Сайт о телевидении

С.Д.Штовба "Введение в теорию нечетких множеств и нечеткую логику"

1.7. Нечеткая логика

Нечеткая логика это обобщение традиционной аристотелевой логики на случай, когда истинность рассматривается как лингвистическая переменная, принимающая значения типа: "очень истинно", "более-менее истинно", "не очень ложно" и т.п. Указанные лингвистические значения представляются нечеткими множествами.

1.7.1. Лингвистические переменные

Напомним, что лингвистической называется переменная, принимающая значения из множества слов или словосочетаний некоторого естественного или искусственного языка. Множество допустимых значений лингвистической переменной называется терм-множеством. Задание значения переменной словами, без использования чисел, для человека более естественно. Ежедневно мы принимаем решения на основе лингвистической информации типа: "очень высокая температура"; "длительная поездка"; "быстрый ответ"; "красивый букет"; "гармоничный вкус" и т.п. Психологи установили, что в человеческом мозге почти вся числовая информация вербально перекодируется и хранится в виде лингвистических термов. Понятие лингвистической переменной играет важную роль в нечетком логическом выводе и в принятии решений на основе приближенных рассуждений. Формально, лингвистическая переменная определяется следующим образом.

Определение 44. Лингвистическая переменная задается пятеркой , где - ; имя переменной; - ; терм-множество, каждый элемент которого (терм) представляется как нечеткое множество на универсальном множестве ; - ; синтаксические правила, часто в виде грамматики, порождающие название термов; - ; семантические правила, задающие функции принадлежности нечетких термов, порожденных синтаксическими правилами .

Пример 9. Рассмотрим лингвистическую переменную с именем "температура в комнате". Тогда оставшуюся четверку можно определить так:

Таблица 4 - Правила расчета функций принадлежности

Графики функций принадлежности термов "холодно", "не очень холодно", "комфортно", "более-менее комфортно", "жарко" и "очень жарко" лингвистической переменной "температура в комнате" показаны на рис. 13.

Рисунок 13 - Лингвистическая переменная "температура в комнате"

1.7.2. Нечеткая истинность

Особое место в нечеткой логике занимает лингвистическая переменная "истинность". В классической логике истинность может принимать только два значения: истинно и ложно. В нечеткой логике истинность "размытая". Нечеткая истинность определяется аксиоматически, причем разные авторы делают это по-разному. Интервал используется как универсальное множество для задания лингвистической переменной "истинность". Обычная, четкая истинность может быть представлена нечеткими множествами-синглтонами. В этом случае четкому понятию истинно будет соответствовать функция принадлежности , а четкому понятию ложно - ; , .

Для задания нечеткой истинности Заде предложил такие функции принадлежности термов "истинно" и "ложно":

;

где - ; параметр, определяющий носители нечетких множеств "истинно" и "ложно". Для нечеткого множества "истинно" носителем будет интервал , а для нечеткого множества ложно" - ; .

Функции принадлежности нечетких термов "истинно" и "ложно" изображены на рис. 14. Они построены при значении параметра . Как видно, графики функций принадлежности термов "истинно" и "ложно" представляют собой зеркальные отображения.

Рисунок 14 - Лингвистическая переменная "истинность" по Заде

Для задания нечеткой истинности Балдвин предложил такие функции принадлежности нечетких "истинно" и "ложно":

Квантификаторы "более-менее" и "очень" часто применяют к нечеткими множествами "истинно" и "ложно", получая таким образом термы "очень ложно", "более-менее ложно", "более-менее истинно", "очень истинно", "очень, очень истинно", "очень, очень ложно" и т.п. Функции принадлежности новых термов получают, выполняя операции концентрации и растяжения нечетких множеств "истинно" и "ложно". Операция концентрации соответствует возведению функции принадлежности в квадрат, а операция растяжения - возведению в степень ½. Следовательно, функции принадлежности термов "очень, очень ложно", "очень ложно", "более-менее ложно", "более-менее истинно", "истинно", "очень истинно" и "очень, очень истинно" задаются так:

Графики функций принадлежности этих термов показаны на рис. 15.

Рисунок 15 - Лингвистическая переменная "истинность" по Балдвину

1.7.3. Нечеткие логические операции

Вначале кратко напомнить основные положения обычной (булевой) логики. Рассмотрим два утверждения A и B, каждое из которых может быть истинным или ложным, т.е. принимать значения "1" или "0". Для этих двух утверждений всего существует различных логических операций, из которых содержательно интерпретируются лишь пять: И (), ИЛИ (), исключающее ИЛИ (), импликация () и эквивалентность (). Таблицы истинности для этих операций приведены в табл. 5.

Таблица 5 - Таблицы истинности булевой логики

Предположим, что логическое утверждение может принимать не два значения истинности, а три, например: "истинно", "ложно" и "неопределенно". В этом случае мы будем иметь дело не с двухзначной, а трехзначной логикой. Общее количество бинарных операций, а, следовательно, и таблиц истинности, в трехзначной логике равно . Нечеткая логика является разновидностью многозначной логики, в которой значения истинности задаются лингвистическими переменными или термами лингвистической переменной "истинность". Правила выполнения нечетких логических операций получают из булевых логических операций с помощью принципа обобщения.

Определение 45. Обозначим нечеткие логические переменные через и , а функции принадлежности, задающие истинностные значения этих переменных через и , . Нечеткие логические операции И (), ИЛИ (),
НЕ () и импликация () выполняются по таким правилам:

;

В многозначной логике логические операции могут быть заданы таблицами истинности. В нечеткой логике количество возможных значений истинности может быть бесконечным, следовательно в общем виде табличное представление логических операций невозможно. Однако, в табличной форме можно представить нечеткие логические операции для ограниченного количества истинностных значений, например, для терм-множества {"истинно", "очень истинно", "не истинно", "более-менее ложно", "ложно"}. Для трехзначной логики с нечеткими значениями истинности T - ; "истинно", F - ; "ложно" и T+F - "неизвестно" Л Заде предложил такие лингвистические таблицы истинности:

Применяя правила выполнения нечетких логических операций из определения 45 можно расширить таблицы истинности для большего количества термов. Как это сделать рассмотрим на следующем примере.

Пример 10. Заданы следующие нечеткие истинностные значения:

Применяя правило из определения 45, найдем нечеткую истинность выражения "почти истинно ИЛИ истинно":

Сравним полученное нечеткое множество с нечетким множеством "более-менее истинно". Они почти равны, значит:

В результате выполнения логических операций часто получается нечеткое множество, которое не эквивалентно ни одному из ранее введенных нечетких значений истинности. В этом случае необходимо среди нечетких значений истинности найти такое, которое соответствует результату выполнения нечеткой логической операции в максимальной степени. Другими словами, необходимо провести так называемую лингвистическую аппроксимацию , которая может рассматриваться как аналог аппроксимации эмпирического статистическими распределения стандартными функциями распределения случайных величин. В качестве примера приведем предложенные Балдвином лингвистические таблицы истинности для показанных на рис. 15 нечетких значений истинности:

неопределенно			неопределенно
неопределенно		неопределенно
неопределенно	неопределенно	неопределенно	неопределенно
	очень истинно		очень истинно
	более-менее истинно	более-менее истинно

1.7.3. Нечеткая база знаний

Определение 46. Нечеткой базой знаний называется совокупность нечетких правил "Если - то", определяющих взаимосвязь между входами и выходами исследуемого объекта. Обобщенный формат нечетких правил такой:

Если посылка правила, то заключение правила.

Посылка правила или антецедент представляет собой утверждение типа "x есть низкий", где "низкий" - ;это терм (лингвистическое значение), заданный нечетким множеством на универсальном множестве лингвистической переменной x. Квантификаторы "очень", "более-менее", "не", "почти" и т.п. могут использоваться для модификации термов антецедента.

Заключение или следствие правила представляет собой утверждение типа "y есть d", в котором значение выходной переменной (d) может задаваться:

1. нечетким термом: "y есть высокий";
2. классом решений: "y есть бронхит"
3. четкой константой: "y=5";
4. четкой функцией от входных переменных: "y=5+4*x".

Если значение выходной переменной в правиле задано нечетким множеством, тогда правило может быть представлено нечетким отношением. Для нечеткого правила "Если x есть , то y есть ", нечеткое отношение задается на декартовом произведении , где - ; универсальное множество входной (выходной) переменной. Для расчета нечеткого отношения можно применять нечеткую импликацию и t-норму. При использовании в качестве t-нормы операции нахождения минимума, расчет нечеткого отношения осуществляется так:

Пример 11. Следующая нечеткая база знаний описывает зависимость между возрастом водителя (x) и возможностью дорожно-транспортного происшествия (y):

Если x = Молодой, то y = Высокая;

Если x = Средний, то y = Низкая;

Если x = Очень старый, то y = Высокая.

Пусть функции принадлежностей термов имеют вид, показанный на рис. 16. Тогда нечеткие отношения, соответствующие правилам базы знаний, будут такими, как на рис. 17.

Рисунок 16 - Функции принадлежности термов

Рисунок 17 - Нечеткие отношения, соответствующие правилам базы знаний из примера 11

Для задания многомерных зависимостей "входы-выходы" используют нечеткие логические операции И и ИЛИ. Удобно правила формулировать так, чтобы внутри каждого правил переменные объединялись логической операцией И, а правила в базе знаний связывались операцией ИЛИ. В этом случае нечеткую базу знаний, связывающую входы с выходом , можно представить в следующем виде.

Лингвистические переменные (ЛП) являются способом описания сложных систем, параметры которых рассматриваются не с количественных позиций, а как качественные. При этом лингвистические переменные позволяют поставить в соответствие качественным характеристикам некоторую количественную интерпретацию с заданной долей уверенности, что обеспечивает возможность обработки качественных данных на ЭВМ. Другой сферой применения лингвистических переменных является нечеткий логический вывод, отличие которого от обычного заключается в том, что истинность логических высказываний определяется не двумя значениями 0 и 1, а множеством значений в интервале .

В основе понятия лингвистической переменной лежит понятие нечетной переменной.

Нечеткой переменной называется совокупность трех элементов:

< X , U , µ A (u ) >,

где Х – название нечеткой переменной; U – универсальное множество; µ A (u ) – нечеткое подмножество А универсального множества U . Другими словами, нечеткая переменная представляет собой именованное нечеткое множество.

Лингвистической переменной называется совокупность пяти элементов:

< L , T (X ), U , G , M >,

где L – название лингвистической переменной;

Т (X ) –множество базовых термов лингвистической переменной, состоящее из множества названий значений лингвистических переменных {T 1 , T 2 , …, T n }, каждому из которых соответствует нечеткая переменная Х универсального множества U;

U – универсальное множество, на котором определена лингвистическая переменная;

G – синтаксическое правило, порождающее названия X значений переменной;

М – семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной X ее смысл М (X ), т.е. нечеткое подмножество универсального множества U .

К термам лингвистической переменной предъявляется требование упорядоченности: T 1 < T 2 < … < T n .

Функции принадлежности нечетких множеств, составляющих количественный смысл базовых термов лингвистической переменной, должны удовлетворять следующим условиям:

2. : ;

4. : .

Здесь n – количество базовых термов лингвистической переменной; u min , u max – границы универсального множества U , на котором определяется лингвистическая переменная. Если U R (R – множество действительных чисел, то U = [u min , u max ].

Синтаксическое правило G представляет собой совокупность четырех элементов: G = < V T , V N , T , P >,

где V T – совокупность терминальных символов или слов; V N – совокупность нетерминальных символов или фраз; Т – совокупность базовых термов; Р – совокупность правил подстановки, определяющих эквивалентность фраз.

Семантическое правило М ставит в соответствие каждой фразе новое не-

четкое множество, определенное на основе функций принадлежности базовых термов и совокупности операций с нечеткими множествами.

В качестве примера рассмотрим числовую лингвистическую переменную «рост человека». Пусть значения переменной задаются с помощью трех базовых термов: «низкий», «средний», «высокий». Термы упорядочены. Универсальным числовым множеством U в данном случае является интервал U = .

Функции принадлежности термов приведены на рис. 7.6 и удовлетворяют рассмотренным выше требованиям.

Рис. 7.6 Лингвистическая переменная «Рост человека»

В качестве синтаксического правила определим, что в множество нетерминальных символов включены слова «и», «или», «более или менее», «не», «очень», которые могут сочетаться с базовыми термами «низкий», «средний», «высокий», причем должны выполняться следующие правила:

Символы «и» и «или» могут соединять только две фразы или базовых терма, а остальные нетерминальные символы являются унарными, т.е. могут предварять фразу или базовый терм; например, «не высокий», «очень низкий», «низкий или средний»;

Одновременное отрицание двух базовых термов, например, «не низкий и не высокий», эквивалентно оставшемуся базовому терму, т.е. «средний».

Применяя эти правила, можно построить множество фраз и правил подстановки. В случае, если синтаксическое правило нельзя задать алгоритмически, то просто перечисляются все возможные фразы.

В качестве семантического правила определим соответствие между нетерминальными символами и операциями над нечеткими множествами:

«не» – дополнение;

«и» - пересечение;

«или» - объединение;

«очень» - концентрирование;

«более или менее» - расширение.

Используя рассмотренную лингвистическую переменную, можно оцени-

вать рост людей, не прибегая к точным измерениям.

Таким образом, с помощью лингвистических переменных можно описывать объекты, точное измерение характеристик которых либо крайне трудоемко, либо вообще невозможно.

Формирование лингвистической переменной, как правило, реализуется на основе опроса экспертов – специалистов в той области, для которой строится ЛП. При этом особое внимание уделяется формированию функций принадлежности нечетких множеств, являющихся базовыми термами лингвистической переменной, так как определение синтаксического и семантического правил для большинства лингвистических переменных стандартно и на практике сводится к перечислению всех возможных фраз и интерпретации нетерминальных символов, как показано выше.

Процесс формирования лингвистической переменной включает следующие этапы:

1. Определение множества термов ЛП и его упорядочение.

2. Построение числовой области определения ЛП.

3. Выяснение схемы опроса экспертов и проведение опроса.

4. Построение функций принадлежности для каждого терма ЛП.

Этап 1 предполагает задание экспертом количества термов ЛП и названий соответствующих им нечетких переменных. Количество термов выбирается из диапазона n = 7±2.

На этапе 2 описывается универсальное множество U , которое может быть числовым и нечисловым. Вид универсального множества зависит от описываемых объектов и определяет способ формирования функций принадлежности термов ЛП.

Этап 3 является ключевым при формировании ЛП. Существует два вида

опроса экспертов: прямой и косвенный. Каждый из этих способов может быть индивидуальным или групповым. Наиболее простым с точки зрения организации и

программной реализации является индивидуальный способ опроса экспертов.

При прямом опросе экспертов непосредственно указывают все параметры функций принадлежности. Недостатком здесь является проявление субъективизма в суждениях, а также необходимость знания экспертом основ нечеткой логики. При косвенном опросе функции принадлежности формируются на основе ответа эксперта на «наводящие» вопросы. При этом повышается объективность оценки и не требуется знания нечеткой логики, однако усиливается риск несогласованности суждений эксперта.

При групповых методах опроса результат формируется на основе объединения мнений нескольких экспертов. На практике наиболее часто используется индивидуальный косвенный опрос.

Лекция. Нечеткие вычисления

Понятие нечеткого числа

Одной из областей применение нечеткой логики является выполнение арифметических операций с нечеткими множествами. Для снижения трудоемкости таких операций используется специальный тип нечетких множеств – нечеткие числа.

Нечетким числом (НЧ) называется нечеткая переменная, имеющая следующие свойства: ; .

Другими словами, нечеткое число– именованное нечеткое множество, для которого универсальное множество U представляет собой интервал действительной оси R .

В реальных задачах используются кусочно-линейные нечеткие числа.Для упрощения арифметических операций кусочно-линейные функции принадлежности дополнительно аппроксимируют, чтобы получить специальный вид нечетких чисел – параметрические нечеткие числа или нечеткие числа

(L –R )–типа, которые характеризуются компактностью представления и просто-

той реализации арифметических операций.

Нечеткое число А называется нечетким числом (L –R )–типа , если его функция принадлежности имеет следующий вид (рис. 7.8):

0,

1, ,

где – параметры нечеткого числа; L (x ), R (x ) – некоторые функции.

Нечеткое параметрическое число обозначается (a , b , c , d ) LR .

Таким образом, нечеткое число (L –R )–типа описывается шестью параметрами: четырьмя числами, обозначающими его границы, и двумя функциями, определяющими форму его функции принадлежности.

Рис.7.8 Параметрические нечеткие числа

Нечеткое числоназывается унимодальным , если оно имеет только одну точку, в которой функция принадлежности равна единице, т.е. его параметры b и c равны, в противном случае нечеткое число называется толерантным (см. рис. 7.8). Унимодальные нечеткие числа обозначаются пятью параметрами (a , b , d ) LR .

В качестве LR –функций наиболее часто используют линейные зависимости, задаваемые следующими соотношениями:

LR – функции также могут задаваться квадратичными, экспоненциальными и другими зависимостями.

В случае использования линейных функций унимодальные и толерантные нечеткие числа называют соответственно треугольными и трапециевидными и обозначают (a , b , d ) и (a , b , c , d ).

Для нечетких чисел особым образом определяется понятие знака и нулевого значения.

Нечеткое число А называется положительным , если его основание лежит в положительной действительной полуоси или

Нечеткое число А называется отрицательным , если его основание лежит в отрицательной действительной полуоси или

Для параметрических нечетких чисел знак определяется значениями параметров: положительное нечеткое число, если a > 0; отрицательное, если d < 0; нечеткий ноль, если .

Понятие нечеткой и лингвистической переменных использу-ется при описании объектов и явлений с помощью нечетких мно-жеств.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой (α, X, А), где

α — наименование переменной;

X — универсальное множество (область определения α);

А — нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т.е. μ A (x ) )на значения нечеткой переменной α.

Лингвистической переменной (ЛП) называется набор (β , Т, X , G, М), где

β — наименование лингвистической переменной;

Т — множество ее значений (терм-множество), представляю-щих собой наименования нечетких переменных, областью опре-деления каждой из которых является множество X. Множество Т называется базовым терм-множеством лингвистической пе-ременной;

G — синтаксическая процедура, позволяющая оперировать эле-ментами терм-множества T, в частности, генерировать новые тер-мы (значения). Множество T∪G(T), где G(T) — множество сгене-рированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;

М — семантическая процедура, позволяющая превратить каж-дое новое значение лингвистической переменной, образуемое про-цедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответ-ствующее нечеткое множество.

Замечание. Чтобы избежать большого количества символов:

1) символ β используют как для названия самой переменной, так и для всех ее значений;

2) пользуются одним и тем же символом для обозначения не-четкого множества и его названия, например терм «Молодой», явля-ющийся значением лингвистической переменной β = «возраст», одновременно есть и нечеткое множество М («Молодой»).

Присвоение нескольких значений символам предполагает, что контекст позволяет разрешить возможные неопределенности.

Пример. Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью понятий «Малая толщина», «Средняя толщина» и «Большая толщина», при этом минимальная толщина равна 10 мм, а максималь-ная - 80 мм.

Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной (β , Т, X , G, М), где

β — толщина изделия;

Т — {«Малая толщина», «Средняя толщина», «Большая толщина»};

X — ;

G — процедура образования новых термов с помощью связок «и», «или» и модификаторов типа «очень», «не», «слегка» и т.п. Например: «Малая или средняя толщина», «Очень малая толщина» и т.д.;

М — процедура задания на X = нечетких подмножеств А 1 = «Малая толщина», А 2 = «Средняя толщина», A 3 = «Большая толщи-на», а также нечетких множеств для термов из G(Т) в соответствии с пра-вилами трансляции нечетких связок и модификаторов «и», «или», «не», «очень», «слегка» и других операций над нечеткими множествами вида: А ⋂В, A ∪В, ̅ A , CONА = A 2 , DILА = А 0,5 и т. п.

Замечание. Наряду с рассмотренными выше базовыми значения-ми лингвистической переменной «Толщина» (Т = {«Малая толщина», «Средняя толщина», «Большая толщина»}) возможны значения, завися-щие от области определения X. В данном случае значения лингвистиче-ской переменной «Толщина изделия» могут быть определены как «около 20 мм», «около 50 мм», «около 70 мм», т.е. в виде нечетких чисел.

Терм-множество и расширенное терм-множество в условиях примера можно характеризовать функциями принадлежности, при-веденными на рис. 1.5 и 1.6.

Рис. 1.5. Функции принадлежности нечетких множеств: «Малая толщина» = А 1 , «Средняя толщина» = А 2 , «Большая толщина» = А 3

Рис. 1.6. Функция принадлежности нечеткого множества «Малая или средняя толщина» = A 1 ∪ А 2

Нечеткие числа

Нечеткие числа — нечеткие переменные, определенные на чи-словой оси, т.е. нечеткое число определяется как нечеткое множе-ство А на множестве действительных чисел ℝс функцией при-надлежности μ А (х ) ϵ , где х — действительное число, т.е. х ϵ ℝ.

Нечеткое число А нормально, если тах μ А (x ) = 1; выпуклое, если для любых х ≤ у ≤ z выполняется

μ А (х) ≥ μ А (у ) ˄ μ A (z ).

Множество α -уровня нечеткого числа А определяется как

Аα = {x /μ α (x ) ≥ α }.

Подмножество S A ⊂ ℝ называется носителем нечеткого числа А, если

S A = { x /μ A (x ) > 0 }.

Нечеткое число А унимодально, если условие μ А (х ) = 1 спра-ведливо только для одной точки действительной оси.

Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если

μ А (0) = sup (μ A (x )).

Нечеткое число А положительно, если ∀x ϵ S A , х > 0 и отрицательно, если ∀х ϵ S A , х < 0.

Операции над нечеткими числами

Расширенные би-нарные арифметические операции (сложение, умножение и пр.) для нечетких чисел определяются через соответствующие опера-ции для четких чисел с использованием принципа обобщения сле-дующим образом.

Пусть А и В - нечеткие числа, и - нечеткая операция, соот-ветствующая произвольной алгебраической операции * над обыч-ными числами. Тогда (используя здесь и в дальнейшем обозначе-ния вместо вместо ) можно записать

Нечеткие числа (L-R)-Tипа

Нечеткие числа (L-R)-типа — это разновидность нечетких чисел специального вида, т.е. задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними.

Функции принадлежности нечетких чисел (L-R)-типa задаются с помощью невозрастающих на множестве неотрицательных дей-ствительных чисел функций действительного переменного L(x ) и R(x ), удовлетворяющих свойствам:

а) L(-x ) = L(x ), R(-x ) = R(x );

б) L(0) = R(0).

Очевидно, что к классу (L-R)-функций относятся функции, графики которых имеют вид, приведенный на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Возможный вид (L-R)-функций

Примерами аналитического задания (L-R)-функций могут быть

Пусть L(у )и R(у )— функции (L-R)-типа (конкретные). Уни-модальное нечеткое число А с модой а (т. е. μ А (а ) = 1) с помощью L(у )и R(у ) задается следующим образом:

где а — мода; α > 0, β > 0 — левый и правый коэффициенты нечеткости.

Таким образом, при заданных L(у )и R(у ) нечеткое число (уни-модальное) задается тройкой А = (а , α, β ).

Толерантное нечеткое число задается, соответственно, четвер-кой параметров А = (a 1 , а 2 , α, β ), где а 1 иа 2 — границы толе-рантности, т.е. в промежутке [a 1 , а 2 ] значение функции принад-лежности равно 1.

Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа приведены на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа

Отметим, что в конкретных ситуациях функции L(у), R(у), а также параметры а, β нечетких чисел (а , α, β ) и (a 1 , а 2 , α, β ) должны подбираться таким образом, чтобы результат операции (сложения, вычитания, деления и т.д.) был точно или приблизи-тельно равен нечеткому числу с теми же L(у) и R(у), а параметры α" и β" результата не выходили за рамки ограничений на эти па-раметры для исходных нечетких чисел, особенно если результат в дальнейшем будет участвовать в операциях.

Замечание . Решение задач математического моделирова-ния сложных систем с применением аппарата нечетких множеств требует выполнения большого объема операций над разного рода лингвистическими и другими нечеткими переменными. Для удоб-ства исполнения операций, а также для ввода-вывода и хранения данных, желательно работать с функциями принадлежности стан-дартного вида.

Нечеткие множества, которыми приходится оперировать в боль-шинстве задач, являются, как правило, унимодальными и нор-мальными. Одним из возможных методов аппроксимации унимо-дальных нечетких множеств является аппроксимация с помощью функций (L-R)-типа.

Примеры (L-R)-представлений некоторых лингвистических пе-ременных приведены в табл. 1.2.

Таблица 1.2. Возможное (L - R )-представление некоторых лингвистических переменных

Нечеткие множества. Лингвистическая переменная. Нечеткая логика. Нечеткий вывод. Композиционное правило вывода.

(Конспект)

В основе понятия нечеткого множества (НИ) лежит представление о том, что обладающие общим свойством элементы некоторого множества могут иметь различные степени вырожденности этого свойства и, следовательно, различную степень принадлежности этому свойству.

Пусть U некоторое множество. Нечетким множеством Ã в U называется совокупность пар вида {(µ Ã (u), u)}, где u U, µ Ã .

Значение µ Ã называется степенью принадлежности объекта к нечеткому множеству U.

µ Ã : U 

µ Ã – называется функцией принадлежности.

Пример нечетких множеств – возраст людей (рис. 19.1).

По аналогии с традиционной теорией множеств в Теории НМ определяются следующие операции:

Объединение:

, где

Перечисление:

,

Дополнение:

Алгебраическое произведение:

, где

n-арным нечетким отношением определенным на множествах называется нечеткое подмножество декартовых произведений

Так как нечеткое отношение является множеством для него справедливы все операции определенные для нечетких множеств. В практических приложениях теории нечетких множеств важную роль играет операция композиции нечетких отношений.

Композиция нечетких отношений

Пусть заданы 2 двухместных нечетких отношения:

Композиция нечетких отношений определяется следующим выражением:

Степени принадлежности конкретных выражений

Лингвистическая переменная - - это пятерка Х – имя переменной (возраст), U – базовое множество (0…150), Т(х) – терм множества. Множества лингвистических значений(молодой, средних лет, пожилой, старый). Каждое лингвистическое значение является меткой нечеткого множества определенного на U. G – синтаксическое правило, порождающее лингвистическое значение переменной Х (очень молодой, очень старый). М – семантическое правило ставящее в соответствие каждому лингвистическому значению нечеткое подмножество базового множества, то есть функция принадлежности.

Нечетким высказыванием называется утверждение относительно которого в данный момент времени можно судить о степени его истинности или ложности. Истинность принимает значение в интервале . Нечеткое высказывание не допускающее разделения на более простые называется элементарным.

Нечеткое высказывание построенное на элементарных с использованием логических связок называется составным нечетким высказыванием. Логическим связкам соответствуют операции над истинностью нечетких высказываний. - степени истинности конкретных высказываний.

1)

2)

Таким образом алгебра нечетких множеств изоморфна алгебре нечетких высказываний.

4) операция импликации

Для операции импликации в нечеткой логике предложено несколько определений. Основные:

1)

2)

3)

5) Эквивалентность

n-местным нечетким предикатом, определенным на множествах U 1 , U 2 ,…,U n называется выражение содержащее предметные переменные данных множеств и превращающиеся в нечеткие высказывания при замене предметных переменных элементами множеств U 1 , U 2 ,…,U n .

Пусть U 1 , U 2 ,…,U n базовые множества лингвистических переменных, а в качестве символов предметных переменных выступают иена лингвистических переменных. Тогда примерами нечетких предикатов являются:

«давление в цилиндре низкое» - одноместный предикат

«температура в котле значительно выше температуры в теплообменнике» - двуместных предикат.

Если U k =1,5 следовательно «давление в котле низкое» = 0,7

При построении и реализации нечетких алгоритмов важную роль играет композиционное правило вывода.

Пусть - нечеткое отображение

Нечеткое подмножество универсума U, тогда порождает в V нечеткое подмножество

композиционное правило вывода является основой при построении логического вывода в нечеткой логике.

Пусть задано нечеткое высказывание  , где и – нечеткие множества. Пусть также того задано некоторое высказывание (близкое к А, но не тождественное ему).

В классической логике широко используется правило вывода Modus Ponens

Это правило обобщается на случай нечеткой логики следующим образом:

Пусть множество и определены на базовом множестве Х, а и на базовом множестве Y. Естественно считать, что высказывание если задает некоторое нечеткое отображение из множества Х в Y

Тогда в соответствии с композиционным правилом вывода имеем:

Отношение строится на основе определения операции импликации в нечеткой логики.

1)

Если температура в котле низкая (), то подогрев повышенный ()

Реальные нечеткие логические алгоритмы содержат не одно, а множество продукционных правил

Если S 1 , то R 1 , иначе

Если S n , то R n , иначе

Поэтому нечеткие отношения должны быть построены для каждого отдельного правила, а затем агрегированы путем наложения друг на друга

В качестве агрегирующей операции выбирается или min или max в зависимости от типа импликации.

Когда нечеткий вывод используется в контуре управления реальным объектом, на объект должно выдаваться четкое управляющее воздействие. Поэтому необходимо преобразовать нечеткое множество, формируемое на основе композиционного правила вывода, в четкое значение. Эта процедура называется процедурой дефаззификации. Чаще используется 2 способа дефаззификации:

1) Середина «плато»

2) Центр тяжести, определяется точка которая делит площадь нечеткого множества пополам.

Из естественного или искусственного языка . Например, лингвистическая переменная «скорость» может иметь значения «высокая», «средняя», «очень низкая» и т. д. Фразы, значение которых принимает переменная, в свою очередь являются именами нечетких переменных и описываются нечетким множеством .

Математическое определение

Лингвистической переменной называется пятерка $\backslash \{\; x,\; T(x),\; X,\; G,\; M\; \backslash \}$, где $x$ - имя переменной; $T(x)$ - некоторое множество значений лингвистической переменной $x$, каждое из которых является нечеткой переменной на множестве $X$; $G$ есть синтаксическое правило для образования имен новых значений $x$; $M$ есть семантическая процедура, позволяющая преобразовать новое имя, образованное процедурой $G$, в нечеткую переменную (задать вид функции принадлежности), ассоциирует имя с его значением, понятием.

$T(x)$ также называют базовым терм-множеством, поскольку оно задает минимальное количество значений, на основании которых при помощи правил $G$ и $M$ можно сформировать остальные допустимые значения лингвистической переменной. Множество $T(x)$ и новые образованные при помощи $G$ и $M$ значения лингвистической переменной образуют расширенное терм-множество.

Пример: нечёткий возраст

Рассмотрим лингвистическую переменную, описывающую возраст человека, тогда:

• $x$: «возраст»;
• $X$: множество целых чисел из интервала ;
• $T(x)$: значения «молодой», «зрелый», «старый». множество $T(x)$ - множество нечетких переменных, для каждого значения: «молодой», «зрелый», «старый», необходимо задать функцию принадлежности , которая задает информацию о том, людей какого возраста считать молодыми, зрелыми, старыми;
• $G$: «очень», «не очень». Такие добавки позволяют образовывать новые значения: «очень молодой», «не очень старый» и пр.
• $M$: математическое правило, определяющее вид функции принадлежности для каждого значения образованного при помощи правила $G$.

Напишите отзыв о статье "Лингвистическая переменная"

Отрывок, характеризующий Лингвистическая переменная

Граф опять пошел за перегородку и лег. Графиня подошла к Наташе, дотронулась перевернутой рукой до ее головы, как это она делала, когда дочь ее бывала больна, потом дотронулась до ее лба губами, как бы для того, чтобы узнать, есть ли жар, и поцеловала ее.
– Ты озябла. Ты вся дрожишь. Ты бы ложилась, – сказала она.
– Ложиться? Да, хорошо, я лягу. Я сейчас лягу, – сказала Наташа.
С тех пор как Наташе в нынешнее утро сказали о том, что князь Андрей тяжело ранен и едет с ними, она только в первую минуту много спрашивала о том, куда? как? опасно ли он ранен? и можно ли ей видеть его? Но после того как ей сказали, что видеть его ей нельзя, что он ранен тяжело, но что жизнь его не в опасности, она, очевидно, не поверив тому, что ей говорили, но убедившись, что сколько бы она ни говорила, ей будут отвечать одно и то же, перестала спрашивать и говорить. Всю дорогу с большими глазами, которые так знала и которых выражения так боялась графиня, Наташа сидела неподвижно в углу кареты и так же сидела теперь на лавке, на которую села. Что то она задумывала, что то она решала или уже решила в своем уме теперь, – это знала графиня, но что это такое было, она не знала, и это то страшило и мучило ее.
– Наташа, разденься, голубушка, ложись на мою постель. (Только графине одной была постелена постель на кровати; m me Schoss и обе барышни должны были спать на полу на сене.)
– Нет, мама, я лягу тут, на полу, – сердито сказала Наташа, подошла к окну и отворила его. Стон адъютанта из открытого окна послышался явственнее. Она высунула голову в сырой воздух ночи, и графиня видела, как тонкие плечи ее тряслись от рыданий и бились о раму. Наташа знала, что стонал не князь Андрей. Она знала, что князь Андрей лежал в той же связи, где они были, в другой избе через сени; но этот страшный неумолкавший стон заставил зарыдать ее. Графиня переглянулась с Соней.
– Ложись, голубушка, ложись, мой дружок, – сказала графиня, слегка дотрогиваясь рукой до плеча Наташи. – Ну, ложись же.
– Ах, да… Я сейчас, сейчас лягу, – сказала Наташа, поспешно раздеваясь и обрывая завязки юбок. Скинув платье и надев кофту, она, подвернув ноги, села на приготовленную на полу постель и, перекинув через плечо наперед свою недлинную тонкую косу, стала переплетать ее. Тонкие длинные привычные пальцы быстро, ловко разбирали, плели, завязывали косу. Голова Наташи привычным жестом поворачивалась то в одну, то в другую сторону, но глаза, лихорадочно открытые, неподвижно смотрели прямо. Когда ночной костюм был окончен, Наташа тихо опустилась на простыню, постланную на сено с края от двери.