Часто при организации цикла требуется перебирать значение счетчика в заданном диапазоне значений и с заданным шагом изменения. Например, чтобы перебрать элементы вектора (массива), нужно организовать счетчик от 1 до N с шагом 1, где N – число элементов вектора. Чтобы вычислить сумму ряда, также задается счетчик от a до b с требуемым шагом изменения step. И так далее. В связи с тем, что подобные задачи часто встречаются в практике программирования, для их реализации был предложен свой оператор цикла for, который позволяет проще и нагляднее реализовывать цикл со счетчиком.

Синтаксис оператора цикла for имеет следующий вид:

for <счетчик> = <начальное значение>:<шаг>:<конечное значение>
<операторы цикла>
end

Рассмотрим работу данного цикла на примере реализации алгоритма поиска максимального значения элемента в векторе:

function search_max
a = ;
m = a(1); % текущее максимальное значение
for i=1:length(a) % цикл от 1 до конца вектора с
% шагом 1 (по умолчанию)
if m < a(i) % если a(i) > m,
m = a(i); % то m = a(i)
end
end % конец цикла for
disp(m);

В данном примере цикл for задает счетчик i и меняет его значение от 1 до 10 с шагом 1. Обратите внимание, что если величина шага не указывается явно, то он берется по умолчанию равным 1.

В следующем примере рассмотрим реализацию алгоритма смещения элементов вектора вправо, т.е. предпоследний элемент ставится на место последнего, следующий – на место предпоследнего, и т.д. до первого элемента:

function queue
a = ;
disp(a);
for i=length(a):-1:2 % цикл от 10 до 2 с шагом -1
a(i)=a(i-1); % смещаем элементы вектора а
end % конец цикла for
disp(a);

Результат работы программы

3 6 5 3 6 9 5 3 1 0
3 3 6 5 3 6 9 5 3 1

Приведенный пример показывает, что для реализации цикла со счетчиком от большего значения к меньшему, нужно явно указывать шаг, в данном случае, -1. Если этого не сделать, то цикл сразу завершит свою работу и программа будет работать некорректно.

В заключении рассмотрим работу оператора цикла for на примере моделирования случайной последовательности с законом изменения

где - коэффициент от -1 до 1; - нормальная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией

где - дисперсия моделируемого случайного процесса. При этом первый отсчет моделируется как нормальная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией . Программа моделирования имеет следующий вид:

function modeling_x
r = 0.95; % коэффициент модели
N = 100; % число моделируемых точек
ex = 100; % дисперсия процесса
et = ex*(1-r^2); % дисперсия случайной добавки
x = zeros(N,1); % инициализация вектора х
x(1) = sqrt(ex)*randn; % моделирование 1-го отсчета
for i=2:N % цикл от 2 до N
x(i)=r*x(i-1)+sqrt(et)*randn; % моделирование СП
end % конец цикла
plot(x); % отображение СП в виде графика

При выполнении данной программы будет показана реализация смоделированной случайной последовательности .

Рис. 2.1. Результат моделирования случайной последовательности.

Работа программы начинается с определения переменных , (в программе переменная ex) и для реализации указанной модели. Затем вычисляется дисперсия и моделируется первый отсчет случайного процесса с помощью функции randn. Функция randn выполняет генерацию нормальных случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией. Чтобы сгенерировать случайную величину с дисперсией достаточно случайную величину с единичной дисперсией умножить на , т.к. дисперсия – это средний квадрат случайной величины относительно математического ожидания. В результате имеем программную строчку

x(1) = sqrt(ex)*randn;

Затем, реализуется цикл for со счетчиком i от 2 до N с шагом 1. Внутри цикла выполняется моделирование оставшихся N-1 отсчетов случайного процесса в соответствии с приведенной выше формулой. В последней строчке программы записана функция plot(), которая выводит смоделированную последовательность на экран в виде графика. Более подробно работа с выводом графиков на экран будет рассмотрена в следующей главе.

Лабораторная работа №6

Цель занятия : ознакомиться с условными операторами и операторами циклов, приобрести навыки их использования при циклических и разветвленных вычислениях.

Условные операторы и циклы в MatLab

Важным шагом создания полноценных программ на языке MatLab является изучение операторов ветвления и циклов. С их помощью можно реализовывать логику выполнения математических алгоритмов и создавать повторяющиеся (итерационные, рекуррентные) вычисления.

Условный оператор if

Для того чтобы иметь возможность реализовать логику в программе используются условные операторы. Умозрительно эти операторы можно представить в виде узловых пунктов, достигая которых программа делает выбор по какому из возможных направлений двигаться дальше. Например, требуется определить, содержит ли некоторая переменная arg положительное или отрицательное число и вывести соответствующее сообщение на экран. Для этого можно воспользоваться оператором if (если), который и выполняет подобные проверки.

В самом простом случае синтаксис данного оператора if имеет вид:

if <выражение>

<операторы>

Если значение параметра «выражение» соответствует значению «истинно», то выполняется оператор, иначе он пропускается программой. Следует отметить, что «выражение» является условным выражением, в котором выполняется проверка некоторого условия. В табл. 2.1 представлены варианты простых логических выражений оператора if.

Таблица 1. Простые логические выражения

Ниже представлен пример реализации функции sign(), которая возвращает +1, если число больше нуля, -1 – если число меньше нуля и 0, если число равно нулю:

function my_sign x = 5; if x > 0 disp(1); end if x < 0 disp(-1); end if x == 0 disp(0); end

Анализ приведенного примера показывает, что все эти три условия являются взаимоисключающими, т.е. при срабатывании одного из них нет необходимости проверять другие. Реализация именно такой логики позволит увеличить скорость выполнения программы. Этого можно добиться путем использования конструкции

if <выражение> <операторы1> % выполняются, если истинно условие else <операторы2> % выполняются, если условие ложно end

Тогда приведенный выше пример можно записать следующим образом:

function my_sign x = 5; if x > 0 disp(1); else if x < 0 disp(-1); else disp(0); end end

В данной программе сначала выполняется проверка на положительность переменной x, и если это так, то на экран выводится значение 1, а все другие условия игнорируются. Если же первое условие оказалось ложным, то выполнение программы переходит по else (иначе) на второе условие, где выполняется проверка переменной x на отрицательность, и в случае истинности условия, на экран выводится значение -1. Если оба условия оказались ложными, то выводится значение 0.

Приведенный выше пример можно записать в более простой форме, используя еще одну конструкцию оператора if языка MatLab:

if <выражение1> <операторы1> % выполняются, если истинно выражение1 elseif <выражение2> <операторы2> % выполняются, если истинно выражение2 ... elseif <выражениеN> <операторыN> % выполняются, если истинно выражениеN end

и записывается следующим образом:

function my_sign x = 5; if x > 0 disp(1); % выполняется, если x > 0 elseif x < 0 disp(-1); % выполняется, если x < 0 else disp(0); % выполняется, если x = 0 end

С помощью условного оператора if можно выполнять проверку более сложных (составных) условий. Например, необходимо определить: попадает ли переменная x в диапазон значений от 0 до 2? Это можно реализовать одновременной проверкой сразу двух условий: x >= 0 и x <=2. Если эти оба условия истинны, то x попадает в диапазон от 0 до 2.

Для реализации составных условий в MatLab используются логические операторы:

& - логическое И

| - логическое ИЛИ

~ - логическое НЕ

Рассмотрим пример использования составных условий. Пусть требуется проверить попадание переменной x в диапазон от 0 до 2. Программа запишется следующим образом:

function my_if x = 1; if x >= 0 & x <= 2 disp("x принадлежит диапазону от 0 до 2"); else disp("x не принадлежит диапазону от 0 до 2"); end

Во втором примере выполним проверку на не принадлежность переменной x диапазону от 0 до 2. Это достигается срабатыванием одного из двух условий: x < 0 или x > 2:

function my_if x = 1; if x < 0 | x > 2 disp("x не принадлежит диапазону от 0 до 2"); else disp("x принадлежит диапазону от 0 до 2"); end

Используя логические операторы И, ИЛИ, НЕ, можно создавать разнообразные составные условия. Например, можно сделать проверку, что переменная x попадает в диапазон от -5 до 5, но не принадлежит диапазону от 0 до 1. Очевидно, это можно реализовать следующим образом:

function my_if x = 1; if (x >= -5 & x <= 5) & (x < 0 | x > 1) disp("x принадлежит [-5, 5], но не входит в "); else disp("x или не входит в [-5, 5] или в "); end

Обратите внимание, что при сложном составном условии были использованы круглые скобки. Дело в том, что приоритет операции И выше приоритета операции ИЛИ, и если бы не было круглых скобок, то условие выглядело бы так: (x >= -5 и x <= 5 и x < 0) или x > 1. Очевидно, что такая проверка давала бы другой результат от ожидаемого.

Круглые скобки в программировании используются для изменения приоритетов выполнения операторов. Подобно арифметическим операторам, логические также могут быть изменены по желанию программиста. Благодаря использованию круглых скобок, сначала выполняется проверка внутри них, а, затем, за их пределами. Именно поэтому в приведенном выше примере они необходимы для достижения требуемого результата.

Приоритет логических операций следующий:

НЕ (~) – самый высокий приоритет;

И (&) – средний приоритет;

ИЛИ (|) – самый низкий приоритет.

Циклы в matlab предполагает наличие условия, что команда или группа команд должны
повторяться несколько раз.

Самый простой способ создать цикл - это использовать
выражение for. Ниже показан простой пример, где вычисляется и отображается 10! = 10 * 9 * 8 ... * 2 * 1.

f = 1;
for n =2:10
f = f*n;
end

f =
3628800

Цикл в матлаб начинается с выражения for и заканчивается выражением end. Команда
между этими выражениями выполняется в целом девять раз, по одному разу для каждого
значения п от 2 до 10. Для прерывания промежуточного вывода внутри цикла мы
использовали точку с запятой. Чтобы увидеть конечный результат, необходимо
ввести f после завершения цикла. Если не использовать точку с запятой, программа
MATLAB будет отображать каждое промежуточное значение 2!, 3!, и т.д.

В модуле Editor (Редактор) команды for и end автоматически выделяются
синим цветом. Это придает лучшую читабельность, если вы вставляете между
ними команды (как мы это сделали); модуль Editor (Редактор) делает это
автоматически. Если вы введете for в окне Command Window (Командное окно),
программа MATLAB не выдаст новое приглашение командной строки >>, пока вы не
введете команду end, при которой программа MATLAB выполнит полный цикл и
отобразит новую командную строку.

• Если вы используете цикл в М-файле-сценарии с эффектом отображения echo on, то команды будут отражаться каждый раз во всем цикле. Вы можете предотвратить это, вставив команду echo off прямо перед выражением end и команду echo on сразу после него; тогда каждая команда в цикле будет отражена один раз (кроме end).

Примечание: есть три вида циклов в матлаб, которые приведены ниже

1. Цикл for в Matlab

a=0;
for i=1:10
a=a+1;
end

2. Цикл while в Матлаб

a=0;
while a<10
a=a+1;
end

3. Цикл if в Матлаб

a=10;
if a==10
"первый случай"
else
"второй случай"
end

ans =
первый случай

Поэтому из выше всего сказанного можно сделать вывод, что вам необходимо просмотреть много дополнительной информации и альтернатив!

Кафедра: Информационные технологии

ПРОГРАММИРОВАНИЕ В MATLAB

Операторы MATLAB

· Операторы цикла

Цикл for

Синтаксис

for count=start:step:final

команды MATLAB

Описание

count - переменная цикла,

start - ее начальное значение,

final - ее конечное значение,

step - шаг, на который увеличивается count при каждом следующем заходе в цикл

цикл заканчивается, как только значение count становится больше final.

Пример

Пусть требуется вывести семейство кривых для x€ , которое задано функцией, зависящей от параметра

y (x, a) = e-ax sin x,

для значений параметра а от -0.1 до 0.1. Ниже приведен листинг файл-программы для вывода семейства кривых.

Листинг программы

x = ;

for a = -0.1:0.02:0.1

y = exp (-a*x).*sin(x);

В результате выполнения программы появится графическое окно, которое содержит требуемое семейство кривых.

Цикл while

Синтаксис

while условие цикла

команды MATLAB

Описание

Цикл работает, пока выполняется (истинно) условие цикла. Для задания условия выполнения цикла допустимы следующие операции отношения:

Задание более сложных условий производится с применением логических операторов. Логические операторы приведены в следующей таблице

Пример

Операторы ветвления

Условный оператор if

Синтаксис

if условие

команды MATLAB

Описание

Если условие верно, то выполняются команды MATLAB, размещенные между if и end, а если условие не верно, то происходит переход к командам, расположенных после end.

Пример

Условный оператор elseif

Синтаксис

if условие1

elseif условие2

………………………

elseif условиеn

Описание

В зависимости от выполнения того или иного условия работает соответствующая ветвь программы, если все условия неверны, то выполняются команды, размещенные после else.

Пример

Оператор switch

Синтаксис

switch переменная

case значение1

case значение2

……………………

case значениеn

Каждая ветвь определяется оператором case, переход в нее выполняется тогда, когда переменная оператора switch принимает значение, указанное после case, или одно из значение из списка case. После выполнения какой-либо из ветвей происходит выход из switch, при этом значения, заданные в других case, уже не проверяются. Если подходящих значений для переменной не нашлось, то выполняется ветвь программы, соответствующая otherwise.

Пример

Прерывания цикла. Исключительные ситуации.

Оператор break

Синтаксис

Оператор break используется при организации циклических вычислений: for…end, while…end. При выполнении условия

if условие

оператор break заканчивает цикл (for или while) и происходит выполнение операторов, которые расположены в строках, следующих за end. В случае вложенных циклов break осуществляет выход из внутреннего цикла.

Обработка исключительных ситуаций, оператор try … catch

Синтаксис

операторы, выполнение которых

может привести к ошибке

операторы, которые следует выполнить

при возникновении ошибки в блоке

между try и catch

Описание

Конструкция try…catch позволяет обойти исключительные ситуации (ошибки, приводящие к окончанию работы программы, например, обращение к несуществующему файлу) и предпринять некоторые действия в случае их возникновения.

Пример

Сервисные функции

disp -осуществляет вывод текста или значения переменной в командное окно

input - осуществляет запрос на ввод с клавиатуры. Используется при создании приложений с интерфейсом из командной строки.

eval - выполняет содержимое строки или строковой переменной, как команды MATLAB

clear - удаляет переменные рабочей среды.

с lc - производит очистку командного окна

Более подробную информацию об этих и других функциях можно узнать, выполнив в командной строке

help имя_функции

Задания на выполнение лабораторной работы

Номер конкретного варианта задания определяется преподавателем.

Задание № 1

Данное задание подразумевает нахождение для некоторой совокупности данных алгебраического интерполяционного многочлена степени n: P n (x ) .

Цель работы:

Необходимо составить программу вычисления коэффициентов алгебраического интерполяционного многочлена P n (x )= a 0 + a 1 x + … + a n x n .

Методические указания:

Коэффициенты a 0 , a 1 , …, a n определяются из решения системы уравнений:

Здесь n - порядок интерполяционного многочлена,

n +1 - количество заданных пар точек (x , y ),

a 0 , a 1 ,… a n - искомые коэффициенты многочлена P n (x )= a 0 + a 1 x + … + a n x n ).

Требования к программе

· Задать границы отрезка , на котором строится интерполяционный многочлен P(x)

· Задать n - количество отрезков интерполяции (или, что то же самое, степень многочлена)

Примечание: x0 , xn , n вводятся с клавиатуры.

· Для получения исходных данных (x , y ) (количество пар точек (x i , y i ) , по которым строится интерполяционный многочлен P(x) - n1=n+1 ) предусмотреть:

ь Ввод произвольно расположенных узлов x i , i=0 , n с клавиатуры

ь Расчет узлов x i , i=0 , n , соответствующих равномерному расположению аргумента x на отрезке

ь В пп. 1,2 значения y i , i=0 , n либо вводятся с клавиатуры (если исходная функция неизвестна), либо вычисляются по заданной функции f(x) . Выражение, определяющее функцию, вводится с клавиатуры и должно соответствовать правилам записи выражений в MATLAB

ь Ввод данных (x i , y i , i=0 , n ) из файла

· Решить систему уравнений для определения коэффициентов многочлена P(x)

· Построить графики исходной таблично заданной функции и многочлена P(x)

· Если исходные данные заданы в виде функции f(x), построить график погрешности интерполяции /f(x) - P(x)/. Рассчитать максимальное по модулю значение погрешности интерполяции на заданном промежутке.

Задание № 2

Интерполяция сплайнами

Цель работы:

Необходимо составить программу вычисления коэффициентов и построения сплайн-функции S(x), «склеенной» из кусков многочленов 3_го порядка Si (x ), которые имеют специальную форму записи:

функция Si (x ) определена на отрезке ,

Требования к программе

При выполнении данной работы необходимо:

· Задать границы отрезка , на котором строится сплайн-функция S(x)

· Задать n - количество отрезков интерполяции, на каждом из которых строится кубический многочлен Si(x).

· Примечание: x0, xn, n вводятся с клавиатуры.

· Организовать ввод исходных данных (x, y) (количество пар точек (xi, yi), по которым строится сплайн-функция S(x), n1=n+1), предусмотрев:

ь Ввод произвольно расположенных узлов xi, i=0, n с клавиатуры

ь Расчет узлов xi, i=0, n, соответствующих равномерному расположению аргумента x на отрезке

ь В пп. 1,2 значения yi, i=0, n либо вводятся с клавиатуры (если исходная функция неизвестна), либо вычисляются по заданной функции f(x). Выражение, определяющее функцию, вводится с клавиатуры и должно соответствовать правилам записи выражений в MATLAB

ь Ввод данных (xi, yi, i=0, n) из файла

ь S1""(x0)=0, S3""(x3)=0

ь S1"(x0)=f "(x0), S3"(x3)=f "(x3)

ь S1""(x0)=f «(x0), S3""(x0)=f «(x3)

· Для определения коэффициентов естественного кубического сплайна (краевые условия 1) необходимо решить следующую систему уравнений:

Коэффициенты?0 =0,?n =0

· Построить графики исходной функции и сплайн-функций для всех трех типов краевых условий.

· Построить графики функций погрешности сплайн-интерполяции f(x) - S(x) для всех трех типов краевых условий.

Примечание:

В пакете MATLAB индексы одномерных и двумерных массивов начинаются с 1, а не с 0. Учесть это при составлении программы.

Задание №3

Аппроксимация функции методом наименьших квадратов (МНК).

Данное задание подразумевает нахождение для некоторой совокупности данных аппроксимирующей функции (многочлена степени m), построенной методом наименьших квадратов (МНК).

Цель работы:

Необходимо составить программу нахождения коэффициентов многочлена?(x )= a 0 + a 1 * x +… a n * x m методом наименьших квадратов.

Пусть, например, имеется следующая совокупность данных:

Поиск необходимых коэффициентов осуществляется следующим образом:

где n - количество точек (x , y ),

m - степень искомого многочлена,

a 0 , a 1 , …, a m - искомые коэффициенты (? ( x )= a 0 + a 1 x + … + a m x m ).

Требования к программе

При выполнении данной работы необходимо:

· Задать границы отрезка , на котором строится аппроксимирующая функция?(x)=a0+a1*x+… an * xm

· Задать m - степень многочлена

· Примечание: x1, xn, m вводятся с клавиатуры.

· Для получения исходных данных (x, y), по которым строится аппроксимирующая функция?(x)=a0+a1*x+… an* xm предусмотреть:

ь Ввод произвольно расположенных узлов xi, i=1, n с клавиатуры

ь Расчет узлов xi, i=1, n, соответствующих равномерному расположению аргумента x на отрезке

ь В пп. 1,2 значения yi, i=1, n либо вводятся с клавиатуры (если исходная функция неизвестна), либо вычисляются по заданной функции f(x). Выражение, определяющее функцию, вводится с клавиатуры и должно соответствовать правилам записи выражений в MATLAB

ь Ввод данных (xi, yi, i=1, n) из файла

· Решить систему уравнений для определения коэффициентов многочлена?(x)

· Построить графики исходной таблично заданной функции и многочлена?(x)

· Если исходные данные заданы в виде функции f(x), построить график погрешности интерполяции /f(x) - ?(x)/. Рассчитать максимальное по модулю значение погрешности интерполяции на заданном промежутке.

При выполнении последнего пункта на отрезке взять не менее 500 точек для проведения расчетов

Требования к оформлению лабораторной работы

Отчет должен содержать:

1. Постановку задачи

2. Текст программы

3. Результаты тестирования

Примечание тексты программ должны быть снабжены комментариями.

Список литературы

1. Ануфриев И.Е. Самоучитель Matlab 5.3/6.x - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 736 с.: ил.

2. В.П. Дьяконов MATLAB 6.5 SPI/7 + Simulink 5/6 в математике и моделировании. Серия «Библиотека профессионала». - М.: СОЛОН-Пресс, 2005. - 576 с.: ил.

3. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MathLab 7. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 1104 с.: ил.