Определитель n–го порядка состоит из n 2 элементов, записанных в n строк и в n столбцов, и имеет вид:
Элемент определителя а i j стоит в строке с номером i и в столбце с номером j. Индексы i и j могут принимать любые натуральные значения от 1 до n. Так, записав а i3 (i=1,2,…,n), мы перечислим все элементы, стоящие в столбце с номером 3: а 13 , а 23 , а 33 ,…,а n3 . Элементы а ij (при i=j) составляют главную диагональ определителя.
Вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению определителей третьего и второго порядка при помощи следующих свойств.
Свойства определителей:
1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами (не меняя порядка их номеров). Поэтому далее будем говорить о строках, подразумевая сказанное верным и для столбцов.
2. Если поменять местами две строки определителя, то он изменит свой знак.
3. Определитель с двумя одинаковыми (или пропорциональными) строками равен нулю.
4. Общий множитель всех элементов какой-либо его строки можно выносить за знак определителя.
5. Если все элементы какой-либо строки определителя равны нулю, то такой определитель равен нулю.
6. Определитель не изменится, если ко всем элементам какой-либо его строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Примеры.
№ 6. Вычислить определители:
а)
Здесь к элементам первого столбца прибавили элементы третьего столбца.
б)
К элементам первой строки прибавили элементы третьей.
в)
Этот определитель удобнее вычислять по правилу Сарруса, т.к. четыре из шести слагаемых равны нулю.
Вернемся к свойствам определителей. Но введем вначале понятия минора и алгебраического дополнения.
Если из данного определителя n-го порядка вычеркнем строку и столбец, на пересечении которых стоит элемент а ij , то получим определитель (n-1)-го порядка, который называется минором элемента а ij и обозначается М ij. Например, в определителе третьего порядка найдем минор М 21 элемента а 21 . Для этого вычеркиваем вторую строку и первый столбец:
В определителе четвертого порядка можно записать 4х4=16 миноров, каждый из которых будет определителем третьего порядка.
Запишем миноры элементов а 32 и а 44 , например, определителя четвертого порядка:
Алгебраическим дополнением элемента а ij называется его минор, взятый со знаком (–1) i+ j , и обозначается А ij . Таким образом, А ij =(–1) i+ j ×М ij .
Найдем, например, алгебраические дополнения элементов определителя .
.
Рассмотрим, наконец, свойство о разложении определителя по строке или столбцу.
7. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.
Так, определитель третьего порядка, например, можно вычислить при помощи трех определителей второго порядка:
- разложение по элементам первой строки.
Следствие . Если все элементы какой-либо строки (столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен произведению отличного от нуля элемента на его алгебраическое дополнение.
Поэтому, например,
№.7
В определителе третьего порядка мы к элементам первого столбца прибавили соответствующие элементы третьего, умноженные на 2.
Итак, с помощью свойств определителя можно разложить определитель любого порядка по строке или столбцу. Последовательно понижая порядок, вычислим определитель непосредственно, применив правило для вычисления определителя третьего или второго порядка.
Рассмотрим определители особого вида: диагональный и треугольный.
Диагональным определителем называется определитель, диагональные элементы которого отличны от нуля, а все остальные элементы равны нулю.
Треугольным определителем называется определитель, все элементы которого, расположенные ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.
№ 8 Вычислить диагональный определитель n-го порядка
Раскладывая определитель по элементам 1 го столбца, мы получили произведение Но определитель (n–1)-го порядка А 11 таким же образом представим в виде произведения и т.д.
Таким образом, диагональный определитель равен произведению элементов его главной диагонали.
Легко показать, что и треугольный определитель равен произведению элементов его главной диагонали:
№ 9 Вычислить определители:
1)
Определитель n-го порядка
Определителем или детерминантом n-го порядка называется число записываемое в виде
И вычисляемым по данным числам (действительным или комплексным) - элементам определителя
Схемы вычисления определителей 2-ого и 3-его порядков
Теорема Крамера.
Пусть (дельта)-определитель матрицы системы А,а (дельта)i-определитель матрицы,получается из матрицы А заменой j-го столбца столбцов свободных чисел.Тогда,если (дельта) не равна 0,то система имеет единственное решение,определяемое во формуле:
1.Определитель 2-го порядка вычисляется по формуле
2. Определитель третьего порядка вычисляется по формуле
Существует удобная схема для вычисления определителя третьего порядка (см. рис. 1 и рис. 2).
Свойство определителей
1.Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей,то её определитель равен 0.
2.Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на чило (лямбда),то её определитель умножится на это число (лямбда).
3.При транспонировании матрицы её определитель не изменяется.
Транспонирование -в математике,это преобразование квадратной матрицы-замена столбцов на строки или наоборот.
4.При перестановки двух строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак на противоположный.
5.Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца),то её определитель равен 0
6.Если элементы двух строк (столбцов)матрицы пропорциональны,то её определитель равен 0
7.Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца)матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равно 0
8.Определитель матрицы не изменяется,если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца),предварительно умноженные на одно и то же число.
9.Сумма произведений чисел b1,b2,...,bn на алгебраические дополнение элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы,полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) b1,b2,...bn.
10.Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей |C|=|А|*|B|,где С=А*В;А и В-матрицы n-го порядка.
Рассматривая развернутое выражение для определителей
замечаем, что в каждое слагаемое входят в качестве сомножителей по одному элементу из каждой строки и по одному из каждого столбца определителя, причем всевозможные произведения этого вида входят в состав определителя со знаком плюс или минус. Это свойство полагается в основу обобщения понятия определителя на квадратные матрицы любого порядка. Именно: определителем квадратной матрицы порядка или, короче, определителем порядка называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца, причем полученные произведения снабжены знаками плюс и минус по некоторому вполне определенному правилу. Это правило вводится
довольно сложным образом, и мы не будем останавливаться на его формулировке. Существенно отметить, что оно устанавливается так, что обеспечивается следующее важнейшее основное свойство определителя:
1. При перестановке двух строк определитель меняет знак на противоположный.
Для определителя 2 и 3-го порядков это свойство легко проверяется непосредственным вычислением. В общем случае оно доказывается на основе не сформулированного нами здесь правила знаков.
Определители обладают целым рядом других замечательных свойств, которые дают возможность с успехом использовать определители в разнообразных теоретических и численных расчетах, несмотря на чрезвычайную громоздкость определителя: ведь определитель n-го порядка содержит, как нетрудно видеть, слагаемых, каждое слагаемое состоит из сомножителей и слагаемые снабжены знаками по некоторому сложному правилу.
Переходим к перечислению основных свойств определителей, не останавливаясь на их подробных доказательствах.
Первое из этих свойств уже сформулировано выше.
2. Определитель не меняется при транспонировании его матрицы, т. е. при замене строк на столбцы с сохранением порядка.
Доказательство основано на подробном исследовании правила расстановки знаков в слагаемых определителя. Это свойство дает возможность всякое утверждение, касающееся строк определителя, перенести на столбцы.
3. Определитель есть линейная функция от элементов какой-либо его строки (или столбца). Подробнее
где представляют собой выражения, не зависящие от элементов строки.
Это свойство с очевидностью следует из того, что каждое слагаемое содержит по одному и только одному сомножителю из каждой, в частности строки.
Равенство (5) называется разложением определителя по элементам строки, а коэффициенты называются алгебраическими дополнениями элементов в определителе.
4. Алгебраическое дополнение элемента равно, с точностью до знака, так называемому минору определителя, т. е. определителю
долю порядка, получающемуся из данного посредством вычеркивания строки и столбца. Для получения алгебраического дополнения минор нужно взять со знаком . Свойства 3 и 4 сводят вычисление определителя порядка к вычислению определителей порядка
Из перечисленных основных свойств вытекает ряд интересных свойств определителей. Перечислим некоторые на них.
5. Определитель с двумя одинаковыми строками равен пулю.
Действительно, если определитель имеет две одинаковые строки, то при их перестановке определитель не изменяется, ибо строки одинаковые, но вместе с тем он, в силу первого свойства, меняет знак на обратный. Следовательно, он равен нулю.
Сумма произведений элементов какой-либо строки на алгебраические дополнения другой строки равна нулю.
Действительно, такай сумма является результатом разложения определителя с двумя одинаковыми строками по одной из них.
Общий множитель элементов какой-либо строки можно вынести за знак определителя.
Это следует из свойства 3.
8. Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.
Достаточно вынести множитель пропорциональности, и мы получим определитель с двумя равными строками.
9. Определитель не меняется, если к элементам какой-либо строки добавить числа, пропорциональные элементам другой строки.
Действительно, в силу свойства 3 преобразованный определитель: равен сумме исходного определителя определителя с двумя пропорциональными строками, который равен нулю.
Последнее свойство дает хорошее средство для вычисления определителей. Используя это свойство можно, не менян величины определителя, преобразовать его матрицу так, чтобы в какой-либо строке (или столбце) все элементы, кроме одного, оказались равными нулю. Затем, разложив определитель но элементам этой строки (столбца), мы сведем вычисление определителя порядка к вычислению одного определителя порядка именно, алгебраического дополнения единственного отличного от нуля элемента выбранной строки.
Основываясь на понятиях определителей второго и третьего порядков, можно аналогично ввести понятие определителя порядка n . Определители порядка выше третьего вычисляются, как правило, с использованием свойств определителей, сформулированных в п. 1.3., которые справедливы для определителей любого порядка.
Используя свойство определителей номер 9 0 введем определение определителя 4-го порядка:
Пример 2. Вычислить, используя подходящее разложение.
Аналогично вводится понятие определителя 5-го, 6-го и т.д. порядка. Значит определитель порядка n:
.
Все свойства определителей 2-го и 3-го порядков, рассмотренные раннее, справедливы и для определителей n-го порядка.
Рассмотрим основные методы вычисления определителей n -го порядка.
Замечание: прежде чем применять этот метод, полезно, используя основные свойства определителей, обратить в нуль все, кроме одного, элементы его некоторой строки или столбца. (Метод эффективного понижения порядка)
Метод приведения к треугольному виду заключается в таком преобразовании определителя, когда все его элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, становятся равными нулю. В этом случае определитель равен произведению элементов его главной диагонали.
Пример 3. Вычислить, приведением к треугольному виду.
Пример 4. Вычислить, используя метод эффективного понижения порядка
.
Решение: по свойству 4 0 определителей из первой строки вынесем множитель 10, а затем будем последовательно умножать вторую строку на 2, на 2, на 1 и складывать соответственно с первой, с третьей и четвертой строками (свойство 8 0).
.
Полученный определитель можно разложить по элементам первого столбца. Он будет сведен к определителю третьего порядка, который вычисляется по правилу Саррюса (треугольника).
Пример 5. Вычислить определитель, приведением к треугольному виду.
.
Пример 3. Вычислить, используя рекуррентные соотношения.
.
.
Лекция 4. Обратная матрица. Ранг матрицы.
Определение 1. Квадратная матрица А порядка n называется невырожденной, если ее определитель |A | ≠ 0. В случае, когда | A | = 0, матрица А называется вырожденной.
Только для квадратных невырожденных матриц А вводится понятие обратной матрицы А -1 .
Определение 2 . Матрица А -1 называется обратной для квадратной невырожденной матрицыА, если А -1 А = АА -1 = Е, где Е – единичная матрица порядка n .
Определение 3
.
Матрица
называетсяприсоединенной,
ее элементами являются алгебраические
дополнения
транспонированной матрицы
.
,
где
.
Проверяем правильность вычисления А -1 А = АА -1 = Е. (Е – единичная матрица)
Матрицы А и А -1 взаимообратные. Если | A | = 0, то обратная матрица не существует.
Пример
1.
Дана
матрица А. Убедиться, что она невырожденная,
и найти обратную матрицу
.
Решение:
.
Следовательно матрица невырожденная.
Найдем обратную матрицу. Составим алгебраические дополнения элементов матрицы А.
Получаем
.
Методы вычисления определителей n
–
го порядка
1. Метод приведения к треугольному виду
Этот метод заключается в преобразовании определителя к
такому виду, где
все элементы, лежащие по одну сторону одной из диагоналей, равны
нулю.
Пример 1. Вычислить определитель порядка n
d=
01
01
01
01
11110
xxx
xxx
xxx
xxx
.
Решение. Прибавим первую строку, умноженную на (–
x) ко всем
остальным:
d=
x
x
x
x
−
−
−
−
0001
0001
0001
0001
11110
.
К первому столбцу прибавим все последующие столбцы,
умноженные на (1/x). Получим
d=
.
0000
0000
0000
0000
1111)1(x
x
x
x
x
n
−
−
−
−
−
Мы получили треугольный вид, следовательно, определитель
равен произведению элементов главной диагонали
d=(–
1)
n
–
1
(n
–
1)x
n
–
2
.
Пример 2. Вычислить определитель
2221
2212
2122
1222
−
−
−
−
=d
.
Решение. Прибавим к первой строке все остальные, тогда в
первой строке все элементы будут равны 2(n
–
1)
–
1=2n
–
3 и,
следовательно, общий множитель можно вынести за знак
определителя:
.
2221
2212
2122
1111)32(−
−
−
−= nd
Теперь воспользуемся тем, что в первой строке все элементы равны
1. Умножая первую строку на (–
2) и прибавляя её ко всем остальным
строкам, мы получим.
0003
0030
0300
1111)32(−
−
−
−= nd
Побочная диагональ в определитель n-го порядка входит со
знаком
2)1()1(−
−
nn
(это легко проверить, если подсчитать число инверсий в
подста-
новке −− 1...21
...321
nnn
n). Тогда получим
()
()() ()
()
.32313321
1
1
2)1(1
2)1(−−=−−−=
−
−
+
−
−
nnd
n
nn
n
nn
Пример 3. Вычислить определитель.
000
00330
00022
1321
nn
nn
d
−
−
−
−
=
Решение. Прибавим к (n
–
1)-му столбцу n-ый, затем полученный (n
–
1)-ый столбец прибавим к (n
–
2)-му, и т. д. Тогда получим
определитель треугольного вида.
2)1(!
0000
00300
00020
123
2)1(1
2)1(2)1(+
=
−−
+
−
++
=
nn
n
n
nn
nnnnnn
d
2. Разложение определителя по строке (столбцу)
Пример 1. Вычислить определитель d разложением по третьей
строке, если
d=
2164
7295
4173
2152
−
−−
−−
−
.
Решение. Мы знаем, что имеет место, следующее разложение
определителя по i-ой строке: d=a
i1
A
i1
+a
i2
A
i2
+…+a
in
A
in
, где A
ij
, j=
n,1
–
алгебраические дополнения элементов определителя. В нашем
случае формула принимает вид d=a
31
A
31
+a
32
A
32
+a
33
A
33
+a
34
A
34
, т. е.
мы имеем следующее разложение:
d=5∙ (–
1)
3+1
∙
216
417
215
−
−
−
+(–
9)∙(–
1)
3+2
∙ 214
413
212
−−
+2∙(–
1)
3+3
∙
264
473
252
−
−
−
+
+ (-7)∙ (–
1)
3+4
∙
164
173
152
−
−−
−
.
Вычисляя полученные определители третьего порядка,
получим
d=5∙(–
6)+9∙12+2∙(–
54)
+
7∙(–
3)= –51.
Пример 2. Вычислить определитель
d=
78102
4552
5882
6593
−−−
.
Решение. Прибавляя третью строку, умноженную на (–
1) ко всем
остальным, получим
d=
3350
4552
913130
2041
−−−
.
Прибавляя к третьей строке первую, умноженную на (–
2),
получим
d=
3350
0530
913130
2091
−
−−−
.
Разложив этот определитель по первому столбцу,
содержащему лишь один, не равный нулю элемент (с суммой
индексов 1+1=2, т. е. чётной), получим
d=
335
053
91313
−
−−−
.
Преобразуем полученный определитель. Прибавляя к первой
строке третью, умноженную на 3, получим
d=
335
053
042
−
−
.
Полученный определитель в третьем столбце содержит лишь
один, не равный нулю элемент (с суммой индексов 3+3, т. е. чётной).
Поэтому его удобно разложить по третьему столбцу:
d=3
53
42
−
−
=3(10
–
12)=
–
6.
Пример 3. Вычислить определитель.
000
11000
00300
00220
00011
nn
nn
d
−
−−
−
−
=
Решение. Разложим определитель по 1-му столбцу, тогда
()
() ()
.
1100
0030
0022
0001
1
000
1100
0030
0022
1
12
nn
n
n
nn
d
n
−−
−
−
−−+
−−
−
−=
+
В этом равенстве первый и второй определители имеют
треугольный вид, поэтому первый определитель равен n!, а второй
определитель равен
(–
1)(–
2) . . . (1
–
n)=(–
1)
n–1
(n
–
1)!. Тогда получим:
() ()
()
.011!1!!
1212
=−+=−+=
+−++ nnn
nnnd
3. Теорема Лапласа
Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k
строк (или k столбцов), 1≤k≤n
–
1. Тогда сумма произведений всех
миноров k
–
го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их
алгебраические дополнения равна определителю d.
Пример 1. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить
определитель, предварительно преобразовав его.
d=
43220
50300
20100
34523
12532
−
−
−−
−−
.
Выберем третью и четвёртую строки. В них находится
единственный минор отличный от нуля, поэтому
d=
53
21 −
∙(–
1)
3+4+4+5
∙
320
423
232
−
−−
.
Воспользовавшись формулами для вычисления определителей
второго и третьего порядков, получим d=12–12+16+27=43.
Пример 2. Вычислить определитель.
005000
050000
500000
000500
000010
000001
−
=
d
Решение. Данный определитель имеет вид, указанный в
следствии из теоремы Лапласа, поэтому мы можем этим следствием
воспользоваться. Тогда
()
.51
005
050
500
,5
500
010
001
3
2)4)(3(3
−
−−
−
−==−=−=
n
nn
n
BA
По следствию из теоремы Лапласа имеем:
()
.51
2
2
147
2
−
+−
−==
n
nn
BAd
4. Метод выделения линейных множителей
Определитель рассматривается как многочлен от одной или
нескольких входящих в него букв. Преобразуя его, обнаруживают,
что он делится на ряд линейных множителей, а значит (если эти
множители взаимно просты) и на их произведение. Сравнивая
отдельные члены определителя с членами произведения линейных
множителей, находят частное от деления определителя на это
произведение и тем самым находят выражение определителя.
Пример. Вычислить определитель методом линейных
множителей
d=
2
2
9132
5132
32x-21
3211
x
−
.
Решение. Прибавим к первой строке вторую, умноженную на (–
1), а к третьей –
четвёртую, умноженную на (–
1):
d=
2
2
2
2
9132
4000
32x-21
0010
x
x
x
−
−
−
.
Воспользуемся тем, что в первой строке и в третьей строке
стоит лишь по одному неравному нулю элементу, и обнулим
элементы стоящие во втором и третьем столбцах:
d=
0102
4000
0201
0010
2
2
−
−
x
x
.
Прибавим ко второй строке четвёртую, тогда
d=
0102
4000
0303
0010
2
2
−
−
x
x
.
Из первой строки видно, что определитель делится на x
2
–
1, из
второй строки видно, что определитель делится на 3, а из третьей
строки видно, что он делится на x
2
–
4. Так как все эти множители
взаимно просты, то определитель делится на их произведение 3(x
2
–
1)(x
2
–
4). В данном произведении член x
4
имеет знак «+», а в
определителе он содержится со знаком «
–
», поэтому d= –
3(x
2
–
1)(x
2
–
4).
5. Метод представления определителя в виде суммы
определителей
Некоторые определители легко вычисляются путём
разложения их в сумму определителей того же порядка
относительно строк или столбцов.
Пример. Вычислить определитель
d=
add
acc
abb
aaa
42
32
22
12
+
+
+
+
.
Элементы первого столбца являются суммами двух слагаемых,
это даёт возможность данный определитель представить как сумму
двух определителей:
d=
ad
ac
ab
aa
42
32
22
12
+
add
acc
abb
aaa
4
3
2
1
.
В первом определителе первый и четвёртый столбцы
пропорциональны, следовательно, он равен нулю. Во втором
определителе первый и третий столбцы равны, следовательно, он
тоже равен нулю. Таким образом, d=0.
6. Метод изменения элементов определителя
Этот метод основан на следующем свойстве: если ко всем
элементам определителя D прибавить одно и то же число x, то
определитель увеличится на произведение числа x на сумму
алгебраических дополнений всех элементов определителя D.
D′=D+x
=
n
ji
ij
A
1,
.
Таким образом, вычисление определителя D′ сводится к
вычислению определителя D и суммы его алгебраических
дополнений. Этот метод применяют в тех случаях, когда путём
изменения всех элементов определителя на одно и то же число он
приводится к такому виду, в котором легко сосчитать
алгебраические дополнения всех элементов.
Пример. Вычислить определитель
D=
n
axxxx
xaxx
xxax
xxxa
3
2
1
.
Прибавим ко всем элементам число (–
x), тогда
D′=
xa
xa
xa
xa
n
−
−
−
−
0000
000
000
000
3
2
1
.
Алгебраические дополнения элементов определителя D, не
лежащих на главной диагонали, равны нулю. Остальные
алгебраические дополнения имеют положительный знак, поскольку
все суммы индексов чётные. В нашем случае формула принимает
вид:
D′=(a
1
–
x)…(a
n
–
x),
x
=
n
ji
ij
A
1,
=
–
x)()()()(1
1
11
xaxaxaxa
ni
n
i
i
−…−−…−
+
=
−
.
Тогда искомый определитель
D=D′–x
=
n
ji
ij
A
1,
=(a
1
–
x)…(a
n
–
x)+x)()()()(1
1
11
xaxaxaxa
ni
n
i
i
−…−−…−
+
=
−
=
=x(a
1
–
x)(a
2
–
x)…(a
n
–
x)
−
+…+
−
+
xaxax
n
111
1
.
7. Метод рекуррентных соотношений
Этот метод заключается в том, что данный определитель выражают,
преобразуя и разлагая его по строке или столбцу, через
определители того же вида, но более низкого порядка. Полученное
равенство называется рекуррентным соотношением. Этот метод
используется для вычисления определителей вида.)(000
00
0
00
21
−−
−+=
+
+
+
+
=
nnn
DDD
αββα
βα
βαα
ββαα
ββα
D
n
–
(α+β)D
n
–
1
+αβD
n
–
2
=0 или, в общем виде D
n
–
pD
n
–
1
+qD
n
–
2
=0, где
p=α+β, q=αβ.
Пусть рекуррентное соотношение имеет вид:
D
n
=pD
n
–
1
–
qD
n
–
2
, n>2, (5)
где p, q – постоянные не зависящие от n.
При q=0 D
n
вычисляется как член геометрической прогрессии:
D
n
=p
1
−
n
D
1
; здесь D
1 – определитель 1
–
го порядка данного вида, т. е.
элемент определителя D
n
, стоящий в левом верхнем углу.
Пусть q>0 и α, β –
корни квадратного уравнения x
2
–
px+q=0. Тогда
р=α+β, q=αβ и равенство (5) можно переписать так:
D
n
–
αD
n
–
1
=β (D
n
–
1
–
αD
n
–
2)
(6)
или
D
n
–
βD
n
–
1
=α(D
n
–
1
–
βD
n
–
2).
(7)
Предположим сначала, что α≠β. По формуле (n
–
1)
–
го члена
геометрической прогрессии находим из равенств (6) и (7):
D
n
–
αD
n
–
1
=β
2
−
n
(D
2
–
αD
1) и D
n
–
βD
n
–
1
=α
2
−
n
(D
2
–
βD
1).
Откуда.)()(12
1
12
1
βα
αββα
−
−−−
=
−−
DDDD
D
nn
n
(8)
Пусть теперь α=β. Равенства (6) и (7) обращаются в одно и то же
D
n
–
αD
n
–
1
=α (D
n
–
1
–
αD
n
–
2),
откуда
D
n
–
αD
n
–
1
=Aα
2
−
n
, (9)
где A=D
2
–
αD
1
.
Заменяя здесь n на n
–
1, получим:
D
n
–
1
–
αD
n
–
2
=Aα
3
−
n
, откуда D
n
–
1
=αD
n
–
2
+Aα
3
−
n
.
Подставляя это выражение в равенство (9), найдём D
n
=α
2
D
n
–
2
+2Aα
2
−
n
. Повторяя тот же приём несколько раз, получим
D
n
=α
1
−
n
D
1
+(n
–
1)Aα
2
−
n
,
где A=D
2
–
αD
1
.
Пример 1. Вычислить определитель методом рекуррентных
соотношений.
d=
21...0000
12...0000
.....................
00...2100
00...1210
00...0121
00...0012
.
Решение. Разложим определитель по первой строке, тогда
D
n
=2(–
1)
1+1
D
n
–
1
+(–
1)
2+1
2...000
...............
0...210
0...120
0...011
.
Определитель в последнем равенстве разложим по первому столбцу,
тогда D
n
примет вид: D
n
=2D
n
–
1
–
D
n
–
2
. Значит p=2, q=1. Решая
уравнение x
2
–
2x+1=0, находим α, β и придём к случаю, когда α=β.
Тогда по формуле
D
n
=α
1
−
n
D
1
+(n
–
1)Aα
2
−
n
, где A=D
2
–
αD
1
находим, при α=1, D
n
=D
1
+(n
–
1)A. В нашем случае D
1
=2, D
2
=3, тогда A=3
–
2=1. Следовательно,
D
n
=2+(n
–
1)=n+1.
Пример 2. Вычислить определитель методом рекуррентных
соотношений:
d=
210...000
121...000
012...000
.....................
000...210
000...122
000...043
.
Решение. Разлагая d по последней строке, получим
D
n
=2(–
1)
nn
+
D
n
–
1
+(–
1))1(−+
nn
110...000
021...000
012...000
.....................
000...210
000...122
000...043
.
Определитель в последнем равенстве разложим по (n
–
1)
–
му столбцу,
тогда D
n
примет вид: D
n
=2D
n
–
1
–
D
n
–
2
. Значит p=2, q=1. Решая
уравнение x
2
–
2x+1=0, находим α, β и придём к случаю, когда α=β.
Тогда по формуле D
n
= α
n
–
1
D
1
+(n
–
1)Aα
n
–
2
, где A=D
2
–
αD
1
находим, при
α=1, D
n
=D
1
+(n
–
1)A. В нашем случае D
1
=3, D
2
=
–
2, тогда A=
–
5.
Следовательно, D
n
=3+(n
–
1)(–
5)=8
–
5n.
8. Определитель Вандермонда
Определителем Вандермонда называется определитель вида.
1111
11
3
1
2
1
1
22
3
2
2
2
1
321
−−−−
=
n
n
nnn
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
d
Докажем, что при любом n определитель Вандермонда равен
произведению всевозможных разностей a
i
–
a
j
, где 1≤j