Преимущество использования кодов Рида-Соломона заключается в том, что вероятность сохранения ошибок в декодированных данных обычно много меньше, чем вероятность ошибок, если коды Рида-Соломона не используются. Это часто называется выигрышем кодирования.
Пример . Пусть имеется цифровая телекоммуникационная система, работающая с BER (Bit Error Ratio ), равной 10 -9 , т.е. не более 1 из 10 9 бит передается с ошибкой. Такого результата можно достичь путем увеличения мощности передатчика или применением кодов Рида-Соломона (либо другого типа коррекции ошибок). Алгоритм Рида-Соломона позволяет системе достичь требуемого уровня BER с более низкой выходной мощностью передатчика.
Кодирование и декодирование Рида-Соломона может быть выполнено аппаратно или программно.
Коды Рида-Соломона базируются на специальном разделе математики – полях Галуа (GF) или конечных полях. Арифметические действия (+,-, x, / и т.д.) над элементами конечного поля дают результат, который также является элементом этого поля. Кодировщик или декодер РидаСоломона должны уметь выполнять эти арифметические операции. Эти операции для своей реализации требуют специального оборудования или специализированного программного обеспечения.
Кодовое слово Рида-Соломона формируется с привлечением специального полинома. Все корректные кодовые слова должны делиться без остатка на эти образующие полиномы . Общая форма образующего полинома имеет вид
g(x) = (x – a i)(x – a i+1)...(x – a i+2t)
а кодовое слово формируется с помощью операции
c(x) = g(x).i(x)
где g(x) является образующим полиномом , i(x) представляет собой информационный блок, c(x) – кодовое слово, называемое простым элементом поля.
Пример . Генератор для RS(255, 249)
g(x)= (x – a 0)(x – a 1)(x – a 2)(x – a 3)(x – a 4)(x – a 5) g(x)= x 6 + g 5 x 5 + g 3 x 3 + g 2 x 2 + g 1 x 1 + g 0
2t символов четности в кодовом слове Рида-Соломона определяются из следующего соотношения:
Ниже показана схема реализации кодировщика для версии RS(255,249) :
Каждый из 6 регистров содержит в себе символ (8 бит). Арифметические операторы выполняют сложение или умножение на символ как на элемент конечного поля.
Общая схема декодирования кодов Рида-Соломона показана ниже на рис. 4.7 .
Обозначения:
Полученное кодовое слово r(x) представляет собой исходное (переданное) кодовое слово c(x) плюс ошибки:
r(x) = c(x) + e(x)
Декодер Рида-Соломона пытается определить позицию и значение ошибки для t ошибок (или 2t потерь) и исправить ошибки и потери.
Вычисление синдрома похоже на вычисление четности . Кодовое слово Рида-Соломона имеет 2t синдромов , это зависит только от ошибок (а не передаваемых кодовых слов). Синдромы могут быть вычислены путем подстановки 2t корней образующего полинома g(x) в r(x) .
Это делается путем решения системы уравнений с t неизвестными. Существует несколько быстрых алгоритмов для решения этой задачи. Эти алгоритмы используют особенности структуры матрицы кодов РидаСоломона и сильно сокращают необходимую вычислительную мощность. Делается это в два этапа.
1. Определение полинома локации ошибок.
Это может быть сделано с помощью алгоритма Berlekamp-Massey или алгоритма Эвклида. Алгоритм Эвклида используется чаще на практике, так как его легче реализовать, однако алгоритм Berlekamp-Massey позволяет получить более эффективную реализацию оборудования и программ.
2. Нахождение корней этого полинома. Это делается с привлечением алгоритма поиска Chien.
Здесь также нужно решить систему уравнений с t неизвестными. Для решения используется быстрый алгоритм Forney.
Существует несколько коммерческих аппаратных реализаций. Имеется много разработанных интегральных схем, предназначенных для кодирования и декодирования кодов Рида-Соломона. Эти ИС допускают определенный уровень программирования (например RS(255, k) , где t может принимать значения от 1 до 16).
До недавнего времени программные реализации в "реальном времени" требовали слишком большой вычислительной мощности практически для всех кодов Рида-Соломона. Главной трудностью в программной реализации кодов Рида-Соломона являлось то, что процессоры общего назначения не поддерживают арифметические операции для поля Галуа. Однако оптимальное составление программ в сочетании с возросшей вычислительной мощностью позволяют получить вполне приемлемые результаты для относительно высоких скоростей передачи данных.
Благодаря кодам Рида-Соломона можно прочитать компакт-диск с множеством царапин, либо передать информацию в условиях связи с большим количеством помех. В среднем для компакт-диска избыточность кода (т.е. количество дополнительных символов, благодаря которым информацию можно восстанавливать) составляет примерно 25%. Восстановить при этом можно количество данных, равное половине избыточных. Если емкость диска 700 Мб, то, получается, теоретически можно восстановить до 87,5 Мб из 700. При этом нам не обязательно знать, какой именно символ передан с ошибкой. Также стоит отметить, что вместе с кодированием используется перемежевание, когда байты разных блоков перемешиваются в определенном порядке, что в результате позволяет читать диски с обширными повреждениями, локализированными близко друг к другу (например, глубокие царапины), так как после операции, обратной перемежеванию, обширное повреждение оборачивается единичными ошибками во множестве блоков кода, которые поддаются восстановлению.
Давайте возьмем простой пример и попробуем пройти весь путь – от кодирования до получения исходных данных на приемнике. Пусть нам нужно передать кодовое слово С, состоящее из двух чисел – 3 и 1 именно в такой последовательности, т.е. нам нужно передать вектор С=(3,1). Допустим, мы хотим исправить максимум две ошибки, не зная точно, где они могут появиться. Для этого нужно взять 2*2=4 избыточных символа. Запишем их нулями в нашем слове, т.е. С теперь равно (3,1,0,0,0,0). Далее необходимо немного разобраться с математическими особенностями.
Мы передаем слово с(4,1,0,2,5,6).
Запишем вектор ошибки F (последние 4 символа - синдром, который мы постоянно используем, два знака вопроса - на местах информационных символов, это маска ошибки) и обозначим каждый символ буквой:
Символы полинома локатора ошибки Г(z) = x2 + 5x + 4 обозначим так:
Перемножение полинома Г на матрицу Тёплица в предыдущем параграфе было, по сути, операцией циклической свертки: если расписать линейные уравнения, которые получаются из матричного, можно увидеть, что значения, которые берутся из синдрома (значения матрицы Тёплица), от уравнения к уравнению просто меняются местами, двигаясь последовательно в определенную сторону, а это и называется сверткой. Я специально разместил полиномы F и Г друг над другом в начале этого абзаца, чтобы можно было делать свертки (перемножать поэлементно в определенном порядке), двигая полиномы визуально. Раскрывая матричное уравнение из предыдущего параграфа и используя обозначения для полиномов F и Г, введенные только что:
Г0*F4 + Г1*F3 + Г2*F2 = 0
Г0*F5 + Г1*F4 + Г2*F3 = 0
Ранее свертка производилась только для синдрома, в методе Форни нужно сделать свертки для F0 и F1, а после найти их значения:
Г0*F3 + Г1*F2 + Г2*F1 = 0
Г0*F2 + Г1*F1 + Г2*F0 = 0
F0 = -Г0*F3 – Г1*F2 = 0
F1 = -Г0*F2 – Г1*F1 = 6
То есть F = (6,0,2,1,0,5). Проводим IDFT, так как ошибка суммировалась со словом, которое было в кодированном IDFT виде: f = (0,0,0,2,0,6).
Вычитаем ошибку f из полученного кодового слова cf: (4,1,0,4,5,5) - (0,0,0,2,0,6) = с(4,1,0,2,5,6)
Сделаем DFT для этого слова: с(4,1,0,2,5,6) => С=(3,1,0,0,0,0). А вот и наши символы 3 и 1, которые нужно было передать.
Также много устройств используют готовые таблицы ошибок, рассчитанные заранее. В условиях использования арифметики Галуа получается конечное количество возможных ошибок. Это свойство и используется для уменьшения количества расчетов. Здесь в случае, если синдром получается ненулевой, он просто сравнивается с таблицей возможных ошибочных синдромов.
Курс теории кодирования для многих часто является одним из самых сложных. Буду рад, если данная статья кому-нибудь поможет разобраться в данной теме быстрее.
Код Рида - Соломона был изобретён в 1960 году сотрудниками лаборатории Линкольна Ирвином Ридом (англ.) и Густавом Соломоном (англ.). Идея использования этого кода была представлена в статье «Polynomial Codes over Certain Finite Fields». Первое применение код Рида - Соломона получил в 1982 году в серийном выпуске компакт-дисков. Эффективный алгоритм декодирования был предложен в 1969 году Элвином Берлекэмпом (англ.) и Джэймсом Месси (алгоритм Берлекэмпа - Мэсси).
Коды Рида - Соломона являются важным частным случаем БЧХ-кода , корни порождающего полинома которого лежат в том же поле , над каким и строится код (m = 1 ). Пусть α - элемент поля порядка . Если α - примитивный элемент, то его порядок равен q − 1 , то есть . Тогда нормированный полином g (x ) минимальной степени над полем , корнями которого являются d − 1 подряд идущих степеней элемента α , является порождающим полиномом кода Рида - Соломона над полем :
где l 0 - некоторое целое число (в том числе 0 и 1), с помощью которого иногда удается упростить кодер. Обычно полагается l 0 = 1 . Степень многочлена равна d − 1 .
Длина полученного кода n , минимальное расстояние d (минимальное расстояние d линейного кода является минимальным из всех расстояний Хемминга всех пар кодовых слов, см. Линейный код). Код содержит r = d − 1 = deg(g (x )) проверочных символов, где deg() обозначает степень полинома; число информационных символов k = n − r = n − d + 1 . Таким образом и код Рида - Соломона является разделимым кодом с максимальным расстоянием (является оптимальным в смысле границы Синглтона).
Кодовый полином c (x ) может быть получен из информационного полинома m (x ) , , путем перемножения m (x ) и g (x ) :
c (x ) = m (x )g (x )
Код Рида - Соломона над , исправляющий t ошибок, требует 2t проверочных символов и с его помощью исправляются произвольные пакеты ошибок длиной t и меньше. Согласно теореме о границе Рейгера, коды Рида - Соломона являются оптимальными с точки зрения соотношения длины пакета и возможности исправления ошибок - используя 2t дополнительных проверочных символов исправляются t ошибок (и менее).
Теорема (граница Рейгера) . Каждый линейный блоковый код, исправляющий все пакеты длиной t и менее, должен содержать, по меньшей мере, 2t проверочных символов.
Код Рида - Соломона является одним из наиболее мощных кодов, исправляющих многократные пакеты ошибок. Применяется в каналах, где пакеты ошибок могут образовываться столь часто, что их уже нельзя исправлять с помощью кодов, исправляющих одиночные ошибки.
(q m − 1,q m − 1 − 2t ) -код Рида - Соломона над полем с кодовым расстоянием d = 2t + 1 можно рассматривать как ((q m − 1)m ,(q m − 1 − 2t )m ) -код над полем , который может исправлять любую комбинацию ошибок, сосредоточенную в t или меньшем числе блоков из m символов. Наибольшее число блоков длины m , которые может затронуть пакет длины l i , где , не превосходит t i , поэтому код, который может исправить t блоков ошибок, всегда может исправить и любую комбинацию из p пакетов общей длины l , если .
Кодирование с помощью кода Рида - Соломона может быть реализовано двумя способами: систематическим и несистематическим (см. , описание кодировщика).
При несистематическом кодировании информационное слово умножается на некий неприводимый полином в поле Галуа. Полученное закодированное слово полностью отличается от исходного и для извлечения информационного слова нужно выполнить операцию декодирования и уже потом можно проверить данные на содержание ошибок. Такое кодирование требует большие затраты ресурсов только на извлечение информационных данных, при этом они могут быть без ошибок.
При систематическом кодировании к информационному блоку из k символов приписываются 2t проверочных символов, при вычислении каждого проверочного символа используются все k символов исходного блока. В этом случае нет затрат ресурсов при извлечении исходного блока, если информационное слово не содержит ошибок, но кодировщик/декодировщик должен выполнить k (n − k ) операций сложения и умножения для генерации проверочных символов. Кроме того, так как все операции проводятся в поле Галуа, то сами операции кодирования/декодирования требуют много ресурсов и времени. Быстрый алгоритм декодирования, основанный на быстром преобразовании Фурье, выполняется за время порядка O (l n (n 2)) .
При операции кодирования информационный полином умножается на порождающий многочлен. Умножение исходного слова S длины k на неприводимый полином при систематическом кодировании можно выполнить следующим образом:
Кодировщик строится из сдвиговых регистров, сумматоров и умножителей. Сдвиговый регистр состоит из ячеек памяти, в каждой из которых находится один элемент поля Галуа.
Вычисление синдрома ошибки выполняется синдромным декодером, который делит кодовое слово на порождающий многочлен. Если при делении возникает остаток, то в слове есть ошибка. Остаток от деления является синдромом ошибки.
Вычисленный синдром ошибки не указывает на положение ошибок. Степень полинома синдрома равна 2t , что много меньше степени кодового слова n . Для получения соответствия между ошибкой и ее положением в сообщении строится полином ошибок. Полином ошибок реализуется с помощью алгоритма Берлекэмпа - Месси , либо с помощью алгоритма Евклида. Алгоритм Евклида имеет простую реализацию, но требует больших затрат ресурсов. Поэтому чаще применяется более сложный, но менее затратоемкий алгоритм Берлекэмпа - Месси. Коэффициенты найденного полинома непосредственно соответствуют коэффициентам ошибочных символов в кодовом слове.
На этом этапе ищутся корни полинома ошибки, определяющие положение искаженных символов в кодовом слове. Реализуется с помощью процедуры Ченя, равносильной полному перебору. В полином ошибок последовательно подставляются все возможные значения, когда полином обращается в ноль - корни найдены.
По синдрому ошибки и найденным корням полинома с помощью алгоритма Форни определяется характер ошибки и строится маска искаженных символов. Эта маска накладывается на кодовое слово с помощью операции XOR и искаженные символы восстанавливаются. После этого отбрасываются проверочные символы и получается восстановленное информационное слово.
В настоящий момент коды Рида - Соломона имеют очень широкую область применения благодаря их способности находить и исправлять многократные пакеты ошибок.
Код Рида - Соломона используется при записи и чтении в контроллерах оперативной памяти, при архивировании данных, записи информации на жесткие диски (ECC), записи на CD/DVD диски. Даже если поврежден значительный объем информации, испорчено несколько секторов дискового носителя, то коды Рида - Соломона позволяют восстановить большую часть потерянной информации. Также используется при записи на такие носители, как магнитные ленты и штрихкоды.
Возможные ошибки при чтении с диска появляются уже на этапе производства диска, так как сделать идеальный диск при современных технологиях невозможно. Так же ошибки могут быть вызваны царапинами на поверхности диска, пылью и т. д. Поэтому при изготовлении читаемого компакт-диска используется система коррекции CIRC (Cross Interleaved Reed Solomon Code). Эта коррекция реализована во всех устройствах, позволяющих считывать данные с CD дисков, в виде чипа с прошивкой firmware. Нахождение и коррекция ошибок основана на избыточности и перемежении (redundancy & interleaving). Избыточность примерно 25 % от исходной информации.
При записи на цифровые аудиокомпакт-диски (Compact Disc Digital Audio - CD-DA) используется стандарт Red Book . Коррекция ошибок происходит на двух уровнях C1 и C2. При кодировании на первом этапе происходит добавление проверочных символов к исходным данным, на втором этапе информация снова кодируется. Кроме кодирования осуществляется также перемешивание (перемежение) байтов, чтобы при коррекции блоки ошибок распались на отдельные биты, которые легче исправляются. На первом уровне обнаруживаются и исправляются ошибочные блоки длиной один и два байта (один и два ошибочных символа соответственно). Ошибочные блоки длиной три байта обнаруживаются и передаются на следующий уровень. На втором уровне обнаруживаются и исправляются ошибочные блоки, возникшие в C2, длиной 1 и 2 байта. Обнаружение трех ошибочных символов является фатальной ошибкой и не может быть исправлено.
Этот алгоритм кодирования используется при передаче данных по сетям WiMAX , в оптических линиях связи , в спутниковой и радиорелейной связи . Метод прямой коррекции ошибок в проходящем трафике (Forward Error Correction, FEC) основывается на кодах Рида - Соломона.
Пусть t = 2,l 0 = 1 . Тогда
g (x ) = (x − α)(x − α 2)(x − α 3)(x − α 4) = x 4 + α 13 x 3 + α 6 x 2 + α 3 x + α 10
Степень g (x ) равна 4, n − k = 4 и k = 11 . Каждому элементу поля GF(16) можно сопоставить 4 бита. Информационный многочлен является последовательностью 11 символов из GF(16) , что эквивалентно 44 битам, а все кодовое слово является набором из 60 бит.
Пусть t = 2,l 0 = 4 . Тогда
g (x ) = (x − α 4)(x − α 5)(x − α 6)(x − α 0) = x 4 + α 6 x 3 + α 6 x 2 + α 3 x + α
Пусть информационный многочлен имеет вид
m (x ) = α 4 x 2 + x + α 3
Кодовое слово несистематического кода запишется в виде
c (x ) = m (x )g (x ) = (α 4 x 2 + x + α 3)(x 4 + α 6 x 3 + α 6 x 2 + α 3 x + α) = α 4 x 6 + αx 5 + α 6 x 4 + 0x 3 + 0x 2 + α 5 x + α 4
Коды Рида-Соломона относятся к недвоичным, блочным, помехоустойчивым кодам и могут использоваться в области хранения информации для избегания потери поврежденной информации. Предупреждаю, что данный подход не будет рационален во многих случаях, но позволит реализовать помехоустойчивое кодирование данных с варьируемым процентом восстанавливаемой информации.
При работе с кодами Рида-Соломона процент избыточных символов в 2 раза больше восстанавливаемого объема данных. Объясню на примере: если мы имеем последовательность из 10 символов и хотим иметь возможность восстановить ошибки в 3ех из них (30% исходной информации), то нам нужно хранить 10+3*2=16 символов. Назовем каждую переменную: n - 10, количество информационных символов; f - 3, количество восстанавливаемых символов; g - 16, длина закодированной последовательности. Таким образом, формулу можно записать так: g = n + f * 2. Данные ходы компактнее кодов Хеминга на 1 символ.
Для работы с информацией при кодировании и декодировании данных все арифметические операции выполняются в полях Галуа. Применяется так называемая полиномиальная арифметика или арифметика полей Галуа. Таким образом, результат любой операции также является элементом данного поля. Конкретное поле Галуа состоит из фиксированного диапазона чисел. Характеристикой поля называют некоторое простое число p. Порядок поля, т.е. количество его элементов, является некоторой натуральной степенью характеристики pm, где m N. При m=1 поле называется простым. В случаях, когда m>1, для образования поля необходим еще порождающий полином степени m,такое поле называется расширенным. GF(p m) - обозначение поля Галуа.
Для работы с цифровыми данными естественно использовать p=2 в качестве характеристики поля. При m=1 элементом кодовой последовательности будет бит, при m=8 - 8 бит, то есть байт. Собственно коды Рида-Соломона работающие с байтами и являются наиболее распространенными.
Подробно информацию о арифметике полей Галуа я опубликовал на Хабрахабр . В этой же статье пойдет речь о применений полей Галуа для кодирования, декодирования информации кодами Рида-Соломона .
Для удобства подсчетов приведу 2 таблицы из статьи, посвященной полям Галуа.
Таблица умножения
Таблица степеней
Перед началом кодирования мы определились с необходимым полем GF(q), где q=p m . Длина кодовой последовательности должна быть q-1. Таким образом, в нашем случае с GF(8) кодовая последовательность состоит из 7 элементов. Дальше нужно выяснить какие элементы будут информационными, а какие проверочные (избыточные). В самом начале мы говорили о том, что количество избыточных символов должно быть в два раза больше, чем то количество ошибочных символов, которое мы хотим восстановить. Если необходимо исправить двукратную ошибку (t=2 - кратность ошибки), то, соответственно, следует использовать четыре проверочных символа. Применим это к нашему примеру: из семи элементов для исправления двукратной ошибки необходимы четыре избыточных, а значит три информационных. Кодовая последовательность выглядит следующим образом:
C=(c 0 , c 1 , c 2 , c 3 , c 4 , c 5 , c 6), где c 0 , c 1 , c 2 - информационные, c 3 , c 4 , c 5 , c 6 - проверочные.
Хочу обратить внимание на тот факт, что исправление двукратной ошибки в кодовой последовательности из семи элементов означает, что можно бороться с ошибкой, вероятность возникновения которой не больше чем р ош =2/7≈0,29. Если вероятность возникновения ошибки выше, то нужно увеличивать количество проверочных символов, иначе восстановить искаженную информацию все равно не получится.
Закодируем последовательность С=(4, 6, 7, 0, 0, 0, 0), четыре последних символа - проверочные, равны нулю.
Представим нашу последовательность в виде полинома:
С(x)=4∙x 0 +6∙x 1 +7∙x 2 +0∙x 3 +0∙x 4 +0∙x 5 +0∙x 6 =4+6∙x+7∙x 2
Кодирование осуществляется с помощью обратного дискретного преобразования Фурье (IDFT). Формула для кодирования: c j "=C(z j) , где z=2 - примитивный элемент поля.
c 0 "=C(2 0)=С(1)=4+6+7=5
c 1 "=C(2 1)=С(2)=4+6∙2+7∙4=4+7+1=2
c 2 "=C(2 2)=С(4)=4+6∙4+7∙6=4+5+4=5
c 3
"=C(2 3)=С(3)=4+6∙3+7∙5=4+1+6=3
c 4 "=C(2 4)=С(6)=4+6∙6+7∙2=4+2+5=3
c 5 "=C(2 5)=С(7)=4+6∙7+7∙3=4+4+2=2
c 6
"=C(2 6)=С(5)=4+6∙5+7∙7=4+3+3=4
Получили закодированную последовательность: C"=(5,2,5,3,3,2,4). В виде полинома: С(x)=5∙x 0 +2∙x 1 +5∙x 2 +3∙x 3 +3∙x 4 +2∙x 5 +4∙x 6 .
Формула для декодирования c j =C" (z -j) .
с 0 =C"(2 0)=C"(1)=5+2+5+3+3+2+4=4
с 1 =C" (2 -1)=C" (5)=5+2∙5+5∙7+3∙6+3∙3+2∙4+4∙2=5+1+6+1+5+3+3=6
с 2 =C" (2 -2)=C" (7)=⋯=7
с 3 =C" (2 -3)=C" (6)=⋯=0
с 4 =C" (2 -4)=C" (3)=⋯=0
с 5 =C" (2 -5)=C" (4)=⋯=0
с 6 =C" (2 -6)=C" (2)=⋯=0
При декодировании получили последовательность (4, 6, 7, 0, 0, 0, 0), которая соответствует исходной. Чтобы проверить не произошло ли искажение информации достаточно посмотреть на избыточные символы. Если они все еще равны нулю, то ошибки отсутствуют.
Ошибка представляет собой другую последовательность, которая суммируется с закодированной. Допустим вектор ошибка имеет вид: f" =(0, 0, 5, 0, 3, 0, 0), тогда кодовая последовательность с ошибкой:
C f "=C"+f"=(5,2,0,3,0,2,4)
Попробуем декодировать полученное кодовое слово: C f "=5∙x 0 +2∙x 1 +0∙x 2 +3∙x 3 +0∙x 4 +2∙x 5 +4∙x 6 =5+2∙x 1 +3∙x 3 +2∙x 5 +4∙x 6
C 0 f =C"(2 0)=C"(1)=5+2+0+3+0+2+4=2
c 0 f =C"(2 -1)=C"(5)=5+2∙5+3∙6+2∙4+4∙2=5+1+1=5
c 0 f =C"(2 -2)=C"(7)=5+2∙7+3∙2+2∙6+4∙4=5+5+6+7+6=7
c 0 f =C"(2 -3)=C"(6)=5+2∙6+3∙7+2∙5+4∙3=5+7+2+1+7=6
c 0 f =C"(2 -4)=C"(3)=5+2∙3+3∙4+2∙2+4∙6=5+6+7+4+5=5
c 0 f =C"(2 -5)=C"(4)=5+2∙4+3∙5+2∙3+4∙7=5+3+4+6+1=5
c 0 f =C"(2 -6)=C"(2)=5+2∙2+3∙3+2∙7+4∙5=5+4+5+5+2=3
C f =(2, 5, 7, 6, 5, 5, 3) - декодированная последовательность. Как видим, последние четыре элемента не равны нулю, что, собственно, и свидетельствует о наличии ошибки. Для исправления ошибки в первую очередь необходимо определить позиции искаженных символов. Для этого необходимо вычислить полином локаторов ошибок, корни которого и указывают на позиции ошибок. В матричном виде полином локаторов ошибок выглядит как L=. Так как в нашем примере мы хотим исправить ошибку кратности 2, то L=.
Выпишем последние четыре символа - синдром ошибки:
Из них сформируем матрицу и вектор-столбец, необходимый для вычисления L. В общем виде:
В нашем примере:
Вычислим M -1 , с учетом того, что мы работаем с арифметикой поля Галуа
На всякий случай можно проверить правильность вычислений:
Запишем L в виде полинома:
Вычислим корни полученного полинома простым перебором:
L(2 0)=L(1)=1+4+2=7
L(2 1)=L(2)=1+4∙2+2∙4=1
L(2 2)=L(4)=1+4∙4+2∙6=1+6+7=0
L(2 3)=L(3)=1+4∙3+2∙5=1+7+1=7
L(2 4)=L(6)=1+4∙6+2∙2=1+5+4=0
L(2 5)=L(7)=1+4∙7+2∙3=1+1+6=6
L(2 6)=L(5)=1+4∙5+2∙7=1+2+5=2
Получили, что ошибки присутствуют в c 2 " и c 4 ".
Теперь необходимо найти правильные значения. Для начала приведем L(x) к нормальному виду:
L(x)=1+4x+2x 2 |*5
Запишем вектор ошибки (последние 4 символа - значения синдрома). На местах информационных символов - знаки вопроса, их и необходимо вычислить.
Осуществим свертку для f 0 , f 1 , f 2 , а затем вычислим их значения:
Получили F=(6, 3, 0, 6, 5, 5, 3), так как ошибка суммировалась с закодированной последовательностью, то произведем операцию кодирования над F:
F(x)=6+3x+6x 3 +5x 4 +5x 5 +3x 6
Так как мы уже знаем позиции ошибок, то достаточно вычислить только f 2 "=F(2 2) и f 4 "=F(2 4) , все остальные будут равны нулю. Но для того чтобы точно в этом убедится честно посчитаем все значения:
f 0 "=F(2 0)=F(1)=6+3+6+5+5+3=0
f 1 "=F(2 1)=F(2)=6+3∙2+6∙3+5∙6+5∙7+3∙5=6+6+1+3+6+4=0
f 2 "=F(2 2)=F(4)=6+3∙4+6∙5+5∙2+5∙3+3∙7=6+7+3+1+4+2=5
f 3 "=F(2 3)=F(3)=6+3∙3+6∙4+5∙7+5∙2+3∙6=6+5+5+6+1+1=0
f 4 "=F(2 4)=F(6)=6+3∙6+6∙7+5∙4+5∙5+3∙3=6+1+4+2+7+5=3
f 5 "=F(2 5)=F(7)=6+3∙7+6∙2+5∙5+5∙6+3∙4=6+2+7+7+3+7=0
f 6 "=F(2 6)=F(5)=6+3∙5+6∙6+5∙3+5∙4+3∙2=6+4+2+4+2+6=0
Получили f" =(0, 0, 5, 0, 3, 0, 0). Сложим вектор ошибки с искаженной кодовой последовательностью:
C"=C f "+f"=(5,2,0,3,0,2,4)+(0,0,5,0,3,0,0)=(5,2,5,3,3,2,4)
В результате получили правильную закодированную последовательность, при декодировании которой получим правильные информационные символы.
Теги: | ||
В современных системах цифрового телевидения для обеспечения помехоустойчивой передачи цифровых телевизионных сигналов по радиоканалу используются наиболее совершенные коды Рида-Соломона (Reed-Solomon),требующие добавления двух проверочных символов в расчете на одну исправляемую ошибку . Коды Рида-Соломона обладают высокими корректирующими свойствами, для них разработаны относительно простые и конструктивные методы кодирования. Коды Рида-Соломона не являются двоичными. Это надо понимать в том смысле, что символами кодовых слов являются не двоичные знаки, а элементы множества чисел, состоящего более чем из двух знаков (хотя, конечно, при передаче каждый символ заменяется соответствующей двоичной комбинацией).
Коды Рида-Соломона, относящиеся к классу циклических кодов , образуют подгруппублоковых кодов . Они получаются из любой разрешенной комбинации путем циклического сдвига ее разрядов. Кодирование и декодирование, обнаруживающее и исправляющее ошибки, – это вычислительные процедуры, которые для циклических кодов удобно выполнять как действия с многочленами и реализацию в виде цифровых устройств на базе регистров сдвига с обратными связями.
Чтобы получить более детальное представление о кодах Рида-Соломона посмотрим, какое место они занимают в классификации корректирующих кодов (рис. 4.4).
Корректирующие коды разделяются на блочные и сверточные (непрерывные). Блочные коды основаны на перекодировании исходной кодовой комбинации (блока), содержащейk информационных символов, в передаваемую кодовую комбинацию, содержащуюn >k символов. Дополнительныер = n – k символов зависят только отk символов исходной кодовой комбинации. Следовательно, кодирование и декодирование осуществляются всегда в пределах одной кодовой комбинации (блока). В противоположность этому всверточных кодах кодирование и декодирование осуществляются непрерывно над последовательностью двоичных символов.
Блочные коды бывают разделимые и неразделимые. В разделимых кодах можно в каждой кодовой комбинации указать, какие символы являются информационными, а какие проверочными. Внеразделимых кодах такая возможность отсутствует.
Следующая ступень классификации – систематические коды . Они отличаются тем, что в них проверочные символы формируются из информационных символов по определенным правилам, выражаемым математическими соотношениями. Например, каждый проверочный символх pj получается как линейная комбинация информационных символов
Рис. 4.4. Место кодов Рида-Соломона в классификации корректирующих кодов
где
– коэффициенты, принимающие значения
0 или 1;
.
Соотношение для формирования
контрольного бита проверки на четность
является частным случаем.
Перейдем к более подробному знакомству с циклическими кодами .
В первую очередь введем запись кодовой комбинации или, как часто называют ее в литературе, кодового вектора в виде полинома. Пусть имеется кодовая комбинация a 0 a 1 a 2 ...a n –1 , гдеа 0 – младший разряд кода,a n –1 – старший разряд кода. Соответствующий ей полином имеет вид
,
где х – формальная переменная, вводимая только для получения записи кодовой комбинации в виде полинома.
Над полиномами, представляющими кодовые комбинации, определена математическая операция умножения. Особенность этой операции по сравнению с общепринятой заключается в том, что коэффициенты при х всех степеней суммируются по модулю 2, а показатели степених при перемножении суммируются по модулюn , поэтомух n = 1.
Далее введем понятие производящего полинома . Производящим полиномом порядка (n – k ) может быть полином со старшей степенью х , равной (n – k ), на который без остатка делится двучлен (1 + х n ). Разрешенные кодовые комбинации получаются перемножением полиномов порядка k – 1, выражающих исходные кодовые комбинации, на производящий полином.
Циклические коды имеют следующее основное свойство. Если кодовая комбинация a 0 a 1 a 2 ...a n –1 является разрешенной, то получаемая из нее путем циклического сдвига кодовая комбинацияa n –1 a 0 a 1 ...a n –2 также является разрешенной в данном коде. При записи в виде полиномов операция циклического сдвига кодового слова сводится к умножению соответствующего полинома нах с учетом приведенных ранее правил выполнения операции умножения.
Циклический код
с производящим полиномом
строится следующим образом.
1. Берутся
полиномы
,
,
,
...,
.
2. Кодовые комбинации, соответствующие этим полиномам, записывают в виде строк матрицы G , называемойпроизводящей матрицей .
3. Формируется набор разрешенных кодовых комбинаций кода. В него входит нулевая кодовая комбинация, k кодовых комбинаций, указанных в п. 1, а также суммы их всевозможных сочетаний. Суммирование осуществляется поразрядно, причем каждый разряд суммируется по модулю 2 . Общее число полученных таким образом разрешенных кодовых комбинаций равно 2 k , что соответствует числу информационных разрядов кода.
Для построения
декодера в первую очередь получают
производящий полином
порядкаk
для построенияисправляющей матрицы
Н
:
.
Строками исправляющей
матрицы Н
будут кодовые комбинации,
определяемые полиномами
,
,
...,
,
где
– это записанный в обратном порядке
полином
.
Исправляющая матрица имеетn
столбцов иn
– k
строк.
При декодировании принятая кодовая комбинация a 0 a 1 a 2 ...a n –1 скалярно умножается на каждую строку исправляющей матрицы. Эта операция может быть записана в виде соотношения:
где h ji – элементыj -той строки матрицыН . Полученныеn – k чиселc j образуютисправляющий вектор илисиндром . Если ошибок нет, то всеc j = 0. Если же при передаче данной кодовой комбинации возникла ошибка, то некоторые из чиселc j не равны 0. По тому, какие именно элементы исправляющего вектора отличны от нуля, можно сделать вывод о том, в каких разрядах принятой кодовой комбинации есть ошибка и, следовательно, исправить эти ошибки.
Рассмотрим пример, часто встречающийся в литературе. Построим циклический код с n = 7;k = 4. Для этого представим двучлен 1 +х 7 в виде произведения :
В обычной алгебре это равенство, конечно, не выполняется, но если использовать для приведения подобных вместо обычного сложения операцию суммирования по модулю 2, а при сложении показателей степеней – операцию суммирования по модулю 7, то равенство окажется справедливым.
В качестве производящего многочлена возьмем 1 + х +х 3 . Умножаем его нах ,х 2 их 3 и получаем многочленых +х 2 +х 4 ;х 2 +х 3 +х 5 ;х 3 +х 4 +х 6 . Затем записываем производящую матрицуG , причем в каждой строке матрицы младший разряд кодовой комбинации расположен первым слева.
.
Далее формируем набор из 15 допустимых кодовых комбинаций: 00000000, 1101000, 0110100, 0011010, 0001101, 1011100, 0101110, 0010111, 1000110, 0100011, 1111111, 1010001, 1000110, 0100011, 1001011. В этих записях младшие биты слева, а старшие – справа.
Перемножив первые два сомножителя в, получаем производящий многочлен для исправляющей матрицы: 1 + х +х +х 4 . Затем умножаем его нах их 2 и получаем еще две строки этой матрицы, которая в результате имеет такой вид (в отличие от матрицыG здесь младшие разряды соответствующих полиномов расположены справа):
.
Пусть принята кодовая комбинация 0001101, входящая в набор допустимых. Найдем скалярные произведения этой кодовой комбинации со всеми строками матрицы Н :
Пусть теперь принята кодовая комбинация 0001100, в которой последний (старший) бит содержит ошибку. Скалярные произведения принятой кодовой комбинации на строки исправляющей матрицы имеют вид:
Таким образом, получен синдром (1, 0, 0). Если ошибка оказывается в другом бите кодовой комбинации, то получается другой синдром.
Одним из важных достоинств циклических кодов является возможность построения кодирующих и декодирующих устройств в виде сдвиговых регистров с обратными связями через сумматоры по модулю 2.
Различные виды циклических кодов получаются с помощью различных производящих полиномов. Существует развитая математическая теория этого вопроса . Среди большого количества циклических кодов к числу наиболее эффективных и широко используемых относятся коды Бозе-Чоудхури-Хоквингема (ВСН-коды – по первым буквам фамилий Bose,Chaudhuri,Hockwinhamили в русскоязычной записи БЧХ-коды), являющиесяобобщением кодов Хемминга на случай направления нескольких ошибок. Они образуют наилучший среди известных класснеслучайных кодов для каналов, в которых ошибки в последовательных символах возникают независимо. Например, БЧХ-код (63, 44), используемый в системе спутникового цифрового радиовещания, позволяет исправить 2 или 3 ошибки, обнаружить 4 или 5 ошибок на каждый блок из 63 символов. Относительная скорость такого кода равнаR = 44/63 = 0,698.
Одним из видов ВСН-кодов являются коды Рида-Соломона. Эти коды относятся к недвоичным кодам , так как символами в них могут быть многоразрядные двоичные числа, например, целые байты. В Европейском стандарте цифрового телевидения DVB используется код Рида-Соломона, записываемый как (204, 188, 8), где 188 – количество информационных байт в пакете транспортного потока MPEG-2, 204 – количество байт в пакете после добавления проверочных символов, 8 – минимальное кодовое расстояние между допустимыми кодовыми комбинациями. Таким образом, в качестве кодовых комбинаций берутся целые пакеты транспортного потока, содержащие 1888 = 1504 информационных бита, а добавляемые проверочные символы содержат 168 = 128 бит. Относительная скорость такого кода равна 0,92. Этот код Рида-Соломона позволяет эффективно исправлять до 8 принятых с ошибками байт в каждом транспортном пакете.
Отметим также, что используемый в цифровом телевизионном вещании код Рида-Соломона часто называют укороченным . Смысл этого термина состоит в следующем. Из теории кодов Рида-Соломона следует, что если символом кода является байт, то полная длина кодового слова должна составлять 255 байт (239 информационных и 16 проверочных). Однако, пакет транспортного потокаMPEG-2 содержит 188 байт. Чтобы согласовать размер пакета с параметрами кода, перед кодированием в начало каждого транспортного пакета добавляют 51 нулевой информационный байт, а после кодирования эти дополнительные нулевые байты отбрасывают.
В приемнике для каждого принятого транспортного пакета, содержащего 204 байта, вычисляются синдромы и находятся два полинома: «локатор», корни которого показывают положение ошибок, и «корректор» (evaluator), дающий значение ошибок. Ошибки корректируются, если это возможно. Если же коррекция невозможна (например, ошибочных байт более 8) данные в пакете не изменяются, а сам пакет помечается путем установки флага (первый бит после синхробайта), как содержащий неустранимые ошибки. В обоих случаях 16 избыточных байт удаляются, и после декодирования длина транспортного пакета становится равной 188 байт.