Сайт о телевидении

Cтраница 1

Двойственный симплекс-метод меняет только порядок нахождения разрешающего элемента, поэтому все особенности (несовместность системы, неограниченность функционала) имеют здесь те же признаки, что и в обычном симплекс-методе. Разберем только преодоление вырождения, так как оно вызывается нулем среди коэффициентов z - строки, а не среди свободных членов.  

Двойственный симплекс-метод начинает с двойственно допустимого решения и сохраняет его двойственно допустимым на протяжении всех шагов. Двойственный симплекс-метод реализуется посредством таких же таблиц, что и прямой симплекс-метод. Сначала определяется, какая переменная должна быть выведена из базиса, а затем - какая должна быть введена в базис. Двойственный симплекс-метод для задачи минимизации состоит из следующих шагов.  

Двойственный симплекс-метод, как и симплекс-метод, используется при нахождении решения задачи линейного программирования, записанной в форме основной задачи, для которой среди векторов Р /, составленных из коэффициентов при неизвестных в системе уравнений, имеется т единичных.  

Двойственным симплекс-методом с применением модифицированных исключений удобно решать задачи целочисленного программирования (см. гл.  

Двойственным симплекс-методом он получен не тремя шагами, а двумя.  

Используя двойственный симплекс-метод, находят решение задачи, получающейся в результате присоединения дополнительного ограничения.  

Используя двойственный симплекс-метод, находят решение задачи, получающейся из задачи (32) - (34) в результате присоединения дополнительного ограничения.  

Существует еще двойственный симплекс-метод, который предназначен для решения задач с большим числом ограничений или задач, в которых число ограничений возрастает. Кроме того, существуют методы, решающие задачи с изменяющимися параметрами, когда не обязательно прибавляются только строки или только столбцы.  

Применение двойственного симплекс-метода к задаче линейного программирования может натолкнуться на сложности, если задача вырождена. Геометрически это означает, что одинаковые значения целевой функции достигаются более чем в одной вершине двойственного многогранника условий.  

Использование двойственного симплекс-метода для решения задачи линейного программирования эквивалентно использованию обычного симплексного метода для решения соответствующей двойственной задачп.  

Воспользуемся стандартным двойственным симплекс-методом для решения задачи максимизации и получим искомую систему оптимальных цен.  

В двойственном симплекс-методе решение задачи выполняется в такой последовательности: сначала добиваются неотрицательности коэффициентов z - строки, а затем-неотрицательности, свободных членов. Требуется обосновать для такого порядка правило выбора разрешающего элемента.  

Если используется двойственный симплекс-метод, то нам надо, имея двойственное допустимое у, получить неравенство, которому текущее у не удовлетворяет. Таким образом, вычисления состоят из двух частей. Вторая часть - вспомогательные вычисления (порожденных) неравенств, используемых в первой части. Если воспользоваться текущим Y в графе Н (G, т), у), можно найти кратчайший путь от 0 до g0 длины yt Yo - Тогда неравенство yt То не выполняется. Это неравенство-добавляется к неравенствам первой части. Неравенство необходимо видоизменить, прежде чем записать его в конец двойственной симплексной таблицы.  

Итак, последовательные переходы от одного сопряженного базиса к другому производят до тех пор, пока не получат решение задачи или не установят ее неразрешимость. Каждый переход от одного псевдоплана к другому составляет одну итерацию (один шаг) .

Каждая итерация содержит два этапа. На первом этапе выясняют, не является ли псевдоплан оптимальным планом прямой задачи, и если нет, то разрешима ли задача. Для этого необходимо вычислить и установить их знаки. Второй этап состоит в осуществлении элементарного преобразования - (одной итерации) метода полного исключения Жордана-Гауса, приводящего к новому псевдоплану с меньшим значением целевой функции.

Описание алгоритма . Задача ЛП должна быть задана в канонической форме (1.1), (1.2) или сведена к ней. Отыскивают сопряженный базис двойственной задачи и обозначают его . Разложим А 0 по векторам базиса А і1 ,.,А іm в соответствии с (1.9) и найдем псевдоплан прямой задачи.

Исследуем знаки {х i0 } . Если имеет место случай , то начальный псевдоплан является оптимальным планом прямой задачи. При наличии отрицательных компонент {х i0 } вычисляем коэффициенты разложения векторов A j по векторами сопряженного базиса {х ij } в соответствии с (1.8).

Если для некоторого r такого, что х r0 <0 , все то задача не разрешима (второй случай), и на этом процесс вычислений заканчивается.

Если имеет место третий случай (то есть для каждого r такого, что х r0 <0 , по крайней мере одна из компонент х rj <0 ), то переходим к второму этапу. С этой целью составляют таблицу k -й итерации (аналогичную симплекс-таблице ), которая состоит (m+2) строк и (n+1) -го столбца (табл. 6.1).

Столбец В x таблицы, как обычно, содержит векторы {A i } базиса псевдоплана хk , а столбец А 0 - базисные компоненти псевдоплана {х i0 (k)} . Строка (m+1) -индексная, ее заполняют параметрами , являющимися оценками векторов А j :

величина - значение целевой функции при псевдоплане

Итерацию k завершают заполнением главной части таблицы (от первой до (m+1) -й строк).

Таблица 6.1.

C			C 1	C 2	.	C j	.	C n
	B x	A 0	A 1	A 2	.	A j	.	A n
C 1	X 1	X 10	X 11	X 12	.	X 1j	.	X 1n
C 2	X 2	X 20	X 21	X 22	.	X 2j	.	X 2n
.	.	.	.	.	.	.	.	.
C i	X i	X i0	X i1	X i2	.	X ij	.	X in
.	.	.	.	.	.	.	.	.
C m	X m	X m0	X m1	X m2	.	X mj	.	X mn
					.		.
					.		.

На первом этапе (k+1) -и итерации выясняют, имеет ли место первый, второй или третий случай.

В третьем случае переходим ко второму этапу. Сначала определяют вектор А r , который необходимо вывести из базиса. Его индекс r определяют из условия

В строке заполняют лишь те позиции, для которых x rj <0 . Вектор А l , который должен быть введен в базис, находят из условия

Определив направляющую строку r и столбец l , вычисляют элементы главной части таблицы (k+1) -й итерации по рекуррентным соотношениям

(1.15)

Где x ri - направляющий элемент преобразования.

Вычислительная схема алгоритма двойственного симплекс-метода похожа на вычислительную схему симплекс-метода . Аналогичны и формы таблиц.

Различие между методами заключается в том, что при симплекс -методе производят последовательный переход от одного допустимого базисного решения (опорного плана) задачи к другому, а при двойственном симплеск-методе - переход от одного псевдоплана к другому.

Формальное различие между вычислительными схемами этих методов проявляется только в правилах перехода от одного базиса к другому, а также в признаках оптимальности и неразрешимости задачи. В симплекс -методе сначала определяют вектор, вводимый в базис, а затем - вектор,исключаемый из базиса, а в двойственном симплекс-методе этот порядок - обратный.

Отметим некоторые важные свойства двойственного симплекс-метода .

В отличие от прямого

Так как есть три единичных вектора, то
можно сразу записать опорный план
Х=(0,0,0,360,192,180).
Составим нулевую симплекс-таблицу

Полученный опорный план проверяем
на оптимальность.
Вычисляем значение целевой функции и
симплекс-разности.
F0 c P0 0 360 0 192 0 180 0,
1 z1 c1 c P1 c1 9,
2 z2 c2 cP2 c2 10,...

Как видно из 0-й таблицы отличными от нуля
являются переменные x4 , x5 , x6 , а x , x , x
1
2
3
равны нулю, т.к. они небазисные, а свободные.
Дополнительные же переменные x4 , x5 , x6
принимают свои значения в соответствии с
ограничениями.
Эти значения переменных отвечают такому
«плану», при котором ничего не производится, сырье
не используется и значение целевой функции равно
нулю, т. е. стоимость произведенной продукции
отсутствует.
Такой план, конечно, не является оптимальным.
Это видно и из 4-й строки таблицы, в которой
имеется три отрицательных оценки -9, -16 и -10.

10.

Отрицательные числа не только
свидетельствуют о возможности увеличения
общей стоимости производимой продукции (в
столбцах над отрицательными оценками
стоят положительные числа), но и
показывают, на сколько увеличится эта сумма
при введении в план единицы того или иного
вида продукции.
Так, число -9 означает, что при включении в
план производства одного изделия А
обеспечивается увеличение стоимости
продукции на 9 д.е.

11.

Если включить в план производства по
одному изделию В и С, то общая стоимость
изготовляемой продукции возрастет
соответственно на 10 и 16 д.е. Поэтому с
экономической точки зрения целесообразным
является включение в план изделий С.
Это же необходимо сделать и с той точки
зрения, что -16 является наименьшей
отрицательной оценкой. Значит, в базис
введем вектор P3 .

12.

Найдем число Q .
360 192 180
Q min
;
;
min 30; 24;60
3
12 8
Введем его в последний столбец таблицы.
Число 24 соответствует вектору P5 .
192/8=24 с экономической точки зрения
означает, какое количество изделий С
предприятие может изготовлять с учетом
норм расхода и имеющихся объемов сырья
каждого вида.

13.

Так как сырья каждого вида имеется
соответственно 360, 192 и 180 кг, а на одно
изделие С требуется затратить сырья каждого
вида 12, 8 и 3 кг, то максимальное число
изделий С, которое может быть изготовлено
предприятием равно
min{360/12,192/8,180/3}=192/8=24, т.е.
ограничивающим фактором для производства
изделий С является имеющийся объем сырья
2-го вида. С учетом его предприятие может
производить 24 изделия С.При этом сырье 2го вида будет полностью использовано и,
значит, вектор подлежит исключению из
P5
базиса.

14.

Составляем следующую таблицу. В ней
разрешающей является вторая строка,
а разрешающим столбцом –третий. На
их пересечении стоит элемент 8.
Разделим вторую строку на 8, а затем
обнулим по методу Жордана- Гаусса
или по формулам треугольника третий
столбец.

15.

16.

Подсчитаем симплекс-разности и заполним 4ю строку таблицы.
При данном плане производства
изготовляется 24 изделия С и остается
неиспользованным 72 кг сырья 1-го и 108 кг
сырья 3-го вида. 2-й вид сырья использован
полностью. Стоимость всей продукции при
этом плане составляет 384 д.е. Указанные
числа записаны в столбце План. Это опять
параметры задачи, но они претерпели
изменения. Изменились и данные других
столбцов. Их экономическое содержание
стало еще более сложным.

17.

Имеется одна отрицательная оценка -2.
План можно улучшить. Введем в базис
вектор P2 . Вычислим
72 24 108
Q min ;
;
min 8; 48;72 8.
9 1/ 2 3 / 2
.
Выводим из базиса P4 .

18.

Разрешающими будут 1-я строка и 2-й
столбец. Разрешающий элемент 9.
Разделим на 9 1-ю строку, заполним
1-ю строку новой таблицы, затем
обнулим 2-й столбец. Для этого
умножим 1-ю строку на (-1/2) и
прибавим ко 2-й, а затем умножим 1-ю
строку на (-3/2) и прибавим к 3-й строке.
Заполним таблицу 2.

19.

20.

В этом мы убеждаемся,
вычисляя симплекс-разности
1 cP1 c1 10 1 16 0.25 9 5,
2 cP2 c2 10 1 16 0 10 0,
3 cP3 c3 10 0 16 1 0 0 16 0,
4 cP4 c4 10 1/ 9 16 1/ 8 0 (1/ 6) 2 / 9,
5 cP5 -c5 =10 (-1/6)+16 5/24+0(-1/2)=5/3,
6 0.

21.

Оптимальным планом производства не
предусмотрен выпуск изделий А. Введение в
план выпуска продукции вида А привело бы к
уменьшению указанной общей стоимости.
Это видно из 4-й строки столбца, где число 5
показывает, что при данном плане включение
в него выпуска единицы изделия А приводит
лишь к уменьшению общей величины
стоимости на 5 д.е.
Итак, план предусматривает выпуск 8 изделий
В и 20 изделий С. Сырье видов 1 и 2
используется целиком, а вида 3неиспользованным остается 96 кг.

22. ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Каждой ЗЛП можно поставить в соответствие
задачу, называемую двойственной к исходной
задаче.
Рассмотрим задачу об использовании
ресурсов. Предположим, что предприятие А
производит n видов продукции, величина
выпуска которых определяется переменными
x1 , x2 , ..., xn
.
В производстве используются m различных
видов ресурсов, объем которых ограничен
величинами b1 , b2 , ..., bn .

23.

Известны нормы затрат каждого ресурса на единицу
каждого вида продукции, образующие матрицу,
a11
a21
A
...
am1
a12
a22
...
am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
а также стоимость единицы продукции каждого вида
c1 , c2 , ..., cn
Требуется организовать производство так, чтобы
предприятию А была обеспечена максимальная
прибыль.

24.

Задача сводится к нахождению
неотрицательных переменных
x1 , x2 , ..., xn ,
при которых расход ресурсов не
превышает заданного их количества, а
стоимость всей продукции достигнет
максимума.

25.

В математической форме задача
записывается следующем виде:
F c1 x1 c2 x2 ... c j x j ... cn xn max
при условиях
a11 x1 a12 x2 ... a1 j x j ... a1n xn b1 ,
a21 x2 a22 x2 ... a2 j x j ... a2 n xn b2 ,
.
...............................................................,
a x a x ... a x ... a x b
mj j
mn n
m
m1 1 m 2 2
x j 0, j 1, n.

26.

По этим же исходным данным может быть
сформулирована другая задача.
Предположим, что предприятие В решило закупить
все ресурсы, которыми располагает предприятие А. В
этом случае предприятию В необходимо установить
оптимальные цены на эти ресурсы, исходя из
следующих условий:
общая стоимость ресурсов для предприятия В
должна быть минимальной;
за каждый вид ресурса предприятию А надо
уплатить не менее той суммы, которую это
предприятие может получить при переработке
данного вида ресурса в готовую продукцию.

27.

Если обозначить через y1 , y2 , ..., yn
цены, по которым предприятие В
покупает ресурсы у предприятия А, то
задача сводится к следующему: найти
такие значения переменных y1 , y2 , ..., yn ,
при которых стоимость ресурсов,
расходуемых на единицу любого вида
продукции не меньше прибыли (цены)
за эту единицу продукции, а общая
стоимость ресурсов достигает
минимума,

28.

т.е.какова должна быть оценка единицы
каждого из ресурсов y1 , y2 , ..., yn ,
чтобы при заданных объемах
имеющихся ресурсов bi , при заданных
стоимостях c j (j 1, n) единицы
продукции и нормах расходов aij
минимизировать общую оценку затрат
на всю продукцию.

29. Мат. модель двойственной задачи

В математической форме задача
записывается в виде:
*
F b1 y1 b2 y2 ... bm ym min
при ограничениях
a11 y1 a21 y2 ... am1 ym c1 ,
a y a y ... a y c ,
m2 m
2
12 1 22 2
..................................................
a y a y ... a y c ,
mn m
n
1n 1 2 n 2
yi 0, i 1, 2,..., m.

30. Экономический смысл переменных двойственной задачи

Переменные yi двойственной задачи в литературе
могут иметь различные названия:учетные, неявные,
теневые, объективно обусловленные оценки,
двойственные оценки или «цены» ресурсов.
Эти две задачи образуют пару взаимно
двойственных задач, любая из которых может
рассматриваться как исходная. Решение одной
задачи дает оптимальный план производства
продукции, а решение другой – оптимальную
систему оценок сырья, используемого для
производства этой продукции.

31.

Двойственные задачи линейного
программирования называют
симметричными, если они удовлетворяют
следующим свойствам:
число переменных в двойственной задаче
равно числу ограничений исходной задачи, а
число ограничений двойственной задачи
равно числу равно числу переменных в
исходной;
в одной задаче ищется максимум целевой
функции, в другой – минимум;
коэффициенты при переменных в целевой
функции одной задачи являются свободными
членами системы ограничений другой задачи;

32.

в каждой задаче система ограничений задается в
виде неравенств, причем, в задаче на отыскание
максимума, все неравенства вида «≤», а в задаче на
отыскание минимума, все неравенства вида «≥»;
матрица коэффициентов системы ограничений
получается одна из другой путем транспонирования;
каждому ограничению одной задачи соответствует
переменная другой задачи, номер переменной
совпадает с номером ограничения;
условия не отрицательности переменных
сохраняются в обеих задачах;

33. Решение симметричных двойственных задач

Первая теорема двойственности.
Если одна из двойственных задач
имеет оптимальное решение, то
оптимальное решение имеет и другая
задача, при этом значения целевых
функций задач равны между собой.
Если целевая функция одной из
задач не ограничена, то другая задача
вообще не имеет решения

34. Экономическое содержание первой теоремы двойственности

Если задача определения оптимального плана,
максимизирующего выпуск продукции, разрешима, то
разрешима и задача определения оценок ресурсов.
Причем цена продукта, полученного в результате
реализации оптимального плана, совпадает с
суммарной оценкой ресурсов.
Совпадения значений целевых функций для
соответствующих решений пары двойственных задач
достаточно для того, чтобы эти решения были
оптимальными.
Решая ЗЛП симплекс-методом, мы одновременно
решаем и исходную и двойственную задачи.

35. Метод одновременного решения пары двойственных задач

Исходная задача: Двойственная задача:
F c1x1 c2 x2 ... c j x j ... F * b1 y1 b2 y2 ...
cn xn max
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn xn 1 b1 ,
a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn xn 2 b2 ,
..........................................................
a x a x ... a x x b ,
mn n
n m
m
m1 1 m 2 2
x j 0, j 1, 2,..., n m.
bm ym min,
a11 y1 a21 y2 ... am1 ym ym 1 c1 ,
a y a y ... a y y c ,
m2 m
m 2
2
12 1 22 2
.............................................................
a y a y ... a y y c ,
mn m
m n
n
1n 1 2 n 2
yi 0, i 1, 2,..., m n.

36.

Число переменных в задачах одинаково
и равно m + n. В исходной задаче
базисными переменными являются

переменные xn 1 , xn 2 , ..., xn m
,
а в двойственной задаче –
вспомогательные неотрицательные
переменные yn 1 , yn 2 , ..., yn m .
Базисным переменным одной задачи
соответствуют свободные переменные
другой задачи, и наоборот.

37.

38.

При решении ЗЛП табличным симплексметодом решение двойственной задачи
содержится в последней строке таблицы.
Это j.
Причем основные переменные двойственной

соответствующих дополнительным
переменным исходной задачи, а
дополнительные переменные двойственной
задачи содержатся в столбцах,
соответствующих основным
(первоначальным) переменным исходной
задачи.

39. Пример.

Сформулируем модель задачи, двойственной
к задаче из примера 2 (начало лекции):
Найти максимум функции

40.

41.

Переменные исходной задачи x1 , x2 , x3 это количество изделий А,В и С. Введем
переменные двойственной задачи y1 , y2 , y3
Найти минимум функции
F * 360 y1 192 y2 180 y3 min
при ограничениях
18 y1 6 y2 5 y3 9,
15 y1 4 y2 3 y3 10,
12 y 8 y 3 y 16,
2
3
1
y1 , y2 , y3 0.

42. Рассмотрим последнюю таблицу исходной задачи

43.

Значение y1 в последней строке столбца P4 ,
т.е. y1 2 ;
9y 5
значение 2 3 в последней строке столбца P5,
значение y3 0 в последней строке столбца P6 .
Остальные значения находим в столбцах 1,2,3.
2 5
Y (; ;0;5;0;0)
9 3
При этом
2
5
F 360 192 180 0 0 5 0 0 0 0 400
9
3
*
-это минимальные затраты на всю продукцию.
2/9 и 5/3 –это теневые цены сырья 1-го и 2-го
видов соответственно.

.
Приведем систему ограничений к системе неравенств смысла ≤, умножив соответствующие строки на (-1).
Определим минимальное значение целевой функции F(X) = x 1 + x 2 при следующих условиях-ограничений.
- 5x 1 - 6x 2 ≤-1
- 15x 1 ≤-1
- 7x 1 - 12x 2 ≤-1
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме ).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x 3 . В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x 4 . В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x 5 .
-5x 1 -6x 2 + 1x 3 + 0x 4 + 0x 5 = -1
-15x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 1x 4 + 0x 5 = -1
-7x 1 -12x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 1x 5 = -1
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

A=	-5	-6	1	0	0
	-15	0	0	1	0
	-7	-12	0	0	1

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x 3 , x 4 , x 5 ,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,-1,-1,-1)
Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

	B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
	-1	-5	-6	1	0	0
	-1	-15	0	0	1	0
	-1	-7	-12	0	0	1
	0	-1	-1	0	0	0

.
План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
.

Ведущей будет 1-ая строка, а переменную x 3 следует вывести из базиса.
.
Минимальное значение θ соответствует 2-му столбцу, т.е. переменную x 2 необходимо ввести в базис.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-6).

	B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
	-1	-5	-6	1	0	0
	-1	-15	0	0	1	0
	-1	-7	-12	0	0	1
	0	-1	-1	0	0	0
	0	-1: (-5) = 1 / 5	-1: (-6) = 1 / 6	-	-	-

4. Пересчет симплекс-таблицы .

	B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
	1 / 6	5 / 6	1	-1 / 6	0	0
	-1	-15	0	0	1	0
	1	3	0	-2	0	1
	1 / 6	-1 / 6	0	-1 / 6	0	0

	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
	5 / 6: 1	1: 1	-1 / 6: 1	0: 1	0: 1
1-(1 / 6 0):1	-15-(5 / 6 0):1	0-(1 0):1	0-(-1 / 6 0):1	1-(0 0):1	0-(0 0):1
	3-(5 / 6 0):1	0-(1 0):1	-2-(-1 / 6 0):1	0-(0 0):1	1-(0 0):1
1 / 6 -(1 / 6 0):1	-1 / 6 -(5 / 6 0):1	0-(1 0):1	-1 / 6 -(-1 / 6 0):1	0-(0 0):1	0-(0 0):1

1. Проверка критерия оптимальности .
План 1 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
2. Определение новой свободной переменной .
Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.
Ведущей будет 2-ая строка, а переменную x 4 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной .
Минимальное значение θ соответствует 1-му столбцу, т.е. переменную x 1 необходимо ввести в базис.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-15).

	B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
	1 / 6	5 / 6	1	-1 / 6	0	0
	-1	-15	0	0	1	0
	1	3	0	-2	0	1
	1 / 6	-1 / 6	0	-1 / 6	0	0
	0	-1 / 6: (-15) = 1 / 90	-	-	-	-

4. Пересчет симплекс-таблицы .
Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.

	B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
	1 / 9	0	1	-1 / 6	1 / 18	0
	1 / 15	1	0	0	-1 / 15	0
	4 / 5	0	0	-2	1 / 5	1
	8 / 45	0	0	-1 / 6	-1 / 90	0

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
1 / 9 -(1 / 15 0):1	0-(1 0):1	1-(0 0):1	-1 / 6 -(0 0):1	1 / 18 -(-1 / 15 0):1	0-(0 0):1
	1: 1	0: 1	0: 1	-1 / 15: 1	0: 1
4 / 5 -(1 / 15 0):1	0-(1 0):1	0-(0 0):1	-2-(0 0):1	1 / 5 -(-1 / 15 0):1	1-(0 0):1
8 / 45 -(1 / 15 0):1	0-(1 0):1	0-(0 0):1	-1 / 6 -(0 0):1	-1 / 90 -(-1 / 15 0):1	0-(0 0):1

В базисном столбце все элементы положительные.
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
1. Проверка критерия оптимальности .
Среди значений индексной строки нет положительных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
Окончательный вариант симплекс-таблицы:

	B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
	1 / 9	0	1	-1 / 6	1 / 18	0
	1 / 15	1	0	0	-1 / 15	0
	4 / 5	0	0	-2	1 / 5	1
	8 / 45	0	0	-1 / 6	-1 / 90	0

Оптимальный план можно записать так:
x 1 = 1 / 15
x 2 = 1 / 9
F(X) = 1 1 / 9 + 1 1 / 15 = 8 / 45

11.4. ДВОЙСТВЕННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД

Из результатов предыдущих пунктов следует, что для получения решения исходной задачи можно перейти к двойственной и, используя оценки ее оптимального плана, определить оптимальное решение исходной задачи.

Переход к двойственной задаче не обязателен, так как если рассмотреть первую симплексную таблицу с единичным дополнительным базисом, то легко заметить, что в столбцах записана исходная задача, а в строках –двойственная.

Как было показано, при решении прямой задачи на любой итерации разность , т.е. величина -коэффициента при переменной , равна разности между правой и левой частями соответствующего ограничения двойственной задачи. Если при решении прямой задачи с максимизируемой целевой функцией итерация не приводит к оптимальному решению, то по крайней мере для одной переменной и только в оптимуме для всех разность .

Рассматривая это условие с учетом двойственности, можно записать

.

Таким образом, если , то . Это означает, что, когда решение прямой задачи неоптимальное, решение двойственной задачи недопустимое. С другой стороны при . Отсюда следует, что оптимальному решению прямой задачи соответствует допустимое решение двойственной задачи.

Это позволило разработать новый метод решения задач линейного программирования, при использовании которого сначала получается недопустимое, но «лучшее, чем оптимальное» решение (в обычном симплекс-методе сначала находится допустимое , но неоптимальное решение). Новый метод, получивший название двойственного симплекс-метода , обеспечивает выполнение условия оптимальности решения и систематическое «приближение» его к области допустимых решений. Когда полученное решение оказывается допустимым, итерационный процесс вычислений заканчивается, так как это решение является и оптимальным.

Двойственный симплекс-метод позволяет решать задачи линейного программирования, системы ограничений которых при положительном базисе содержат свободные члены любого знака. Этот метод позволяет уменьшить количество преобразований системы ограничений, а также размера симплексной таблицы. Рассмотрим применение двойственного симплекс-метода на примере.

Пример . Найти минимум функции

при ограничениях

.

Перейдем к канонической форме:

при ограничениях

Начальная симплекс-таблица имеет вид

Базисные переменные	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	Решение
x 3 x 4 x 5	–3 –4	–1 –3				–3 –6
	–2	–1

Начальное базисное решение оптимальное, но не допустимое.

Как и обычный симплексный метод, рассматриваемый метод решения основан на использовании условий допустимости и оптимальности.

Условие допустимости . В качестве исключаемой переменной выбирается наибольшая по абсолютной величине отрицательная базисная переменная (при наличии альтернатив выбор делается произвольно). Если все базисные переменные неотрицательные, процесс вычислений заканчивается, так как полученное решение допустимое и оптимальное.

Условие оптимальности . Включаемая в базис переменная выбирается из числа небазисных переменных следующим образом. Вычисляются отношения коэффициентов левой части -уравнения к соответствующим коэффициентам уравнения, ассоциированного с исключаемой переменной. Отношения с положительным или нулевым значением знаменателя не учитываются. В задаче минимизации вводимой переменной должно соответствовать наименьшее из указанных отношений, а в задаче максимизации – отношение, наименьшее по абсолютной величине (при наличии альтернатив выбор делается произвольно). Если знаменатели всех отношений равны нулю или положительные, задача не имеет допустимых решений.

После выбора включаемой в базис и исключаемой переменных для получения следующего решения осуществляется обычная операция преобразования строк симплекс-таблицы.

В рассматриваемом примере исключаемой переменной является . Отношения, вычисленные для определения новой базисной переменной, приведены в следующей таблице:

Переменные	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
Уравнение x 4 -уравнение	–2 –4	–1 –3
Отношение

В качестве включаемой переменной выбирается x 2 . Последующее преобразование строк приводит к новой симплекс-таблице:

Базисные переменные	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	Решение
x 3 x 2 x 5						–1 –1

Новое решение также оптимальное, но все еще недопустимое. В качестве новой исключаемой переменной выберем (произвольно) x 3 . Определим включаемую переменную.

Переменные	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
Уравнение x 4 -уравнение
отношение