МОДИФИЦИРОВАННЫЙ СИМПЛЕКС МЕТОДСимплекс-метод – не самая эффективная
компьютерная процедура, так как она вычисляет и
хранит информацию, которая не нужна для текущей
итерации и может вообще не использоваться для
принятия решений при последующих итерациях. Для
коэффициентов неосновных переменных в уравнении
(0), коэффициентов введенных основных переменных
в других уравнениях и правых частях уравнений при
каждой итерации используется только релевантная
информация. Поэтому нужна процедура, которая
может получать эту информацию эффективно, без
вычислений и хранения всех других коэффициентов
(это и есть модифицированный симплекс-метод).

Он вычисляет и хранит только информацию,
необходимую на данный момент, а важные данные
передает в более компактной форме.
Он использует операции с матрицами, поэтому
необходимо описывать задачу используя матрицы.
ЗАГЛАВНЫЕ буквы, выделенные жирным шрифтом
представляют матрицы, прописные буквы,
выделенные жирным шрифтом представляют
векторы.
Курсив – это скалярные величины, выделенный ноль
(0) обозначает нулевой вектор (его элементы равны
нулю, как строки, так и столбцы), ноль (0)
представляет обычное число 0. С использованием
матриц стандартная форма модели линейного
программирования принимает форму:

Максимизировать Z = c x,
согласно
A x ≤ b and x ≥ 0,
где c вектор-строка
x, b, и 0 векторы-столбцы

A - матрица
Для дополненной формы, вектор-столбец
фиктивных переменных:
Ограничения:
I = (m × m единичная матрица)
0 = (n + m элементы нулевого вектора)

Нахождение базового допустимого решения
Общий подход симплекс-метода – получение
последовательности улучшающихся ОД решений до
тех пор, пока не будет найдено оптимальное
решение. Одна из ключевых особенностей
модифицированного симплекс-метода – то, как он
находит новое ОД решение после определения его
основных (базисных) и неосновных (небазисных)
переменных. Имея эти переменные, получающееся
основное решение – решение m уравнений
В котором n небазисных переменных из n + m
элементов
устанавливаются равными нулю.

Исключая эти n переменных приравниванием к нулю,
получаем систему уравнений m с m переменными
(основными (базисными) переменными):
где вектор базисных переменных:
получен исключением небазисных (неосновных)
переменных:

И базисная матрица
Полученная исключением столбцов, соответствующих
коэффициентам небазисных переменных из .
(В дополнение, элементы xB, и столбцы B в разном
порядке). Симплекс метод вводит только базисные
переменные, такие что B - невырожденная, так что
обратная матрица B-1 всегда будет существовать.
Чтобы решить B x B = b, обе стороны умножаются на B-1:
B-1 B x B = B-1 b.

cB – вектор, чьи элементы - коэффициенты
целевых функций (включая нули для фиктивных
переменных) для соответствующих элементов xB.
Целевая функция для этого базисного решения:

Пример:
- Итерация 0
so
so

10.

- Итерация 1
so
so

11.

- Итерация 2
so
so

12. Матричная форма для текущего множества уравнений

Матричная форма для множества уравнений,
появляющаяся в симплекс-таблице для любой итерации
исходного симплекс-метода. Для исходной системы
уравнений, матричная форма такая:
Алгебраические операции, выполняемые симплексметодом (умножить уравнение на константу и прибавить
произведение одного уравнения на другое) выражаются в
виде матрицы, предварительно умножив обе части
исходной системы уравнений на соответствующие
матрицы

13.

14.

Эта матрица будет иметь те же элементы, что и единичная
матрица, за исключением того, что каждое произведение
для определенной алгебраической операции займет
место, необходимое для выполнения этой операции,
используя перемножение матриц. Даже после серии
алгебраических операций в течение нескольких итераций,
мы все еще можем сделать вывод, что эта матрица
должна быть для всей серии, используя то, что мы знаем о
правой стороны новой системы уравнений. После любой
итерации, xB = B-1b и Z = cB B-1b, поэтому правые стороны
новой системы уравнений приняли вид

15.

Так как мы выполняем одни и те же серии
алгебраических операций с обеими сторонами
исходного множества, для умножения правой и
левой части, мы используем одну и ту же матрицу.
Следовательно,
Желаемая матричная форма системы уравнений
после любой итерации:

16.

Example: матричная форма, полученная после итерации 2
для задачи о стекольном заводе, используя B-1 и cB:

17.

Используя величины xB = B-1 b и Z = cB B-1 b:

18.

Только B-1 должна быть получена для вычисления
всех чисел симплекс-таблицы из исходных
параметров задачи (A, b, cB). Любое из этих чисел
может быть получено индивидуально, как
правило, выполняют только векторное умножение
(одна строка на один столбец) вместо полного
матричного умножения. Необходимые числа для
выполнения итераций симплекс-метода можно
получить по мере необходимости, не проводя
ненужные вычисления, чтобы получить все числа.

19. Краткий обзор модифицированного симплекс метода

1. Инициализация: Как в исходном симплекс методе.
2. Итерация: Шаг 1 Определить введенные базисные (основные)
переменные: Как в исходном симплекс методе.
Шаг 2 Определить уходящие базисные переменные: Как в исходном
симплекс методе, за исключением подсчета только необходимых для
этого чисел [коэффициенты введенных базисных переменных в
каждом уравнении за исключением Ур. (0), а затем, для каждого строго
положительного коэффициента, правая часть этого уравнения].
Шаг 3 Определить новое ОД решение: Получить B-1 и задать xB=B-1b.
3. Анализ на оптимальность: Как в исходном симплекс методе, за
исключением подсчета только необходимых для этого анализа чисел,
т.е., коэффициентов небазисных (неосновных) переменных в
Уравнении (0).
На шаге 3 итерации, B-1 можно получить каждый раз используя
стандартную компьютерную программу для обращения (инверсии)
матрицы. Так как B (затем B-1) мало изменяется от одной итерации к
другой, более эффективно получать новое B-1 (обозначаем B-1 new) из
B-1 на предыдущей итерации (B-1 old). (Для исходного ОД решения). Поясним вычисления a i , j ¢ с использованием “правила прямоугольника“. Необходимо взять разрешающий элемент a k , s и мысленно соединить его с тем коэффициентом, новое значение которого требуется найти. Эту прямую следует считать главной диагональю, на ней строится прямоугольник, сторонами которого являются строки и столбцы. В прямоугольнике нужно провести побочную диагональ, тогда значение нового коэффициента будет равно его исходному значению, из которого вычитается произведение элементов, стоящих на побочной диагонали, поделœенному на разрешающий элемент. Поясним эти действия на схеме (рис. 1.9). Прежде чем заполнить симплекс-таблицу исходные уравнения следует представить в виде (1.21).

	a k,j
			a i,j

Суть преобразований симплекс-метода рассмотрим на примере 1.4. Давайте вспомним ограничивающие неравенства и целœевую функцию из этого примера и найдем max целœевой функции, пользуясь вышеизложенным методом:

F = 908X 1 + 676X 2 ® max.

X 1 + X 2 14,

X 2 10,

10 X 1 + 8 X 2 120,

7X 1 + 5 X 2 70,

4X 1 + 2X 2 28,

.

Преобразуем ее в каноническую форму, вводя дополнительные переменные X j 0, и превратив неравенства в равенства. Следует обратить внимание, что если в неравенстве стоит знак "", то при свободной переменной пишут " - ", в противном случае - " + ":

X 1 + X 2 = 14 - X 3 ,

X 2 = 10 - X 4 ,

10 X 1 + 8 X 2 = 120 - X 5 ,

7X 1 + 5 X 2 = 70 - X 6 ,

4X 1 + 2X 2 = 28 - X 7 .

Чтобы приступить к процедуре симплекс-метода, нужно из множества базисных решений полученной системы уравнений сначала найти опорное. С учетом этого в решении задач симплекс-методом различают три этапа:

Нахождение первоначального базисного решения и формирование исходной симплекс-таблицы;

Определœение допустимого решения;

Определœение оптимального решения.

1-й этап

Первоначальное базисное решение систем находим, полагая свободными переменные X 1 и X 2 .

Тогда X 3 = 14 - X 1 - X 2 ,

X 4 = 10 - X 2 ,

X 5 =120 - 10X 1 - 8X 2 ,

X 6 = 70 - 10X 1 - 5X 2 ,

X 7 = 28 - 4X 1 - 2X 2 ,

F = 908X 1 + 676X 2 = 0 .

Преобразуем эти уравнения к нормальному виду:

X 3 = 14 - (X 1 + X 2),

X 4 = 10 - (0X 1 + X 2),

X 5 =120 - (10X 1 + 8X 2),

X 6 = 70 - (7X 1 + 5X 2),

X 7 = 10 - (4X 1 + 2X 2),

F = 0 + 908 X 1 + 676 X 2 .

Полученную систему уравнений запишем в виде исходной симплекс-таблицы (табл. 1.9). В табл. 1.9 нет отрицательных свободных членов. Следовательно, нами получено опорное (допустимое) решение, так как допустимым решением является любое неотрицательное решение (при котором > 0 ), но оно не является оптимальным.

Очевидно, что если бы при всœех неизвестных в целœевой функции F стояли положительные коэффициенты, то было бы достигнуто максимальное значение F . Отсюда вытекает признак оптимальности допустимого решения: в F - строке симплекс-таблицы не должно быть отрицательных коэффициентов.

Таблица 1.9

Базисные переменные X б	Свободный член	Свободные переменные
X 1	X 2
X 3
X 4
X 5
X 6
X 7
F		- 908	- 676

2-й этап

Напомним, что основная операция симплекс-метода состоит по сути в том, что некоторая базисная переменная замещается на свободную переменную . При этом операция замещения выполняется при соблюдении следующих условий:

Значение целœевой функции F в новом опорном (допустимом) решении должно быть больше, чем в предыдущем;

Новое решение системы должно быть также опорным (допустимым).

В нашем примере первое условие выполняется, в случае если разрешающий элемент положительный и выбран в столбце отрицательного коэффициента F -строки.

Второе условие выполняется, в случае если разрешающий элемент находится как минимальное положительное отношение элементов столбца свободных членов к соответствующим элементам разрешающего столбца.

По выше изложенному правилу для нахождения допустимого решения меняют местами базисные и свободные переменные. Для этого находят разрешающий элемент (в табл. 1.9 он взят в рамку). В нашем случае разрешающим должна быть как столбец X 1 , так и X 2 . Деля свободные переменные на соответствующие значения X 1 иX 2 (кроме строки F ), находим наименьшее положительное значение. Важно заметить, что для столбца X 1 :

Важно заметить, что для столбца X 2 :

Наименьшее отношение 28/4 определяет разрешающую строку и разрешающий столбец, а пересечение разрешающего столбца и разрешающей строки - разрешающий элемент a ks = 4. В табл. 1.9 разрешающий столбец и разрешающую строку отмечаем стрелками (®). Определивa ks , строят следующую таблицу, в которой меняют местами переменные, входящие в строку и столбец разрешающего элемента͵ ᴛ.ᴇ. переводят базисные переменные в свободные, а свободные - в базисные.

В нашем примере меняем местами переменные Х 7 и Х 1 , отмеченные в табл. 1.9 стрелками. Коэффициенты новой табл. 1.10 находят по коэффициентам старой табл. 1.9, используя выражения, приведенные в табл. 1.8 и “правило прямоугольника”. В табл. 1.10 снова не имеем оптимального решения.

Таблица 1.10

Базисные переменные Х б

Свободный член В

Свободные переменные

X 7

X 2

Х 3

- 1/4

1/2

Х 4

Х 5

-5/2

Х 6

-7/4

3/2

Х 1

1/4

1/2

F

-222

По вышеописанным правилам в табл. 1.10 находим разрешающий элемент 1 и строим новую табл. 1.11 сделав замещение базиса (Х 4 и Х 2 ). Особо подчеркнем, что для нахождения разрешающего элемента мы должны выбирать наименьшее положительное значение, ᴛ.ᴇ. отрицательные отношения свободных членов к коэффициентам разрешающего столбца мы не рассматриваем.

3-й этап

Проверим, является ли найденное решение оптимальным, а для нашего примера - максимальным. Для этого сделаем анализ целœевой функции F : F = 8576 + 227 X 7 + 222 X 4 .

Целœевая функция не содержит отрицательных коэффициентов и имеет наибольшее значение в последней таблице, нами получено оптимальное решение:

X 3 = 2; X 2 = 10; X 5 = 20; X 6 = 6; X 1 = 2; X 7 = X 4 = 0;

F max = 8576.

Обратите внимание, что результаты решения симплекс методом и графическим совпадают.

В соответствии с рассмотренной последовательностью, алгоритм симплекс-метода должен иметь следующие блоки:

1. Нахождения первоначального базисного (опорного) решения и формирование исходной таблицы.

2. Отыскание разрешающего элемента a ks (нахождение отрицательного свободного члена - b i < 0 и минимального отношенияb i / a ij ; если в строке отрицательного свободного члена нет отрицательных коэффициентов, то задача неразрешима).

3. Перерасчет новой таблицы по формулам табл. 1.8.

4. Проверка наличия отрицательного свободного члена. В случае если он есть, то переходим к п. 2. Отсутствие отрицательного свободного члена означает, что получено опорное (допустимое) решение.

5. Аналогично п. 2 - 4 выполняется перерасчет таблицы при поиске оптимального решения.

Решение задачи ЛП симплекс-методом в матричной форме

Требуется минимизировать ,

при ограничениях

при "x ³ 0.

Введем векторы:

C = (C 1 , ... , C n) - вектор оценок,

X = (X 1 , ... , X n) - вектор переменных,

b = (B 1 , ... , B m) - вектор ограничений

и матрицу

A =

размером (mn) - матрицу коэффициентов ограничений.

Тогда задача ЛП будет иметь следующую трактовку:

минимизировать F=CX

при условиях AX = b, X 0.

Эту задачу можно записать в матричной форме:

Введем обозначение:

А * = - здесь матрица A * размером (m+1)(n+1).

Согласно выше приведенной методике находят разрешающий элемент a ks .

Следующий шаг симплекс-метода - процедура исключения Гаусса, которая позволяет сделать всœе коэффициенты в s - м столбце, кроме a ks , нулевыми, a ks - равным единице.

Важно заметить, что для симплекс-метода в матричной форме итерация симплекс-метода эквивалентна умножению матричного уравнения слева на следующую квадратную матрицу:

(1.23)

, гдеk 0; s 0.

В случае если всœе столбцы матрицы A разделить на базисные B и небазисные N, то задачу ЛП можно записать так:

,

где C b и C N - соответствующие компоненты вектора C, X b , X N - базисные и небазисные переменные.

Для выбора начальных базисных переменных x b следует умножить уравнение слева на матрицу:

где R= C b B -1 .

В результате получим

,

гдеI - единичная матрица.

Отсюда следует, что относительные оценки при небазисных переменных

c j = c j - C b B -1 a j = c j - Ra j .

Базис будет допустимым, в случае если свободные члены при базисных переменных будут неотрицательными, ᴛ.ᴇ. B -1 b ³ 0.

В случае если c j ³ 0 для , то базис является оптимальным решением задачи. Вектор называют вектором текущих цен. Каждая строка умножается на вектор R и вычитается из строки коэффициентов стоимости, для того чтобы исключить коэффициенты стоимости при базисных переменных.

В случае если задача ЛП задана не в канонической форме, ᴛ.ᴇ.

минимизировать F=CX

при условиях AX b , X 0,

то, вводя слабые переменные, их можно записать в виде

Метод исключения по строкам для матрицы эквивалентен умножению этой матрицы слева на B -1 , где B - базис подматрицы A , тогда

,

ᴛ.ᴇ. матрица, получаемая на месте единичной I , будет матрицей, обратной для текущего базиса. Относительные оценки, расположенные над единичной матрицей, будут

,

поскольку - единичные векторы.

Так как F= C b B -1 b = Rb, текущее значение целœевой функции равно произведению вектора текущих цен матрицы A на исходный вектор b .

Пример.
Размещено на реф.рф
F= 5X 1 + 6X 2 + 3X 3 + 4X 4 + 5X 5 ® min

при ограничениях

2X 1 + 3X 3 + 4X 4 + 2X 5 = 10,

3X 2 + 3X 4 + 6X 5 = 9,

.

Для данного примера матрицаA * будет иметь вид

.

Пусть X 1 и X 2 - базисные переменные.

Матрица B имеет вид

.

Тогда обратная матрица B -1 имеет следующий вид

.

Напомним, что , где присоединœенная матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов b ik определителя матрицы B .

Определитель равен:

= .

Следовательно, матрица B неособенная.

Алгебраические дополнения элементов определителя имеют следующие значения:

b 11 = 3, b 12 = 0, b 12 = 0, b 22 = 2 ; т.е. .

Умножив на , находим обратную матрицу:

.

Вектор текущих цен будет

R = C b B -1 = = .

Напомним, что C b - базисные компоненты вектора C :

Тогда = .

Для выбора начального базиса нужно матрицу A * умножить слева на матрицу

=

.

Разрешающий элемент находится в квадрате.

Итерация симплекс-метода эквивалентна полученной таблице, умноженной слева на следующую матрицу:

.

Эта матрица получена из матрицы (1.23)

Здесь a ks = 2 ;

a 11 = 1; a 12 = - a 0s / a ks = - 12/2 = - 6;

a 13 = 0 ; a 21 = 0 ; a 22 = 1/ a ks = 1/2 ; a 23 = 0;

a 31 = 0 ; a 32 = - a ms / a ks = -1/2 ; a 33 = 1.

Тогда имеем

=

(1.24)

Разрешающий элемент помещен в квадрат.

Следующая итерация симплекс-метода равносильна умножению слева на матрицу

.

=

.

Следовательно, F min =11; X 4 =7/3; X 5 =1/3; X 1 =X 2 =X 3 =0.

Модифицированный симплекс-метод(МСМ ) отличается от обычного симплекс-метода(СМ ) тем, что в СМ всœе элементы симплекс-таблиц пересчитываются на каждой итерации и при получении очередной таблицы, всœе предыдущие таблицы, включая исходную, не сохраняются. В МСМ сохраняется исходная таблица, а на каждой итерации определяются: строка относительных оценок C , вводимых в базис , и текущее значение вектора правых частей ограничений . Для того чтобы определить всœе элементы таблицы после j- й итерации СМ , достаточно знать матрицу B -1 , соответствующую этой таблице, исходную матрицу и индексы текущих базисных переменных. Тогда текущий вектор R = C b B -1 (индексы текущих базисных переменных определяют, какие элементы вектора оценок из исходной таблицы входят в вектор С b ); =B -1 b , где b берется из исходной таблицы, а любой столбец новой таблицы=B -1 a j , гдеa j - столбец исходной таблицы.

Пусть задана теперь исходная таблица B -1 , соответствующая таблице i -й итерации. Для того чтобы получить матрицуB -1 , соответствующую (i+1)- й итерации, нужно определить небазисный столбец i -й таблицы , который должен быть введен в базис. ИзСМ следует, что должна быть введен в базис, в случае если C j <0. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, крайне важно вычислить С j для i -ой таблицы, выбрать среди них <0, а затем вычислить

a S = B -1 и =B -1 b (= C j - Ra j ).

Найдя разрешающий элемент и используя элементы векторов и , находим матрицу B -1 для следующей таблицы.

Пример. Модифицированным симплекс-методом минимизировать

F = 5X 1 + 6X 2 + 3X 3 + 4X 4 + 5X 5 ® min

при ограничениях:

2X 1 + 3X 3 + 4X 4 + 2X 5 = 10,

3X 2 + 3X 4 + 6X 5 = 9,

Выбрав в качестве базисных переменных X 1 и Х 2 , получили следующую задачу: F = 43 - 9/2X 3 - 12X 4 - 12X 5

Для решения задач линейного программирования существует множество методов. Рассмотрим один из них улучшенный (модифицированный) симплекс-метод

Для начала расскажем, что такое симплекс-метод. Слово SIMPLEX в обычном смысле означает простой, несоставной, в противоположность слову COMPLEX.

Данный метод получил несколько различных форм (модификаций) и был разработан в 1947 году Г. Данцигом.

Сущность симплекс-метода заключается в том, что если число неизвестных больше числа уравнений, то данная система неопределенная с бесчисленным множеством решений. Для решения системы все неизвестные произвольно подразделяют на базисные и свободные. Число базисных переменных определяется числом линейно-независимых уравнений. Остальные неизвестные свободные. Им придают произвольные значения и подставляют в систему. Любому набору свободных неизвестных можно придать бесчисленное множество произвольных значений, которые дадут бесчисленное множество решений. Если все свободные неизвестные приравнять к нулю, то решение будет состоять из значений базисных неизвестных. Такое решение называется базисным.

В теории линейного программирования существует теорема, которая утверждает, что среди базисных решений системы можно найти оптимальное, а в некоторых случаях и несколько оптимальных решений, но все они обеспечат экстремум целевой функции. Таким образом, если найти какой-либо базисный план, а затем улучшить его, то получится оптимальное решение. На этом принципе и построен симплекс-метод.

Одним из модификаций симплекс-метода является улучшенный симплекс-метод. В литературе этот метод встречается также под названием метода обратной матрицы или модифицированного симплекс-метода.

При решении задач линейного программирования, в которых n (количество переменных) существенно больше m (количество ограничений), улучшенный симплекс-метод требует по сравнению с другими значительно меньшего количества вычислительных операций и объема памяти ЭВМ.

В улучшенном симплекс-методе реализуется та же основная идея, что и в обычном симплекс-методе, но здесь на каждой итерации пересчитывается не вся матрица A -1 , обратная матрице ограничений A, а лишь та часть, которая относится к текущему базису A x .

Рассмотрим поэтапно шаги решения задачи линейного программирования улучшенным симплекс-методом:

• 1. В начале первого цикла нам известны обратная матрица (единичная матрица), базисное решение x b = b.
• 2. Образуем для каждой небазисной переменной характеристическую разность j , используя уравнение:

j = c j -- = c j -- P j , (2)

где - двойственные переменные, которые можно найти следующим образом:

где c x - вектор коэффициентов целевой функции при базисных переменных.

3. Предполагая, что используется стандартное правило выбора вводимого столбца, находим:

• 4. Если s 0 - процедура останавливается. Текущее базисное решение является оптимальным.
• 5. Если s 0, вычисляем преобразованный столбец:

= (, ...,) . (2.4)

Если все 0 - процедура останавливается: оптимум неограничен.

7. В противном случае находим выводимую из базиса переменную:

8. Строим увеличенную матрицу:

и трансформируем ее с ведущим элементом. Первые m столбцов дают матрицу, обратную новому базису.

9. Преобразуем базисное решение:

x b i x b i -- * , i r, (2.7)

и переходим к этапу 2.

Этот вариант называют также модифицированным симплекс-методом, поскольку он уменьшает объем вычислений на каждом шаге. Идея заключается в том, что на каждом шаге каноническую форму задачи для текущего базиса можно получить независимо от других таких форм непосредственно из исходной записи стандартной задачи ЛП.

Для этого нужно:

• 1. Сохранять исходную запись задачи на протяжении всей работы метода, это та цена, которую приходится платить за больше быстродействие;
• 2. Использовать так называемые симплекс - множители р - коэффициенты для непосредственного перехода от исходной записи задачи к ее текущей канонической форме базиса;
• 3. Использовать обращенный базис ВО№ - матрицу размера m x m, позволяющую вычислять на каждом шаге ведущий столбец aґs и обновлять симплекс - множители р.

Улучшенный симплекс-метод, обладает значительными преимуществами по сравнению со стандартной формой. Это относится к точности, скорости и требованиям к памяти. Большая часть этих преимуществ определяется тем фактором, что, как правило, матрицы больших линейных задач (то есть с n>m>100) являются слабо заполненными, содержат малый процент ненулевых элементов.

Обычной является плотность 5% или менее. Улучшенная форма симплекс-метода в большей степени способна использовать преимущества, вытекающие из этого факта. В этой форме характеристические разности и ведущий вектор вычисляются непосредственно по исходным данным. Поскольку исходная матрица слабо заполнена, а перемножение следует производить только тогда, когда оба сомножителя отличны от нуля, то время вычислений значительно сокращается.

В дополнение к этому использование только исходных данных приводит к тому, что уменьшается возможность накопления ошибок округления. Наоборот, стандартные симплексные таблицы, даже если они первоначально являются слабо заполненными, в ходе итеративного процесса быстро заполняются ненулевыми элементами. Таким образом, время вычислений увеличивается, и, поскольку каждая таблица вычисляется из предшествующей, накопление ошибок может начать играть более серьезную роль.

Модифицированный симплекс-метод

В модифицированном методе матрица

не пересчитывается, хранится и пересчитывается только матрица. В остальном алгоритм похож на вышеописанный.

1. Вычисляем двойственные переменные

2. Проверка оптимальности. преобразуется в.

Проверка заключается в вычислении для всех столбцов. Столбец со значением < 0 можно вводить в базис.

Часто выбирают минимальное значение, но для этого нужно перебрать все столбцы.

Чаще выбирают значение, меньшее некоторого заданного значения

Если такого столбца не обнаружится, за принимается максимальное найденное абсолютное значение и соответствующий столбец вводится в базис.

3. Определение выводимого.

Пусть - вводимый столбец, соответствующий переменной Базиный план - это решение системы Увеличиваем.

Умножим слева на, т.е.

Здесь - базисный план, - разложение вводимого столбца по базису.

Находим максимальное значение, при котором все значения не отрицательны. Если может быть взято как угодно велико, решение не ограничено. В противном случае один из элементов выйдет на нулевое значение. Выводим соответствующий столбец из базиса.

4. Пересчет опорного(базисного) плана.

Вычисляем новый опорный план по уже приведенной формуле с найденным значением.

5. Пересчитываем обратную к базисной.

Пусть - выводимый столбец.

Матрица B представима в виде

где - базисная матрица без выводимого столбца.

После замены столбца базисная матрица будет иметь вид

Нам нужно найти матрицу, такую что

Замечание.

При пересчете матрицы накапливаются ошибки округления. Во избежание получения больших ошибок время от времени матрица пересчитывается полностью. Этот процесс называется «повторением».

Мультипликативный вариант симплекс-метода

В мультипликативном варианте матрица не хранится, хранятся лишь множители

При решении экономических задач часто матрица ограничений разреженная, в таком случае мультипликативный вариант получает дополнительные преимущества - можно хранить мультипликаторы в сжатом виде (не хранить нули).

Другие варианты симплекс-метода

Во избежание накопления ошибок округления может использоваться LU-разложение матрицы.

При подавляющем числе ограничений типа «неравенство» может быть использован метод переменного базиса .

Метод основан на том, что базисная матрица может быть представлена в виде

Обратная к ней имеет вид

При относительно небольших размерах матрицы остальная часть матрицы может не храниться.

Таким подходом удается решить задачи с десятками миллионов строк ограничений (например, из теории игр).

Двойственный симплекс-метод

Для реализации двойственного метода необходимо перейти от задачи на минимум к задаче на максимум (или наоборот) путем транспонирования матрицы коэффициентов. При переходе от задачи на минимум целевая функция примет вид:

при ограничениях

Теорема двойственности . Если из пары двойственных задач одна обладает оптимальным планом, то и другая имеет решение, причем экстремальные значения линейных функций этих задач равны.

Если линейная функция одной из задач не ограничена, то другая не имеет решения.

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Пермский государственный технический университет

Лысьвенский филиал

Кафедра ЕН

Курсовая работа

по дисциплине «Системный анализ и исследование операций»

по теме: «Симплекс метод в форме презентации»

Выполнил студент группы ВИВТ-06-1:

Старцева Н. С.

Проверил преподаватель:

Мухаметьянов И.Т.

Лысьва 2010г.

Введение. 3

Математическое программирование. 5

Графический метод. 6

Табличный симплекс – метод. 6

Метод искусственного базиса. 7

Модифицированный симплекс – метод. 7

Двойственный симплекс – метод. 7

Общий вид задачи линейного программирования. 9

Решение задачи линейного программирования симплекс-методом. 11

Вычислительные процедуры симплекс – метода. 11

Теорема 1: 13

Теорема 2: 14

Теорема 3: 15

Теорема 4: 15

Теорема 5: 15

Переход к новому опорному плану. 15

Двойственная задача. 17

Теорема 1 (первая теорема двойственности) 18

Теорема 2(вторая теорема двойственности) 18

Заключение. 20

Оптимальное решение задачи линейного программирования находиться среди опорных решений. Идея симплекс метода состоит в том, что определенному правилу перебираются опорные решения до нахождения оптимального среди них, перебирая опорные решения, по существу, мы перебираем различные базисные переменные, то есть на очередном шаге некоторая переменная переводится из числа базисных, а вместо нее некоторая переменная из числа свободных в число базисных.

7x 1 +5x 2 →max

x 3 =19-2x 1 -3x 2 (0;0;19;13;15;18)

x 4 =13-2x 1 -x 2 первоначальный опорный план

x 6 =18-3x 1 F(x 1 , x 2)=7*0+5*0=0

x i ≥0, (i=1,…n)

На интуитивном уровне понятно, что естественным будет увеличение x 1 , так как коэффициент при нем больше чем при x 2 . Оставляя x 2 =0, мы можем увеличивать до тех пор, пока x 3 , x 4 , x 5 , x 6 будут оставаться неотрицательными.

x 1 =min{19/2;13/2;∞;18/3}=6

Это означает что при x 1 =6, x 6 =0, то есть x 1 -переходит в число базисных, а x 6 -в число свободных.

x 3 =19-2(6-1/3 x 6)-3 x 2 =19-12+2/3 x 6 -3 x 2 =7+2/3 x 6 -3 x 2

x 4 =13-2(6-1/3 x 6)- x 2 =1+2/3 x 6 - x 2

F(x 2 ; x 6) =42-7/3 x 6 +5 x 2

При данном опорном плане (6;0;7;1;15;0) x 2 переводиться из свободных в базисные переменные:

x 2 =min{∞;7/3;1/11;15/3}=1

Выражаем x 2 через x 4

x 2 =1+2/3 x 6 - x 4

Выражаем неизвестные переменные и целевую функцию через свободные переменные:

x 3 =7+2/3 x 6 -3(1+2/3x 6 –x 4)= 7+2/3 x 6 -3-2x 6 +3x 4 =4-4/3x 6 +3 x 4

x 5 = 12-2x 6 +3x 4 -

F=42-7/3 x 6 +5(1+2/3x 2 - x 4) =47-7/3x 6 +10/3x 6 -5x 4 =47+x 6 -5x 4

x 6 положительное, следовательно можно увеличивать

x 6 =min{18;∞;3;6}=1

x 4 =4/3-4/9 x 6 - 1/3x 3

F=47+x 6 -5(4/3-4/9-1/3x 3)

В целевой функции все коэффициенты при переменных отрицательны, значение функции увеличивать нельзя, аналогично преобразовываем остальные переменные, находим опорный план, из которого определяем x 1 ,x 2 .

1. Пересечение замкнутых множеств, множество нетривиальных ограничений.

2. Множество решений системы линейных нестрогих неравенств и уравнений является замкнутым.

αX=(αx 1 ,x 2 ,…, αx n)

X+Y=(x 1 +y 1 , x 2 +y 2 ,… x n +y n)

Линейные координаты X 1 ,X 2 ,…X n называется точка P=λ 1 x 1 + λ 2 x 2 +…+ λ k x k

Множество P={λ 1 x 1 + λ 2 x 2 +…+ λ k x k } 0≤ h i ≤1 для i= 1,…k n åR i =1, 1≤ i ≤k выпуклая линейная комбинация точек x 1 ,x 2 ,…x n . Если k=2, то это множество называется отрезком. X 1 ,X 2 – концы отрезка. Угловой точкой замкнутого множества называется точка, которая не является нетривиальной линейной комбинацией точек множества (угловая точка).

Нетривиальность означает, что хотя бы одна из λ отлична от 0 или 1.

Любое опорное решение задачи линейного программирования является угловой точкой области допустимых решений.

Если задача линейного программирования имеет единственное решение, то оно лежит среди угловых точек ОДР. А если решение не одно, то среди решений имеется несколько угловых, таких что множество всех решений является их выпуклой линейной комбинацией.

Симплекс метод заключается в том, что сначала находится некоторое опорное решение задачи (первоначальный опорный план), а затем, целенаправленно переходя от одного опорного плана к другому, ищется оптимальный план. Если таковых несколько, то находятся все угловые, а множество решений представляется как их линейная комбинация.

Переход к новому опорному плану

F 1 =F(x 1); F 2 =F(x 2) F 2 -F 1 =-υ k Δ k =F 2 можно доказать, где υ k рассмотренный выше минимум, который определяется при введении k-ой переменной в базис, а Δ k =åс j x j (1) -С k , где n ≤ j ≤1, X 1 =(x 1 (1) ;x 2 (1) ;…x n (1))- оценка k-ой переменной, поэтому если решается задача на максимум, то величина ΔF 2 положительной должна быть, Δk – отрицательная. При решении задач на минимум ΔF 2 -отрицательная, Δ k - положительная. Эти величины вычисляются и если среди ΔF 2 все значения не положительны, то при решении задач на минимум наоборот. Если при решении на максимум среди ΔF 2 несколько положительных, то вводим в базис тот вектор, при котором эта величина достигает максимум, а если задача решается на минимум и среди ΔF 2 несколько отрицательных, то в число базисных включается вектор с наименьшим значением ΔF 2 , то есть с наибольшим по абсолютной величине. При выполнении этих условий гарантируется наибольшее возможное изменении значения функции.

Решение задачи будет единственным, если для любых векторов x k не входящих в базис, оценки Δ k ≠0, если хотя бы одно из таких Δ k =0, то решение не является единственным, для нахождения другого решения переходим к другому опорному плану, включая в базис x k , где Δ k =0. Перебор все такие опорные решений составляют их в линейную комбинацию, которая и будет решением задачи.

Если для любого некоторого Δ k противоречащих условию оптимальности коэффициенты при переменной x k ≤ 0, то система ограничений не ограничена, то есть оптимального плана не существует.

Двойственная задача

Двойственная задача (ДЗ) – это вспомогательная задача линейного программирования, формулируемая с помощью определённых правил непосредственно из условий прямой задачи. Заинтересованность в определении оптимального решения прямой задачи путём решения двойственной к ней задачи обусловлена тем, что вычисления при решении ДЗ могут оказаться менее сложными, чем при прямой задачи (ПЗ). Трудоёмкость вычислений при решении ЗЛП в большей степени зависит от числа ограничений, а не от количества переменных. Для перехода к ДЗ необходимо, чтобы ПЗ была записана в стандартной канонической форме. При представлении ПЗ в стандартной форме в состав переменных x j включаются также избыточные и остаточные переменные.

Двойственная задача имеет:

1. m переменных, соответствующих числу ограничений прямой задачи;

2. n ограничений, соответствующих числу переменных прямой задачи.

Двойственная задача получается путём симметричного структурного преобразования условий прямой задачи по следующим правилам:

· Каждому ограничению b i ПЗ соответствует переменная y i ДЗ;

· Каждой переменной x j ПЗ соответствует ограничение C j ДЗ;

· Коэффициенты при x j в ограничениях ПЗ становятся коэффициентами левой части соответствующего ограничения ДЗ;

· Коэффициенты C j при x j в целевой функции ПЗ становятся постоянными правой части ограничения ДЗ;

· Постоянные ограничений b i ПЗ становятся коэффициентами целевой функции ДЗ.

Рассмотрим следующие две задачи:

F = С 1 х 1 +С 2 х 2 +... +С n x n →max

(5)

a 11 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 1m x n ≤ b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2m x n ≤b 2

a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n ≤b m

x j ≥0 j=1,…,n

Z = b 1 х 1 +b 2 х 2 +... +b n x n →min

(6)

a 11 y 1 + a 21 y 2 + ... + a m1 y 1 ≤ C 1

a 12 y 1 + a 22 y 2 + ... + a m 2 y 2 ≤C 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a 1 n y n + a 2 m y n + ... + a nm y n ≤C n

В данной курсовой работе были заложены основы математических методов решения задач линейного программирования. Поэтому большее внимание уделялась следующим разделам:

1. Основы математических методов и их применение;

2. Решение задач с помощью симплекс – метода.