| 6 классы | Планирование уроков на учебный год | Перевод двоичных чисел в десятичную систему счисления
Способ 1
Попробуем представить число 1409 в виде суммы членов второго ряда.
Воспользуемся методом разностей. Возьмем ближайший к исходному числу, но не превосходящий его член второго ряда и составим разность:
1409 - 1024 = 385.
Возьмем ближайший к полученной разности, но не превосходящий ее член второго ряда и составим разность:
385 - 256 = 129.
Аналогично составим разность: 129 - 128 = 1.
В итоге получим:
1409 = 1024 + 256 + 128 + 1 = 1 1024 + 0 512 + 1 256 + + 1 128 + 0 64 + 0 32 + 0 16 + 0 8 + 0 4 + 0 2 + 1 1.
Мы видим, что каждый член второго ряда может либо не входить в сумму, либо входить в нее только один раз.
Числа 1 и 0, на которые умножаются члены второго ряда, также составляют исходное число 1409, но в его другой, двоичной записи: 10110000001.
Результат записывают так:
1409 10 = 10110000001 2 .
Исходное число мы записали с помощью 0 и 1, другими словами, получили двоичный код этого числа, или представили число в двоичной системе счисления.
Способ 2
Этот способ получения двоичного кода десятичного числа основан на записи остатков от деления исходного числа и получаемых частных на 2, продолжаемого до тех пор, пока очередное частное не окажется равным 0.
Пример:
В первую ячейку верхней строки записано исходное число, а в каждую следующую - результат целочисленного деления предыдущего числа на 2.
В ячейках нижней строки записаны остатки от деления стоящих в верхней строке чисел на 2.
Последняя ячейка нижней строки остается пустой. Двоичный код исходного десятичного числа получается при последовательной записи всех остатков, начиная с последнего: 1409 10 = 10110000001 2 .
Первые 20 членов натурального ряда в двоичной системе счисления записываются так: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011,1100, 1101,1110,1111, 10000. 10001. 10010. 10011. 10100.
Способ 1
Пусть имеется число 111101 2 . Его можно представить так:
Способ 2
Возьмем то же число 111101 2 . Переведем единицу 6-го разряда (первая слева в записи числа) в единицы 5-го разряда, для чего 1 умножим на 2, ибо единица 6-го разряда в двоичной системе содержит 2 единицы 5-го разряда.
К полученным 2 единицам 5-го разряда прибавим имеющуюся единицу 5-го разряда. Переведем эти 3 единицы 5-го разряда в 4-й разряд и прибавим имеющуюся единицу 4-го разряда: 3 2 + 1 = 7.
Переведем 7 единиц 4-го разряда в 3-й разряд и прибавим имеющуюся единицу 3-го разряда: 7 2 + 1 = 15.
Переведем 15 единиц 3-го разряда во 2-й разряд: 15 2 = 30. В исходном числе во 2-м разряде единиц нет.
Переведем 30 единиц 2-го разряда в 1-й разряд и прибавим имеющуюся там единицу: 30 2 + 1 = 61. Мы получили, что исходное число содержит 61 единицу 1-го разряда.
Письменные вычисления удобно располагать так:
Переводить целые числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления и обратно можно с помощью приложения Калькулятор
.
Проведем небольшой эксперимент .
1. Запустите приложение Калькулятор и выполните команду [Вид-Инженерный] . Обратите внимание на группу переключателей, определяющих систему счисления :
2. Убедитесь, что Калькулятор настроен на работу в десятичной системе счисления. С помощью клавиатуры или мыши введите в поле ввода произвольное двузначное число. Активизируйте переключатель Bin и проследите за изменениями в окне ввода. Вернитесь в десятичную систему счисления. Очистите поле ввода.
3. Повторите пункт 2 несколько раз для других десятичных чисел.
4. Настройте Калькулятор на работу в двоичной системе счисления. Обратите внимание на то, какие кнопки Калькулятора и цифровые клавиши клавиатуры вам доступны. Поочередно введите двоичные коды 5-го, 10-го и 15-го членов натурального ряда и с помощью переключателя Dec переведите их в десятичную систему счисления.
Инструкция
Видео по теме
В той системе счета, которой мы пользуемся каждый день, десять цифр - от нуля до девяти. Поэтому она называется десятичной. Однако в технических расчетах, особенно тех, которые имеют отношение к компьютерам, используются и другие системы , в частности, двоичная и шестнадцатеричная. Поэтому нужно уметь переводить числа из одной системы счисления в другую.
Вам понадобится
Инструкция
Двоичная система - самая простая. В ней всего две цифры - ноль и единица. Каждая цифра двоичного числа , начиная с конца, соответствует степени двойки. Два в равняется одному, в первой - двум, во второй - четырем, в третьей - восьми, и так далее.
Предположим, что вам дано двоичное число 1010110. Единицы в нем стоят на втором, третьем, пятом и седьмом с конца местах. Поэтому в десятичной системе это число равно 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.
Обратная задача - десятичного числа
систему. Предположим, у вас есть число 57. Чтобы получить его запись, вы должны последовательно делить это число на 2 и записывать остаток от деления. Двоичное число будет строиться от конца к началу.
Первый шаг даст вам последнюю цифру: 57/2 = 28 (остаток 1).
Затем вы получаете вторую с конца: 28/2 = 14 (остаток 0).
Дальнейшие шаги: 14/2 = 7 (остаток 0);
7/2 = 3 (остаток 1);
3/2 = 1 (остаток 1);
1/2 = 0 (остаток 1).
Это последний шаг, потому что результат деления равен нулю. В итоге вы получили двоичное число 111001.
Проверьте правильность ответа: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.
Вторая , используемая в компьютерных вопросах - шестнадцатеричная. В ней не десять, а шестнадцать цифр. Чтобы не новых условных обозначений, первые десять цифр шестнадцатеричной системы обозначаются обычными цифрами, а остальные шесть - латинскими буквами: A, B, C, D, E, F. десятичной записи они соответствуют числа м от 10 до 15. Во избежание путаницы перед числом, записанным по шестнадцатеричной системе, ставят знак # или символы 0x.
Чтобы число из шестнадцатеричной системы , нужно каждую его цифру умножить на соответствующую степень шестнадцати и сложить результаты. Например, число #11A в десятичной записи равняется 10*(16^0) + 1*(16^1) + 1*(16^2) = 10 + 16 + 256 = 282.
Обратный перевод из десятичной системы
в шестнадцатеричную совершается тем же методом остатков, что и в двоичную. Например, возьмите число 10000. Последовательно деля его на 16 и записывая остатки, вы получите:
10000/16 = 625 (остаток 0).
625/16 = 39 (остаток 1).
39/16 = 2 (остаток 7).
2/16 = 0 (остаток 2).
Результатом вычислений станет шестнадцатеричное число #2710.
Проверьте правильность ответа: #2710 = 1*(16^1) + 7*(16^2) + 2*(16^3) = 16 + 1792 + 8192 = 10000.
Переводить числа
из шестнадцатеричной системы
в двоичную гораздо проще. Число 16 является двойки: 16 = 2^4. Поэтому каждую шестнадцатеричную цифру можно записать как четырехзначное двоичное число. Если у вас в двоичном числе получается меньше четырех знаков, добавляйте в начало нули.
Например, #1F7E = (0001)(1111)(0111)(1110) = 1111101111110.
Проверьте правильность ответа: оба числа
в десятичной записи равны 8062.
Для перевода вам нужно разбить двоичное число на группы по четыре цифры, начиная с конца, и каждую такую группу заменить шестнадцатеричной цифрой.
Например, 11000110101001 превращается в (0011)(0001)(1010)(1001), что в шестнадцатеричной записи дает #31A9. Правильность ответа подтверждается переводом в десятичную запись: оба числа
равны 12713.
Благодаря ограниченности в использовании символов двоичная система является наиболее удобной для использования в компьютерах и других цифровых устройствах. Символов всего два: 1 и 0, поэтому эту систему применяют в работе регистров.
Инструкция
Двоичная является позиционной, т.е. позиции каждой цифры в числе соответствует определенный разряд, который равен двум в соответствующей степени. Степень начинается с нуля и увеличивается по мере движения справа налево. Например, число 101 равно 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5.
Широким распространением среди позиционных систем пользуются также восьмеричная, шестнадцатеричная и десятичная системы . И если для первых двух более применим второй метод, то для перевода из применимы оба.
Рассмотрим десятичного числа в двоичную систему методом последовательного деления на 2.Чтобы перевести десятичное число 25 в
Впервые позиционная система счисления возникла в древнем Вавилоне. В Индии система работает в виде
позиционной десятичной нумерации с использованием нуля, у индусов данную систему чисел
позаимствовала арабская нация, у них, в свою очередь, взяли европейцы. В Европе эту систему стали
называть арабской.
Позиционная система — значение всех цифр зависит от позиции (разряда) данной цифры в числе.
Примеры, стандартная 10-я система счисления - это позиционная система. Допустим дано число 453.
Цифра 4 обозначает сотни и соответствует числу 400, 5 — кол-во десятков и соответствует значению 50,
а 3 — единицы и значению 3. Легко заметить, что с увеличением разряда увеличивается значение.
Таким образом, заданное число запишем в виде суммы 400+50+3=453.
Двоичная система счисления.
Здесь только 2 цифры - это 0 и 1. Основание двоичной системы - число 2.
Цифра, которая находится с самого края справа, указывает количество единиц, вторая цифра -
Во всех разрядах возможна лишь одна цифра — или нуль, или единица.
С помощью двоичной системы счисления возможно закодировать всякое натуральное число, представив
это число в виде последовательности нулей и единиц.
Пример: 10112 = 1*2 3 + 0*2*2+1*2 1 +1*2 0 =1*8 + 1*2+1=1110
Двоичную систему счисления, как и десятичную систему счисления , зачастую используют в вычислительной
технике. Текст и числа компьютер хранит в своей памяти в двоичном коде и программным способом преобразует
в изображение на экране.
Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел.
Таблица сложения в двоичной системе счисления:
10 (перенос в старший разряд) |
Таблица вычитания в двоичной системе счисления:
(заём из старшего разряда) 1 |
Пример сложения «столбиком» (14 10 + 5 10 = 19 10 или 1110 2 + 101 2 = 10011 2):
+ | 1 | 1 | 1 | 0 | |
1 | 0 | 1 | |||
1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Таблица умножения в двоичной системе счисления:
Пример умножения «столбиком» (14 10 * 5 10 = 70 10 или 1110 2 * 101 2 = 1000110 2):
* | 1 | 1 | 1 | 0 | |||
1 | 0 | 1 | |||||
+ | 1 | 1 | 1 | 0 | |||
1 | 1 | 1 | 0 | ||||
= | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Преобразование чисел в двоичной системе счисления.
Для преобразования из двоичной системы в десятичную пользуются следующей таблицей степеней
основания 2:
Начиная с цифры один каждая цифра умножается на 2. Точка, стоящая после 1, называют двоичной точкой .
Преобразование двоичных чисел в десятичные.
Пусть, есть двоичное число 110001 2 . Для перевода в десятичное записываем его в виде суммы по
разрядам следующим образом:
1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49
Немного по другому:
1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49
Также хорошо записывать расчет как таблицу:
Двигаемся справа налево. Под всеми двоичными единицами записываем её эквивалент строчкой ниже.
Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные.
Задание: перевести число 1011010, 101 2 в десятичную систему.
Записываем заданное число в таком виде:
1*2 6 +0*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +0 *2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 + 1 * 2 -1 + 0 * 2 -2 + 1 * 2 -3 = 90,625
Другой вариант записи:
1*64+0*32+1*16+1*8+0*4+1*2+0*1+1*0,5+0*0,25+1*0,125 = 90,625
Либо в виде таблицы:
0.25 |
0.125 |
||||||||
0.125 |
Преобразование десятичных чисел в двоичные.
Пусть, необходимо перевести число 19 в двоичное. Можем сдеать это таким образом:
19 /2 = 9 с остатком 1
9 /2 = 4 c остатком 1
4 /2 = 2 без остатка 0
2 /2 = 1 без остатка 0
1 /2 = 0 с остатком 1
То есть, каждое частное делится на 2 и записывается остаток в конец двоичной записи. Деление
продолжается до того момента, когда в частном не будет нуля. Итог пишем справа налево. Т.е. нижняя
цифра (1) будет крайней левой и так далее. Итак, у нас получилось число 19 в двоичной записи: 10011.
Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные.
Когда в заданном числе присутствует целая часть, то ее преобразуют отдельно от дробной. Перевод
дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную происходит следующим образом:
разряда числа в двоичной системе счисления;
достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются над
дробной частью произведения.
Пример : Нужно перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.
Переведя целую часть, получаем 206 10 =11001110 2 . Дробная часть 0,116 умножается на основание 2,
заносим целые части произведения в разряды после запятой:
0,116 . 2 = 0,232
0,232 . 2 = 0,464
0,464 . 2 = 0,928
0,928 . 2 = 1,856
0,856 . 2 = 1,712
0,712 . 2 = 1,424
0,424 . 2 = 0,848
0,848 . 2 = 1,696
0,696 . 2 = 1,392
0,392 . 2 = 0,784
Результат: 206,116 10 ≈ 11001110,0001110110 2
Алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую.
1. Из десятичной системы счисления:
2. Из двоичной системы счисления:
соответствующую степень разряда;
В одном из наших материалов мы рассмотрели определение . Оно имеет самый короткий алфавит. Только две цифры: 0 и 1. Примеры алфавитов позиционных систем счисления приведены в таблице.
Название системы |
Основание |
Алфавит |
Двоичная |
||
Троичная |
||
Четверичная |
||
Пятеричная |
||
Восьмеричная |
||
Десятичная |
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 |
|
Двенадцатеричная |
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В |
|
Шестнадцатеричная |
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В,С,D,E,F |
|
Тридцатишестиричная |
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В,С,D,E,F,G, H,I,J,K,L,M,N,O,P,R,S,T,U,V,X,Y,Z |
Для перевода небольшого числа из десятичного в двоичное, и обратно, лучше пользоваться следующей таблицей.
десятичное число |
двоичное число |
десятичное число |
двоичное число |
Однако таблица получится огромной, если записать туда все числа. Искать среди них нужное число будет уже сложнее. Гораздо проще запомнить несколько алгоритмов перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую.
Как сделать перевод из одной системы счисления в другую? В информатике существует несколько простых способов перевода десятичных чисел в двоичные числа. Рассмотрим два из них.
Допустим, требуется перевести число 637 десятичной системы в двоичную систему.
Делается это следующим образом: отыскивается максимальная степень двойки, чтобы два в этой степени было меньше или равно исходному числу.
В нашем случае это 9, т.к. 2 9 =512 , а 2 10 =1024 , что больше нашего начального числа. Таким образом, мы получили число разрядов результата. Оно равно 9+1=10. Значит, результат будет иметь вид 1ххххххххх, где вместо х может стоять 1 или 0.
Найдем вторую цифру результата. Возведем двойку в степень 9 и вычтем из исходного числа: 637-2 9 =125. Затем сравниваем с числом 2 8 =256 . Так как 125 меньше 256, то девятый разряд будет 0, т.е. результат уже примет вид 10хххххххх.
2 7 =128 > 125 , значит и восьмой разряд будет нулём.
2 6 =64 , то седьмой разряд равен 1. 125-64=61 Таким образом, мы получили четыре старших разряда и число примет вид 10011ххххх.
2 5 =32 и видим, что 32 < 61, значит шестой разряд равен 1 (результат 100111хххх), остаток 61-32=29.
2 4 =16 < 29 - пятый разряд 1 => 1001111ххх. Остаток 29-16=13.
2 3 =8 < 13 => 10011111хх. 13-8=5
2 2 =4 < 5 => 10011111хх, остаток 5-4=1.
2 1 =2 > 1 => 100111110х, остаток 2-1=1.
2 0 =1 => 1001111101.
Это и будет конечный результат.
Правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления, гласит:
Исходное число в двоичной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков. Записывать его начинаем с последнего найденного.
Переведём десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:
Получили 11 10 =1011 2 .
Если десятичное число достаточно большое, то более удобен следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма:
363 10 =101101011 2
Большинство людей на нашей планете при счете пользуются десятичной системой счисления, а вот в компьютерах используется двоичная. Некоторые племена на заре развития человечества использовали двенадцатеричную и шестидесятеричную. Именно от них нам остались 12 часов на циферблате и 60 минут в часу.
Порою необходимо перевести число из одной системы в другую. В этой статье рассмотрим конкретнее, как переводить в десятичную систему из некоторых других популярных систем.
Прежде всего нужно понять, что такое система счисления и её основание. Система счисления - способ представления чисел в виде комбинации тех или иных цифр. Основание системы - количество цифр, в ней использующихся. Например, в десятичной системе с основанием 10 всего 10 цифр - от 0 до 9. В шестнадцатеричной, соответственно, 16 цифр, для обозначения которых используются арабские цифры 0 - 9 и латинские буквы A - F вместо цифр 10 - 15. Например, 2F7BE 16 - число шестнадцатеричной системы. При такой записи нижним индексом обозначается основание системы счисления. Ключевым различием между системами с разными основаниями является "ценность" числа 10. В шестнадцатеричной системе 10 16 будет равно 16 10 , а в двоичной 10 2 равно всего лишь двум. 100 16 будет вычисляться как
100 16 = 10 16 * 10 16 = 16 10 * 16 10 = 256 10 .
Следует также различать понятия "цифра" и "число". Цифра обозначается одним символом, а число - может и несколькими. Например, число 9 10 в двоичной системе будет выглядеть как 1001 2 , а цифра 9 в двоичной системе не существует как таковая.
Чтобы перевести в десятичную систему число, нужно научиться применять несложный алгоритм.
2*16 4 +15*16 3 + 7*16 2 + 11*16 1 + 14*16 0 = 194494 10 .
Рассмотрим на примерах, как самые популярные - шестнадцатеричную, восьмеричную и двоичную системы перевести в десятичную.
Разумеется, считать каждый раз вручную неудобно, нерационально, да и неохота. Существует множество калькуляторов, умеющих переводить числа из системы в систему. К примеру, стандартный калькулятор Windows в режиме "Программист" (клавиши Alt+3 или меню "Вид") может работать с системами оснований 2, 8, 10 и 16.