Одним из важных элементов электрической цепи является конденсатор, формулы для которого позволяют рассчитать и подобрать наиболее подходящий вариант. Основная функция данного устройства заключается в накоплении определенного количества электроэнергии. Простейшая система включает в себя два электрода или обкладки, разделенные между собой диэлектриком.
Одной из важнейших характеристик конденсатора является его емкость. Данный параметр определяется количеством электроэнергии, накапливаемой этим прибором. Накопление происходит в виде электронов. Их количество, помещающееся в конденсаторе, определяет величину емкости конкретного устройства.
Для измерения емкости применяется единица - фарада. Емкость конденсатора в 1 фараду соответствует электрическому заряду в 1 кулон, а на обкладках разность потенциалов равна 1 вольту. Эта классическая формулировка не подходит для практических расчетов, поскольку в конденсаторе собираются не заряды, а электроны. Емкость любого конденсатора находится в прямой зависимости от объема электронов, способных накапливаться при нормальном рабочем режиме. Для обозначения емкости все равно используется фарада, а количественные параметры определяются по формуле: С = Q / U, где С означает емкость, Q - заряд в кулонах, а U является напряжением. Таким образом, просматривается взаимная связь заряда и напряжения, оказывающих влияние на способность конденсатора к накоплению и удержанию определенного количества электричества.
Для расчетов используется формула:
в которой ε 0
= 8,854187817 х 10 -12 ф/м представляет собой постоянную величину. Прочие величины: ε - является диэлектрической проницаемостью диэлектрика, находящегося между обкладками, S - означает площадь обкладки, а d - зазор между обкладками.
С емкостью самым тесным образом связана другая величина, известная как . После зарядки любого конденсатора, в нем образуется определенное количество энергии, которое в дальнейшем выделяется в процессе разрядки. С этой потенциальной энергией вступают во взаимодействие обкладки конденсатора. В них образуются разноименные заряды, притягивающиеся друг к другу.
В процессе зарядки происходит расходование энергии внешнего источника для разделения зарядов с положительным и отрицательным значением, которые, затем располагаются на обкладках конденсатора. Поэтому в соответствии с законом сохранения энергии, она не исчезает бесследно, а остается внутри конденсатора в виде электрического поля, сосредоточенного между пластинами. Разноименные заряды образуют взаимодействие и последующее притяжение обкладок между собой.
Каждая пластина конденсатора под действием заряда создает напряженность электрического поля, равную Е/2. Общее поле будет складываться из обоих полей, возникающих в каждой обкладке с одинаковыми зарядами, имеющими противоположные значения.
Таким образом, энергия конденсатора выражается формулой: W=q(E/2)d. В свою очередь, напряжение выражается с помощью понятий напряженности и расстояния и представляется в виде формулы U=Ed. Это значение, подставленное в первую формулу, отображает энергию конденсатора в таком виде:W=qU/2. Для получения окончательного результата необходимо использовать определение емкости: C=q/U, и в конце концов энергия заряженного конденсатора будет выглядеть следующим образом: W эл = CU 2 /2.
Для выполнения зарядки, конденсатор должен быть подключен к цепи постоянного тока. С этой целью может использоваться генератор. У каждого генератора имеется внутреннее сопротивление. При замыкании цепи происходит зарядка конденсатора. Между его обкладками появляется напряжение, равное электродвижущей силе генератора: U c = E.
Обкладка, подключенная к положительному полюсу генератора, заряжается положительно (+q), а другая обкладка получает равнозначный заряд с отрицательной величиной (- q). Величина заряда q находится в прямой пропорциональной зависимости с емкостью конденсатора С и напряжением на обкладках Uc. Эта зависимость выражается формулой: q = C x Uc.
В процессе зарядки одна из обкладок конденсатора приобретает, а другая теряет определенное количество электронов. Они переносятся по внешней цепи под влиянием электродвижущей силы генератора. Такое перемещение является электрическим током, известным еще как зарядный емкостной ток (Iзар).
Течение зарядного тока в цепи происходит практически за тысячные доли секунды, до того момента, пока напряжение конденсатора не станет равным электродвижущей силе генератора. Напряжение увеличивается плавно, а потом постепенно замедляется. Далее значение напряжения конденсатора будет постоянным. Во время зарядки по цепи течет зарядный ток. В самом начале он достигает максимальной величины, так как напряжение конденсатора имеет нулевое значение. Согласно закона Ома I зар = Е/R i , поскольку к сопротивлению Ri приложена вся ЭДС генератора.
Ток утечки конденсатора вполне можно сравнить с воздействием подключенного к нему резистора с каким-либо сопротивлением R. Ток утечки тесно связан с типом конденсатора и качеством используемого диэлектрика. Кроме того, важным фактором становится конструкция корпуса и степень его загрязненности.
Некоторые конденсаторы имеют негерметичный корпус, что приводит к проникновению влаги из воздуха и возрастанию тока утечки. В первую очередь это касается устройств, где в качестве диэлектрика использована промасленная бумага. Значительные токи утечки возникают из-за снижения электрического сопротивления изоляции. В результате нарушается основная функция конденсатора - способность получать и сохранять заряд электрического тока.
Основная формула для расчета выглядит следующим образом: I ут = U/R d , где I ут, - это ток утечки, U - напряжение, прилагаемое к конденсатору, а R d - сопротивление изоляции.
Во всех электронных устройствах используются конденсаторы. При их конструировании или изготовлении своими руками параметры устройств рассчитываются по специальным формулам.
Конденсаторы
Один из главных параметров таких устройств – ёмкость. Рассчитать её можно по следующей формуле:
В электротехнике вместо понятия «разность потенциалов между обкладками» используется «напряжение на конденсаторе».
Ёмкость элемента не зависит от конструкции и размеров устройства, а только от напряжения на нём и заряда обкладок. Но эти параметры могут изменяться в зависимости от расстояния между ними и материала диэлектрика. Это учитывается в формуле:
С=Co*ε, где:
Например, если в качестве диэлектрика используется слюда, «ε» которой 6, то ёмкость такого устройства в 6 раз больше, чем воздушного, а при изменении количества диэлектрика меняются параметры конструкции. На этом принципе основана работа ёмкостного датчика положения.
Устройство конденсатора
Единицей ёмкости в системе СИ является 1 фарад (F). Это большая величина, поэтому чаще применяются микрофарады (1000000mkF=1F) и пикофарады (1000000pF=1mkF).
Цилиндрический конденсатор – это две соосные трубки различного диаметра, вставленные друг в друга. Между ними находится диэлектрик. При радиусе цилиндров, близком друг к другу и намного большем, чем расстояние между ними, цилиндрической формой можно пренебречь и свести расчёт к формуле, аналогичной той, по которой рассчитывается плоский конденсатор.
Вычисляются параметры такого устройства по формуле:
C=(2π*l*R*ε)/d, где:
Есть устройства, обкладки которых представляют собой два шара, вложенные друг в друга. Формула ёмкости такого прибора:
C=(4π*l*R1*R2*ε)/(R2-R1), где:
Формулы ёмкости конденсаторов различной формы
Кроме конденсаторов, способностью накапливать заряд обладают отдельные проводники. Одиночным проводником считается такой проводник, который бесконечно далёк от других проводников. Параметры заряженного элемента рассчитывается по формуле:
Объём заряда определяется размером и формой устройства, а также окружающей средой. Материал прибора значения не имеет.
Не всегда есть в наличии элементы с необходимыми параметрами. Приходится соединять их различными способами.
Соединение конденсаторов
Это такое соединение деталей, при котором к одной клемме или контакту присоединяются первые обкладки каждого конденсатора. При этом вторые обкладки присоединяются к другой клемме.
При таком соединении напряжение на контактах всех элементов будет одинаковым. Заряд каждого из них происходит независимо от остальных, поэтому общая ёмкость равна сумме всех величин. Её находят по формуле:
где C1-Cn – параметры деталей, участвующих в параллельном соединении.
Важно! Конденсаторы имеют предельное допустимое напряжение, превышение которого приведёт к выходу элемента из строя. При параллельном соединении устройств с различным допустимым напряжением этот параметр получившейся сборки равен элементу с наименьшим значением.
Это такое соединение, при котором к клемме присоединяется только одна пластина первого элемента. Вторая пластина присоединяется к первой пластине второго элемента, вторая пластина второго – к первой пластине третьего и так далее. Ко второй клемме присоединяется только вторая обкладка последнего элемента.
При таком соединении заряд на обкладках конденсатора в каждом приборе будет равен остальным, однако напряжение на них будет разным: для зарядки устройств большей ёмкости тем же зарядом требуется меньшая разность потенциалов. Поэтому вся цепочка представляет собой одну конструкцию, разность потенциалов которой равна сумме напряжений на всех элементах, а заряд конденсатора равен сумме зарядов.
Последовательное соединение увеличивает допустимое напряжение и уменьшает общую ёмкость, которая меньше самого меньшего элемента.
Рассчитываются эти параметры следующим образом:
Uобщ=U1+U2+U3+…Un, где U1-Un – напряжение на конденсаторе;
1/Собщ=1/С1+1/С2+1/С3+…1/Сn, где С1-Сn – параметры каждого устройства.
Интересно. Если в цепи только два элемента, то можно воспользоваться упрощённой формулой: Собщ=(С1*С2)/(С1+С2).
Это такое соединение, в котором есть детали, соединённые последовательно, и есть соединённые параллельно. Параметры всей цепи рассчитывается в следующей последовательности:
Знание формул, по которым можно найти емкость при изготовлении конденсаторов или их соединении необходимо при конструировании электронных схем.
Elquanta.ru
Как показывает практика ремонта за последние годы, наибольшее число отказов аппаратуры происходит по вине электролитических конденсаторов. При этом наблюдается снижение числа отказов по вине других компонентов.
Здесь будут перечислены основные виды неисправностей конденсаторов, и способы их выявления. Считается, что основными видами неисправностей конденсаторов являются пробой и обрыв, на самом деле их больше.
Обрыв характеризуется отсутствием емкости. Если номинальная емкость конденсатора (та, которая должна быть) ниже 20 мкФ, то единственным способом проверки будет измерение емкости. На этот случай желательно иметь мультиметр с функцией измерения емкости. Обычно такие мультиметры способны измерять емкость до 20 мкФ. Пример мультиметра с измерением емкости из разряда «бюджетной цены» - DT9206A, но есть и масса других. Здесь все ясно, - измеряем емкость, прибором и делаем выводы:
Если емкости нет - конденсатор неисправен, - только выбросить.
Если емкость понижена - конденсатор неисправен, и использовать его можно, но не желательно, потому что емкость может и еще снизиться.
Проверить наличие емкости электролитического конденсатора с номинальной емкостью более 20 мкФ в принципе можно с помощью любого мультиметра, на режиме измерения сопротивления.
Выбираем предел измерения «200 кОм», сначала замыкаем выводы конденсатора чтобы снять возможно имеющийся в нем заряд, затем размыкаем выводы и подключаем к ним щупы мультиметра.
На дисплее появится некоторая величина сопротивления, которая будет расти тем быстрее, чем меньше емкость конденсатора, и через некоторое время достигнет «бесконечности». Это происходит потому что, в процессе зарядки емкости конденсатора ток через конденсатор снижается, а сопротивление, которое мультиметр определяет по функции обратной току, соответственно, растет. У полностью заряженного конденсатора сопротивление будет стремиться к бесконечности.
Если все именно так и происходит, - значит, емкость у конденсатора имеется.
Если же сразу «бесконечность» - увы, у конденсатора обрыв, и его можно только выкинуть.
Измерить емкость электролитического конденсатора при помощи омметра в принципе то же можно. Но весьма необычным способом.
Кроме мультиметра для этого потребуется секундомер, лист бумаги, карандаш и большая кучка заведомо исправных конденсаторов разных емкостей.
Нужно расположить эти конденсаторы в порядке возрастания емкости и измеряя их сопротивление омметром, как написано выше, замерять секундомером сколько времени у каждого из них уходит от начала измерения до «бесконечности» сопротивления. Затем, эти данные записать в виде таблицы. При этом, не забыв указать на каком пределе измерения сопротивления данные были получены.
Теперь, чтобы определить емкость электролитического конденсатора, нужно измеряя его сопротивление мультиметром, определить секундомером сколько уйдет времени на достижение «бесконечности». А затем по этой таблице определить примерно емкость.
Не забывайте перед каждым измерением разряжать конденсатор, временно замыкая его выводы.
Данный способ годится только для электролитических конденсаторов номинальной емкостью более 20 мкФ. У конденсаторов меньшей емкости процесс нарастания сопротивления до «бесконечности» будет происходить слишком быстро, - вы его просто не заметите.
Практически, пробой это замыкание внутри конденсатора. Классический пробой легко определяется омметром, потому что прибор либо показывает ноль сопротивления, либо некоторое небольшое сопротивление, которое не увеличивается или немного увеличивается, но не достигает «бесконечности».
Пробой можно определить и без приборов по внешнему виду конденсатора. Дело в том, что при пробое электролитического конденсатора внутри него электролит вскипает и выделяется газ. На верхушке корпуса современных электролитических конденсаторов есть крестообразные насечки, которые при избытке давления внутри конденсатора раскрываются, выбухают. Внешне это очень заметно, особенно на фоне рядом находящихся исправных конденсаторов.
Оба конденсаторы неисправны. Один потек (см. следы на плате), второй вздулся.
Впрочем, бывает, что пробой происходит как-то мягко, и «голову» конденсатору не разрывает.
В любом случае - разрыв или выбухание насечек говорит о непригодности конденсатора, и его необходимо заменить.
Есть интересная неисправность конденсатора, при которой с ним происходит обратимый пробой, наступающий при превышении определенного напряжения на его обкладках. Обычно, максимально допустимое напряжение на обкладках конденсатора указано в его маркировке.
Но есть такая неисправность, при которой величина максимально допустимого напряжения снижается. При этом, конденсатор может казаться вполне исправным, - измеритель емкости покажет правильный результат, а сопротивление в заряженном состоянии будет «бесконечным». Но в схеме конденсатор ведет себя так, как будто он пробит.
Здесь дело именно в том, что понизилось максимально допустимое напряжение на обкладках конденсатора. И теперь конденсатор пробивает при значительно более низком напряжении. Но пробой этот обратимый, и при проверке омметром на напряжении ниже напряжения, вызывающего пробой, конденсатор кажется исправным.
Для проверки конденсатора на максимальное напряжение нужен лабораторный источник постоянного тока. Установите на его клеммах минимальное напряжение, подключите к ним испытуемый конденсатор (соблюдая полярность), и плавно увеличивайте напряжение до величины, немного ниже указанной на корпусе конденсатора.
Например, есть конденсатор, у которого на корпусе написано «40V», это значит, что пробоя при напряжении от нуля до 40V быть не должно.
И вот выясняется, что уже при напряжении 25V у этого конденсатора начался пробой со всеми признаками, - увеличение тока, нагрев, вскипание... даже возможен переход лабораторного блока питания в режим защиты от короткого замыкания.
Все это говорит о том, что конденсатор не пригоден, потому что даже если вы планируете его использовать в цепи, где напряжение не более 25V, нет никакой гарантии, что его напряжение пробоя не опустится в любой момент еще ниже. Такой конденсатор будет вести себя нестабильно, - лучше его не паять в схему.
Физически это выглядит так, как будто последовательно конденсатору подключили резистор. При увеличении данного параметра снижается пиковый ток через конденсатор при его заряде или разряде, вносится задержка в цепи, где этот конденсатор работает.
Данный параметр называется ЭПС (эквивалентное последовательное сопротивление) или в английской аббревиатуре - ESR.
Для определения эквивалентного последовательного сопротивления нужен специальный прибор - измеритель ESR.
meandr.org
СС Напряжение на конденсаторе % -U.равно напряжению на зажимах цепи. Следовательно,sin cof. Заряд конденсатора меняется по гармоническому закону:q = CUm sin cof. (2.7.1)Сила тока представляет собой производную заряда по времени. Если заряд q в формуле (2.7.1) - это заряд той пласти-ны конденсатора, которая встречается первой при выбранном направлении обхода контура, то (см. с. 64, § 2.3)і = Рис. 2.16Следовательно, колебания силы тока опережают по фазе колебания напряжения на л/2 (рис. 2.16). Это означает, что в момент, когда конденсатор начинает заряжаться, сила тока максимальна, а напряжение равно нулю. После того как напряжение достигает максимума, сила тока становится равной нулю и т. д.Амплитуда силы тока равна: (2.7.3)I = U (аС.т т Если ввести обозначение (2.7.4)со С ЛС и вместо амплитуд силы тока и напряжения использовать их действующие значения, то получим:U/ =(2.7.5)Величину Хс, обратную произведению циклической частоты на емкость конденсатора, называют емкостным сопротивлением. Роль этой величины подобна роли активного сопротивления R в законе Ома (2.6.3). Действующее значение силы тока связано с действующим значением напряжения на конденсаторе точно так же, как связаны согласно закону Ома сила тока и напряжение на участке цепи постоянного тока. Это и позволяет рассматривать величину Хс как сопротивление конденсатора переменному току - емкостное со-противление.Чем больше емкость конденсатора, тем больше согласно формуле (2.7.3) сила тока перезарядки. Это легко обнаружить по увеличению накала лампы при увеличении емкости конденсатора. В то время как сопротивление конденсатора постоянному току бесконечно велико, его сопротивление переменному току имеет конечное значение Хс. Оно уменьшается сувеличением емкости и увеличением частоты.Это можно увидеть, если для питания цепи, изображенной на рисунке 2.14, использовать генератор переменного тока регулируемой частоты. Плавно увеличивая частоту переменного тока, можно наблюдать увеличение накала лампы. Оно вызвано увеличением силы тока за счет уменьшения емкостного сопротивления конденсатора.Если на один вход двухлучевого осциллографа подать напряжение с конденсатора, а на другой вход - напряжение, мгновенное значение которого пропорционально силе тока в цепи (это напряжение снимается с активного сопротивления), то на экране будут одновременно наблюдаться осциллограммы (временные развертки) обоих колебаний: напряжения и силы тока. Такие наблюдения подтверждают полученный выше вывод о том, что колебания силы тока в цепи конденсатора сдвинуты по фазе относительно колебаний напряжения на л/2, как это показано на рисунке 2.16.
Положим теперь, что участок цепи содержит конденсатор емкости C , причем сопротивлением и индуктивностью участка можно пренебречь, и посмотрим, по какому закону будет изменяться напряжение на концах участка в этом случае. Обозначим напряжение между точками а и b через u и будем считать заряд конденсатора q и силу тока i положительными, если они соответствуют рис.4. Тогда
Предыдущие две статьи были посвящены отдельному рассмотрению того, каким образом ведут себя в электрическом поле проводники и каким образом - диэлектрики. Сейчас нам понадобится объединить эти знания. Дело в том, что большое практическое значение имеет совместное использование проводников и диэлектриков в специальных устройствах - конденсаторах .
Но прежде введём понятие электрической ёмкости .
Предположим, что заряженный проводник расположен настолько далеко от всех остальных тел, что взаимодействие зарядов проводника с окружающими телами можно не принимать во внимание. В таком случае проводник называется уединённым .
Потенциал всех точек нашего проводника, как мы знаем, имеет одно и то же значение , которое называется потенциалом проводника. Оказывается, что потенциал уединённого проводника прямо пропорционален его заряду . Коэффициент пропорциональности принято обозначать , так что
Величина называется электрической ёмкостью проводника и равна отношению заряда проводника к его потенциалу:
(1)
Например, потенциал уединённого шара в вакууме равен:
где - заряд шара, - его радиус. Отсюда ёмкость шара:
(2)
Если шар окружён средой-диэлектриком с диэлектрической проницаемостью , то его потенциал уменьшается в раз:
Соответственно, ёмкость шара в раз увеличивается:
(3)
Увеличение ёмкости при наличии диэлектрика - важнейший факт. Мы ещё встретимся с ним при рассмотрении конденсаторов.
Из формул (2) и (3) мы видим, что ёмкость шара зависит только от его радиуса и диэлектрической проницаемости окружающей среды. То же самое будет и в общем случае: ёмкость уединённого проводника не зависит от его заряда; она определяется лишь размерами и формой проводника, а также диэлектрической проницаемостью среды, окружающей проводник. От вещества проводника ёмкость также не зависит.
В чём смысл понятия ёмкости? Ёмкость показывает, какой заряд нужно сообщить проводнику, чтобы увеличить его потенциал на В . Чем больше ёмкость - тем, соответственно, больший заряд требуется поместить для этого на проводник.
Единицей измерения ёмкости служит фарад (Ф). Из определения ёмкости (1) видно, что Ф = Кл/В.
Давайте ради интереса вычислим ёмкость земного шара (он является проводником!). Радиус считаем приближённо равным км.
МкФ.
Как видите, Ф - это очень большая ёмкость.
Единица измерения ёмкости полезна ещё и тем, что позволяет сильно сэкономить на обозначении размерности диэлектрической постоянной . В самом деле, выразим из формулы (2) :
Следовательно, диэлектрическая постоянная может измеряться в Ф/м:
Так легче запомнить, не правда ли?
Ёмкость уединённого проводника на практике используется редко. В обычных ситуациях проводники не являются уединёнными. Заряженный проводник взаимодействует с окружающими телами и наводит на них заряды, а потенциал поля этих индуцированных зарядов (по принципу суперпозиции!) изменяет потенциал самого проводника. В таком случае уже нельзя утверждать, что потенциал проводника будет прямо пропорционален его заряду, и понятие ёмкости проводника самого по себе фактически утрачивает смысл.
Можно, однако, создать систему заряженных проводников, которая даже при накоплении на них значительного заряда почти не взаимодействует с окружающими телами. Тогда мы сможем снова говорить о ёмкости - но на сей раз о ёмкости этой системы проводников.
Наиболее простым и важным примером такой системы является плоский конденсатор . Он состоит из двух параллельных металлических пластин (называемых обкладками ), разделённых слоем диэлектрика. При этом расстояние между пластинами много меньше их собственных размеров.
Для начала рассмотрим воздушный конденсатор, у которого между обкладками находится воздух
Пусть заряды обкладок равны и . Именно так и бывает в реальных электрических схемах: заряды обкладок равны по модулю и противоположны по знаку. Величина - заряд положительной обкладки - называется зарядом конденсатора .
Пусть - площадь каждой обкладки. Найдём поле, создаваемое обкладками в окружающем пространстве.
Поскольку размеры обкладок велики по сравнению с расстоянием между ними, поле каждой обкладки вдали от её краёв можно считать однородным полем бесконечной заряженной плоскости:
Здесь - напряжённость поля положительной обкладки, - напряженность поля отрицательной обкладки, - поверхностная плотность зарядов на обкладке:
На рис. 1 (слева) изображены векторы напряжённости поля каждой обкладки в трёх областях: слева от конденсатора, внутри конденсатора и справа от конденсатора.
Рис. 1. Электрическое поле плоского конденсатора
Согласно принципу суперпозиции, для результирующего поля имеем:
Нетрудно видеть, что слева и справа от конденсатора поле обращается в нуль (поля обкладок погашают друг друга):
Внутри конденсатора поле удваивается:
(4)
Результирующее поле обкладок плоского конденсатора изображено на рис. 1 справа. Итак:
Внутри плоского конденсатора создаётся однородное электрическое поле, напряжённость которого находится по формуле (4) . Снаружи конденсатора поле равно нулю, так что конденсатор не взаимодействует с окружающими телами.
Не будем забывать, однако, что данное утверждение выведено из предположения, будто обкладки являются бесконечными плоскостями. На самом деле их размеры конечны, и вблизи краёв обкладок возникают так называемые краевые эффекты : поле отличается от однородного и проникает в наружное пространство конденсатора. Но в большинстве ситуаций (и уж тем более в задачах ЕГЭ по физике) краевыми эффектами можно пренебречь и действовать так, словно утверждение, выделенное курсивом, является верным без всяких оговорок.
Пусть расстояние между обкладками конденсатора равно . Поскольку поле внутри конденсатора является однородным, разность потенциалов между обкладками равна произведению на (вспомните связь напряжения и напряжённости в однородном поле!):
(5)
Разность потенциалов между обкладками конденсатора, как видим, прямо пропорциональна заряду конденсатора. Данное утверждение аналогично утверждению «потенциал уединённого проводника прямо пропорционален заряду проводника», с которого и начался весь разговор о ёмкости. Продолжая эту аналогию, определяем ёмкость конденсатора как отношение заряда конденсатора к разности потенциалов между его обкладками:
(6)
Ёмкость конденсатора показывает, какой заряд ему нужно сообщить, чтобы разность потенциалов между его обкладками увеличилась на В. Формула (6) , таким образом, является модификацией формулы (1) для случая системы двух проводников - конденсатора.
Из формул (6) и (5) легко находим ёмкость плоского воздушного конденсатора :
(7)
Она зависит только от геометрических характеристик конденсатора: площади обкладок и расстояния между ними.
Предположим теперь, что пространство между обкладками заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Как изменится ёмкость конденсатора?
Напряжённость поля внутри конденсатора уменьшится в раз, так что вместо формулы (4) теперь имеем:
(8)
Соответственно, напряжение на конденсаторе:
(9)
Отсюда ёмкость плоского конденсатора с диэлектриком :
(10)
Она зависит от геометрических характеристик конденсатора (площади обкладок и расстояния между ними) и от диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего конденсатор.
Важное следствие формулы (10) : заполнение конденсатора диэлектриком увеличивает его ёмкость .
Заряженный конденсатор обладает энергией. В этом можно убедиться на опыте. Если зарядить конденсатор и замкнуть его на лампочку, то (при условии, что ёмкость конденсатора достаточно велика) лампочка ненадолго загорится.
Следовательно, в заряженном конденсаторе запасена энергия, которая и выделяется при его разрядке. Нетрудно понять, что этой энергией является потенциальная энергия взаимодействия обкладок конденсатора - ведь обкладки, будучи заряжены разноимённо, притягиваются друг к другу.
Мы сейчас вычислим эту энергию, а затем увидим, что существует и более глубокое понимание происхождения энергии заряженного конденсатора.
Начнём с плоского воздушного конденсатора. Ответим на такой вопрос: какова сила притяжения его обкладок друг к другу? Величины используем те же: заряд конденсатора , площадь обкладок .
Возьмём на второй обкладке настолько маленькую площадку, что заряд этой площадки можно считать точечным. Данный заряд притягивается к первой обкладке с силой
где - напряжённость поля первой обкладки:
Следовательно,
Направлена эта сила параллельно линиям поля (т. е. перпендикулярно пластинам).
Результирующая сила притяжения второй обкладки к первой складывается из всех этих сил , с которыми притягиваются к первой обкладке всевозможные маленькие заряды второй обкладки. При этом суммировании постоянный множитель вынесется за скобку, а в скобке просуммируются все и дадут . В результате получим:
(11)
Предположим теперь, что расстояние между обкладками изменилось от начальной величины до конечной величины . Сила притяжения пластин совершает при этом работу:
Знак правильный: если пластины сближаются , то сила совершает положительную работу, так как пластины притягиваются друг к другу. Наоборот, если удалять пластины class="tex" alt="(d_2 > d_1)"> , то работа силы притяжения получается отрицательной, как и должно быть.
С учётом формул (11) и (7) имеем:
Это можно переписать следующим образом:
(12)
Работа потенциальной силы притяжения обкладок оказалась равна изменению со знаком минус величины . Это как раз и означает, что - потенциальная энергия взаимодействия обкладок, или энергия заряженного конденсатора .
Используя соотношение , из формулы (12) можно получить ещё две формулы для энергии конденсатора (убедитесь в этом самостоятельно!):
(13)
(14)
Особенно полезными являются формулы (12) и (14) .
Допустим теперь, что конденсатор заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Сила притяжения обкладок уменьшится в раз, и вместо (11) получим:
При вычислении работы силы , как нетрудно видеть, величина войдёт в ёмкость , и формулы (12) - (14) останутся неизменными . Ёмкость конденсатора в них теперь будет выражаться по формуле (10) .
Итак, формулы (12) - (14) универсальны: они справедливы как для воздушного конденсатора, так и для конденсатора с диэлектриком.
Мы обещали, что после вычисления энергии конденсатора дадим более глубокое истолкование происхождения этой энергии. Что ж, приступим.
Рассмотрим воздушный конденсатор и преобразуем формулу (14) для его энергии:
Но - объём конденсатора. Получаем:
(15)
Посмотрите внимательно на эту формулу. Она уже не содержит ничего, что являлось бы специфическим для конденсатора! Мы видим энергию электрического поля , сосредоточенного в некотором объёме .
Энергия конденсатора есть не что иное, как энергия заключённого внутри него электрического поля.
Итак, электрическое поле само по себе обладает энергией. Ничего удивительного для нас тут нет. Радиоволны, солнечный свет - это примеры распространения энергии, переносимой в пространстве электромагнитными волнами.
Величина - энергия единицы объёма поля - называется объёмной плотностью энергии . Из формулы (15) получим:
(16)
В этой формуле не осталось вообще никаких геометрических величин. Она даёт максимально чистую связь энергии электрического поля и его напряжённости.
Если конденсатор заполнен диэлектриком, то его ёмкость увеличивается в раз, и вместо формул (15) и (16) будем иметь:
(17)
(18)
Как видим, энергия электрического поля зависит ещё и от диэлектрической проницаемости среды, в которой поле находится.
Замечательно, что полученные формулы для энергии и плотности энергии выходят далеко за пределы электростатики: они справедливы не только для электростатического поля, но и для электрических полей, меняющихся во времени.
Рассмотрим теперь энергию, требуемую на то, чтоб зарядить конденсатор. Если заряд был снят с одной обкладки конденсатора и перенесен на другую, то между обкладками возникает разность потенциалов, равная
где - емкость конденсатора. Сколько работы затрачено на зарядку конденсатора? Поступая точно так же, как мы поступали с шаром, вообразим, что конденсатор уже заряжен переносом заряда с одной обкладки на другую маленькими порциями . Работа, требуемая для переноса заряда , равна
Взяв из (8.8), напишем
Или, интегрируя от до конечного заряда , получаем
Эту энергию можно также записать в виде
Вспоминая, что емкость проводящей сферы (по отношению к бесконечности) равна
,
мы немедленно получим из уравнения (8.9) энергию заряженной сферы
Это выражение, конечно, относится также и к энергии тонкого сферического слоя с полным зарядом ; получается энергии однородно заряженного шара [уравнение (8.7)].
Посмотрим, как применяется понятие электростатической энергии. Рассмотрим два вопроса. Какова сила, действующая между обкладками конденсатора? Какой вращательный (крутящий) момент вокруг некоторой оси испытывает заряженный проводник в присутствии другого проводника с противоположным зарядом? На такие вопросы легко ответить, пользуясь нашим выражением (8.9) для электростатической энергии конденсатора и принципом виртуальной работы (см. вып. 1, гл. 4, 13 и 14).
Применим этот метод для определения силы, действующей между двумя обкладками плоского конденсатора. Если мы представим, что промежуток между пластинами расширился на небольшую величину , то тогда механическая работа, производимая извне для того, чтобы раздвинуть обкладки, была бы равна
где - сила, действующая между обкладками. Эта работа обязана быть равной изменению электростатической энергии конденсатора, если только заряд конденсатора не изменился.
Согласно уравнению (8.9), энергия конденсатора первоначально была равна
Изменение в энергии (если мы не допускаем изменения величины заряда) тогда равно
. (8.13)
Приравнивая (8.12) и (8.13), получаем
, (8.14)
что может также быть записано в виде
. (8.15)
Ясно, эта сила здесь возникает от притяжения зарядов на обкладках; мы видим, однако, что заботиться о том, как там они распределены, нам нечего; единственное, что нам нужно, - это учесть емкость .
Легко понять, как обобщить эту идею на проводники произвольной формы и на прочие составляющие силы. Заменим в уравнении (8.14) той составляющей, которая нас интересует, а - малым смещением в соответствующем направлении. Или если у нас есть электрод, насаженный на какую-то ось, и мы хотим знать вращательный момент , то запишем виртуальную работу в виде
где - небольшой угловой поворот. Конечно, теперь должно быть изменением , отвечающим повороту на .
Фигура 8.3. Чему равен вращательный момент, действующий на переменный конденсатор?
Таким способом мы можем определить вращательный момент, действующий на подвижные пластины переменного конденсатора, показанного на фиг. 8.3.
Вернемся к частному случаю плоского конденсатора; мы можем взять формулу для емкости, выведенную в гл. 6:
где - площадь каждой обкладки. Если промежуток увеличится на , то
Из (8.14) тогда следует, что сила притяжения между двумя обкладками равна
Взглянем на уравнение (8.17) повнимательнее и подумаем, нельзя ли сказать, как возникает эта сила. Если заряд на одной из обкладок мы запишем в виде
то (8.17) можно будет переписать так:
Или поскольку поле между пластинами равно
Можно было сразу догадаться, что сила, действующая на одну из пластин, будет равна заряду этой пластины, умноженному на поле, действующее на заряд. Но что удивляет, так это множитель . Дело в том, что - это не то поле, которое действует на заряды. Если вообразить, что заряд на поверхности пластины занимает какой-то тонкий слой (фиг. 8.4), то поле будет меняться от нуля на внутренней границе слоя до в пространстве снаружи пластин. Среднее поле, действующее на поверхностные заряды, равно . Вот отчего в (8.18) стоит множитель .
Вы должны обратить внимание на то, что, рассчитывая виртуальную работу, мы предположили, что заряд конденсатора постоянен, что конденсатор не был электрически связан с другими предметами и полный заряд не мог изменяться.
Фигура 8.4. Поле у поверхности проводника меняется от нуля до , когда пересечен слой поверхностного заряда. 1 - проводящая пластина; 2 - слой поверхностного заряда.
А теперь пусть мы предположили, что при виртуальных перемещениях конденсатор поддерживается при постоянной разности потенциалов. Тогда мы должны были бы взять
и вместо (8.15) мы бы имели
,
что приводит к силе, равной по величине той, что была получена в уравнении (8.15) (так как ), но с противоположным знаком!
Конечно,
сила, действующая между пластинами конденсатора, не меняет свой знак, когда мы
отсоединяем конденсатор от источника электричества. Кроме того, мы знаем, что
две пластины с разноименными электрическими зарядами должны притягиваться.
Принцип виртуальной работы во втором случае был применен неправильно, мы не
приняли во внимание виртуальную работу, производимую источником, заряжающим
конденсатор. Это значит, что для того, чтобы удержать потенциал при постоянном
значении ,
когда меняется емкость, источник электричества должен снабдить конденсатор
зарядом .
Но этот заряд поступает при потенциале , так что работа, выполняемая
электрической системой, удерживающей заряд постоянным, равна . Механическая
работа плюс
эта электрическая работа вместе приводят к изменению полной
энергии конденсатора на . Поэтому на механическую работу, как
и прежде, приходится 
.
Большое число конденсаторов, которые применяют в технике, приближены по типу к плоскому конденсатору. Это конденсатор, который представляет собой две параллельные проводящие плоскости (обкладки), которые разделяет небольшой промежуток, заполненный диэлектриком. На обкладках сосредоточены равные по модулю и противоположные по знаку заряды.
Электрическая емкость плоского конденсатора очень просто выражается через параметры его частей. Изменяя площадь пластин конденсатора и расстояние между ними легко убедиться, что электрическая емкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади его пластин (S) и обратно пропорциональна расстоянию между ними (d):
Формулу для расчета емкости плоского конденсатора просто получить при помощи теоретических расчетов.
Положим, что расстояние между пластинами конденсатора много меньше, чем их линейные размеры. Тогда краевыми эффектами можно пренебречь, и электрическое поле между обкладками считать однородным. Поле (E), которое создают две бесконечные плоскости, несущие одинаковый по модулю и противоположный по знаку заряд, разделенные диэлектриком с диэлектрической проницаемостью , можно определить при помощи формулы:
где — плотность распределения заряда по поверхности пластины. Разность потенциалов между рассматриваемыми обкладками конденсатора, находящимися на расстоянии d будет равна:
Подставим правую часть выражения (3) вместо разности потенциалов в (1) учитывая, что , имеем:
Формула энергии поля плоского конденсатора записывается как:
где - объем конденсатора; E - напряженность поля конденсатора. Формула (5) связывает энергию конденсатора с зарядом на его обкладках и напряженностью поля.
Механическую (пондемоторную) силу, с которой пластины плоского конденсатора взаимодействуют между собой можно найти, если использовать формулу:
В выражении (6) минус показывает, что пластины конденсатора притягиваются друг к другу.
ПРИМЕР 1
| Задание | Чему равно расстояние между пластинами плоского конденсатора, если при разности потенциалов В, заряд на пластине конденсатора равен Кл? Площадь пластин , диэлектриком в нем является слюда (). |
| Решение | Емкость конденсатора вычисляется при помощи формулы:
Из этого выражения получим расстояние между пластинами:
Емкость любого конденсатора определяет формула:
где U - разность потенциалов между обкладками конденсатора. Подставим правую часть выражения (1.3) вместо емкости в формулу (1.2), имеем: Вычислим расстояние между обкладками (): |
| Ответ | м |
ПРИМЕР 2
| Задание | Разность потенциалов между пластинами плоского воздушного конденсатора равна В. Площадь пластин равна , расстояние между ними  м. Какова энергия конденсатора и чему она будет равна, если пластины раздвинуть до расстояния  м. Учтите, что источник напряжения при раздвижении пластин не отключают.
|
| Решение | Сделаем рисунок.
Энергию электрического поля конденсатора можно найти при помощи выражения:
Так как конденсатор плоский, то его электрическую емкость можно вычислить как:
|
