Задача 1 (распределительная)
На предприятии 4 вида продукции могут вырабатываться на 3 отдельных взаимозаменяемых машинах.
Известны:
· Производственное задание по выпуску продукции разных видов в планируемом периоде
Исходная информация отображается в таблице следующей формы.
Таблица 1. Исходные данные
Фонд эф. раб. врем. - |
Нормы затрат врем. на ед. продукции - прибыль на ед. продукции - |
||
В задаче требуется найти план распределения производственного задания по выпуску продукции между исполнителями
при котором задание было бы выполнено с максимальной суммарной прибылью от реализации продукции.
РЕШЕНИЕ
Разработка экономико - математической модели.
Искомые переменные - характеризуют объём выпуска й продукции м исполнителем.
Тогда матрица искомых переменных
характеризует план распределения производственного задания по выпуску продукции между исполнителями.
Целевая функция
характеризующая суммарную прибыль от реализации всей продукции, должна быть максимизирована.
Ограничения по наличию и использованию эффективного рабочего времени исполнителей примут вид системы линейных неравенств (2):
Эта система ограничений характеризует условие, что суммарные затраты эффективного рабочего времени каждым исполнителем в планируемом периоде на выпуск всех видов продукции не должны превышать фонда времени. Таким образом, в результате решения задачи каждый исполнитель получит своё задание, исходя из его возможностей. Если в решении задачи какая - то уравновешивающая переменная и примет значение, - она будет характеризовать недоиспользованное эффективное рабочее время у того или иного исполнителя, которое в производственных условиях может быть использовано на выпуск продукции сверх задания.
Следующий блок ограничений должен отражать условие обязательного выполнения общего производственного задания по выпуску продукции по видам и будет представлен системой линейных уравнений (3):
Условие не отрицательности переменных:
Приведём задачу к каноническому виду, для этого в неравенства (2) добавим переменные, а в равенства (3) добавим 4 искусственных базиса. В результате запишем математическую модель задачи в каноническом виде:
Симплекс-метод
Решим данную задачу симплекс - методом, заполнив таблицу. Решение проходит за несколько итераций. Покажем это.
Таблица 1
В самой верхней строке таблицы заносятся коэффициенты целевой функции, вторая строка - это наименование всех неизвестных, входящих в симплексные уравнения. В первый столбец слева записывают коэффициенты, целевой функции, которые соответствуют базисным неизвестным, вошедшим в исходную программу (записанным в столбце). Следующий, третий по счёту, столбец в первой симплексной таблице - заполняется значениями базисных неизвестных. Далее идут столбцы, которые представляют векторы условий. Количество их равно 19. В следующем, первым по счёту после матрицы условий столбце - записываются суммы всех элементов по строкам. В столбце записываются частные от деления элементов итогового столбца В на элементы некоторого столбца, матрицы условий. Так как у нас есть искусственный базис, то в индексной строке будет вести два подсчёта, в первой из них, учитывая переменные, а во втором только искусственный базис. Так как у нас задача максимизации, то необходимо выводить из базиса искусственные базисы. В индексной второй строке выбираем наибольшую положительную оценку. У нас - это первый столбец. Найдём оценочные отношения
и. Из этих отношений выбираем наименьшее, у нас это четвёртая строка, для неё оценочное отношение равно 1300. Выделяем строку. Последний столбец - это коэффициент, на который умножается каждый элемент строки при пересчёте. Он получается делением элементов выделенного столбца на ключевой элемент, который находится на пересечении выделенного столбца и строки, у нас это 1. Пересчёт делаем для всех невыделенных элементов, который осуществляется следующим образом: от пересчитываемого элемента вычитаем элемент ключевой строки, умноженный на пересчитываемый коэффициент строки: и так все элементы. Из базиса выводим искусственный базис, при этом в базис вводим переменную.
Последние две строки - индексные строки, где пересчитываются значения целевой функции, а также вся индексная строка, когда все элементы будут положительными или нулевыми - задача будут решена.
Покажем это.
Таблица 2
Выделим столбец с переменной. Находим оценочные отношения, из которых выбираем наименьшее - это 550. Из базиса выводим искусственную переменную, при этом в базис вводим переменную. Когда выводится искусственный базис из базиса, соответствующий столбец убираем.
Таблица 3
Выделим столбец. Наименьшее оценочное отношение 600, находится в шестой строке. Из базиса выводим искусственный базис, при этом в базис вводим переменную.
Таблица 4
Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 28,57, находится в первой строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.
Таблица 5
Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 407,7, находится в третьей строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.
Таблица 6
Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 344,3, находится в седьмой строке. Из базиса выводим искусственный базис, при этом в базис вводим переменную.
Таблица 7
Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 3,273, находится во второй строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.
Таблица 8
Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 465, находится в седьмой строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.
Таблица 9
Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 109, находится в третьей строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.
Таблица 10
Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 10, находится в первой строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.
Таблица 11
Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 147, находится во второй строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.
Таблица 12
Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 367, находится в пятой строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.
Таблица 13
Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 128, находится в четвёртой строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.
Таблица 14
Так как в индексной строке нет отрицательных оценок, получен оптимальный план, при котором объём выпуска продукции представлен матрицей
при этом прибыль максимальная и составляет 17275,31 руб.
Решение задачи с помощью Excel
Математическую модель задачи необходимо перенести в ЭТ EXCEL. Для этого:
Рассмотрим последовательность действий по реализации этих этапов решения задачи с помощью EXCEL.
Создадим таблицу для ввода исходных данных.
В созданную форму введём исходные данные.
Коэффициенты целевой функции, выражающие прибыль, от производства единицы продукции каждого вида (единичная прибыль), записаны в ячейки В6:M6.
Коэффициенты ресурсных ограничений, определяющие потребность в каждом из видов ресурсов для производства единицы продукции, размещены в ячейках В9:M15. В ячейках P9:P15 записаны правые части ограничений на ресурсы. Для независимых переменных задачи - искомых объёмов производства продукции зарезервированы ячейки В3:M3.
В ячейку N7 вводим формулу для целевой функции, применив команду вставки функции СУММПРОИЗВ:
А также заполняем ограничения правой части.
После этого можно приступать к поиску решения. Для решения оптимизационных задач в EXCEL используется команда ПОИСК РЕШЕНИЯ меню СЕРВИС.
Эта команда оперирует с тремя основными компонентами построенной в ЭТ оптимизируемой модели:
Рассмотрим последовательность ввода этих компонентов.
Курсор в ячейку N7 и команда СЕРВИС - Поиск решения. На экране появится диалоговое окно.
В окне заполняем поле Установить целевую ячейку, в котором должен стоять адрес $N$7. Далее устанавливаем кнопку на поиск максимального значения. В поле Изменяя ячейки введём адреса искомых переменных $B3:$M3. Затем следует ввести ограничения, путём кнопки Добавить.
Теперь, когда все ограничения для поиска оптимального решения заданы можем нажать кнопку:
После этого получим решение задачи.
Если вычисления оказались успешными, после завершения поиска решения значения будут вставлены в таблицу, а также можно указать Тип отчёта - Результаты, в результате которого можем получить следующий отчёт. рабочий время оборудование прибыль
Следовательно, решение в EXCEL такое же, как и при СИМПЛЕКС методе, а это значит, что рассматриваемая задача, решена, верно.
#ЭМММ #Excel #Матпрограммирование #ПоискРешения #Easyhelp
.
- Простая задача линейного программирования №3. Симплекс-метод для поиска минимума.
- Решение задачи линейного программирования алгоритмом двойственного симплекс-метода
- Решения прямой, двойственной задач ЛП, построение двойственной задачи ЛП.
- Решение задачи линейного программирования с неоднотипными неравенствами симплекс-методом
- Задача линейного программирования с системой уравнений
#Excel #матпрограммирование #easyhelp
Решение лабораторных работ в Excel на заказ
Как и обещал в ходе изложения материала, ссылка на первый видеоурок из серии задач о раскрое материалов:
В нашей подборке вы также можете найти больше видеоуроков по решению прикладных задач в Excel
Больше других обучающих видеоуроков вы сможете найти на нашем сайте
#excel #матпрограммирование #ТранспортнаяЗадача #ЛинейноеПрограммирование #ПоискРешения #easyhelp #АнализУстойчивости
Простая задача линейного программирования №1. Симплекс-метод для поиска минимума.
- Простая задача линейного программирования №2. Симплекс-метод для поиска максимума.
- Решение задачи линейного программирования алгоритмом двойственного симплекс-метода
- Решения прямой, двойственной задач ЛП, построение двойственной задачи ЛП.
- Решение задачи линейного программирования с неоднотипными неравенствами симплекс-методом
- Задача линейного программирования с системой уравнений
Если данное видео принесло вам реальную пользу и вы хотите отблагодарить автора:
WMR: R370550256930
WMZ: Z939960413056
В нашей подборке вы можете найти больше видеоуроков по работе с электронными таблицами Microsoft Excel:
Еще больше других обучающих видеоуроков вы сможете найти на нашем сайте.
1. Преобразовываем неравенства в равенства
2. Находим начальное допустимое базисное решение
3. На основе условия оптимальности определяется вводимая переменная. Если вводимых переменных нет, то процесс закончен.
4. На основе условия допустимости выбираем исключаемая переменная
5. Вычисляем элементы новой ведущей строки
новая ведущая строка = текущая строка/ведущий элемент
6. Вычисляем элементы остальных строк, включая z-строку
новая строка = текущая строка – ее коэффициенты в ведущем столбце * новую ведущую строку
Переходим к шагу 3.
Для удобства записи итерационного процесса все значения записываем в Симплекс-таблицу.
Для многих задач оптимизации удобно применять модель линейного программирования. Суть задачи заключается в составлении системы неравенств, описывающих соответствующие ограничения задачи и задания функции оптимизации.
Для нахождения решения в подобных моделях, можно использовать средство MS EXCEL – ПОИСК РЕШЕНИЯ.
Рассмотрим, как составить модель линейного программирования и найти ее решение на примере.
На трех станках обрабатываются детали двух видов (А и Б), причем каждая деталь проходит обработку на всех станках. Известно время обработки деталей на каждом станке, время работы станков в течение одного цикла производства и прибыль от продажи одной детали каждого вида (данные в таблице). Составить план производства, обеспечивающий наибольшую прибыль.
Обозначим через х 1 и х 2 количество единиц деталей видов А и Б, планируемое к выпуску. Тогда время обработки х 1 деталей вида А на первом станке составляет 1* х 1 ; х 2 деталей вида Б соответственно 2*х 2 . Суммарное время работы станка I для изготовления планируемого количества деталей равно х 1 +2*х 2 , оно ограничено 16 часами работы этого станка в течение одного цикла производства. Поэтому должно выполняться неравенство:
х 1 +2*х 2 <=16;
Аналогично для станков II и III получаем неравенства соответственно:
х 1 + х 2 <=10;
3*х 1 + х 2 <=24;
Кроме того, по смыслу определения веденных величин х 1 и х 2 , должны выполняться условия: х 1 >=0; х 2 >=0;
Таким образом, получаем систему неравенств, называемую системой ограничений задачи:
Любое решение (х 1 ; х 2) системы ограничений называется планом выпуска продукции или допустимым планом задачи.
Прибыль от реализации х 1 единиц деталей вида А равна 4 . х 1 , а прибыль от реализации х 2 единиц деталей вида Б равна 2х 2. Суммарная прибыль от реализации продукции, выпущенной согласно плану (х 1 ; х 2) равна:
F (х 1 ; х 2 )=4х 1 +2х 2 (тыс. руб).
Линейная функция F (х 1 ; х 2 ) называется целевой функцией задачи.
По условию задачи требуется найти такой план (х 1 ; х 2) при котором прибыль была бы максимальной.
Таким образом, построена математическая модель задачи как задачи линейного программирования:
F (х 1 ; х 2 )=4х 1 +2х 2 → max
Как известно, метод Жордана-Гаусса, он же метод последовательного исключения неизвестных, является модификацией метода Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Метод базируется на элементарных преобразованиях (переводящих систему в эквивалентную), к которым относятся:
В отличие от метода Гаусса, на каждом шаге одна переменная исключается из всех уравнений, кроме одного.
Шаг метода состоит в следующем:
Алгоритмизировать это можно так:
Для СЛАУ в матричном виде A*x=b (матрица A размерности m*n , совсем необязательно квадратная) составляется следующая таблица:
В таблице выбран разрешающий элемент a r,s ≠0 , тогда r - разрешающая строка, s - разрешающий столбец.
Переход к следующей таблице выполняется по правилам:
1. вычисляются элементы разрешающей строки: a" r,j =a r,j /a r,s - то есть, r-строка таблицы делится на разрешающий элемент;
2. все элементы разрешающего столбца, кроме a r,s , равного единице, становятся равны нулю;
3. элементы вне разрешающих строки и столбца вычисляются по формуле, изображённой ниже:
Легко не запутаться, если увидеть, что числитель этой формулы похож на вычисление определителя матрицы 2 на 2.
4. При ручном расчёте значение в последнем контрольном столбце сравнивается с суммой предыдущих элементов строки. Если значения не совпадают, ошибки надо искать в данной строке. При автоматизированном расчёте контрольный столбец можно опустить.
Возможны следующие случаи:
1. В процессе исключений левая часть уравнения системы обращается в 0, а правая b≠0 , тогда система не имеет решения.
2. Получается тождество 0 = 0 - уравнение является линейной комбинацией остальных и строка нулей может быть вычеркнута из системы.
3. После использования всех уравнений для исключения неизвестных, таблица либо содержит искомое решение, либо показывает несовместность системы ограничений.
Запрограммируем метод в Excel одной формулой, изменять которую должно быть не слишком трудоёмко. Например, для решения СЛАУ
заполним коэффициентами системы ячейки листа от A1 до D4 включительно, выберем разрешающий элемент a 1,1 =1 , а первый шаг метода сделаем в ячейке A6 , куда загоним "универсальную" формулу для преобразования Жордана-Гаусса:
ЕСЛИ(СТРОКА($A$1)=СТРОКА(A1);A1/$A$1;
ЕСЛИ(СТОЛБЕЦ($A$1)=СТОЛБЕЦ(A1);0;(A1*$A$1-
ДВССЫЛ(АДРЕС(СТРОКА(A1);СТОЛБЕЦ($A$1)))*
ДВССЫЛ(АДРЕС(СТРОКА($A$1);СТОЛБЕЦ(A1))))/$A$1))
На следующем шаге разрешающим элементом может быть, например, a 2,2 =1 (ячейка B7). Нам останется скопировать формулу из A6 в A11 (по пустой строке оставляем, чтоб визуально разделить шаги метода), войти в режим редактирования формулы (двойной щелчок по ячейке или выбрать её и нажать клавишу F2) и поправить (аккуратно перетащить мышкой за границу) все закреплённые ссылки с ячейки A1 на B7 .
Конечно, можно заменить везде в формуле закреплённую ссылку $A$1 на конструкцию вида ДВССЫЛ(ЯЧЕЙКА) , образующую динамический адрес ссылки. Скажем, ДВССЫЛ(F8) , а в ячейке F8 будет автоматически формироваться адрес ячейки разрешающего элемента по заданным пользователем номеру строки и столбца. Тогда для этих номеров строки и столбца придётся предусмотреть отдельные ячейки, например, так:
Увы, всё это ничего не даст - вместо $A$1 мы просто вынуждены будем закрепить в формуле ДВССЫЛ($F$8) и всё равно потом перетаскивать столько же ссылок при копировании формулы. Кроме того, "вручную" введённые номера строки и столбца придётся ещё и проверять на допустимость (хотя бы как на рисунке), так что, не будем умножать сущностей.
Посмотреть метод в работе можно на двух первых листах приложенного файла Excel (2 разных примера).
На преобразовании Жордана-Гаусса основан и такой универсальный метод решения линейных задач оптимизации, как симплекс-метод . Описания его обычно страшны, длинны и перегружены теоремами. Попробуем сделать простое описание и разработать пригодный для расчёта в Excel алгоритм. На самом деле, симплекс-метод уже встроен в стандартную надстройку Пакет анализа, и программировать его "вручную" не нужно, так что наш код имеет, скорее, учебную ценность.
Сначала минимум теории.
Если вектор-столбцы СЛАУ линейно независимы, соответствующие им переменные являются базисными , а остальные – свободными . Например, в СЛАУ
переменные x 2 и x 4 - базисные, а x 1 и x 3 - свободные. Базисные переменные между собой независимы, а свободные можно сделать, например, нулями и получить { x 2 =2, x 4 =1 } – базисное решение системы.
Выбирая различные разрешающие элементы, можно получить решения СЛАУ с различными базисами. Любое неотрицательное базисное решение СЛАУ называется опорным .
Симплекс-метод обеспечивает переход от одного опорного решения к другому, пока не будет достигнуто оптимальное решение, дающее минимум целевой функции.
Алгоритм симплекс-метода состоит в следующем:
1. Задача ЛП преобразуется к каноническому виду:
Это всегда можно сделать следующим образом: к задаче, записанной в стандартной постановке
добавляются дополнительные балансовые переменные , число которых соответствует числу ограничений-неравенств m (ограничения на неотрицательность значений неизвестных не учитываются). После этого неравенства со знаком " ≤ " превращаются в равенства, например, система ограничений вида
2*x 1 +3*x 2 ≤20
3*x 1 +x 2 ≤15
4*x 1 ≤16
3*x 2 ≤12
x 1 ,x 2 ≥0
примет вид
2*x 1 +3*x 2 +x 3 =20
3*x 1 +x 2 +x 4 =15
4*x 1 +x 5 =16
3*x 2 +x 6 =12
x 1 ,x 2 ,...,x 6 ≥0
То есть, "экономический" смысл балансовых переменных очень прост – это "остатки" неиспользованных ресурсов каждого вида.
Если в исходной задаче искался не минимум, а максимум, целевая функция Z заменятся на Z 1 = -Z . Решения задач совпадают, при этом min Z = - max Z 1 . Например, цель
Z(x 1 ,x 2)=2*x 1 +5*x 2 (max)
переписывается в виде
Z 1 (x 1 ,x 2)=-2*x 1 -5*x 2 (min)
Если в исходной задаче были уравнения-неравенства со знаками " ≥ " вместо " ≤ ", обе части каждого такого неравенства умножаются на -1 , а знак неравенства меняется на противоположный, например,
3*x 1 +x 2 +x 4 ≥15
превращается в
3*x 1 -x 2 -x 4 ≤15
Канонический вид модели получен, для него выписывается симплекс-таблица :
В левом столбце записываются базисные переменные (БП), если они ещё не выделены – пусто.
2. С помощью шагов Жордана–Гаусса ищется первоначальный опорный план, т.е. СЛАУ приводится к базисному виду с неотрицательными свободными членами b i >0 . При этом целевая функция Z должна быть выражена только через свободные неизвестные (нулевые коэффициенты в Z-строке стоят только под переменными x i , которые есть в базисе). При выборе разрешающего элемента a r,s в строку r столбца БП выписываем переменную x s , если там уже была переменная – вычеркиваем её (выводим из базиса).
3. Выписываем под столбцами x i опорный план X * : под свободными переменными - нули, под базисными – соответствующие базисной переменной коэффициенты из столбца b .
Ниже выписываем вектор R по правилу: под базисными переменными – нули, под свободными R i =Z i .
Если все R i ≥0 , найдено оптимальное решение X * и значение цели Z min = -q , иначе нужен новый план, а у вас он есть, товарищ Жюков? (п. 4).
4. Для выбора разрешающего столбца s выбираем максимальную по модулю отрицательную компоненту вектора R , разрешающий столбец s выбран. Затем анализируем коэффициенты s-го столбца матрицы системы ограничений. Если все a i,s ≤0 , решения нет и Z min стремится к минус бесконечности, иначе переходим к п.5.
5. Для выбора разрешающей строки r составляем неотрицательные отношения b i /A i,s ≥0 , i=1,2,...,m , и выбираем среди них наименьшее. Если минимум достигается для нескольких строк, за разрешающую можно принять любую из них, при этом, в новом опорном плане значения некоторых базисных переменных станут равными 0, т.е., получаем вырожденный опорный план.
6. Выполняем преобразование Жордана-Гаусса с разрешающим элементом a r,s и переходим к п.3
Геометрически симплекс-методу соответствует кратчайший обход вершин n-мерного выпуклого многогранника, образующего область допустимых решений задачи:
Здесь мы перешли от опорного плана C , представляющего собой одну из вершин многомерного многоугольника, к оптимальному плану E=X * .
Запрограммировать это всё в Excel нелегко, но можно. В прилагаемом документе приведены 3 примера, реализующие решение задач симплекс-методом. Правда, при выполнени шага менять уже придётся 3 формулы, на листе первого примера на симплекс-метод они выделены жёлтым цветом: расчёт отношений для выбора разрешающей строки в ячейке I2 , заполнение столбца БП в ячейке A12 , шаг преобразования Жордана-Гаусса в ячейке B12 . Как и в примере на преобразование Жордана-Гаусса, изменение формул связано только с необходимостью сослаться на новую строку, содержащую адрес ячейки с разрешающим элементом (для первого шага - ячейка C9).
Задание
. Реализуйте все нижеприведенные шаги в табличном процессоре Excel, необходимые для решения задачи ЛП.
Поясним последовательность действий при решения задачи ЛП табличным симплекс-методом на примере.
Задача . Решить задачу табличным симплекс-методом .
при ограничениях
Порядок выполнения работы :
I. Проверка выполнения условий, необходимых для решения задачи табличным симплекс-методом в чистом виде.
II. Оформление исходных данных.
Следующая строка таблицы соответствует первому ограничению. Базисная переменная , найденная в первом ограничении, свободный член, коэффициенты при переменных соответствующего ограничения. Аналогичным образом заполняются 2 и 3 строки.
Последняя строка – это строка целевой функции, которая заполняется следующим образом, свободный член без изменения знака, а коэффициенты при переменных с противоположным (рис. 26).
Рис. 26 . Исходная симплекс таблица.
Рис. 27 . Значение целевой функции и начальный опорный план.
III. Нахождение оптимального плана и оптимального значения целевой функции.
Рис. 28 . Выбор ведущего столбца.
Рис. 29 . Составление отношений.
Рис. 30 . Результат отношений.
Рис. 31 . Выбор ведущей строки.
Рис. 32 . Ведущий элемент.
Рис. 33 . Новый базис.
Для получения 1 в ячейке С13 необходимо каждый элемент ведущей строки поделить на ведущий элемент.
В ячейку С13 запишите формулу = С5/2 (рис 34), нажмите Enter.
Рис. 34
. Получение 1 в ячейке С13.
Растяните формулу (рис. 35).
Рис. 35
. Первая строка второй симплексной таблицы.
Затем получите нуль в ячейке С14.
Для этого во второй симплексной таблице 1 (ячейка С13) умножьте на элемент предыдущей таблицы, соответствующий элементу ячейки С14, взятый с противоположным знаком и сложите с этим же элементом.
Так как элемент, соответствующий элементу ячейки С14 равен 1 (ячейка С6), то это означает, что все элементы первой строки второй симплексной таблицы умножаются на (-1) и складывается с соответствующими элементами первой симплексной ьаблицы. Запишите в ячейку С14 формулу =C13*(-1)+C6 (рис. 36).
Рис. 36
. Элемент С14 второй симплексной таблицы.
Аналогичным образом получите остальные элементы базисного столбца (рис. 37 и рис. 38).
Рис. 37
. Элемент С15 второй симплексной таблицы.
Рис. 38 . Элемент С16 второй симплексной таблицы.
Рис. 39 . Первая и вторая симплексные таблицы.
Рис. 40 . Значение целевой функции и опорного плана второй симплексной таблицы.
Рис. 41 . Первая, вторая и третья симплексные таблицы.
Задание. Воспользуйтесь материалами лабораторной работы №3. Выполните проверку, используя программу MathCad.