Рассмотрим задачу дискретного программирования в общем виде:
Найти -вектор неизвестных, D- конечное
множество допустимых значений этого вектора, F(x)- заданная целевая функция.
Идея метода состоит в разбиении D на непересекающиеся подмножества Di (эта процедура называется ветвлением) и вычислении верхней и нижней границ целевой функции на каждом из подмножеств. Нижнюю границу будем обозначать Н, а верхнюю Е. Соответственно Hi Eo, то это подмножество не содержит точку оптимума и может быть исключено из дальнейшего рассмотрения. Если верхняя граница Ei H заменяем Н на min Hi. Если Е=Н, то задача решена, иначе надо продолжить процедуру ветвления и вычисления верхней и нижней границ. При этом разбиению на очередном шаге могут подвергаться все или только некоторые подмножества до достижения равенства верхней и нижней границ, причём не на отдельном подмножестве, а для допустимой области в целом.
Простая идея метода ветвей и границ требует дополнительных вычислений для определения границ. Как правило, это приводит к решению вспомогательной оптимизационной задачи. Если эти дополнительные вычисления требуют большого числа операций, то эффективность метода может быть невелика.
Схему динамического программирования при движении от начальной точке к конечной (рис. 5.1) можно представлять как процедуру ветвления.
Множество всех допустимых траекторий (последовательность по-шаговых переходов) - это исходное множество D, на котором мы должны найти нижнюю и верхнюю границы, а также траекторию, на которой целевая функция достигает верхней границы и объявить рекордом соответствующее ей значение целевой функции. Построение множества состояний, получаемых после первого шага, - это первое ветвление.
Рис. 5.1.
Теперь подмножествами Di являются множества траекторий, каждая из которых проходит через соответствующую i-ую точку.
На последующих шагах после отбраковки всех путей, приводящих в любое (i-oe) состояние, кроме одного, соответствующим подмножеством является этот оставшийся путь со всеми его допустимыми продолжениями (рис. 5.1). Для каждого из таких подмножеств надо как-то найти верхнюю и нижнюю границы. Если нижняя граница превышает текущее значение рекорда, соответствующее состояние и все его продолжения отбраковываются. Если верхняя граница достигается на некоторой траектории и она меньше текущего значения рекорда, то получаем новый рекорд.
Эффективность такого подхода зависит от точности получаемых оценок, т.е. от Ei - Hi, и от затрат времени на их вычисление.
Фактически в упрощённом виде мы уже использовали этот метод при решении задачи о защите поверхности (разд. 4.6), когда отбраковывали состояния, для которых текущие затраты превышали суммарные затраты для начального приближения. В этом случае текущие затраты являются нижней границей, если считать нулевыми затраты на весь оставшийся путь, а суммарные затраты, соответствующие начальному приближению, являются рекордом. При таком подходе рекорд не обновлялся, хотя это можно было сделать построением начального приближения (верхней границы) для оставшегося пути подобно тому как это делалось для всей траектории при построении начального приближения. Получаемая без вычислений нижняя граница соответствует нулевым затратам на весь оставшийся путь и является крайне грубой оценкой, но получаемой «бесплатно», т.е. без вычислений.
Покажем как получать и использовать более точные оценки при решении рассмотренных выше и целого ряда других задач. При этом будем стремиться получать авозможно более точные границы при минимуме вычислений.
Метод ветвей и границ -- один из комбинаторных методов. Его суть заключается в упорядоченном переборе вариантов и рассмотрении лишь тех из них, которые оказываются по определенным признакам перспективными, и отбрасывании бесперспективных вариантов.
Метод ветвей и границ состоит в следующем: множество допустимых решений (планов) некоторым способом разбивается на подмножества, каждое из которых этим же способом снова разбивается на подмножества. Процесс продолжается до тех пор, пока не получено оптимальное целочисленное решение исходной задачи.
Алгоритм решения:
Первоначально находим симплексным методом или методом искусственного базиса оптимальный план задачи без учета целочисленности переменных. Пусть им является план X 0 . Если среди компонент этого плана нет дробных чисел, то тем самым найдено искомое решение данной задачи и
Если же среди компонент плана X 0 имеются дробные числа, то X 0 не удовлетворяет условию целочисленности и необходимо осуществить упорядоченный переход к новым планам, пока не будет найдено решение задачи. Покажем, как это можно сделать, предварительно отметив, что F(X 0) F(X) для всякого последующего плана X.
Предполагая, что найденный оптимальный план X 0 не удовлетворяет условию целочисленности переменных, тем самым считаем, что среди его компонент есть дробные числа. Пусть, например, переменная приняла в плане X 0 дробное значение. Тогда в оптимальном целочисленном плане ее значение будет по крайней мере либо меньше или равно ближайшему меньшему целому числу, либо больше или равно ближайшему большему целому числу. Определяя эти числа, находим симплексным методом решение двух задач линейного программирования:
Найдем решение задач линейного программирования (I) и (II). Очевидно, здесь возможен один из следующих четырех случаев:
Если же значение целевой функции больше на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то следует взять одно из таких чисел и для задачи, план которой рассматривается, необходимо построить две задачи, аналогичные (I) и (II).
4. Обе задачи разрешимы, и среди оптимальных планов обеих задач есть дробные числа. Тогда вычисляем значение целевой функции на данных оптимальных планах и рассматриваем ту из задач, для которой значение целевой функции является наибольшим. В оптимальном плане этой задачи выбираем одну из компонент, значение которой является дробным числом, и строим две задачи, аналогичные (I) и (II).
Таким образом, описанный выше итерационный процесс может быть представлен в виде некоторого дерева, на котором исходная вершина отвечает оптимальному плану Х 0 задачи (1)-(3), а каждая соединенная с ней ветвью вершина отвечает оптимальным планам задач (I) и (II). Каждая из этих вершин имеет свои ветвления. При этом на каждом шаге выбирается та вершина, для которой значение функции является наибольшим. Если на некотором шаге будет получен план, имеющий целочисленные компоненты, и значение функции на нем окажется больше или равно, чем значение функции в других возможных для ветвления вершинах, то данный план является оптимальным планом исходной задачи целочисленного программирования и значение целевой функции на нем является максимальным.
Итак, процесс нахождения решения задачи целочисленного программирования (1)-(4) методом ветвей и границ включает следующие основные этапы:
Описанный выше метод ветвей и границ имеет более простую логическую схему расчетов, чем метод Гомори. Поэтому в большинстве случаев для нахождения решения конкретных задач целочисленного программирования с использованием ЭВМ применяется именно этот метод.
целочисленный программирование задача коммивояжер ранец
Метод ветвей и границ − один из комбинаторных методов. В отличие от метода Гомори применим как к полностью, так и частично целочисленнным задачам.
Его суть заключается в упорядоченном переборе вариантов и рассмотрении лишь тех из них, которые оказываются по определенным признакам полезными для нахождения оптимального решения.
Идея метода ветвей и границ состоит в следующем: пусть решена ослабленная задача без ограничения целочисленности, и - целочисленная переменная, значение которой в оптимальном плане является дробным. Тогда интервал
не
содержит допустимых решений с целочисленной
координатой
.
Следовательно, допустимое целое значение
должно удовлетворять
или
,
или
Введение этих условий в задачу порождает две несвязанные между собой задачи с одной и той же целевой функцией, но непересекающимися областями допустимых значений переменных. В этом случае говорят, что задача разветвляется.
Очевидно, что возможен один из следующих четырех случаев.
Одна из задач неразрешима, а другая имеет целочисленный оптимальный план. Тогда этот план и значение целевой функции на нем и дают решение исходной задачи.
Одна из задач неразрешима, а другая имеет оптимальный план, среди компонент которого есть дробные числа. Тогда рассматриваем вторую задачу и в ее оптимальном плане выбираем одну из компонент, значение которой равно дробному числу, и строим две задачи на новых ограничениях по этой переменной, полученных разделением ее ближайших к решению целочисленных значений.
Обе задачи разрешимы. Одна из задач имеет оптимальный целочисленный план, а в оптимальном плане другой задачи есть дробные числа. Тогда вычисляем значения целевой функции на этих планах и сравниваем их между собой. Для определенности здесь и далее полагаем, что решается задача о максимуме целевой функции. Если на целочисленном оптимальном плане значение целевой функции больше или равно ее значению на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то данный целочисленный план является оптимальным для исходной задачи и вместе со значением целевой функции на нем дает искомое решение.
Если же значение целевой функции больше на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то следует взять одно из таких чисел и для задачи, план которой рассматривается, произвести ветвление по дробной переменной и построить две новые задачи.
Обе задачи разрешимы, и среди оптимальных планов обеих задач есть дробные числа. Тогда вычисляем значение целевой функции на данных оптимальных планах и рассматриваем ту из задач, для которой значение целевой функции является наибольшим. В оптимальном плане этой задачи выбираем одну из компонент, значение которой является дробным числом, и производим ветвление на две новые задачи, разбивая область изменения этой переменной на две, ограниченные целыми числами справа и слева соответственно.
Таким образом, процесс построения все новых и новых задач может быть представлен на рисунке в виде ветвистого дерева, с вершиной, обозначенной «задача 1», и отходящими от этой вершины ветвями. Такая последовательность действий при нахождении оптимального решения задачи целочисленного программирования нашла свое отражение в названии этого метода.
Исходная вершина отвечает оптимальному плану исходной задачи 1, а каждая соединенная с ней ветвью вершина отвечает оптимальным планам новых задач, построенных для новых ограничений по одной из переменных, имеющих в оптимальном плане задачи 1 значение в виде дробного числа.
Каждая из вершин имеет свои ответвления, при этом на каждом шаге выбирается та вершина, для которой значение целевой функции будет наибольшим.
Если на некотором шаге будет получен план, имеющий целочисленные значения, и значение функции на нем окажется больше или равно, чем значение функции в других возможных для ветвления вершинах, то данный план является оптимальным планом исходной задачи целочисленного программирования и значение целевой функции на нем является максимальным.
Пример . Найти методом ветвей и границ решение задачи целочисленного программирования
Решение . Находим оптимальный план сформулированной задачи симплексным методом без учета целочисленности переменных, а именно решаем задачу 1.
Оптимальный план задачи 1 линейного программирования
при
.
Для исходной задачи, с учетом целочисленности переменных, полученное решение не является оптимальным.
Для поиска целочисленного оптимального решения разделим интервал изменения переменной x 1 на две области, а именно x 1 и x 1 = 10 , и разобьем заданную задачу на две новые задачи.
|
|
|
Нижняя граница линейной функции не изменилась: Z 0 = 0. Решаем одну из задач, например задачу 3, симплексным методом. Получаем, что условия задачи противоречивы.
Решаем задачу 2 симплексным методом. Получаем оптимальный целочисленный план поставленной задачи 2, который является также оптимальным планом задачи 1:
при
.
Таким образом, в результате одного ветвления задачи было найдено ее оптимальное решение.
Общая идея метода может быть описана на примере поиска минимума функции на множестве допустимых значений переменной . Функция и переменная могут быть произвольной природы. Для метода ветвей и границ необходимы две процедуры: ветвление и нахождение оценок (границ).
Процедура ветвления состоит в разбиении множества допустимых значений переменной на подобласти (подмножества) меньших размеров. Процедуру можно рекурсивно применять к подобластям. Полученные подобласти образуют дерево , называемое деревом поиска или деревом ветвей и границ . Узлами этого дерева являются построенные подобласти (подмножества множества значений переменной ).
Процедура нахождения оценок заключается в поиске верхних и нижних границ для решения задачи на подобласти допустимых значений переменной .
В основе метода ветвей и границ лежит следующая идея: если нижняя граница значений функции на подобласти дерева поиска больше, чем верхняя граница на какой-либо ранее просмотренной подобласти , то может быть исключена из дальнейшего рассмотрения (правило отсева ). Обычно, минимальную из полученных верхних оценок записывают в глобальную переменную ; любой узел дерева поиска, нижняя граница которого больше значения , может быть исключен из дальнейшего рассмотрения.
Если нижняя граница для узла дерева совпадает с верхней границей, то это значение является минимумом функции и достигается на соответствующей подобласти.
Метод используется для решения некоторых NP-полных задач, таких как:
Wikimedia Foundation . 2010 .
метод ветвей и границ - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва] Тематики электротехника, основные понятия EN branch and bound method … Справочник технического переводчика
метод - метод: Метод косвенного измерения влажности веществ, основанный на зависимости диэлектрической проницаемости этих веществ от их влажности. Источник: РМГ 75 2004: Государственная система обеспечения еди … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Оптимальный маршрут коммивояжёра через 15 крупнейших городов Германии. Указанный маршрут является самым коротким из всех возможных 43 589 145 600. Задача коммивояжёра (англ. Travelling salesman problem, TSP) (коммивояжёр … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Перебор. Полный перебор (или метод «грубой силы», англ. brute force) метод решения математических задач. Относится к классу методов поиска решения исчерпыванием всевозможных… … Википедия
Пример задачи о ранце: необходимо разместить ящики в рюкзак при условии на вместимость рюкзака 15 кг, так чтобы суммарная полезность предметов в рюкзаке была максимальной. Задача о ранце (рюкзаке) (англ. … Википедия
Задача коммивояжёра (коммивояжёр бродячий торговец) является одной из самых известных задач комбинаторной оптимизации. Задача заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с… … Википедия
Задача коммивояжёра (коммивояжёр бродячий торговец) является одной из самых известных задач комбинаторной оптимизации. Задача заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с… … Википедия
Задача коммивояжёра (коммивояжёр бродячий торговец) является одной из самых известных задач комбинаторной оптимизации. Задача заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с… … Википедия
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия
Одна из самых известных и важных задач транспортной логистики (и класса задач оптимизации в целом) – задача коммивояжера (англ. «Travelling salesman problem», TSP ). Также встречается название «задача о бродячем торговце ». Суть задачи сводится к поиску оптимального, то есть кратчайшего пути проходящего через некие пункты по одному разу. Например, задача коммивояжера может применяться для нахождения самого выгодного маршрута, позволяющего объехать определенные города со своим товаром по одному разу и вернуться в исходную точку. Мерой выгодности маршрута будет минимальное время, проведенное в пути, минимальные расходы на дорогу или, в простейшем случае, минимальная длина пути.
Кто и когда впервые начал исследовать задачу коммивояжера неизвестно, но одним из первых предложил решение подобной проблемы выдающийся математик XIX в. – Уильям Гамильтон. Здесь мы рассмотрим замкнутый вариант задачи (т.е. такой, когда в итоге мы возвращаемся в исходную точку) и ее решение методом ветвей и границ .
Для решения задачи коммивояжера методом ветвей и границ необходимо выполнить следующий алгоритм (последовательность действий):
Более подробно эти этапы решения задачи о бродячем торговце раскрыты ниже.
В целях лучшего понимания задачи будем оперировать не понятиями графа, его вершин и т.д., а понятиями простыми и максимально приближенными к реальности: вершины графа будут называться «города», ребра их соединяющие – «дороги».
Итак, методика решения задачи коммивояжера:
1. Построение матрицы с исходными данными
Сначала необходимо длины дорог соединяющих города представить в виде следующей таблицы:
В нашем примере у нас 4 города и в таблице указано расстояние от каждого города к 3-м другим, в зависимости от направления движения (т.к. некоторые ж/д пути могут быть с односторонним движением и т.д.).
Расстояние от города к этому же городу обозначено буквой M. Также используется знак бесконечности. Это сделано для того, чтобы данный отрезок путь был условно принят за бесконечно длинный. Тогда не будет смысла выбрать движение от 1-ого города к 1-му, от 2-ого ко 2-му, и т.п. в качестве отрезка маршрута.
2. Нахождение минимума по строкам
Находим минимальное значение в каждой строке (di ) и выписываем его в отдельный столбец.
3. Редукция строк
Производим редукцию строк – из каждого элемента в строке вычитаем соответствующее значение найденного минимума (di).
В итоге в каждой строке будет хотя бы одна нулевая клетка .
4. Нахождение минимума по столбцам
5. Редукция столбцов
Вычитаем из каждого элемента матрицы соответствующее ему dj.
В итоге в каждом столбце будет хотя бы одна нулевая клетка .
6. Вычисление оценок нулевых клеток
Для каждой нулевой клетки получившейся преобразованной матрицы находим «оценку ». Ею будет сумма минимального элемента по строке и минимального элемента по столбцу, в которых размещена данная нулевая клетка. Сама она при этом не учитывается. Найденные ранее di и dj не учитываются. Полученную оценку записываем рядом с нулем, в скобках.
И так по всем нулевым клеткам:
7. Редукция матрицы
Выбираем нулевую клетку с наибольшей оценкой. Заменяем ее на «М ». Мы нашли один из отрезков пути. Выписываем его (от какого города к какому движемся, в нашем примере от 4-ого к 2-му).
Ту строку и тот столбец, где образовалось две «М» полностью вычеркиваем. В клетку, соответствующую обратному пути , ставим еще одну букву «М» (т.к. мы уже не будем возвращаться обратно).
8. Если полный путь еще не найден, переходим к пункту 2, если найден к пункту 9
Если мы еще не нашли все отрезки пути, то возвращаемся ко 2 -му пункту и вновь ищем минимумы по строкам и столбцам, проводим их редукцию, считаем оценки нулевых клеток и т.д.
Если все отрезки пути найдены (или найдены еще не все отрезки, но оставшаяся часть пути очевидна) – переходим к пункту 9 .
9. Вычисление итоговой длины пути и построение маршрута
Найдя все отрезки пути, остается только соединить их между собой и рассчитать общую длину пути (стоимость поездки по этому маршруту, затраченное время и т.д.). Длины дорог соединяющих города берем из самой первой таблицы с исходными данными.
В нашем примере маршрут получился следующий: 4 → 2 → 3 → 1 → 4 .
Общая длина пути: L = 30 .
Применение задачи коммивояжера на практике довольно обширно. В частности ее можно использовать для поиска кратчайшего маршрута при гастролях эстрадной группы по городам, нахождения последовательности технологических операций обеспечивающей наименьшее время выполнения всего производственного цикла и пр.
Галяутдинов Р.Р.
© Копирование материала допустимо только при указании прямой гиперссылки на
