Циклические коды. Основные понятия и определения. Построить порождающую матрицу циклического кода с g(х) = 1+х+х*3

Циклические коды

Циклические коды - это целое семейство помехоустойчивых кодов, включающее в себя в качестве одной из разновидностей кодов Хэмминга, но в целом обеспечивающее большую гибкость с точки зрения возможности реализации кодов с необходимой способностью обнаружения и исправления ошибок, определяемой параметром d0, по сравнению с кодами Хэмминга (для которых d0=3 или d0=4). Одним из классов циклических кодов, способность исправлять многократные ошибки, являются коды БЧХ. Широкое использование циклических кодов на практике обусловлено также простотой реализации соответствующих кодеров и декодеров. Основные свойства и само название циклических кодов связаны с тем, что все разрешенные комбинации бит в передаваемом сообщении (кодовые слова) могут быть получены путем операции циклического сдвига некоторого исходного кодового слова:

Циклические коды задаются с помощью так называемых порождающих полиномов (многочленов) g(x) степени r = n-k, являющийся сомножителем двучлена x n +1, и их корней. Кроме того, вводятся понятия полинома исходного сообщения. Для этих полиномов, представляющих собой, по существу, альтернативную запись чисел в двоичной системе счисления, определяются операции сложения, умножения и деления, необходимые для организации кодирования и декодирования сообщения. Все эти операции выполняются по модулю 2.

Кодовые слова представляются в виде многочленов:

Основные параметры циклических кодов

Длина кода - n; Длина информационной последовательности - k; Длина проверочной последовательности - r=n-k; Кодовое расстояние кода - d 0 ; Скорость кода - R=k/n; Избыточность кода - R?; Вероятность обнаружения ошибки (искажения) - Р ОО; Вероятность не обнаружения ошибки (искажения) - Р НО.- коэффициенты из поля GF(q).

Основные понятия и определения

Кодовое расстояние между двумя кодовыми словами (расстояние Хэмминга) - это число позиций, в которых они отличаются друг от друга. Кодовое расстояние кода - это наименьшее расстояние Хэмминга между различными парами кодовых слов. Основные зависимости между кратностью обнаруживаемых ошибок t 0 , исправляемых ошибок t u , исправлением стираний t c и кодовым расстоянием d 0 кода:

Стиранием называется "потеря" значения передаваемого символа в некоторой позиции кодового слова, которая известна. Код, в котором каждое кодовое слово начинается с информационных символов и заканчивается проверочными символами, называется систематическим. Если код построен над полем GF(2), то коэффициенты принимают значения 0 или 1 и код называется двоичным. Длина циклического кода называется примитивной и сам код называется примитивным, если его длина n=q m -1 над GF(q). Если длина кода меньше длины примитивного кода, то код называется укороченным или непримитивным. Общее свойство кодовых слов циклического кода - это их делимость без остатка на некоторый многочлен g(x), называемый порождающим. Результатом деления двучлена x n +1 на многочлен g(x) является проверочный многочлен h(x). При декодировании циклических кодов используются многочлен ошибок e(x) и синдромный многочлен S(x). Многочлен ошибок степени не более (n-1) определяется из выражения

где - многочлены, отображающие соответственно принятое (с ошибкой) и переданное кодовые слова. Ненулевые коэффициенты в е(x) занимают позиции, которые соответствуют ошибкам. Синдромный многочлен, используемый при декодировании циклического кода, определяется как остаток от деления принятого кодового слова на порождающий многочлен, т.е.

Следовательно, синдромный многочлен зависит непосредственно от многочлена ошибок е(х). Это положение используется при построении таблицы синдромов, применяемой в процессе декодирования. Эта таблица содержит список многочленов ошибок и список соответствующих синдромов, определяемых из выражения (см. таблицу 4).

В процессе декодирования по принятому кодовому слову вычисляется синдром, затем в таблице находится соответствующий многочлен е(х), суммирование которого с принятым кодовым словом дает исправленное кодовое слово, т.е.

Перечисленные многочлены можно складывать, умножать и делить, используя известные правила алгебры, но с приведением результата по модулю 2, а затем по модулю x n +1, если степень результата превышает степень (n-1). Примеры.

Допустим, что длина кода n=7, то результат приводим по модулю x 7 +1.

При построении и декодировании циклических кодов в результате деления многочленов обычно необходимо иметь не частное, а остаток от деления. Поэтому рекомендуется более простой способ деления, используя не многочлены, а только его коэффициенты (вариант 2 в примере).

Циклический код может быть задан порождающей g(x) и проверочной h(x) матрицами. Для построения достаточно знать порождающий и проверочный многочлены. Для не систематического циклического кода матрицы строятся циклическим сдвигом порождающего и проверочного многочленов, т. е. путем их умножения на х.

Одна из основных задач, стоящих перед разработчиками устройств защиты от ошибок при передачи дискретных сообщений по каналам связи является выбор порождающего многочлена для построения циклического кода, обеспечивающего требуемое минимальное кодовое расстояние для гарантийного обнаружения и исправления t-кратных ошибок.

Существуют специальные таблицы по выбору порождающего многочлена в зависимости от предъявляемых требований к корректирующим возможностям кода. Однако у каждого циклического кода имеются свои особенности формирования порождающего многочлена. Поэтому при изучении конкретных циклических кодов будут рассматриваться соответствующие способы построения порождающего многочлена.

Пусть означает информационных бит, кодируемых в кодовое слово . В этой главе мы следуем установленным соглашениям о представлении кодовых слов в виде векторов. Так, вектор из информационных бит на входе кодера обозначается так:

,

а выходом кодера является вектор из символов

.

Операцию кодирования, выполняемую в линейном двоичном блоковом коде, можно представить совокупностью из уравнений вида

(8.1.2)

где или , а представляют произведение и . Линейные уравнения (8.1.2)

можно также представить в матричной форме

где - порождающая матрица кода, равная

(8.1.4)

Заметим, что произвольное кодовое слово – это просто линейная комбинация векторов из ,

Поскольку линейный код с кодовыми словами является подпространством размерности , векторы порождающей матрицы должны быть линейно независимыми, т.е. они должны образовывать пространство размерности . Другими словами, должны образовать базис для кода. Заметим, что ансамбль базовых векторов не единственный и, следовательно, не уникальна. Мы также заметим, что, поскольку пространство имеет размерность , ранг матрицы равен .

Любую порождающую матрицу кода путём проведения операций над строками (и перестановкой столбцов) можно свести к «систематической форме»:

, (8.1.6)

где - единичная матрица, а - матрица, которая определяет избыточных или проверочных символов. Заметим, что порождающая матрица систематического кода создает линейный блоковый код, в котором первые бит любого кодового слова идентичны информационным битам, а остающиеся бит любого кодового слова являются линейными комбинациями информационных бит. Эти избыточных бита называют паритетными (проверочными) битами. Результирующий код называется в этом случае систематическим кодом .

Если код порождён матрицей, не имеющей систематической формы (8.1.6), он называется несистематическим. Однако такая матрица эквивалентна матрице в систематической форме в том смысле, что одна может быть получена из другой элементарными операциями над строками и перемещением столбцов. Два линейных кода, порожденных двумя эквивалентными порождающими матрицами, называют эквивалентными и один может быть получен из другого перестановкой элементов. Таким образом, каждый линейный код эквивалентен линейному систематическому коду.

Пример 8.1.1. Рассмотрим код (7, 4) с порождающей матрицей

. (8.1.7)

Типичное кодовое слово можно выразить так:

где представляют четыре информационных бита, a представляют три паритетных бита, определённых так:

Линейный систематический двоичный блоковый кодер можно реализовать, используя -битовый регистр сдвига, сумматоров , связанных с соответствующими ячейками регистра сдвига и генерирующих проверочные символы, которые потом временно располагаются во втором регистре сдвига длины . Затем информационных бита, а за ними проверочных бита последовательно покидают два регистра и подаются на модулятор. Это кодирование иллюстрируется рис. 8.1.1 для кода (7, 4) из примера (8.1.1).

Рис. 8.1.1. Линейный регистр сдвига для получения двоичного кода (7,4)

С любым линейным кодом кодом связан дуальный код размерностью .

Дуальный код является линейным кодом с кодовыми векторами, которое образуют нуль-пространство по отношению к коду. Порождающая матрица для дуального кода, обозначаемая , состоит из линейно независимых кодовых векторов, выбираемых в нуль-пространстве. Любое кодовое слово из кода ортогонально любому кодовому слову дуального кода. Следовательно, любое кодовое слово кода ортогонально любой строке матрицы , т.е.

где означает вектор-столбец, состоящий из нулей, а - кодовое слово кода. Поскольку (8.1.9) справедливо для любого кодового слова кода, то следует

где - теперь матрица со всеми нулевыми элементами.

Теперь предположим, что линейный код является систематическим, и его порождающая матрица дана в систематической форме (8.1.6). Тогда, поскольку , следует, что

(8.1.11)

Отрицательный знак в (8.1.11) может быть опущен при работе с двоичными кодами, поскольку вычитание по идентично сложению по .

Пример (8.1.2). Для систематического кода (7, 4), генерируемого матрицей , определяемой (8.1.7), имеем согласно (8.1.11) матрицу в виде

(8.1.12)

Теперь уравнение распадается на три уравнения

(8.1.13)

Таким образом, видим, что произведение эквивалентно суммированию проверочных символов с соответствующими линейными комбинациями информационных символов, используемых для вычисления Это значит, что (8.1.13) эквивалентно (8.1.8).

Матрицу можно использовать в декодере для проверки того, удовлетворяет ли принимаемое кодовое слово условию (8.1.13), т.е. . Таким образом, декодер сверяет принятые проверочные символы с соответствующей линейной комбинацией символов и , которые формируют проверочные символы на передаче. Поэтому принято называть проверочной матрицей, связанной с кодом.

Выскажем соображение, касающееся связи минимального расстояния кода и его проверочной матрицы . Произведение с представляют линейную комбинацию столбцов . Поскольку , векторы-столбцы линейно зависимы. Допустим, что означает кодовое слово с минимальным весом линейного кода . Оно должно удовлетворять условию . Поскольку минимальный вес равен минимальному расстоянию, следует, что столбцов линейно зависимы. Альтернативно, мы можем сказать, что не более, чем столбцов линейно независимы. Поскольку ранг матрицы не больше , имеем . Следовательно, имеет верхнюю границу. Мы называем код информационных символов (во всех кодовых комбинациях) нулями. Эти. Укороченный код состоит из кодовых слов. Минимальное расстояние этих кодовых слов по крайней мере не меньше, чем минимальное расстояние исходного кода.

Приведем матрицу H к треугольному виду:

Система уравнений:

Информационные символы:

Защитные символы:

Порождающая матрица

Информационные символы и соответствующие им защитные:

N	x 1 x 2 x 3 x 4	x 5 x 6 x 7	Вес

Есть черный ящик. L – совокупность преобразований в нем . L подействовала на X.

X 1 и x 2 не взаимодействуют между собой, поэтому это линейная система.

Св-во линейности кодов – сумма двух разрешенных кодовых слов равна разрешенному слову.

Билет 5.
а) Связь между ценностью информации и энтропией
б) Принципы построения линейных кодов. Декодирование по синдрому

Предположение, что множество выходных последовательностей канала является -мерным векторным пространством над полем GF(q}, а множество Y(n,R) входных последовательностей (код) является подпространством размерности nR. существенно облегчает декодирование. В этом случае Y(n,R) является подгруппой аддитивной группы , и, следовательно, может быть разложено на смежные классы по подгруппе . Пусть - все элементы (кодовые слова), тогда все элементы множества будут представлены с помощью стандартного расположения

(1)

(здесь через 0 обозначен единичный элемент группы ).

Каждая строка в (1) образующими элементами соответствующих смежных классов. Если в качестве образующих 0, е 1 , е 2 , ..., е s взяты элементы минимального веса в своем смежном классе, то любая последовательность из i-гo столбца отличается от у в меньшем числе разрядов, чем. от любого другого слова i¹K. Если в смежном классе, содержащем x, существует несколько элементов минимального веса, то найдется столько же кодовых слов, отличающихся от x в одном и том же наименьшем числе разрядов.

Для доказательства предположим, что x=y i +е, где е - элемент минимального веса в своем смежном классе. Очевидно, d{y i . x)=w (e) и d(y k ,x)=w(y k -y i -e). Если е- единственный элемент минимального веса, тоd(y i , x)K¹ i. Если таких элементов несколько (например, w(y j +e)=w(e)) , то d(y i , x)=d(y k , x) то при условии, что y k = y j –y i . Следовательно, для каждого элемента y j +e минимального веса в смежном классе, содержащем e, найдется слово y k = y j –y i , которое находится от у на расстоянии d(y k , i)=w(e).

Таким образом, для всех последовательностей x, входящих в 1-й столбец стандартной расстановки, условная вероятность Р(x\y i) максимальна. Если x находится в смежном классе с несколькими элементами минимального веса, то условная вероятность Р(x\у i)=Р(x\у k) и остается максимальной для всех у k , находящихся на одинаковом расстоянии от x

Правило декодирования может быть сформулировано следующим образом: найти выходную последовательность канала xÎ в (1) и считать, что была передана та последовательность y i ÎY(n.R), которая находится в том же столбце, что и x.

Очевидно, это правило совпадает с декодированием по максимуму правдоподобия и, следовательно, является оптимальным.

Правило декодирования линейного кода можно сформулировать так: после того. как выходная последовательность x; найдена в (1), определить наиболее вероятный вектор ошибки e, отыскивая образующий элемент того смежного класса, который содержит x; переданную последовательность найти из соотношения y=x-e.

Можно построить аналогичную процедуру декодирования, если воспользоваться однозначным соответствием между смежными классами и синдромами образующих элементов. Правило декодирования заключается в следующем : вычислить синдром принятой последовательности S= xH T =eH T ,

где e - образующий элемент смежного класса, содержащего x. По найденному синдрому S найти e; определить у из соотношения у= x-e.

Такое декодирование также совпадает с декодированием по максимуму правдоподобия и, следовательно, остается оптимальным. Первыми кодами с подобной процедурой декодирования были коды Хемминга, исправляющие одиночные ошибки.

Однако отыскание последовательности ошибок, когда число допустимых ошибок больше одной, быстро усложняется и при достаточно длинных кодах и большом количестве исправляемых ошибок становится практически невозможным.

Билет 6.
а) Энтропия и ее свойства

Проблема передачи непрер. сообщ-я закл. в получ. его копии на приемном пункте. Не сущ-ет способа, позвол-го получить точную копию перед-ого сообщ-я, поск. это требует бесконечной точности его воспроизв-я. Поэт. задают точность воспр-я перед-ого сообщ-я.

e-энтропии – это min кол-во инфы, кот. необх. передать по каналу, чт. восст. сообщение с заданной точностью при заданном распределении p(x) источника.

Модель передачи непр. сообщ-я:

d 2 = e 2 – ошибка при восст-нии сообщения y(t). Нужно установить связь м\д x(t) и x’(t), такую, чтобы x’ несло как можно меньшую инфу об x, но обеспечивало заданную точность.

He = min I (x, x’)

Каждому интервалу ставится в соотв-ие число. x = (b-a)/2 n .

чем > n, тем > интервалов и > точность.

I(x,x’)=H(x’) – H(x’/x) -взаимная инфа по опред-ию.

H(x’/x) = 0 т.к. значение случайной величины x определяет значение случайной величины x’ .

(“при фиксированном x ”)

I(x,x’)= H(x’) - кличество взаимной информации между множествами x и x’ равно энтропии x’ .

(опр-ся инф-ой ёмкостью регистра).

Пусть х равномерно распр. на интевале тогда все x’ равновероятны.

log[(b-a)/ x]=n величина энтропии ~ длине регистра

Надо обеспечить точность d 2 (среднеквадр. ошибка):

При min кол-ве взаимной инфы. Связь м\б x и x’ опр-ся кол-вом и длиной интервалов x. Надо их выбрать так, чт. x’ был распределён равномерно.

Пусть x и x’ непрерывны.

(1) x = x’ – n , где n – погрешн. кот. получается в рез-те апроксимации x x’-ом.

n=0, n 2 =d 2 e =e 2 –заданная ошибка

He =H(x)-max(H(n)), H(n) будет max при гауссовском распр. n

H(n)=/2

Источник чаще всего им. гауссовское распр. с d 2 , тогда: H(n) = /2 = log(d 2 x /d 2 n)/2 = log(d 2 x /e 2)/2 [бит/отсчёт]

Если за 1с. перед-ся 2F отсчётов, то Нe t = 2FHe = F*log(d 2 x /e 2) [бит/c]

По т.Шеннона для гаусс. канала: Нe t < F log(1+q 2) [бит/c]

б) Дискретизация непрерывных сообщений. Теорема Котельникова. Пространство сигналов.

Билет 7.
а) Взаимная информация и ее свойства

Кол-во информации, кот. Yj несет об Xi = кол-ву информации, кот. Xi несет об Yj. И эта информация называется взаимной информацией м-у Yj и Xi: . И она м.б. >0,<0,=0, в зависимости от средней информации.

Для каждой пары (Xi,Yj ) соответствует свое кол-во информации, а т.к. Xi и Yj – случайные величины, то и это кол-во информации случайно. Поэтому мы можем ввести понятие средней информации м-у множествами:

Отдельное состояние – это пара чисел .

I(X,Y)–полная взаимная информация (всегда ≥0, когда системы независимы).

Сделаем тождественные преобразования:

Тогда, взаимную информацию м. записать:

, (*)

С точки зрения информационного описания системы связи безразлично, какую из подсистем рассматривать в качестве передатчика, а какую в качестве приемника.

Поэтому энтропии Н (Х ) и H (Y ) можно интерпретировать как информацию, которая поступает в канал связи, а условные энтропии H (X/Y ), H (Y/X ) как информацию, которая рассеивается в канале.

Согласно теореме I (Х ,Y )≥0 мы получаем из (*):

Когда X и Y независимы, т.е. взаимн. инф-я =0

б) Адаптивная дискретизация непрерывных сообщений

Произвольную кусочно непрерывную функцию , изображающую сообщение или сигнал, можно разложить в обобщенный ряд Фурье по полной системе ортонормированных функций

если энергия функции конечна.

Бесконечная система действительных функций называется ортогональной на отрезке [ a, b ], если при , а отдельная функция называется нормированной, если .

Система нормированных функций в которой каждые две различающихся функции взаимно ортогональны, называется ортонормированной системой. При аппроксимации функции ограничиваются, как правило, конечным числом членов ряда. При заданной системе функций и при фиксированном числе членов ряда n значения коэффициентов можно выбрать такими, при которых среднеквадратичная ошибка аппроксимации

достигает минимума. Минимум среднеквадратичной ошибки достигается в том случае, когда коэффициенты ряда определяются по формуле . Ряд, с определяемыми таким образом коэффициентами, называется обобщенным рядом Фурье.

Ортогональная система называется полной, если путем увеличения количества членов в ряде среднеквадратичную ошибку можно сделать сколь угодно малой.

Таким образом, по счетному множеству коэффициентов можно с определенной

точностью восстановить соответствующую функцию можно заменить передачей последовательности коэффициентов . Указанную последовательность можно интерпретировать как вектор в n - мерном Евклидовом пространстве с координатами квадрат длины которого .

Последнее равенство является обобщением теоремы Пифагора на случай n-мерного пространства. Путем непосредственных вычислений легко установить, что энергия сигнала .

Таким образом, дискретизацией называется замена непрерывной функции последовательностью коэффициентов ... (вектором).

Выбор системы ортогональных функций определяется целью и физической сущностью решаемой задачи, а не чисто математическими умозаключениями.

С целью передачи сигнала по каналу связи широко применяется разложение функции в ряд Котельникова, которое позволяет существенно упростить определение коэффициентов . Согласно теореме Котельникова произвольная функция с ограниченным спектром, может быть тождественно представлена счетнывм числом ее значений, взятых через интервал времени где F - верхняя граничная частота спектра сигнала. В этом случае функции ,

образующие систему ортогональных функций, отличаются друг от друга только сдвигом по оси времени t на величину кратную , при этом каждая из них достигает своего максимального значения в те моменты времени, когда значения всех остальных функций равны нулю. Коэффициенты разложения определяются по формуле

,

которую в результате тождественных преобразований можно привести к виду: , то есть коэффициент равен значению функции в момент, когда функция достигает своего максимального значения.

Если дискретизации подлежит нормальный (гауссов) случайный процесс, энергетический спектр которого имеет прямоугольную форму, то коэффициенты будут статистически независимыми случайными величинами, которые совпадают со значениями случайной функции , взятыми с шагом Dt [ 9 ].

Таким образом, непрерывные сообщения можно передавать в цифровом виде, то есть в виде последовательности чисел, при этом каждое число приближенно выражает величину соответствующего коэффициента

Билет 8.
а) Эргодические источники. Производительность источника при независимых символах

б) Относительная энтропия непрерывных случайных величин

Относительной (дифференциальной) энтропией случайной величины Х называется величина

В частности, если интервал d = 1, то

Выясним физический смысл относительной энтропии H(X) .

Пусть источник сообщений вырабатывает последовательность значений случайной величины Х . После квантования получим последовательность значений случайной величины X ’ :

X i 1 ,X i 2 …..X ik …..X in .

При неограниченном увеличении длины последовательности с вероятностью, равной единице, появляются только типичные последовательности , число которых

где - число элементарного n -мерного кубика. Конец вектора, изображающего типичную последовательность, является внутренней точкой этого кубика. Произведение равно объему некоторой области в n -мерном пространстве, внутренние точки которой изображают концы типичных векторов (последовательностей). При , стремящемся к нулю, число типичных последовательностей стремится к бесконечности , а объем каждого элементарного кубика стремится к нулю . При этом объем V T , занимаемый типичными последовательностями, остается постоянным, равным .

Энтропию в дискретном случае можно было определить через число типичных последовательностей:

Аналогично относительную энтропию можно определить через объем V T , занимаемый типичными последовательностями:

В отличие от дискретного случая относительная энтропия может быть не только положительной, но и отрицательной, а также равной нулю . Чем больше объем V T , занимаемой типичными последовательностями, тем больше неопределенность того, какая из них появится. Единичному объему (V T =1) соответствует энтропия (неопределенность), равная нулю (H(X) =0). Это значение принимается за начало отсчета относительной энтропии.

В частности, относительная энтропия случайной величины с равномерным на единичном интервале (d = 1 ) распределением равна нулю:

В этом случае область n -мерного пространства, занимаемая типичными последовательностями, примерно совпадает с областью определения всех последовательностей и имеет форму куба единичного объема (V T = d n =1 ).

Билет 9.
а) Производительность марковского источника. Избыточность

Линейный систематический блочный код может быть также определён проверочной матрицей H , обладающей следующими свойствами. Если некоторая последовательность u является кодовым словом , то , т.е. проверочная матрица H ортогональна любой кодовой последовательности данного кода .

Проверочная матрица имеет размерность (n -k )×n и следующую структуру:

, (3.4)

проверочная часть единичная

матрицы подматрица

где
– транспонированная проверочная подматрица порождающей матрицы G ( k x n ) ;
- единичная подматрица.

Из свойств проверочной матрицы линейного блочного кода следует, что с ее помощью можно определить, является ли принятая последовательность кодовым словом данного кода .

Пример. Для рассмотренного примера линейного блочного (4, 7)-кода проверочная матрица имеет вид

.

Пусть принята последовательность с =(1011001). Проверим, является ли она кодовым словом:

=(1011001)
=(1 0 1 ) ≠ 0 .

Следовательно, последовательность (1011001) не является кодовым словом данного кода.

^

3.7 Синдром и обнаружение ошибки линейным блочным кодом

Пусть x =(х 1 , х 2 , …, х n ) – кодовое слово , переданное по каналу с помехами;

y =(y 1 , y 2 , …, y n ) – принятая последовательность, которая в силу влияния помех может отличаться от переданной.

Для описания возникающих в канале ошибок используется вектор ошибок е= (e 1 , e 2 , …, e n ) , который представляет собой двоичную последовательность длиной n с единицами в тех позициях, в которых произошла ошибка.

Например, вектор ошибок е =(0 0 0 1 0 0 0 ) означает однократную ошибку в четвертом бите, е =(1 1 0 0 0 0 0 ) – двукратную ошибку в первом и втором битах.

При передаче кодового слова x по каналу с шумом принятая последовательность будет иметь вид

y = x +е , (3.5)

где x - переданное кодовое слово; e – вектор, описывающий ошибки в канале.

Например, x =(0 0 0 1 0 0 0 ), e =(0 0 0 1 0 0 0 ). Тогда y =(0 0 0 0 0 0 0 ).

Чтобы проверить наличие ошибок в принятом векторе y , декодер вычисляет следующую (n -k ) - последовательность

S =(S 1 , S 2 , … S n - k )=y 
, (3.6)

где y – принятая кодированная последовательность; – проверочная матрица данного кода.

При этом вектор y является кодовым словом тогда, когда S =(0 0 … 0 ), и не является кодовым словом данного кода , если S ≠0.

Последовательность S служит признаком наличия ошибок в принятой последовательности и называется синдромом принятого вектора .

Некоторые сочетания ошибок, используя синдром, обнаружить невозможно. Например, если переданное кодовое слово x под влиянием помех превратилось в другое кодовое слово этого же кода, тогда синдром S =y ×
=0 , и декодер ошибки не обнаружит .

Пример. Для рассматриваемого примера линейного блочного (4, 7)-кода синдром определяют следующим образом.

Пусть x =(х 1 , х 2 , …, х 7 ) – принятая кодированная последовательность. Тогда

S =x 
=(х 1 ,х 2 ,… , х 7 )×
=((x 1 +x 3 +x 4 +x 5 ) , (x 1 +x 2 +x 3 +x 6 ) , (x 2 +x 3 +x 4 +x 7 ) ).

В системах связи возможны несколько стратегий борьбы с ошибками:

• обнаружение ошибок в блоках данных и автоматический запрос повторной передачи поврежденных блоков - этот подход применяется в основном на канальном и транспортном уровнях;
• обнаружение ошибок в блоках данных и отбрасывание поврежденных блоков - такой подход иногда применяется в системах потокового мультимедиа, где важна задержка передачи и нет времени на повторную передачу;
• исправление ошибок (англ. forward error correction ) применяется на физическом уровне.

Коды обнаружения и исправления ошибок

Корректирующие коды - коды, служащие для обнаружения или исправления ошибок, возникающих при передаче информации под влиянием помех , а также при её хранении.

Для этого при записи (передаче) в полезные данные добавляют специальным образом структурированную избыточную информацию, а при чтении (приеме) её используют для того, чтобы обнаружить или исправить ошибки. Естественно, что число ошибок, которое можно исправить, ограничено и зависит от конкретного применяемого кода.

С кодами, исправляющими ошибки , тесно связаны коды обнаружения ошибок . В отличие от первых, последние могут только установить факт наличия ошибки в переданных данных, но не исправить её.

В действительности, используемые коды обнаружения ошибок принадлежат к тем же классам кодов, что и коды, исправляющие ошибки. Фактически, любой код, исправляющий ошибки, может быть также использован для обнаружения ошибок (при этом он будет способен обнаружить большее число ошибок, чем был способен исправить).

По способу работы с данными коды, исправляющие ошибки делятся на блоковые , делящие информацию на фрагменты постоянной длины и обрабатывающие каждый из них в отдельности, и сверточные , работающие с данными как с непрерывным потоком.

Блоковые коды

Пусть кодируемая информация делится на фрагменты длиной k бит, которые преобразуются в кодовые слова длиной n бит. Тогда соответствующий блоковый код обычно обозначают (n ,k ) . При этом число называется скоростью кода .

Если исходные k бит код оставляет неизменными, и добавляет n − k проверочных , такой код называется систематическим , иначе несистематическим .

Задать блоковый код можно по-разному, в том числе таблицей, где каждой совокупности из k информационных бит сопоставляется n бит кодового слова. Однако, хороший код должен удовлетворять, как минимум, следующим критериям:

• способность исправлять как можно большее число ошибок,
• как можно меньшая избыточность,
• простота кодирования и декодирования.

Нетрудно видеть, что приведенные требования противоречат друг другу. Именно поэтому существует большое количество кодов, каждый из которых пригоден для своего круга задач.

Практически все используемые коды являются линейными . Это связано с тем, что нелинейные коды значительно сложнее исследовать, и для них трудно обеспечить приемлемую легкость кодирования и декодирования.

Линейные пространства

Порождающая матрица

Это соотношение устанавливает связь между векторами коэффициентов и векторами . Перечисляя все векторы коэффициентов можно получить все векторы . Иными словами, матрица G порождает линейное пространство .

Проверочная матрица

Это значит, что операция кодирования соответствует умножению исходного k -битного вектора на невырожденную матрицу G , называемую порождающей матрицей .

Пусть - ортогональное подпространство по отношению к C , а H - матрица, задающая базис этого подпространства. Тогда для любого вектора справедливо:

.

Свойства и важные теоремы

Минимальное расстояние и корректирующая способность

Коды Рида-Соломона

Преимущества и недостатки линейных кодов

Хотя линейные коды, как правило, хорошо справляются с редкими, но большими пачками ошибок , их эффективность при частых, но небольших ошибках (например, в канале с АБГШ), менее высока. Благодаря линейности для запоминания или перечисления всех кодовых слов достаточно хранить в памяти кодера или декодера существенно меньшую их часть, а именно только те слова, которые образуют базис соответствующего линейного пространства. Это существенно упрощает реализацию устройств кодирования и декодирования и делает линейные коды весьма привлекательными с точки зрения практических приложений.

Оценка эффективности

Эффективность кодов определяется количеством ошибок, которые тот может исправить, количеством избыточной информации, добавление которой требуется, а также сложностью реализации кодирования и декодирования (как аппаратной, так и в виде программы для ЭВМ).

Граница Хемминга и совершенные коды

Пусть имеется двоичный блоковый (n ,k ) код с корректирующей способностью t . Тогда справедливо неравенство (называемое границей Хемминга ):

.

Коды, удовлетворяющие этой границе с равенством, называются совершенными . К совершенным кодам относятся, например, коды Хемминга. Часто применяемые на практике коды с большой корректирующей способностью (такие, как коды Рида-Соломона) не являются совершенными.

Энергетический выигрыш

При передаче информации по каналу связи вероятность ошибки зависит от отношения сигнал/шум на входе демодулятора, таким образом при постоянном уровне шума решающее значение имеет мощность передатчика. В системах спутниковой и мобильной, а также других типов связи остро стоит вопрос экономии энергии. Кроме того, в определенных системах связи (например, телефонной) неограниченно повышать мощность сигнала не дают технические ограничения.

Wikimedia Foundation Википедия

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Циклический код … Википедия

Циклический код линейный код, обладающий свойством цикличности, то есть каждая циклическая перестановка кодового слова также является кодовым словом. Используется для преобразования информации для защиты её от ошибок (см. Обнаружение и… … Википедия

В области математики и теории информации линейный код это важный тип блокового кода, использующийся в схемах определения и коррекции ошибок. Линейные коды, по сравнению с другими кодами, позволяют реализовывать более эффективные алгоритмы… … Википедия

- (LDPC код от англ. Low density parity check code, LDPC code, низкоплотностный код) используемый в передаче информации код, частный случай блокового линейного кода с проверкой чётности. Особенностью является малая плотность значимых… … Википедия

Код с малой плотностью проверок на чётность (LDPC код от англ. Low density parity check code, LDPC code, низкоплотностный код) используемый в передачи информации код, частный случай блокового линейного кода с проверкой чётности. Особенностью… … Википедия

структура - (framework): Логическая структура для классификации и организации сложной информации .