В каждом столбце матрицы С имеется, по крайней мере, один нуль.
Шаг 2 . В каждой строке матрицы С найти минимальный элемент и вычесть его из каждого элемента этой строки.
В результате образуется матрица С 0 с неотрицательными элементами. В каждом столбце и каждой строке матрицы С 0 имеется, по крайней мере, по одному нулю.
Шаг 3 . Отметить произвольный нуль в первом столбце звездочкой. Начиная со второго столбца просматривать каждый столбец матрицы С 0 и отмечать в нем звездочкой нуль, расположенный в строке, где нет нуля со звездочкой. В каждом столбце можно отметить звездочкой только один нуль. Очевидно, что нули матрицы С 0 , отмеченные звездочкой, являются по построению независимыми. На этом предварительный этап заканчивается.
( k + 1)-я итерация . Допустим, что k -я итерация уже проведена и в результате получена матрица С k . Если в матрице С k имеется ровно п нулей со звездочкой, то процесс решения заканчивается. Если же число нулей со звездочкой меньше п , то переходим к (k + 1)-й итерации.
Каждая итерация начинается первым и заканчивается вторым этапом. Между ними может несколько раз проводиться пара этапов: третий – первый . Перед началом итерации знаком «+» выделяют столбцы матрицы С k , которые содержат нули со звездочкой .
Первый этап . Просмотреть невыделенные столбцы матрицы С k . Если среди них не окажется нулевых элементов, то перейти к третьему этапу .
Если же невыделенный нуль матрицы С k обнаружен, то возможен один из двух случаев:
эта строка не содержит нуля со звездочкой.
В первом случае невыделенный нуль отметить штрихом и выделить строку , в которой он содержится, постановкой справа от нее знака «+». Затем уничтожить знак «+», обводя его кружком над тем столбцом , на пересечении которого с данной выделенной строкой содержится нуль со звездочкой.
Если такой нуль найден и он единственный в столбце, то отметить его штрихом и выделить строку (строки), содержащую такой нуль (нули), знаком «+». Затем просмотреть эту строку (строки), отыскивая в них нуль со звездочкой.
Если такой нуль в столбце найден, но он не единственный в столбце, то из этих нулей следует выбрать:
в первую очередь такой нуль, в одной строке с которым, нет 0*;
во вторую очередь такой нуль, в одной строке с которым имеется 0*, но в одном столбце с этим 0* имеется невыделенный нуль;
в последнюю очередь такой нуль, в одной строке с которым имеется 0*, но в одном столбце с этим 0* отсутствует невыделенный нуль;
Этот процесс законечное число шагов заканчивается одним изследующих исходов:
Исход 1 . Все нули матрицы С k выделены, т. е. находятся в выделенных строках или столбцах. В этом случае перейти к третьему этапу ;
Исход 2 . Имеется невыделенный нуль в строке, где нет нуля со звездочкой. Тогда перейти ко второму этапу , отметив последний по порядку нуль штрихом .
Во втором случае , отметив невыделенныйнуль штрихом, сразупереходят ко второму этапу.
Второй этап . Построить следующую цепочку из элементов матрицы С k : исходный нуль со штрихом, нуль со звездочкой, расположенный в одном столбце с первым, нуль со штрихом, расположенный в одной строке с предшествующим нулем со звездочкой, и т. д. Итак, цепочка образуется передвижением от 0" к 0* по столбцу , от 0* к 0" по строке и т. д.
Можно доказать, что описанный алгоритм построения цепочки однозначен и конечен. При этом цепочка всегда начинается и заканчивается нулем со штрихом . Далее над элементами цепочки, стоящими на нечетных местах (0"), поставить звездочки, уничтожая их над четными элементами (0*). Затем уничтожить все штрихи над элементами матрицы С k и знаки «+». При этом количество независимых нулей будет увеличено на единицу . (k + 1)-я итерация закончена .
Третий этап . К этому этапу следует переходить после первого этапа в случае, если все нули матрицы С k выделены , т. е. находятся в выделенных строках или столбцах. В таком случае среди невыделенных элементов матрицы С k выбрать минимальный элемент и обозначить его h > 0.
вычесть h из всех элементов матрицы С k , расположенных в невыделенных строках , и
прибавить h ко всем элементам матрицы С k , расположенным в выделенных столбцах .
В результате получается новая матрица , эквивалентнаяС k .
Поскольку среди
невыделенных элементов матрицы
появятся
новые нули (согласно определению),
следует перейти к первому этапу, а вместо
матрицыС
k
рассматривать матрицу
.
Завершив первый
этап либо перейти ко второму
этапу
,
если
невыделенный нуль находится в строке,
которая не содержит нуля со звездочкой
,
либо вновь
возвратиться к третьему этапу
,
если в
результате выполнения первого этапа
все нули матрицы
окажутся
выделенными
.
В первом случае после проведения второго этапа итерация заканчивается .
Во втором случае
после проведения третьего этапа
получается матрица
~
~С
k
.
В матрице
появятся невыделенные нули, и всю
последовательность операций, начиная
с первого этапа, надо повторить.После
конечного числа повторений очередной
первый этап обязательно закончится
переходом
на второй
этап
, при
выполнении которого количество
независимых нулей увеличится на единицу,
а после
выполнения которого
(k
+ 1)-я итерация
заканчивается
.
Пример 9. Решим венгерским методом задачу:
На боевом надводном
корабле имеется 5 зенитных огневых
средств (ЗОС). На корабль совершается
одновременный налет авиации противника
в количестве 5 единиц. Поражающий
потенциал каждого i
–го
ЗОС по j
–му
летательному аппарату противника равен
(количество потенциально уничтожаемыхj
–х
летательных аппаратов за время атаки
НК одним ЛА). Предполагается, что любое
ЗОС может обстрелять любую цель.
Распределить ЗОС по ВЦ таким образом, чтобы суммарный поражающий потенциал был максимален, при условиях:
на одну ВЦ может быть назначено только одно ЗОС;
все цели должны быть обстреляны ЗОС.
Решение :
Предварительный этап .
Первая итерация .
Первый этап .
+ +
В
+ +
Вторая итерация .
П
+
+
Поскольку все нули матрицы С 1 выделены следует перейти к третьему этапу.
Третий этап .
+
+
+
+
h
=1
Первый
этап
.
Второй этап .
В результате
решения задачи о назначениях венгерским
методом получили, что последовательность
=4,
=4,
=3,
=2,
=2
дает максимальное значение целевой
функции
=15.
Из этого следует, что для отражения
атаки СВН противника наиболее эффективным
будет следующий вариант назначения ЗОС
на ВЦ:
Упражнения .
Найти опорный план транспортной задачи методами «Северо-западного угла», «Наименьшей стоимости», «Фогеля»:
|
a i |
||||||
|
Заявки b j |
Решить транспортную задачу из задания 1 распределительным методом.
Решить транспортную задачу из задания 1 методом потенциалов.
Венгерским методом решить задачу назначения при поиске максимума:
Венгерским методом решить задачу назначения при поиске минимума:
Контрольные вопросы :
Дайте формулировку транспортной задачи линейного программирования.
Чем отличается сбалансированная транспортная задача от не сбалансированной транспортной задачи?
Сколько в сбалансированной транспортной задаче должно быть базисных переменных?
Дайте определение понятиям: план, допустимый план, опорный допустимый план, оптимальный план, используемым при решении транспортной задачи.
Сформулируйте алгоритм нахождения опорного плана методом северо-западного угла.
Сформулируйте алгоритм нахождения опорного плана методом наименьшей стоимости.
Сформулируйте алгоритм нахождения опорного плана методом Фогеля.
Сформулируйте алгоритм нахождения оптимального плана распределительным методом.
Сформулируйте алгоритм нахождения оптимального плана методом потенциалов.
Дайте формулировку задачи о назначениях.
Каким образом в задаче о назначениях при разных количествах объектов и средств формируется квадратная матрица назначений?
Сформулируйте алгоритм решения задачи о назначениях Венгерским методом.
Каким образом на предварительном этапе формируется исходная матрица назначений при максимизации целевой функции?
Каким образом на предварительном этапе формируется исходная матрица назначений при минимизации целевой функции?
В чем заключается суть первого этапа решения задачи о назначениях Венгерским методом?
В чем заключается суть второго этапа решения задачи о назначениях Венгерским методом?
В чем заключается суть третьего этапа решения задачи о назначениях Венгерским методом?
Сколько первых, вторых и третьих этапов может находиться в одной итерации решения задачи о назначениях Венгерским методом? Какова последовательность выполнения этапов в итерации?
Сколько независимых нулей должно быть в матрице назначений для принятия решения о том, что оптимальное назначение средств на объекты найдено?
Предположим, что у нас имеются $4$ склада $A_1,\ A_2,\ A_3,\ A_4$ и $4$ магазина $B_1,\ B_2,\ B_3,\ B_4$. Расстояния от каждого склада до каждого магазина заданы с помощью следующей матрицы:
Например, расстояние от $A_1$ до $B_1$ равно элементу $a_{11}=10$, расстояние от $A_2$ до $B_2$ равно элементу $a_{12}=20$, и т.д.
Требуется так прикрепить склады к магазинам, чтобы суммарное расстояние получилось минимальным. Такая задача называется задачей о назначениях. Решать ее можно с помощью так называемого венгерского алгоритма.
Находим минимальный элемент в каждой строке матрицы и вычитаем его из всех элементов строки.
В полученной матрице проделываем тоже самое со столбцами, то есть находим в каждом столбце минимальный элемент и вычитаем его из всех элементов столбца.
В первой строке полученной матрицы находится ровно один ноль. Отмечаем его, а в столбце, где стоит этот ноль все остальные нули зачеркиваем. Получим матрицу:
Следующая строка, в который находится ровно один ноль, это $4$-я. С ней поступаем точно так же. Больше нет строк, содержащих ровно один ноль, но имеются столбцы с одним нулем. Второй столбец содержит ровно один ноль, который мы и отметим. Поскольку этот ноль находится в $3$-й строке, то вычеркиваем все нули, находящиеся в $3$-й строке. Получим матрицу:
Видим, что в матрице больше нет нулей. Полученное распределение не является оптимальным, поскольку во второй строке нет отмеченных нулей. Проводим минимальное количество пересекающихся вертикальных и горизонтальных прямых через все нули.
Находим минимальный элемент среди не зачеркнутых этими прямыми чисел: ${\min \left(5,\ 13,\ 7,\ 2,\ 11,\ 8\right)\ }=2$. Вычитаем найденный минимум из всех не зачеркнутых чисел и прибавляем его ко всем числам, стоящими на пересечении прямых. Получим матрицу:
Полученное распределение не является оптимальным, поскольку в $4$-й строке нет отмеченных нулей. Проводим прямые:
${\min \left(11,\ 5,\ 9,\ 6,\ 6,\ 1\right)\ }=1$. Вычитаем найденный минимум из всех не зачеркнутых чисел и прибавляем его ко всем числам, стоящими на пересечении прямых. Получим матрицу:
К полученной матрицы применяем вышеописанный алгоритм:
Видим, что в каждой строке и в каждом столбце матрицы находится ровно один отмеченный ноль. Получено оптимальное распределение. $A_1$ прикрепляем к $B_4$, $A_2$ - к $B_1$, $A_3$ - к $B_2$, $A_4$ - к $B_3$. Для того, чтобы найти суммарное распределение, нужно сложить числа, расположенные в исходной матрице на месте отмеченных нулей. Получим: $5+3+8+8=24$.
Стоит отметить, что задача о назначениях может решаться и на максимум (чтобы суммарное расстояние было максимальным). В этом случае каждый элемент матрицы умножается на $-1$ и к полученной матрице применяется вышеописанный алгоритм.
Получился - граф . Вершины слева – разработчики, вершины справа – технологии (задачи). Ребра, которые их соединяют – означают то, насколько разработчик в ней разбирается. Эти цифры, т.е. степень владения разработчиком данной технологией, очень важны, но к ним обратимся чуть позже. А пока мы уже верно наметили направление, в котором эффективно решается данная задача:
Двудольный граф
– граф, у которого существует такое разбиение множества вершин на две части (доли), что концы каждого ребра принадлежат разным долям. В нашей задаче тоже есть четкое разделение: одни вершины – это разработчики, другие – задачи, и связи (эффективность владения) есть только между разработчиками и задачами.
Паросочетанием
неориентированного графа G называется подмножество M его ребер E, выбранное так, что никакие два ребра из M не являются смежными, т.е. не имеют общей вершины. В терминах нашей задачи синонимом этому будет «назначение»
, чтобы каждый задействованный разработчик взял на себя отдельную задачу. И не получилось такого, что два разработчика прорабатывают одну проблему, или один «бедняга» отвечал за две задачи.
В теории графов наша проблема, как это ни странно, называется Задачей о Назначениях (ЗН) . =) Она является частным случаем задачи нахождения максимального паросочетания. В самом деле, мы ведь стремимся максимально задействовать ресурсы, чтобы одновременно прорабатывалось максимальное число технологий, поэтому в терминах графов - пытаемся найти «максимальное паросочетание», составить максимальное количество пар разработчик-задача.
Добавим еще немного терминологии из теории графов, простыми словами:
Экспонированная вершина
– это вершина, которая не участвует в текущем паросочетании. Т.е. либо «незадействованный разработчик», либо «свободная задача».
Альтернирующая цепь
– это цепь, ребра которой попеременно лежат или не лежат в паросочетании. (…- владение технологией – назначенная задача – владение технологией – назначенная задача - …)
Альтернирующее дерево
– дерево, состоящее из альтернирующих цепей
Аугментальная цепь
– это такая альтернирующая цепь, начальная и конечная вершины которой экспонированы. Вот как называется то, что мы и ищем! =)
Аугментальное дерево
– соответственно дерево, в котором хотя бы одна из веток – это аугментальная цепь.
Вот и нашли способ наращивать паросочетание, стремясь получить максимальное. Нужно строить альтенирующее дерево. Когда оно станет аугментальным, искать аугментальные цепи из «незадействованного разработчика» в «свободную задачу» и потом «переназначать» задачи вдоль них. Это выгодно, т.к. увеличивает количество «задач в обработке» на 1:
Теперь мы уже сможем задействовать наибольшее количество технологий в проекте. Самое время принять во внимание еще одно важное условие поставленной перед нами проблемы: эффективность владения технологиями. Мы ведь хотим оптимально назначить всем задачи.
Мы бы для начала всем разработчикам до упора назначили задачи в соответствии с их максимальными способностями. Если всем разработчикам удалось сразу же распределить задачи - отлично. Но такое происходит не часто. Вдруг два человека, оптимально владеют одной и той же технологией, кому она достанется и что делать в этой ситуации? Одному из разработчиков нужно будет подыскать иную свободную задачу, так же наиболее соответствующую его способностям. Если при текущих (максимальных требованиях) условиях не найдется свободной задачи, то нужно будет попробовать подыскать среди задач, предварительно немного занизив наши требования. Как бы искусственно занизить способности разработчиков в графе. Если в таких условиях обнаружим свободную задачу – получим аугментальное дерево. «Поменяем» по цепочке паросочетания, после чего будет +1. И продолжим назначать таким вот оптимальным образом, пока всем не подыщем работу.
Вся «фишка» этого алгоритма заключается в следующем. Нам дан всего один параметр в графе – эффективность решения определенной задачи разработчиком, что указано на ребрах. Эта величина присвоена парам разработчик-задача. Мы же «разделим» (отделим от пар) эти величины на две. Искусственно добавим два дополнительных параметра. Одни величины будут приписаны вершинам задач, другие - вершинам разработчиков.
Попробую привести такую интерпретацию:
Таким образом, величины указанные на ребрах мы «разделим» на 2 значения, приписанных уже вершинам: эффективность решения задачи = способность разработчика + изученность задачи. В принципе, логично. Чем способней разработчик или чем более известна технология, тем лучше будет реализована эта часть в проекте. Эффективней.
В конце, после того как мы найдем решение, мы конечно будем учитывать только величины на ребрах, но сейчас эта «фишка» поможет нам найти решение. =)
При поиске «свободной задачи» для «незадействованного разработчика» мы ограничимся теперь только (назовем их) оптимальными ребрами графа, т.е. теми, для которых выполняется равенство: эффективность решения задачи (ребро) = способность разработчика (вершина) + изученность задачи (вершина) .
Далее мы поступаем так же, как и при поиске максимального паросочетания. Хватаем по очереди незадействованных разработчиков и, подыскивая им свободные задачи, строим альтернирующее дерево (состоящее из чередующихся цепей), но уже только по оптимальным ребрам. Далее возможно 2 ситуации:
Вот и подошли к последнему моменту Венгерского метода для чего все эти дополнительные параметры и «способности» задумывались. Допустим, что, наращивая альтернирующее дерево, мы в конечном итоге получили - Венгерское дерево. Рассмотрим, какие вершины попадут в это дерево:
После чего внутри венгерского дерева мы:
Все. Все шаги данного метода рассмотрены. Продолжаем в том же духе… Success is not final, failure is not fatal: it is the courage to continue that counts .
Я взял его . На мой взгляд, очень хорошая реализация. Единственное отличие, у автора приведен код метода минимизации назначений (если, допустим, на ребрах – зарплата), а в статье мы распределяли задачи с целью получения максимальной эффективности. Поэтому, слегка модифицировав код, приведу ниже реализацию максимального метода:
