Сайт о телевидении

АЛГЕБРА

1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. Определения определителя и его основные свойства. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца). Критерий обратимости матрицы .

Определителем илидетерминантом n-го порядка называется число, записываемое в виде

и вычисляемое по данным числам (действительным или комплексным) – элементам определителя – по следующему закону:

,

распространенная на всевозможные различные перестановки из чисел . Число равно числу транспозиций, которые нужно сделать, чтобы перейти от основной перестановки к перестановке n -го порядка . Произведение называется членом определителя .

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки

d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 +... + a i n A i n (i = )

или j- го столбца

d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +... + a n j A n j (j = ).

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

Доказательство.

Убедимся в справедливости теоремы на примере разложения определителя 3-го порядка, например, по 1-й строке. По теореме это разложение будет иметь вид: D= = а 11 А 11 + а 12 А 12 + а 13 А 13 = {с учетом определения A ij получим}= =а 11 (-1) 2 М 11 + а 12 (-1) 3 М 12 + а 13 (-1) 4 М 13 = а 11 - а 12 + а 13 = а 11 (а 22 ×а 33 - а 23 ×а 32) - а 12 (а 21 ×а 33 - а 23 ×а 31) + а 13 (а 21 ×а 32 - а 22 ×а 31) = =а 11 ×а 22 ×а 33 + а 12 ×а 23 ×а 31 + а 13 ×а 21 ×а 32 - а 13 ×а 22 ×а 31 - а 12 ×а 21 ×а 33 - а 11 ×а 23 ×а 32 = {по правилу треугольников} = = D. Аналогичный результат получается при разложении определителя по любой строке (столбцу). Fin.

Следствие. Если в i–й строке (j-м столбце) определителя D есть только один ненулевой элемент а ij ¹ 0, то результатом разложения определителя по этой строке (столбцу) будет выражение D = а ij ×А ij .

Определители n-го порядка удовлетворяют свойствам:

1) При транспонировании определителя его значение не меняется, (то есть значение определителя не меняется при замене его строк столбцами с теми же номерами).

Доказательство:

D = = = a 11 ×a 22 - а 12 ×а 21

NB. Следовательно, строки и столбцы определителя равноправны, поэтому его свойства можно формулировать и доказывать либо для строк, либо для столбцов.

2) При взаимной перестановке любых двух строк (столбцов) определителя его знак меняется на противоположный.

Доказательство:

D = = a 11 ×a 22 - а 12 ×а 21 = - (а 12 ×а 21 - a 11 ×a 22) = -

3) Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Доказательство. Пусть определитель D имеет две одинаковые строки. Если поменять их местами, то, с одной стороны, величина определителя не изменится, так как строки одинаковы, а с другой стороны определитель должен поменять свой знак на противоположный по свойству 2. Таким образом, имеем: D = -D Þ D = 0.

4) Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

Доказательство:

D= = la 11 ×a 22 - lа 12 ×а 21 = l(a 11 ×a 22 - а 12 ×а 21) = l .

Следствие: D = = l×m .

NB. Правило умножения определителя на число. Чтобы умножить определитель на число, надо все элементы какой-то одной его строки (столбца) умножить на это число.

5) Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.

Доказательство. По свойству 4 вынесем общий множитель l = 0 элементов нулевой строки (столбца) за знак определителя. Получим 0×D = 0.

6) Определитель с двумя и более пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

Доказательство. Если вынести за знак определителя коэффициент пропорциональности двух строк (столбцов) l≠0, то получится определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), равный нулю по свойству 3.

7) Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя представить в

виде суммы k слагаемых, то такой определитель равен сумме k определителей, у которых элементы этой строки (столбца) заменены соответствующими слагаемыми, а все остальные элементы такие же как у исходного определителя.

Доказательство:

D= = (а 11 + b 11)а 22 - (а 12 + b 12)а 21 = (а 11 а 22 - а 12 а 21) + (b 11 а 22 - b 12 а 21) = = + .

Опр. n-ая строка определителя называется линейной комбинацией его остальных (n-1) строк, если ее можно представить в виде суммы произведений этих строк на соответствующие числа l 1 , l 2 , …, l n - 1 . Например, в определителе

3–я строка является линейной комбинацией первых двух строк.

NB. Линейная комбинация называется тривиальной, если в ней "l i = 0. В противном случае линейная комбинация называется нетривиальной (if $l i ¹ 0).

8 а) Если одна строка (столбец) определителя является линейной комбинацией других его строк (столбцов), то такой определитель равен нулю.

Доказательство: D =

8 б) Величина определителя не изменится, если к элементам любой его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы любой другой строки (столбца) определителя, умноженные на одно и то же число.

Доказательство:

Пусть D= Þ {к 1-й строке прибавим 2-ю строку, умноженную на число l} Þ

9) Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) определителя равна нулю, то есть = 0 (if i ≠ j).Например, пусть

Тогда а 11 А 21 + а 12 А 22 + а 13 А 23 = 0, так как выполнено умножение элементов 1-ой строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов 2-ой строки.

Доказательство:

а 11 А 21 + а 12 А 22 + а 13 А 23 = а 11 ×(-1) 2+1 + а 12 ×(-1) 2+2 + а 13 ×(-1) 2+3 =

={это есть разложение по 1-й строке определителя (-1)× = 0}= 0.

Если определитель D¹0, то по свойству 8 б) в нем всегда можно «обнулить» i-ю строку (j-й столбец) до единственного ненулевого элемента и разложить определитель по этой строке (столбцу). Применяя эту операцию нужное число раз, всегда можно из определителя n-го порядка получить определитель 2-го порядка.

Задание. Вычислить определитель , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй - пять третьих и от четвертой - три третьих строки, получаем:

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей - вторую:

Ответ.

12. Слау 3 порядка

1. Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.

2. Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":

3. Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель

Решение.

Ответ.

4.Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример

Задание. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

АЛГЕБРА

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. Определения определителя и его основные свойства. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца). Критерий обратимости матрицы .

Определителем илидетерминантом n -го порядка называется число, записываемое в виде

и вычисляемое по данным числам (действительным или комплексным) – элементам определителя – по следующему закону:

,

распространенная на всевозможные различные перестановки
из чисел
. Число
равно числу транспозиций, которые нужно сделать, чтобы перейти от основной перестановки
к перестановкеn -го порядка
. Произведение
называетсячленом определителя .

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки

d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 +... + a i n A i n (i =
)

или j- го столбца

d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +... + a n j A n j (j =
).

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

Доказательство.

Убедимся в справедливости теоремы на примере разложения определителя 3-го порядка, например, по 1-й строке. По теореме это разложение будет иметь вид: =
= а 11 А 11 + а 12 А 12 + а 13 А 13 = {с учетом определения A ij получим}= =а 11 (1) 2 М 11 + а 12 (1) 3 М 12 + а 13 (1) 4 М 13 = а 11
 а 12
+ а 13
= а 11 (а 22 а 33  а 23 а 32)  а 12 (а 21 а 33  а 23 а 31) + а 13 (а 21 а 32  а 22 а 31) = =а 11 а 22 а 33 + а 12 а 23 а 31 + а 13 а 21 а 32  а 13 а 22 а 31  а 12 а 21 а 33  а 11 а 23 а 32 = {по правилу треугольников} =
=. Аналогичный результат получается при разложении определителя по любой строке (столбцу). Fin.

Следствие. Если в i–й строке (j-м столбце) определителя  есть только один ненулевой элемент а ij  0, то результатом разложения определителя по этой строке (столбцу) будет выражение  = а ij А ij .

Определители n -го порядка удовлетворяют свойствам:

1) При транспонировании определителя его значение не меняется, (то есть значение определителя не меняется при замене его строк столбцами с теми же номерами).

Доказательство:

 =
=
= a 11 a 22  а 12 а 21

NB. Следовательно, строки и столбцы определителя равноправны, поэтому его свойства можно формулировать и доказывать либо для строк, либо для столбцов.

2) При взаимной перестановке любых двух строк (столбцов) определителя его знак меняется на противоположный.

Доказательство:

 =
= a 11 a 22  а 12 а 21 =  (а 12 а 21  a 11 a 22) = 

3) Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Доказательство. Пусть определитель  имеет две одинаковые строки. Если поменять их местами, то, с одной стороны, величина определителя не изменится, так как строки одинаковы, а с другой стороны определитель должен поменять свой знак на противоположный по свойству 2. Таким образом, имеем:  =    = 0.

4) Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

Доказательство:

=
=a 11 a 22  а 12 а 21 = (a 11 a 22  а 12 а 21) = 
.

Следствие:  =
=
.

NB. Правило умножения определителя на число. Чтобы умножить определитель на число, надо все элементы какой-то одной его строки (столбца) умножить на это число.

5) Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.

Доказательство. По свойству 4 вынесем общий множитель  = 0 элементов нулевой строки (столбца) за знак определителя. Получим 0 = 0.

6) Определитель с двумя и более пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

Доказательство. Если вынести за знак определителя коэффициент пропорциональности двух строк (столбцов) ≠0, то получится определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), равный нулю по свойству 3.

7) Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя представить в

виде суммы k слагаемых, то такой определитель равен сумме k определителей, у которых элементы этой строки (столбца) заменены соответствующими слагаемыми, а все остальные элементы такие же как у исходного определителя.

Доказательство:

=
= (а 11 + b 11)а 22  (а 12 + b 12)а 21 = (а 11 а 22  а 12 а 21) + (b 11 а 22  b 12 а 21) = =
+
.

Опр. n-ая строка определителя называется линейной комбинацией его остальных (n1) строк, если ее можно представить в виде суммы произведений этих строк на соответствующие числа  1 ,  2 , …,  n  1 . Например, в определителе

3–я строка является линейной комбинацией первых двух строк.

NB. Линейная комбинация называется тривиальной, если в ней  i = 0. В противном случае линейная комбинация называется нетривиальной (if  i  0).

8 а) Если одна строка (столбец) определителя является линейной комбинацией других его строк (столбцов), то такой определитель равен нулю.

Доказательство:  =

8 б) Величина определителя не изменится, если к элементам любой его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы любой другой строки (столбца) определителя, умноженные на одно и то же число.

Доказательство:

Пусть =
 {к 1-й строке прибавим 2-ю строку, умноженную на число } 

=
.

9) Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) определителя равна нулю, то есть
= 0 (if i ≠ j).Например, пусть

 =
 0

Тогда а 11 А 21 + а 12 А 22 + а 13 А 23 = 0, так как выполнено умножение элементов 1-ой строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов 2-ой строки.

Доказательство:

а 11 А 21 + а 12 А 22 + а 13 А 23 = а 11 (1) 2+1
+ а 12 (1) 2+2
+ а 13 (1) 2+3
=

={это есть разложение по 1-й строке определителя (1)
= 0}= 0.

Если определитель 0, то по свойству 8 б) в нем всегда можно «обнулить» i-ю строку (j-й столбец) до единственного ненулевого элемента и разложить определитель по этой строке (столбцу). Применяя эту операцию нужное число раз, всегда можно из определителя n-го порядка получить определитель 2-го порядка.

Обратная матрица

Опр. Матрица называется присоединенной (союзной) к квадратной матрице А, если она состоит из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы А т. Чтобы получить присоединенную матрицу , следует транспонировать матрицу А, а затем все ее элементы заменить их алгебраическими дополнениями, то есть

=
(3.1)

Опр. Квадратная матрица А называется вырожденной (особенной), если ее определитель |A|=0, и невырожденной, если ее определитель |A|0.

Опр. Квадратная матрица А  1 называется обратной (инверсной) к квадратной матрице А, если выполняется условие

А  1 А = АА  1 = Е (3.2)

NB. Обратная матрица А  1 возможна только для невырожденной матрицы А.

Теорема.

Для любой невырожденной квадратной матрицы А существует единственная обратная матрица А  1 , которая находится по формуле

А  1 = (3.3)

Доказательство.

1) Из определения А  1 А = АА  1 следует, что А и А - 1  это квадратные матрицы одного порядка.

Пусть матрица А – невырожденная, то есть |A|0. Тогда, по правилу умножения матриц, по теореме Лапласа и по свойству 9 определителей, получим

А=

=
=

= |A|= |A|E

Следовательно, А= |A|E. Аналогично доказывается, чтоА = |A|E.

Из А= |A|E  А  1 А = А - 1 ×|A|E  Е = А  1 |A|  = А  1 |A|  А  1 = .

2) Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что для матрицы А существует еще одна обратная матрица В. Тогда, согласно определению произведение АВ=Е. Обе части последнего равенства умножим слева на обратную матрицу А  1 и получим: А  1 АВ = А  1 Е  ЕВ = А  1 Е  В = А  1 . Fin.

Свойства обратной матрицы:

АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ. Наибольший общий делитель двух многочленов (алгоритм Евклида).

Многочленом n -ой степени называется функция вида

где – постоянные коэффициенты (действительные или комплексные), а– комплексная переменная, которая может принимать любые комплексные значения
или, выражаясь геометрическим языком,может быть любой точкой комплексной плоскости.

Если
при
, то числоназываетсякорнем или нулем многочлена
.

Для многочленов определены следующие арифметические операции:

В результате операций 1) и 2) снова получится многочлен. Частное двух многочленов может не быть многочленом.

Деление многочленов с остатком.

,

где
– частное, а
– остаток.

Теорема Безу.

Для того, чтобы многочлен
имел (комплексный) корень, необходимо и достаточно, чтобы он делился на
, т.е. чтобы его можно было представить в виде произведения, где
– некоторый многочлен степениn -1 .

Если при разложении
, то на основании теоремы Безу применимой к
, многочлен
не делится на
, а
хотя и делится на
, но не делится на
. В этом случае говорят, что–простой корень (нуль) многочлена .

Пусть теперь
. Тогда по теореме Безу, применимой к
, многочлен
делится на
, и мы получим
, где
– некоторый многочлен степениn -2 . Если
, то
делится на
, но не делится на
, и тогда числоназываетсякорнем (нулем) кратности 2 .

В общем случае для некоторого натурального
имеет место

где
– многочлен степениn - s , и тогда говорят, что –корень (нуль) многочлена кратности s .

Теорема Гаусса (основная теорема алгебры).

Всякий многочлен n -ой степени (ненулевой, т.е.
) имеет по крайней мере один комплексный корень (нуль).

Следствие из теоремы Гаусса.

Многочлен n -ой степени со старшим не равным нулю коэффициентом
имеетn комплексных корней с учетом кратности, иначе говоря
представляется в виде произведения

где
– различные корникратностей, соответственно
.

Если у многочлена с вещественными коэффициентами есть комплексные корни, то они входят сопряженными парами, т.е. если
– корень многочлена, то и корень
будет являться корнем многочлена.

Раскладывая в разложении на квадратичные множители многочлена комплексные корни
на сопряженные, т.е.
получим разложение многочленана линейные множители.

В результате получим разложение вида

где
отвечает вещественному корнюb кратности l , а
– комплексным корнямикратностиm .

Наибольший общий делитель многочленов

Пусть даны произвольные многочлены
и
. Многочлен будет называтьсяобщим делителем для
и
, если он служит делителем для каждого из этих многочленов. Свойство 5. показывает, что к числу общих делителей многочленов
и
принадлежат все многочлены нулевой степени. Если других общих делителей эти два многочлена не имеют, то они называютсявзаимно простыми .

В общем же случае многочлены
и
могут обладать делителями, зависящими от, и введем понятие онаибольшем общем делителе этих многочленов.

Наибольшим общим делителем отличных от нуля многочленов
и
называется такой многочлен
, который является их общим делителем и, вместе с тем, сам делится на любой другой общий делитель этих многочленов. Обозначается наибольший общий делитель многочленов
и
символом
.

Это определение оставляет открытым вопрос, существует ли наибольший общий делитель для любых многочленов
и
. Ответ на этот вопрос положительный. Существует метод для практического разыскания наибольшего общего делителя данных многочленов, называемыйалгоритмом последовательного деления или алгоритмом Евклида.

Алгоритм Евклида – метод для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, а также двух многочленов от одного переменного. Он первоначально был изложен в «Началах» Евклида в геометрической форме как способ нахождения общей меры двух отрезков. Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя, как в кольце целых чисел, так и в кольце многочленов от одного переменного является частным случаем некого общего алгоритма в евклидовых кольцах.

Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов
и
состоит в последовательном делении с остатком
на
, затем
на первый остаток
, затем
на второй остаток
и так далее. Так как степени остатков все время понижаются, то в этой цепочке последовательных делений мы дойдем до такого места, на котором деление совершится нацело и процесс остановится. Последний отличный от нуля остаток
, на который нацело делится предыдущий остаток
, и является наибольшим общим делителем многочленов
и
.

Для доказательства запишем изложенное в виде следующей цепочки равенств:

Последнее равенство показывает, что
служит делителем для
. Отсюда следует, что оба слагаемых правой части предпоследнего равенства делятся на
, а поэтому
будет делителем и для
. Далее, таким же путем, поднимаясь вверх, мы получим, что
является делителем и для
, …,
,
. Отсюда ввиду второго равенства, будет следовать, что
служит делителем для
, а поэтому, на основании первого равенства, - и для
.

Возьмем теперь произвольный общий делитель
многочленов
и
. Так как левая часть и первое слагаемое правой части первого из равенств делятся на
, то
также будет делится на
. Переходя ко второму и следующему равенствам, таким же способом получим, что на
делятся многочлены
,
, … Наконец, если уже будет доказано, что
и
делятся на
, то из предпоследнего равенства получим, что
делится на
. Таким образом,
на самом деле будет наибольшим общим делителем для
и
.

Мы доказали, что любые два многочлена обладают наибольшим общим делителем, и получили способ его вычисления. Этот способ показывает, что если многочлены
и
имеют оба рациональные или действительные коэффициенты, то и коэффициенты их наибольшего общего делителя также будут рациональными или, соответственно, действительными, хотя у этих многочленов могут существовать и такие делители, не все коэффициенты которых рациональны (действительны).

При нахождении определителей второго, третьего порядка можно пользоваться стандартными формулами (2 - разница произведения диагональных элементов, 3 - правило треугольника). Однако для вычисления определителя четвертого, пятого порядка и старших гораздо быстрее разложить их по элементам строки или столбца, содержащего больше всего нулей и свести к расчету нескольких определителей на единицу меньшего порядка.

Схемы знаков при минорах для детерминантов 3-го - 5-го порядка приведены ниже.

Их не трудно запомнить, если знать следующие правила:
Дополнение к элементам главной диагонали идут со знаком «+» , а на параллельных диагоналям чередуются «-», «+», «-», ...
Дополнение к элементам нечетных столбцов и строк начинаются с знака «+» , а дальше чередуются «-», «+» , для парных начинаются со знака «-» , а дальше поочередно меняются «+», «-»,...
Вторым правилом пользуется большинство студентов, поскольку оно привязано к столбца или строки по которому осуществляется расписание определителя.

Перейдем к рассмотрению примеров разложения определителя и изучению особенностей этого метода.

Разложить определитель третьего порядка по элементам первой строки и второго столбца

Проводим разложение определителя по элементам первой строки

Подобным образом выполняем вычисления разложения по элементам второго столбца

Оба значения одинаковы, а значит расчеты проведены правильно. Если у Вас получится что определители полученные расписанием по строке и столбцу не совпадают - значит где-то допущена ошибка при вычислениях и нужно перечислить или найти ее.

Найти определитель четвертого порядка методом разложения

Проводим разложение по элементам третьей строки (выделена красным) так как в ней больше всего нулевых элементов.

Определители, входящие в расписание находим по правилу треугольников

Найденные значения подставляем и посчитываем

На этом примере метод разложения показал свою эффективность и простоту. Стандартные правила оказались бы слишком громоздкими в вычислениях.

Найти определитель пятого порядка методом разложения

Определение1. 7 . Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент.

Обозначение: выбранный элемент определителя, его минор.

Пример. Для

Определение1. 8. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i+j есть число четное, или число, противоположное минору, если i+j нечетно, т.е.

Рассмотрим еще один способ вычисления определителей третьего порядка – так называемое разложение по строке или столбцу. Для этого докажем следующую теорему:

Теорема 1.1 . Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е.

где i=1,2,3.

Доказательство.

Докажем теорему для первой строки определителя, так как для любой другой строки или столбца можно провести аналогичные рассуждения и получить тот же результат.

Найдем алгебраические дополнения к элементам первой строки:

Таким образом, для вычисления определителя достаточно найти алгебраические дополнения к элементам какой-либо строки или столбца и вычислить сумму их произведений на соответствующие элементы определителя.

Пример. Вычислим определитель с помощью разложения по первому столбцу. Заметим, что при этом искать не требуется, так как следовательно, и Найдем и Следовательно,

Определители более высоких порядков .

Определение1. 9 . Определитель n-го порядка

есть сумма n! членов каждый из которых соответствует одному из n! упорядоченных множеств полученных r попарными перестановками элементов из множества 1,2,…,n.

Замечание 1. Свойства определителей 3-го порядка справедливы и для определителей n-го порядка.

Замечание 2. На практике определители высоких порядков вычисляют с помощью разложения по строке или столбцу. Это позволяет понизить порядок вычисляемых определителей и в конечном счете свести задачу к нахождению определителей 3-го порядка.

Пример. Вычислим определитель 4-го порядка с помощью разложения по 2-му столбцу. Для этого найдем и :

Следовательно,

Теоре́ма Лапла́са - одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 - 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году , хотя частный случай этой теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) был известен ещё Лейбницу.

олнение минора определяется следующим образом:

Справедливо следующее утверждение.

Число миноров, по которым берётся сумма в теореме Лапласа, равно числу способов выбрать столбцов из , то есть биномиальному коэффициенту .

Так как строки и столбцы матрицы равносильны относительно свойств определителя, теорему Лапласа можно сформулировать и для столбцов матрицы.

Разложение определителя по строке (столбцу) (Следствие 1)

Широко известен частный случай теоремы Лапласа - разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Пусть - квадратная матрица размера . Пусть также задан некоторый номер строки либо номер столбца матрицы . Тогда определитель может быть вычислен по следующим формулам.