6.2. Экономико-математическое моделирование процессов увеличения потенциала научно-производственного предприятия на основе обновления производства Обновление производства предполагает использование научно-производственным предприятием совокупности

Моделирование Моделирование – это метод обучения, сочетающий в себе анализ конкретных ситуаций с ролевыми играми и позволяющий максимально приблизиться к реальности в условиях учебной аудитории. Цель метода заключается в том, чтобы способствовать переносу знаний,

МОДЕЛИРОВАНИЕ КОМПЕТЕНЦИЙ Моделирование компетенций сводит данные по организационному проектированию и управлению показателями труда, чтобы установить, какие навыки или компетенции требуются для выполнения определенных работ. Оно способствует принятию решений по

Глава 2 Инструмент: бизнес-моделирование цепочки ценности кластера Краткое описание Цепочка ценности кластера описывает последовательность видов деятельности и функциональную взаимосвязь его предприятий.Моделируя, с одной стороны, очередность выполнения функций

Моделирование Большинство современных моделей науки управления настолько сложны, что применять их можно только с помощью компьютерной техники. Однако сама концепция модели очень проста. По определению Р. Шеннона «Модель – это представление объекта, системы или идеи в

Модели, типы моделей и их использование

Одним из главных элементов, необходимых для эффективного решения сложных задач, является построение и соответствующее использование модели. Модель - представление объекта или системы в некоторой форме, отличной от формы их реального существования.

Очевидно, что модели могут принимать самую разную форму и записываться с разной степенью математической детализации. Выбор того уровня сложности, который делает модель полезной, определяется планируемым ее использованием.

В повседневной практике при работе с системами пользуются умозрительными (субъективными) моделями, в которых математики нет вообще. Примерами таких моделей могут служить алгоритмы функционирования, правила управления системами и т.д.

Для описания свойств некоторых объектов и систем подходят числовые таблицы и (или) графики. Такие описания обычно называют графическими моделями. Например, линейные системы автоматического управления (САУ) могут быть представлены своими импульсными реакциями, реакциями на единичный скачок или частотными характеристиками. Соответствующие графические представления широко используются при проектировании и исследовании САУ.

В более сложных приложениях используются математические модели, в которых соотношения, описывающие связи между переменными объекта, задаются в виде определенных уравнений. Поэтому такие модели иногда называют аналитическими моделями. Математические модели представляют собой формализованные математические описания, отражающие с требуемой точностью процессы, происходящие в исследуемом объекте. Математические модели могут быть снабжены набором поясняющих прилагательных (линейные, нелинейные, дискретные, непрерывные, детерминированные, стохастические и т.д.) в зависимости от типа исследуемых уравнений.

В процессе машинного моделирования моделью системы является программа для ЭВМ. Программа, которой описывается поведение сложных систем, может представлять собой совокупность взаимодействующих между собой подпрограмм и просмотровых таблиц. Формализация такой совокупности в виде некоторой математической модели может оказаться трудноразрешимой задачей. Такие компьютеризованные представления называют программными (или машинными) моделями. Такие модели в настоящее время играют большую роль в процессе принятия оптимальных решений в сложных системах.

Модели можно классифицировать различными способами. Однако ни один из них не является полностью удовлетворительным, хотя каждый из них служит определенной цели. Укажем некоторые типовые альтернативные группы моделей:

Физические (натурные) и математические (символьные);

Статические и динамические;

Детерминированные и стохастические;

Дискретные и непрерывные;

Линейные и нелинейные;

Сосредоточенные и распределенные;

Стационарные и нестационарные.

Физическими моделями являются модели, в которых свойства реального объекта представляются свойством такого же объекта (макета) или некоторым другим свойством аналогичного по поведению объекта.

К математическим моделям относятся те, в которых для представления процесса используются символы, а не физические устройства.

Математическую модель можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реального объекта:

а) совокупность управляемых входных воздействий на объект

б) совокупность неуправляемых входных воздействий

в) совокупность внутренних (собственных) параметров объекта

г) совокупность выходных характеристик объекта (переменных состояния)

Структура моделируемого объекта имеет вид представленный на рис. 4.1

Входные переменные являются независимыми (экзогенными), а выходные - зависимыми (эндогенными) переменными.

Процесс функционирования объекта описывается во времени оператором F, который преобразует независимые переменные в зависимые

(4.1)

Совокупность зависимостей выходных характеристик объекта от времени называется выходной траекторией .

Зависимость (1.1) называется законом функционирования объекта. В общем случае закон функционирования объекта может быть задан в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия.

Весьма важным для описания и исследования объекта является понятие алгоритма функционирования , под которым понимается метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий .

Очевидно, что один и тот же закон функционирования может быть реализован различными способами, т.е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования.

Соотношения (1.1) являются математическим описанием поведения объекта моделирования во времени t, т.е. отражают его динамические свойства. Поэтому математические модели такого вида называются динамическими . Они описывают изменения параметров во времени, например:

(4.2)

Инженеру очень часто приходится сталкиваться с такими моделями при разработке новых технологических процессов, изделий, средств и систем автоматического управления. В сущности, любая задача проектирования, связанная с расчетом потоков энергии или движения тел, в конечном счете сводится к решению дифференциальных уравнений.

Статические модели описывают процессы, не изменяющиеся во времени, т.е. поведение объекта в установившихся режимах

(4.3)

Статические модели используют, как правило, при проектной оптимизации объекта.

Обычно динамическая модель задается в виде дифференциальных уравнений, а статическая - в виде алгебраических или трансцендентных.

Модели, у которых существует жесткая связь между переменными, называют детерминированными . Такие модели не содержат случайных факторов и значения выходных переменных однозначно определяются значениями входных переменных.

Стохастическая (вероятностная) модель отражает воздействие случайных факторов. Поэтому между входными и выходными переменными существует не функциональная зависимость (детерминированная модель), а вероятностная. Обычно переменные состояния объекта оцениваются в терминах математического ожидания, а входные воздействия - вероятностными законами распределения.

Непрерывная модель описывает непрерывные изменения переменных объекта в течении определенного промежутка времени, например:

Дискретная модель описывает зависимость между переменными объекта в дискретные моменты времени, например: где - начало j-ой стадии моделирования объекта; - ее конец, т.е. состояние объекта в момент времени определяется по известному его состоянию в момент при условии, что известны и остаются постоянными.

У линейной модели существует пропорциональная связь между входными и выходными переменными. Модели, не удовлетворяющие этому условию, являются нелинейными .

Динамическая модель, которая описывает изменение переменных объекта только во времени, называется динамической моделью с сосредоточенными параметрами (искомая величина зависит только от одной переменной).

Эти модели содержат одну или несколько производных от переменных состояния и представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения. Их можно записать в виде:

Полная математическая модель наряду с дифференциальным уравнением (1.4) при решении практических задач содержит также некоторые дополнительные условия (например, значения искомых переменных y ) в начальный момент времени t0 , называемыми начальными условиями :

Во многих практических задачах искомая величина зависит от нескольких переменных. В этом случае математическая модель содержит частные производные и называется моделью с распределенными параметрами .

Если одной из независимых переменных является время t, то такая модель дает описание динамики процесса как во времени, так и в пространстве. Полная математическая модель содержит дифференциальное уравнение в частных производных, начальные условия и граничные условия если математическая модель определена в ограниченном пространстве. Примером такой модели может служить модель теплопроводности или диффузии (параболическое уравнение):

, (4.5)

где y - параметр состояния (температура или концентрация); t - время; x - пространственная координата (толщина материала); a - константа, при заданных начальных и граничных условиях.

В настоящее время трудно назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы модели и методы моделирования. Особенно это относится к сфере управления различными системами, где основными являются процессы принятия решений на основе получаемой информации.

Идея представления объекта или системы при помощи модели носит столь общий характер, что дать полную классификацию всех функций модели затруднительно. Можно привести, по крайней мере, следующие основания области применения моделей в инженерной практике:

Управление сложными объектами и системами (техническими, экономическими, социальными и т.д.);

Проектирование технических объектов и систем;

Прогнозирование и диагностика с использованием модели объекта;

Создание средств обучения и тренажа;

Постановка численных экспериментов на имитационной модели объекта.

Математическое моделирование является составной частью всех технических и естественно - научных дисциплин. Действительно, основная задача техники заключается в том, чтобы, используя математическую модель, найти хорошее проектно-конструкторское решение, оптимальное управление объектами, наилучшее распределение ресурсов, оптимальный план производства и т.д.

Математические модели являются также мощным инструментальным средством решения задач имитационного моделирования и предсказания (прогнозирования) поведения моделируемых объектов при различных ситуациях, которые часто возникают не только в технике, но и в экономике, экологии, биологии и других областях знания. Модели широко применяются в качестве средств профессиональной подготовки и обучения лиц, которые должны уметь справляться с всевозможными случайностями до возникновения реальной критической ситуации. Широко известны такие применения моделей, как натурные макеты или модели космических летательных аппаратов, используемые для тренировки космонавтов, тренажеры для обучения водителей, деловые игры для обучения персонала, принимающего решения.

Применение моделей позволяет проводить контролируемые эксперименты в ситуациях, когда экспериментирование на реальных объектах практически невозможно или экономически нецелесообразно. При экспериментировании с моделью сложной системы мы часто можем узнать больше о ее внутренних взаимодействующих факторах, чем могли бы узнать, проведя эксперименты с реальной системой. Это становится возможным благодаря наблюдаемости переменных структурных элементов модели, благодаря тому, что мы можем контролировать ее поведение при различных внешних воздействиях, легко изменять ее параметры.

Резюмируя изложенное выше, отметим, что модель может служить для достижения одной из двух основных целей: либо описательной, если модель служит для объяснения и (или) лучшего понимания объекта, либо предписывающей, когда модель позволяет предсказать и (или) воспроизвести характеристики объекта, определяющие его поведение.

Динамическая система первого порядка . Рассмотрим рис. 10.3. Пусть в момент - объем воды в резервуаре , a - объем воды в резервуаре , связанном с трубой. В данный момент мы не рассматриваем резервуар , показанный пунктиром. Пусть вода может подаваться в или забираться из него по трубе ; имеются механические средства, позволяющие изменять уровень, а следовательно, и объем воды в нужным образом вне зависимости от того, что происходит в .

Если объем в первом резервуаре поддерживается на постоянном уровне, вода будет перетекать из одного резервуара в другой до тех пор, пока уровни в них не станут одинаковыми. Если теперь изменить объем , вода будет снова перетекать из одного резервуара в другой до тех пор, пока не наступит равновесие. Объем воды в , находящийся в равновесии как функция заданного объема в , описывается стационарным соотношением

. (10.1.4)

В этом случае стационарное усиление геометрически выражается как отношение заштрихованных площадей двух резервуаров. Если два уровня в момент не совпадают, различие в уровне воды между резервуарами пропорционально .

Пусть теперь, выкачивая или впуская жидкость по трубе , мы заставляем объем следовать графику, показанному на рис. 10.3. Тогда объем воды в будет изменяться в соответствии с ходом графика, показанного на том же рисунке. В общем случае функция , определяющая режим системы, называется вынуждающей функцией .

Для того чтобы связать вход и выход, заметим, что с хорошей точностью скорость потока через трубу пропорциональна разности в уровнях, т. е.

, (10.1.5)

где - константа. Дифференциальное уравнение (10.1.5) можно переписать в виде

где. Динамическую систему, описываемую таким образом при помощи дифференциального уравнения первого порядка, часто называют динамической системой первого порядка.

Рис. 10.3. Представление простой динамической системы.

Постоянная называется постоянной времени системы. Та же модель первого порядка может приближенно описывать поведение многих простых систем. Например, может быть выходной температурой воды в системе водяного отопления, а - скоростью поступления воды в систему.

Можно показать (см. например ), что решение линейного дифференциального уравнения такого типа, как (10.1.6), можно записать в виде

, (10.1.7)

где - вообще говоря, (непрерывная) функция отклика на единичный импульс. Видно, что получается из как непрерывно взвешенная сумма, точно так же, как получалось из в (10.1.2) как дискретно взвешенная сумма. Далее видно, что роль непрерывной весовой функции в непрерывном случае совершенно аналогична роли в дискретном случае. Для конкретной системы первого порядка, определенной (10.1.6),

.

Таким образом, отклик на единичный импульс затухает в этом случае по экспоненте (см. рис. 10.3).

В непрерывном случае определение выхода для произвольной вынуждающей функции, такой, как на рис. 10.3, обычно выполняется либо моделированием на аналоговом вычислительном устройстве, ибо расчетом на цифровой вычислительной машине

Рис. 10.4. Функция отклика на единичный скачок системы первого порядка.

Аналитические решения можно получить только для вынуждающих функций специального вида. Пусть, например, вначале гидравлическая система пуста, а затем внезапно достигает уровня и сохраняет это значение. Такую вынуждающую функцию, внезапно изменяющую нулевой стационарный уровень на стационарный уровень, равный единице, мы будем называть (единичным) скачком. Отклик системы на такую функцию, названный откликом на единичный скачок, можно получить, решая дифференциальное уравнение (10.1.6) с единичным скачком на входе, что дает

. (10.1.8)

Как следует из этого результата, уровень в резервуаре возрастает по экспоненте (рис. 10.4). Когда , . Это означает, что постоянная времени - это время, необходимое системе первого порядка (10.1.6) для достижения 63,2% ее заключительного равновесного уровня после подачи на вход единичного скачка.

Иногда существует начальный интервал чистого запаздывания, или холостое время, перед тем как проявится какая бы то ни было реакция на данное изменение входа. Например, если труба между и (рис. 10.3) достаточно длинна, внезапное изменение уровня в может не оказать эффекта на до тех пор, пока через трубу не прошло достаточное количество жидкости. Пусть введенное таким образом запаздывание занимает единиц времени. Тогда отклик запаздывающей системы будет описываться дифференциальным уравнением, подобным (10.1.6), но только справа вместо будет стоять , т. е.

Соответствующие функции отклика на единичный импульс и скачок имеют точно такую же форму, как в системе без запаздывания, но смещены по оси времен на расстояние .

Рис. 10.5. Функции отклика на единичный скачок совпадающих дискретной и непрерывной систем второго порядка, имеющих характеристические уравнения с действительными (кривая ) и комплексными корнями (кривая).

Динамическая система второго порядка . Рассмотрим рис. 10.3 еще раз. Вообразим, что имеется система трех резервуаров с трубой, ведущей от резервуара к резервуару , объем жидкости в котором обозначен. Пусть - временная постоянная, и - стационарное усиление дополнительной системы. Тогда и связаны дифференциальным уравнением

После подстановки в (10.1.6) мы получаем дифференциальное уравнение второго порядка , связывающее выход третьего резервуара и вход первого,

где . Для такой системы функция отклика на единичный импульс - это наложение экспонент

а функция отклика на единичный скачок имеет вид

. (10.1.12)

Непрерывная кривая на рис. 10.5 показывает отклик на скачок системы

у которой , , . Отметим, что в отличие от системы первого порядка система второго порядка имеет отклик на скачок с начальным нулевым наклоном. действительными, действительными и равными или комплексными. У перезатушенной системы функция отклика на скачок образована наложением экспонент такого типа как (10.1.12), и всегда располагается ниже асимптоты . Как и в системе первого порядка, отклик может иметь холостое время, для этого надо заменить аргумент в правой части (10.1.13) на . Многие весьма сложные динамические системы можно достаточно точно описывать такими системами второго порядка с запаздыванием.

Более сложные линейные динамические системы могут быть описаны, если допустить, что не только сами значения уровня вынуждающей функции , но также скорость ее изменения и более высокие производные влияют на поведение системы. Поэтому общая модель для описаний (непрерывных) динамических систем - это линейное дифференциальное уравнение

Информатика, кибернетика и программирование

Модели применяемые в управлении. Типы моделей. Масштаб времени динамических моделей. Непрерывные модели динамических систем. Уравнения состояния. Нелинейные системы. Численное моделирование динамических систем. Проблема слишком большого шага. Дискретные модели динам

Модели, применяемые в управлении. Типы моделей. Масштаб времени динамических моделей . Непрерывные модели динамических систем . Уравнения состояния. Нелинейные системы. Численное моделирование динамических систем. Проблема слишком большого шага. Дискретные модели динамических систем. Управляемость, оценка и наблюдаемость. Нечеткие системы

Модель процесса — основа управления. Любая стратегия управления базируется на некотором понимании того, как физический процесс реагирует на входной сигнал. Поэтому умение анализировать и моделировать динамику системы является основной предпосылкой для успешного управления.

Типы моделей

Существует много способов описания систем с помощью моделей. Конкретный выбор зависит от предварительно имеющейся информации, возможностей собирать данные о процессе по мере его развития и, что важнее всего, от цели моделирования. В отличие от науки, где целью моделирования является глубокое проникновение в суть системы, модель в инженерном смысле считается адекватной, если соответствующие процессы управления работают предсказуемым образом, т. е. имеется устойчивый выход с малыми отклонениями от заданного значения, воспроизводимость отклика на входной сигнал и т. д

1. Непрерывное во времени (аналоговое) описание . Система описывается линейными или нелинейными дифференциальными уравнениями баланса массы, энергии, сил или моментов. Во многих случаях нелинейные уравнения можно линеаризовать и тем самым упростить работу с ними.
2. Дискретное во времени описание (sampled time description ). Физические свойства описываются линейными или нелинейными разностными уравнениями. Такой подход означает, что информация о системе доступна только в определенные, дискретные, моменты времени. Этот тип описания в действительности почти неизбежен при цифровом управлении потому, что компьютеры, базирующиеся на наиболее распространенной архитектуре фон Неймана (von Neumann ), выполняют инструкции последовательно. Определение интервала дискретизации, т. е. периодичности обновления или пересчета данных, является наиболее важным элементом такого моделирования.
3. Модели систем, основанных на дискретных событиях (discrete events model ) или на последовательности событий (sequencing system ). Пример управления последовательностью событий был приведен в разделе 2.2.1. При таком описании входные и выходные величины системы дискретны во времени и обычно являются бинарными сигналами типа "включено/выключено". Многие системы управления последовательностью можно описать как системы очередей и моделировать так называемыми марковскими цепями или марковскими процессами.
4. Модели систем с неопределенностями (system with uncertainties ). Как на сами управляемые системы, так и на измерения часто влияют нежелательные шумы и возмущения. В одних случаях возмущения и неполные знания о техническом процессе можно интерпретировать статистически. В других — факторы неопределенности вместо количественных характеристик можно описывать лингвистическими и логическими выражениями. Пример такого описания — правила экспертных систем "если-то-иначе". Еще одно средство описания неопределенностей — так называемая нечеткая (fuzzy ) алгебра.

Масштаб времени динамических моделей

Масштаб времени — одна из наиболее важных характеристик динамического процесса. Большинство технических систем и производств включают в себя несколько процессов, существенно отличающихся временем реакции. Поэтому при описании процесса важно выбрать масштаб времени, который соответствует поставленной цели.

Проиллюстрируем это на примере промышленного производства. Задачи управления можно разбить на несколько уровней. События на уровне станков происходят за доли секунды, как, например, при управлении манипулятором робота или инструментом станка. На следующем, более высоком уровне управления, на уровне участка, цель — синхронизация различных механизмов, например решение, когда робот должен переместить деталь между двумя станками. Масштаб времени здесь уже имеет порядок от секунд до минут. На уровне участка предполагается, что задача управления конкретным станком уже решена на более низком уровне. Масштаб времени на уровне участка определяется задачами снабжения станка заготовками, определения, свободен ли робот, чтобы захватить новую деталь, и т. д. На еще более высоком уровне планируется производство в целом, т. е. что производить и с какими конкретными характеристиками. Решение таких проблем может занимать дни или недели, и по сравнению с этим динамика одного станка рассматривается как одномоментная.

Моделирование динамических систем

Существуют как хорошо известные и давно изученные процессы, так и процессы, о которых известно очень мало и которые трудно поддаются количественному описанию. Например, динамика самолетов и ядерных реакторов изучалась очень тщательно, и существуют достаточно точные, хотя и очень сложные модели этих процессов. Есть процессы, которые трудно описать количественно. Например, лабораторный процесс ферментации микроорганизмов одного типа в четко определенной питательной среде можно описать весьма точно. В отличие от этого, процесс биологической очистки сточных вод содержит сложную смесь организмов в среде, трудно поддающейся описанию. Такой процесс только частично можно описать обычными количественными моделями. Когда количественных моделей недостаточно или они слишком сложны, для описания процессов применяют семантические (лингвистические) модели. Другие примеры частично изученных процессов — производство металла, разделение жидких и твердых субстанций, многие биохимические процессы и работа печей кругового обжига.

Для процессов, параметры которых изменяются во времени, характерны свои специфические проблемы. Например, в биологической системе добавление нового субстрата в процесс может вызвать мутацию микроорганизмов, которая приведет к значительному изменению динамики всего процесса.

Как правило, моделирование сложной системы представляет собой трудный, дорогой и требующий много времени процесс, особенно если необходима экспериментальная проверка. В принципе, существуют два способа разработки модели. При физическом подходе модель формируется исходя из физических соотношений и уравнений баланса. Другой способ построения динамической модели основан на экспериментальных данных. В технический процесс вносятся возмущения в виде различных типов входных сигналов, а затем выполняется анализ серий входных и выходных данных с помощью процедуры, которая называется идентификацией параметров . Если анализ выполняется в реальном времени, т. е. со скоростью, сопоставимой со скоростью протекания процесса, то такая процедура называется рекурсивной оценкой .

На практике обычно применяется комбинирование физического моделирования и идентификации параметров. При более глубоком изучении основных свойств процесса становится проще получить точное динамическое описание. Однако даже тщательно разработанные модели, основанные на физическом подходе, требуют экспериментальной проверки.

Параметры многих процессов и систем изменяются не только во времени, но и в пространстве, например концентрация жидкости в баке. Физический баланс таких систем описывается уравнениями в частных производных. В системах управления процессами эти уравнения обычно аппроксимируются конечными разностями по пространственным переменным для того, чтобы система описывалась обыкновенными дифференциальными уравнениями

Непрерывные модели динамических систем. Уравнения состояния

Дифференциальные уравнения, описывающие физический процесс, всегда можно преобразовать к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В этом случае говорят, что это описание в виде уравнений состояния или в пространстве состояний . Главное преимущество такой формы записи в том, что для решения этих уравнений можно использовать численные методы. Кроме того, четко прослеживается физическая сущность процесса, в частности связь между внутренними переменными и внешними входным и выходным сигналами. Аналогично, изучение систем управления с более чем одним входом и выходом, проще в форме уравнений состояния. Основой математического аппарата для моделей в пространстве состояний служит, главным образом, линейная алгебра — векторная и матричная нотации значительно упрощают описание. Однако методы линейной алгебры не требуются, чтобы получить основные представления о динамике системы.

Уравнения состояния представляют собой практичный и удобный способ описания динамических систем. Состоянием называется набор всех переменных — так называемых переменных состояния , производные первого порядка от, которых входят в уравнения описания динамической системы. Концепция уравнений состояния имеет фундаментальное значение. Если известны текущее состояние системы (переменные состояния) и входные сигналы, то можно предсказать ее дальнейшее поведение. При этом предысторию, т.е. как было достигнуто текущее состояние, знать не нужно. Другими словами, состояние — это минимальное количество информации о системе, которое необходимо, чтобы предсказать ее будущее поведение.

Состояние х можно представить как вектор-столбец, компоненты которого — переменные состояния

Непосредственно измерить все переменные состояния можно в редких случаях, т. е. существуют внутренние переменные, за которыми не удается следить с помощью датчиков. Поэтому описание в пространстве состояний называют также внутренним описанием . Выходные величины — измерения, обозначаются через y 1 , у 2 ,..., у р и составляют вектор у

В общем случае число датчиков р, связанных с техническим процессом, меньше числа переменных состояния п. Поэтому вычисление х по у — нетривиальная задача.

На любую техническую систему влияют входные сигналы двух типов — сигналы,которые можно изменять вручную или автоматически какими-либо техническими средствами, и сигналы, которыми управлять невозможно. Сигналы первого типа называются управляющими сигналами или переменными управления U 1 , U 2 составляют вектор U

Входные сигналы второго типа могут влиять на систему, но не поддаются управлению. Величина этих сигналов отражает влияние внешней среды на систему, например изменение (возмущение) нагрузки, вызванное температурой, радиацией, нежелательным магнитным воздействием ("наводками") и т. п. Все эти сигналы обозначаются вектором v

Целью системы управления является вычисление на основе имеющихся измерений у таких управляющих сигналов и, чтобы, несмотря на влияние возмущений v , техническая система выполняла поставленные задачи. Управляемую систему можно представить в виде блок-схемы (рис. 3.13), на которой показаны управляющие сигналы, возмущения и выходные переменные

Рис. 2.1 Блок-схема управляемой системы

Область применения линейных моделей

Существуют динамические явления, которые нельзя описать линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Рассмотрим влияние нелинейности на примерах. Системы, описываемые ниже, ведут себя как линейные при малых значениях входных сигналов, а при больших — появляется нелинейность.

Ограничения сигнала

В реальных условиях все сигналы ограничены. Во многих технических системах в качестве конечных управляющих элементов используются клапаны. Поскольку клапан не может быть открыт больше, чем на 100 %, рассчитанный математически сигнал управления иногда просто нельзя реализовать (рис. 2.2). Это вызывает определенные трудности в управлении.

Другой пример ограничения сигнала — ток ротора электрического двигателя. Ток должен быть ограничен, иначе двигатель сгорит. Соответственно, система управления двигателем не может быть линейной, особенно при больших ускорениях и моментах, когда ток тоже должен быть большим

Рис.2.2 Выходной сигнал исполнительного механизма с ограничениями

Нелинейные системы

Описанные системы являются нелинейными, но при некоторых допущениях их можно аппроксимировать линейными уравнениями. Другие типы нелинейностей нельзя свести к линейному описанию. Наиболее часто встречающийся пример — релейные системы. Реле вырабатывают бинарные сигналы типа "включено/ выключено"; идеальное реле для любого положительного входного сигнала имеет фиксированный положительный выход и, соответственно, фиксированный отрицательный выход при любом отрицательном входе. Очевидно, что в такой системе не выполняется принцип суперпозиции

Примеры систем с существенными нелинейностями:

1. различные виды реле (с зоной нечувствительности, гистерезисом и т. д.);
2. клапаны (зоны нечувствительности, насыщение);
3. нелинейные деформации механических пружин;
4. падение давления в сужении трубы;
5. силы трения;
6. аэродинамическое сопротивление;
7. свойства пара;
8. двигатели постоянного тока с последовательной обмоткой возбуждения (момент — функция квадрата тока роторной цепи);

двигатели переменного тока

Нелинейные системы можно описать в следующем виде

где определены п переменных состояния и г входов, или в компактной векторной форме

Численное моделирование динамических систем

Для решения нелинейных дифференциальных уравнений в большинстве случаев используются численные методы. Основной метод решения дифференциальных уравнений — аппроксимация производных по времени простыми разностными уравнениями. Этот метод называется аппроксимацией Эйлера с восходящими разностями

Если известны начальные условия х(0), то можно рассчитать состояния х(t + h ), х(t +2 h ), х(t +3 h ),..., которые являются приближениями точного решения в моменты времени t + h , t +2 h , t +3 h и т.д. Здесь очень важно выбрать шаг { step ) интегрирования h , который, в принципе, должен быть как можно меньше, однако на практике выбирается некая компромиссная величина. Слишком маленький шаг приведет к неоправданно большому времени вычислений (которое, естественно, еще серьезно зависит от сложности вычислений, типа уравнений, числа переменных и мощности процессора). С другой стороны, слишком большое значение h вызывает проблемы сходимости решения и приводит к нежелательным результатам. Эффект неправильно выбранного шага может оказаться очень существенным, особенно если моделируемая система включает в себя и быстрые, и медленные динамические процессы.

Проблема слишком большого шага

Для иллюстрации проблемы слишком большого шага рассмотрим простую систему, описываемую уравнением первого порядка

где х(0) = 1 и а > 0. Уравнение имеет аналитическое решение

С другой стороны, дифференциальное уравнение можно решить численно методом Эйлера. При аппроксимации производной конечной разностью

На рис. 2.3. показано, что происходит при различных значениях шага h . В общем случае для больших значений h — таких, что h > 2/а, решение х будет иметь колебательный характер с изменением знака и ростом амплитуды. Проблема возникновения колебаний из-за слишком большого шага интегрирования называется численной неустойчивостью. Эта неустойчивость не имеет ничего общего с самой системой и вызвана только слишком грубой аппроксимацией при вычислении решения.

Существует много методов численного интегрирования, каждый из которых имеет свои достоинства и недостатки; наибольшее распространение получили методы Рунге-Кутта. Большинство методов интегрирования допускают варьируемую величину шага, которая выбирается автоматически, чтобы удовлетворить наперед заданному критерию погрешности

Дискретные модели динамических систем

Цифровая ЭВМ не может обрабатывать постоянно меняющиеся аналоговые данные. Соответственно, и сбор данных, и выработка управляющих сигналов происходят только в определенные моменты времени. Ситуация принципиально не меняется при повышении скорости процессора. Более быстрый процессор работает по тому же принципу, что и более медленный, — он просто обрабатывает больше данных за тот же интервал времени, но данные при этом остаются дискретными.

Ниже излагается модель физического процесса, пригодная для приложений компьютерного управления. В соответствии с рассматриваемой моделью измеряемые данные процесса собираются через регулярные интервалы времени. Эти интервалы не обязательно должны быть одинаковыми, однако описание дискретной динамической модели становится проще при постоянном интервале. Данный процесс называется выборкой, дискретизацией { sampling ) или квантованием, длина интервала — временем (периодом, интервалом) выборки, дискретизации { sampling time ) или квантования. Другое упрощение, используемое при разработке дискретно-временных моделей процессов, состоит в том, что измеряемые данные и сигналы управления остаются постоянными в течение интервала выборки. Фактически таким же образом работают схемы выборки и хранения интерфейса компьютера.

Описание в пространстве состояний

Нелинейный процесс можно аппроксимировать разностным уравнением

где h — интервал выборки kh — его порядковый номер; f (x , u ) — производная по времени вектора состояния системы х. Аппроксимация справедлива, если h достаточно мал, и производная "гладкая". Разностное уравнение по существу такое же, что и при численном моделировании. Линейная система с постоянными коэффициентами в дискретном виде представляется следующим образом

В матричных обозначениях это можно записать

Для линейной или линеаризированной системы аппроксимация не обязательна. Поскольку линейные дифференциальные уравнения можно решить аналитически, соответствующие уравнения для дискретного представления можно получить из решения. Предполагается, что сигнал управления u (t ) остается постоянным между моментами выборки, т. е. система включает в себя схему удержания. Дискретную модель можно записать в матричном виде

где Ф — матрица размерностью п x п, а Г — матрица размерностью п x l . Связь между матрицами А и В и матрицами Ф и Г следующая

где I — единичная матрица.

Преобразование между матрицами для непрерывной и дискретной моделей можно выполнить с использованием стандартных программ. Аппроксимация конечными разностями стремится к точному решению при малых значениях интервала выборки h . Поскольку измерения происходят периодически, то уравнение для дискретной модели справедливо только в моменты выборки

Решение уравнений дискретной модели на цифровой ЭВМ получается довольно просто: решения х(kh ) в последовательные моменты времени вычисляются шаг за шагом на основе разностных уравнений

Управляемость, оценка и наблюдаемость

Каждая техническая система обладает несколькими фундаментальными характеристиками, которые требуют особого внимания.

Управляемость (controllability ) — это характеристика системы, которая показывает, имеет ли система достаточное количество регулируемых параметров для того, чтобы управлять ею требуемым образом. Грубо говоря, система является управляемой, если можно подобрать такие управляющие воздействия и, чтобы система достигла заданного состояния х. Только тогда, когда система управляема, ее полюса (или собственные числа) можно произвольно перемещать с помощью обратной связи.

Если процесс неуправляем, это означает, что части системы физически отсоединены от управляющих сигналов .

Управляющие сигналы влияют на каждую переменную состояния по отдельности. В управляемой системе все элементы матрицы В — ненулевые, в противном случае переменные состояния, соответствующие нулевым элементам матрицы В, не могут регулироваться сигналами управления. Значения таких переменных будут определяться только свойствами системы.

Управляемость линейной системы на базе непрерывной и дискретной модели можно проверить математическими методами. Однако никакие математические методы не могут заменить понимание физической природы процесса инженером-проектировщиком. Например, часто бывает, что некоторые параметры плохо управляемы, т. е. значения соответствующих коэффициентов Р, малы. И хотя формально система управляема, реальный регулятор, пригодный для практического использования, создать невозможно.

Оценка состояния на основе измерений

Вторая характеристика системы связана с измерениями и наблюдением. Позволяет ли имеющийся состав датчиков получить достаточную информацию о состоянии системы. Возможно ли косвенным образом вычислить весь текущий вектор состояния x { t ), если известны текущее и предыдущее значения выходного сигнала у(0).Эта характеристика называется наблюдаемостью .

В большинстве случаев состояние системы не измеряется непосредственно, т. е. число датчиков меньше числа переменных состояния. Однако часто важно знать полный вектор состояния х, даже если адекватные датчики не существуют или просто слишком дороги. При определенных условиях можно вычислить вектор состояния х на основе измерений у . В последующем х будет обозначать вычисленный вектор состояния, поскольку он может отличаться от реального.

Для вычисления неизмеряемых переменных состояния можно использовать процедуру оценки (estimator ), причем как для непрерывных, так и для дискретных моделей. Здесь рассмотрен алгоритм оценки для дискретной модели, поскольку его можно непосредственно применять в компьютерном управлении. Оценка состояния фактически является описанием технического процесса разностными уравнениями, в которые введен дополнительный член для корректировки оцениваемых переменных на основе измерений у

Матрица D в большинстве случаев — нулевая. Если система имеет только один датчик, тогда К является вектором, в противном случае — матрицей. При "отличной" оценке х и х совпадают и последнее слагаемое в уравнении равно нулю, так как у = С х. Оценка будет подчиняться тому же динамическому уравнению, что и истинный вектор состояния х. Поскольку х отличается от х, последнее слагаемое, т. е. разность между реальным измерением у и его оценкой С*х, используется для коррекции ошибки. Матрица К есть весовой коэффициент, определяющий качество оценки.

Нечеткие системы

Многие системы не только нелинейны и нестационарны (изменяются во времени), но и вообще плохо определены. Их нельзя смоделировать уравнениями или представить набором ясных логических правил типа "если-то-иначе". Для решения подобных задач американский ученый Лотфи А. Задех (Lotfi A . Zadeh ) разработал нечеткую логику { fuzzy logic ). Термин "нечеткая" фактически использован не совсем правильно, поскольку логика прочно базируется на математической теории.

Нечеткую логику можно рассматривать как методологию дискретного управления, имитирующую человеческое мышление, с использованием такого свойства, присущего всем физическим системам, как неточность. В традиционной логике и вычислительной технике используются детерминированные множества, т. е. всегда можно сказать, принадлежит ли элемент множеству или нет. Обычная — бинарная — логика оперирует только противоположными состояниями — "быстро/медленно", "открыто/закрыто", "горячо/холодно". В соответствии с этой логикой температуру 25 "С можно расценить как "горячо", а 24.9 °С — еще "холодно", и регулятор температуры будет реагировать соответственно.

В противоположность этому нечеткая логика работает, преобразуя жесткие двоичные переменные — "горячо/холодно", "быстро/медленно", "открыто/закрыто" — в мягкие градации с изменяемой степенью принадлежности — "тепло/прохладно", "довольно быстро/несколько медленно". Температура 20 °С может означать одновременно и "тепло", и "прохладно". Такие градации игнорируются обычной логикой, но служат краеугольным камнем нечеткой логики. Степень членства определяется доверием { confidence ) или уверенностью { certainty ) (выражается числом от 0 до 1), что конкретный элемент принадлежит нечеткому множеству.

Нечеткие системы вырабатывают свои решения на основе входной информации в форме лингвистических переменных, т. е. терминов обычного языка, например "горячо", "медленно" или "темно". Эти переменные обрабатываются правилами "если-то-иначе",и в результате формируется один или более выводов в зависимости от того, какие утверждения истинны. Вывод каждого правила взвешивается в соответствии с доверием или степенью принадлежности его входных значений.

Существует некоторая аналогия между правилами "если-то" искусственного интеллекта и нечеткой логикой, хотя искусственный интеллект есть процесс обработки символов, а нечеткая логика — нет. В искусственном интеллекте нейронная сеть есть совокупность данных и выводов в виде специальных структур. Каждой входной величине назначается относительный, дискретный весовой коэффициент. Взвешенные данные точно определенным способом формируют сеть для принятия решений. В отличие от этого в нечеткой логике весовые функции непрерывно определены на множестве значений принадлежности.

Нечеткая логика часто имеет дело с переменными, которые скорее наблюдаются, чем измеряются. Управление на основе нечеткой логики имеет еще одно существенное отличие по сравнению с традиционным. Последнее основано на математической модели системы, которая предполагает наличие детальных знаний о соответствующих переменных. Моделирование на основе нечеткой логики имеет дело с отношениями вход/выход, в которых собраны вместе многие параметры. При таком управлении замена большого диапазона значений на меньшее количество градаций принадлежности помогает сократить число переменных, которыми должен оперировать регулятор. Соответственно, требуется меньшее число правил, поскольку надо оценивать меньше параметров, и во многих случаях регулятор на базе нечеткой логики может вырабатывать решения быстрее, чем экспертная система на основе правил "если-то". На экспериментальных прототипах было показано, что нечеткая логика является хорошим инструментом при недостаточных объемах информации.

Автоматический регулятор скорости поезда служит простой иллюстрацией приложений нечеткой логики. Критерием для регулятора является оптимизация времени пути при известных ограничениях. Входными данными являются текущие скорость, ускорение и расстояние до места назначения, на основе которых регулятор управляет мощностью двигателя

Функция принадлежности присваивает измеряемым величинам лингвистические значения. В приведенном случае ускорение имеет значение "торможение" из-за крутого подъема. Скорость принадлежит к множеству "медленно" (вес 0.8) и "слишком медленно" (вес 0.2), а расстояние имеет значение "очень близко к месту назначения" с весом 0.65 и "близко" с весом 0.35

Несколько правил могут дать представление о логике управления:

1. если скорость имеет значение "слишком медленно", а ускорение — "торможение", то следует "существенно увеличить" мощность;
2. если скорость имеет значение "медленно", а ускорение — "торможение", то следует "слегка увеличить" мощность;
3. если расстояние имеет значение "близко", то следует "слегка снизить" мощность.

Какое правило должно быть выбрано? Выход также имеет степень доверия, которая зависит от степени доверия (т. е. веса) входных данных. Окончательный выбор в рассматриваемом примере — "слегка увеличить" мощность. Даже если скорость имеет значение "слишком медленно", то поезд уже близок к месту назначения.

Нет гарантии, что нечеткая логика может успешно справляться со сложными системами. Регулятор на базе нечеткой логики является практически оценкой состояния системы, которая не основана на конкретной модели. Доказать устойчивость такого регулятора очень сложно.