Пусть в -мерном унитарном пространстве задан произвольный линейный оператор.
Определение 4. Линейный оператор называется сопряженным по отношению к оператору в том и только в том случае, если для любых двух векторов из выполняется равенство
. (46)
Мы докажем, что для каждого линейного оператора существует сопряженный оператор и притом только один. Для доказательства выберем в некоторый ортонормированный базис . Тогда [см. (41)] для искомого оператора и произвольного вектора из должно выполняться равенство
.
В силу (46) это равенство может быть переписано так:
. (47)
Примем теперь равенство (47) за определение оператора .
Легко проверить, что определенный таким образом оператор является линейным и удовлетворяет равенству (46) при произвольных векторах и из . Кроме того, равенство (47) однозначно определяет оператор . Таким образом, устанавливаются существование и единственность сопряженного оператора .
Пусть – линейный оператор в унитарном пространстве, а – матрица, отвечающая этому оператору в ортонормированном базисе . Тогда, применяя формулу (41) к вектору получим:
Пусть теперь сопряженному оператору в этом же базисе отвечает матрица . Тогда по формуле (48)
Из (48) и (49) в силу (46) следует:
Матрица является транспонированной и комплексно сопряженной для . Такую матрицу принято называть (см. главу I) сопряженной по отношению к .
Таким образом, в ортонормированном базисе сопряженным операторам отвечают сопряженные матрицы.
Из определения сопряженного оператора вытекают следующие его свойства:
2. ,
3. ( – скаляр),
Введем теперь одно важное понятие. Пусть – произвольное подпространство в . Обозначим через совокупность всех векторов из , ортогональных к . Легко видеть, что есть тоже подпространство в и что каждый вектор из однозначно представляется в виде суммы , где , т. е. имеет место расщепление
Это расщепление получаем, применяя к произвольному вектору из разложение (15) предыдущего параграфа. называется ортогональным дополнением к . Очевидно, будет ортогональным дополнением к . Мы пишем , понимая под этим то, что любой вектор из ортогонален любому вектору из .
Теперь мы сможем сформулировать фундаментальное свойство сопряженного оператора:
5. Если некоторое подпространство инвариантно относительно , то ортогональное дополнение этого подпространства будет инвариантно относительно .
Действительно, пусть . Тогда из следует и отсюда в силу (46) . Так как – произвольный вектор из , то , что и требовалось доказать.
Введем следующее определение:
Определение 5. Две системы векторов и назовем биортонормированными, если
где - символ Кронекера.
Теперь докажем следующее предложение:
6. Если – линейный оператор простой структуры, то сопряженный оператор также имеет простую структуру, причем можно так выбрать полные системы собственных векторов и операторов и , чтобы они были биортонормированы:
Действительно, пусть – полная система собственных векторов оператора . Введем обозначение
Рассмотрим одномерное ортогональное дополнение к –мерному подпространству . Тогда инвариантно относительно :
Из следует: , так как в противном случае вектор должен был бы равняться нулю. Помножая на надлежащие числовые множители, получим:
Из биортонормированности систем векторов и следует, что векторы каждой из этих систем линейно независимы.
Отметим еще такое предложение:
7. Если операторы и имеют общий собственный вектор, то характеристические числа этих операторов, отвечающие общему собственному вектору, комплексно сопряжены.
В самом деле, пусть . Тогда, полагая в (46) , будем иметь , откуда .
8. Пусть – собственный вектор оператора и пусть – ортогональное дополнение к одномерному подпространству . Поскольку , то согласно утверждению 5. подпространство инвариантно относительно оператора . Таким образом, у всякого линейного оператора в -мерном унитарном пространстве существует -мерное инвариантное подпространство., то при и, следовательно, матрица оператора является верхней треугольной. Мы пришли к следующей теореме:
Для любого линейного оператора в -мерном унитарном пространстве можно построить ортонормированный базис, в котором матрица этого оператора является треугольной.
Это предложение принято называть теоремой Шура. Разумеется, привлекая общую теорему о приведении матрицы оператора к жордановой форме, легко доказать теорему Шура последовательной ортогонализацией жорданова базиса. Приведенное доказательство по существу использует лишь существование у линейного оператора, действующего в -мерном унитарном пространстве, собственного вектора.
Пусть V -линейное пространство над полем Р, А - оператор (не обязательно линейный), действующий в V.
Определение. Оператор А называется обратимым, если существует такой оператор В, действующий в V, что ВА = АВ = I.
Определение. Оператор В, удовлетворяющий условию ВА = АВ = I, называется обратным к А и обозначается.
Таким образом, оператор, обратный к оператору А, удовлетворяет условию А=А = I. Для обратимого оператора А равенства Ах = y и у = х равносильны. Действительно, пусть Ах = у, тогда у =(Ах) = (А)х = Ix = х.
Если у = х, то
Ах = А(у) = (А)у = Iу = у.
Теорема. Если линейный оператор обратим, то обратный к нему оператор также является линейным.
Доказательство. Пусть А - обратимый линейный оператор, действующий в линейном пространстве V над полем Р, - оператор, обратный к А. Возьмем произвольные векторы и числа Положим, . Тогда А=, А=. В силу линейности оператора А
Отсюда получаем:
= = ,
То есть оператор является линейным.
Пусть заданы два унитарных пространства X, Y.
Определение. Оператор А*, действующий из Y в X, называется сопряженным по отношению к оператору А, действующему из X в Y, если для любых векторов хХ, yY выполняется равенство
(Ах, у) = (х, А*у). (1)
Теорема. Для любого линейного оператора А существует сопряженный оператор А*, и притом только один.
Доказательство. Выберем в X какой-либо ортонормированный базис Для любого вектора хХ имеет место разложение
Если оператор А* существует, то, согласно этой формуле, для любого вектора yY имеем
Или по определению
Но это означает, что если оператор А* существует, то он единственный.
Построенный таким образом оператор А* является линейным. Он удовлетворяет и равенству (Ах, у) = (х, А*у). Действительно, учитывая ортонормированность системы и принимая во внимание (1), (2), получаем для любых векторов хХ, yY
(Ах, у) = (А) =,
(х, А*у) = (А) =
Теорема доказана.
Сопряженный оператор А* связан с оператором А определенными соотношениями. Отметим некоторые из них:
Доказательство. Рассмотрим произвольный оператор А и сопряженный к нему оператор А*. В свою очередь для оператора А* сопряженным будет оператор (А*)*. Теперь для любых хХ, yY имеем
(у, (А*)*х) = (А*у,х) == = (у,Ах).
Изучим дополнительные свойства линейных операторов, связанные с понятием ортогональности в евклидовом пространстве. Вначале докажем следующее свойство: если A и B – линейные операторы, действующие в n -мерном евклидовом пространстве V , и (x , Ay ) = (x , By ), x , y V , то A = B .
В самом деле, положив в равенстве (x , Ay ) = (x , By ) Û (x , (A – B )y ) = 0 вектор x = (A – B )y , получим ((A –B )y , (A – B )y ) = ||(A – B )y || 2 = 0, y V , что равносильно равенству (A – B )y = 0 , y V , т. е. A – B = O , или A = B .
Определение 11.1. Линейный оператор A * называется сопряженным оператору A , если
(Ax , y ) = (x , A * y ), x , y V . (11.1)
Естественно возникает вопрос: существует ли для заданного оператора A сопряженный?
Теоремa 11.1. Каждый линейный оператор A имеет единственный сопряженный оператор A * .
Доказательство. Выберем в пространстве V ортонормированный базис u 1 , u 2 ,…, u n . Каждому линейному оператору A : V ®V в этом базисе отвечает матрица А = , i , j = 1, 2,..., n . Пусть – матрица, полученная из матрицы А транспонированием. Ей соответствует линейный оператор B . Тогда
(Au j , u i ) = (а 1 j u 1 + а 2 j u 2 +…+ а nj u n , u i ) = а ij ;
(u j , Bu i ) = (u j , а i 1 u 1 + а i 2 u 2 +…+ а in u n ) = а ij .
(Au j , u i ) = (u j , Bu i ), i , j = 1, 2,..., n . (11.2)
Пусть далее x = x 1 u 1 + x 2 u 2 +…+ x n u n и y = у 1 u 1 + у 2 u 2 +…+ у n u n – любые два вектора из V . Рассмотрим скалярные произведения (Ax , y ) и (x , By ):
(Ax , y ) = (Au j , u i ),
(x , By ) = (u j , Bu i ).
Сравнивая эти выражения с учетом равенства (11.2) и отмеченного выше свойства, получаем равенство (Ax , y ) = (x , By ), x , y V , т. е. B = A * .
Таким образом, доказано, что для каждого линейного оператора A в конечномерном евклидовом пространстве существует сопряженный ему оператор A * , матрица которого в любом ортонормированном базисе является транспонированной по отношению к матрице оператора A . Единственность оператора A * следует из определения сопряженного оператора и доказанного выше свойства.¨
Легко убедиться в том, что оператор A * , сопряженный линейному оператору A , является линейным.
Итак, оператор A * линеен и ему соответствует матрица A * . Поэтому соответствующее формуле (11.1) матричное соотношение имеет вид
(А x , y ) = (x , A * y ), x , y V .
Сопряженные операторы обладают следующими свойствами:
1°. Е * = Е .
2°. (A *) * = A .
3°. (A + B ) * = A * + B * .
4°. (А ) * = A * , R .
5°. (AB ) * = B * A * .
6°. (A –1) * = (A *) –1 .
Справедливость свойств 1°–5° вытекает из свойств транспонирования матриц.
Убедимся в справедливости свойства 6°. Пусть A –1 существует. Тогда из равенств AA –1 = A –1 A = Е и свойств 1°, 5° вытекает, что (AA –1) * = (A –1 A ) * = Е * = = Е и (AA –1) * = (A –1) * A * , (A –1 A ) * = A * (A –1) * , т. е. что (A –1) * = (A *) –1 . Отсюда получаем еще одно важное свойство транспонирования матриц:
(A –1) * = (A *) –1 .
Пример 1. Пусть A – поворот евклидовой плоскости R 2 на угол j с матрицей
в ортонормированном базисе i , j . Тогда матрицей сопряженного оператора в этом базисе является
= .
Следовательно, A * – поворот плоскости на угол j в противоположном направлении.·
Пусть X – банахово пространство и А – ограниченный линейный оператор, определенные на Х, с областью значений в банаховом пространстве Y. Пусть х ÎХ и f ÎY*. Тогда определено значение f(Ax), при этом выполняются неравенства | f(Ax)| £ ||f ||?||Ax|| £ ||f ||?||A||?||x||.
Эти неравенства показывают, что линейный функционал j(х), определенный равенством j(х) = f(Ax), является ограниченным функционалом. Таким образом, каждому линейному ограниченному функционалу f ÎY с помощью оператора А ставится в соответствие линейный непрерывный функционал j ÎХ*. Меняя элемент f мы будем получать, вообще говоря, разные элементы j; тем самым мы получаем оператор
определенный на Y*, с областью значений в пространстве X*. Этот оператор A* связан с оператором А равенством (A*f)(x) = f(Ax). Если применить введенное в п. 2 обозначение для линейного функционала f(x) = (x, f), то связь операторов будет выглядеть симметрично:
(Ax, f)=(x, A*f). (1)
Оператор A* однозначно определяется формулой (1) и называется оператором, сопряженным с оператором А.
Действительно, если для всех x и y имеют место равенства
(Ax, y) = (x, A*y) = (x, A 1 *y),
то отсюда по следствию 4 из теоремы Хана-Банаха следует, что A 1 *y= A*y для всех y, а это означает, что A*=A 1 *.
Теорема 11. Сопряженный оператор A* – линейный и .
Доказательство. Докажем аддитивность оператора A*. Действительно, если y, z ÎY*, то из рассуждений выше вытекает существование единственного элемент (y + z)* ÎX, что (Ax, y + z)=(x, (y + z)*) при всех x ÎX.
С другой стороны, с помощью формулы (1) имеем
(Ax, y + z) = (Ax, y) + (Ax, z) = (x, A*y) + (x, A*z) = (x, A*y + A*z) = (x, (y+z)*),
т.е. (y+z)* = A*x + A*y, откуда A*(y+z)=A*y+A*z. Это доказывает аддитивность оператора А*. Однородность также легко проверяется.
Для вычисления нормы оператора А* проведем оценки
Отсюда следует, что оператор A* – ограниченный и .
У оператора A*, в свою очередь, есть сопряженный – A**, определяемый равенством, аналогичным (1)
(A*y, x) = (y, A**x) (2).
Но, так как из (2) A**x определяется однозначно для каждого xÎХ, то из сопоставления равенств (1) и (2) следует, что
(Ax, y) = (A**x, y) "хÎХ, "yÎY.
В силу следствия 4 из теоремы Хана-Банаха последнее означает, что A**x=Ax для всех xÎX, т.е. A**= A на пространстве Х. Применяя доказанное неравенство для нормы сопряженного оператора к A* и A**, имеем , что и дает требуемое равенство: . Теорема доказана.
Теорема. 12. Если А и В линейные ограниченные операторы из банахова пространства Х в банахово пространство Y, то
1. (А+В)*=А*+В*
2. (λА)*= λА*
3. В предположении Х = Y, справедливо равенство (АВ)*=В*А*.
Доказательство. Вышеуказанные свойства вытекают из следующих соотношений:
1. ((A+B)x, y) = (Ax, y) + (Bx, y) =(x, A*y) + (x, B*y) = (x, (A* + B*)y);
2. ((λA)x ,y) = λ(Ax ,y) = λ(x, A*y) = (x, (λA*y));
3. ((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A*y) = (x, B*(A*y)) = (x, (B*A*)y).
Теорема доказана.
Пример 8. В пространстве L 2 рассмотрим интегральный оператор Фредгольма
с ядром, имеющим интегрируемый квадрат. Имеем, используя теорему Фубини,
, где
.
Таким образом, переход к сопряженному оператору заключается в том, что интегрирование ведется по первой переменной. Тогда как в исходном операторе оно ведется по второй.
Материал из Википедии - свободной энциклопедии
Пусть - линейные пространства , а - сопряженные линейные пространства (пространства линейных функционалов , определенных на ). Тогда для любого линейного оператора и любого линейного функционала определён линейный функционал - суперпозиция и : . Отображение называется сопряженным линейным оператором и обозначается .
Если кратко, то , где - действие функционала на вектор .
Пусть - топологические линейные пространства , а - сопряженные топологические линейные пространства (пространства непрерывных линейных функционалов , определенных на ). Для любого непрерывного линейного оператора и любого непрерывного линейного функционала определён непрерывный линейный функционал - суперпозиция и : . Нетрудно проверить, что отображение линейно и непрерывно. Оно называется сопряженным оператором и обозначается также .
Пусть - непрерывный линейный оператор , действующий из банахова пространства в банахово пространство и пусть - сопряжённые пространства . Обозначим . Если - фиксировано, то - линейный непрерывный функционал в . Таким образом, для определён линейный непрерывный функционал из , поэтому определён оператор , такой что .
называется сопряжённым оператором . Аналогично можно определять сопряжённый оператор к линейному неограниченному оператору, но он будет определен не на всём пространстве.
Для справедливы следующие свойства:
В гильбертовом пространстве теорема Рисса дает отождествление пространства со своим сопряженным, поэтому для оператора равенство определяет сопряженный оператор . Здесь - скалярное произведение в пространстве .