АЛГЕБРА

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. Определения определителя и его основные свойства. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца). Критерий обратимости матрицы .

Определителем илидетерминантом n -го порядка называется число, записываемое в виде

и вычисляемое по данным числам (действительным или комплексным) – элементам определителя – по следующему закону:

,

распространенная на всевозможные различные перестановки
из чисел
. Число
равно числу транспозиций, которые нужно сделать, чтобы перейти от основной перестановки
к перестановкеn -го порядка
. Произведение
называетсячленом определителя .

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки

d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 +... + a i n A i n (i =
)

или j- го столбца

d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +... + a n j A n j (j =
).

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

Доказательство.

Убедимся в справедливости теоремы на примере разложения определителя 3-го порядка, например, по 1-й строке. По теореме это разложение будет иметь вид: =
= а 11 А 11 + а 12 А 12 + а 13 А 13 = {с учетом определения A ij получим}= =а 11 (1) 2 М 11 + а 12 (1) 3 М 12 + а 13 (1) 4 М 13 = а 11
 а 12
+ а 13
= а 11 (а 22 а 33  а 23 а 32)  а 12 (а 21 а 33  а 23 а 31) + а 13 (а 21 а 32  а 22 а 31) = =а 11 а 22 а 33 + а 12 а 23 а 31 + а 13 а 21 а 32  а 13 а 22 а 31  а 12 а 21 а 33  а 11 а 23 а 32 = {по правилу треугольников} =
=. Аналогичный результат получается при разложении определителя по любой строке (столбцу). Fin.

Следствие. Если в i–й строке (j-м столбце) определителя  есть только один ненулевой элемент а ij  0, то результатом разложения определителя по этой строке (столбцу) будет выражение  = а ij А ij .

Определители n -го порядка удовлетворяют свойствам:

1) При транспонировании определителя его значение не меняется, (то есть значение определителя не меняется при замене его строк столбцами с теми же номерами).

Доказательство:

 =
=
= a 11 a 22  а 12 а 21

NB. Следовательно, строки и столбцы определителя равноправны, поэтому его свойства можно формулировать и доказывать либо для строк, либо для столбцов.

2) При взаимной перестановке любых двух строк (столбцов) определителя его знак меняется на противоположный.

Доказательство:

 =
= a 11 a 22  а 12 а 21 =  (а 12 а 21  a 11 a 22) = 

3) Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Доказательство. Пусть определитель  имеет две одинаковые строки. Если поменять их местами, то, с одной стороны, величина определителя не изменится, так как строки одинаковы, а с другой стороны определитель должен поменять свой знак на противоположный по свойству 2. Таким образом, имеем:  =    = 0.

4) Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

Доказательство:

=
=a 11 a 22  а 12 а 21 = (a 11 a 22  а 12 а 21) = 
.

Следствие:  =
=
.

NB. Правило умножения определителя на число. Чтобы умножить определитель на число, надо все элементы какой-то одной его строки (столбца) умножить на это число.

5) Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.

Доказательство. По свойству 4 вынесем общий множитель  = 0 элементов нулевой строки (столбца) за знак определителя. Получим 0 = 0.

6) Определитель с двумя и более пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

Доказательство. Если вынести за знак определителя коэффициент пропорциональности двух строк (столбцов) ≠0, то получится определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), равный нулю по свойству 3.

7) Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя представить в

виде суммы k слагаемых, то такой определитель равен сумме k определителей, у которых элементы этой строки (столбца) заменены соответствующими слагаемыми, а все остальные элементы такие же как у исходного определителя.

Доказательство:

=
= (а 11 + b 11)а 22  (а 12 + b 12)а 21 = (а 11 а 22  а 12 а 21) + (b 11 а 22  b 12 а 21) = =
+
.

Опр. n-ая строка определителя называется линейной комбинацией его остальных (n1) строк, если ее можно представить в виде суммы произведений этих строк на соответствующие числа  1 ,  2 , …,  n  1 . Например, в определителе

3–я строка является линейной комбинацией первых двух строк.

NB. Линейная комбинация называется тривиальной, если в ней  i = 0. В противном случае линейная комбинация называется нетривиальной (if  i  0).

8 а) Если одна строка (столбец) определителя является линейной комбинацией других его строк (столбцов), то такой определитель равен нулю.

Доказательство:  =

8 б) Величина определителя не изменится, если к элементам любой его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы любой другой строки (столбца) определителя, умноженные на одно и то же число.

Доказательство:

Пусть =
 {к 1-й строке прибавим 2-ю строку, умноженную на число } 

=
.

9) Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) определителя равна нулю, то есть
= 0 (if i ≠ j).Например, пусть

 =
 0

Тогда а 11 А 21 + а 12 А 22 + а 13 А 23 = 0, так как выполнено умножение элементов 1-ой строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов 2-ой строки.

Доказательство:

а 11 А 21 + а 12 А 22 + а 13 А 23 = а 11 (1) 2+1
+ а 12 (1) 2+2
+ а 13 (1) 2+3
=

={это есть разложение по 1-й строке определителя (1)
= 0}= 0.

Если определитель 0, то по свойству 8 б) в нем всегда можно «обнулить» i-ю строку (j-й столбец) до единственного ненулевого элемента и разложить определитель по этой строке (столбцу). Применяя эту операцию нужное число раз, всегда можно из определителя n-го порядка получить определитель 2-го порядка.

Обратная матрица

Опр. Матрица называется присоединенной (союзной) к квадратной матрице А, если она состоит из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы А т. Чтобы получить присоединенную матрицу , следует транспонировать матрицу А, а затем все ее элементы заменить их алгебраическими дополнениями, то есть

=
(3.1)

Опр. Квадратная матрица А называется вырожденной (особенной), если ее определитель |A|=0, и невырожденной, если ее определитель |A|0.

Опр. Квадратная матрица А  1 называется обратной (инверсной) к квадратной матрице А, если выполняется условие

А  1 А = АА  1 = Е (3.2)

NB. Обратная матрица А  1 возможна только для невырожденной матрицы А.

Теорема.

Для любой невырожденной квадратной матрицы А существует единственная обратная матрица А  1 , которая находится по формуле

А  1 = (3.3)

Доказательство.

1) Из определения А  1 А = АА  1 следует, что А и А - 1  это квадратные матрицы одного порядка.

Пусть матрица А – невырожденная, то есть |A|0. Тогда, по правилу умножения матриц, по теореме Лапласа и по свойству 9 определителей, получим

А=

=
=

= |A|= |A|E

Следовательно, А= |A|E. Аналогично доказывается, чтоА = |A|E.

Из А= |A|E  А  1 А = А - 1 ×|A|E  Е = А  1 |A|  = А  1 |A|  А  1 = .

2) Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что для матрицы А существует еще одна обратная матрица В. Тогда, согласно определению произведение АВ=Е. Обе части последнего равенства умножим слева на обратную матрицу А  1 и получим: А  1 АВ = А  1 Е  ЕВ = А  1 Е  В = А  1 . Fin.

Свойства обратной матрицы:

АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ. Наибольший общий делитель двух многочленов (алгоритм Евклида).

Многочленом n -ой степени называется функция вида

где – постоянные коэффициенты (действительные или комплексные), а– комплексная переменная, которая может принимать любые комплексные значения
или, выражаясь геометрическим языком,может быть любой точкой комплексной плоскости.

Если
при
, то числоназываетсякорнем или нулем многочлена
.

Для многочленов определены следующие арифметические операции:

В результате операций 1) и 2) снова получится многочлен. Частное двух многочленов может не быть многочленом.

Деление многочленов с остатком.

,

где
– частное, а
– остаток.

Теорема Безу.

Для того, чтобы многочлен
имел (комплексный) корень, необходимо и достаточно, чтобы он делился на
, т.е. чтобы его можно было представить в виде произведения, где
– некоторый многочлен степениn -1 .

Если при разложении
, то на основании теоремы Безу применимой к
, многочлен
не делится на
, а
хотя и делится на
, но не делится на
. В этом случае говорят, что–простой корень (нуль) многочлена .

Пусть теперь
. Тогда по теореме Безу, применимой к
, многочлен
делится на
, и мы получим
, где
– некоторый многочлен степениn -2 . Если
, то
делится на
, но не делится на
, и тогда числоназываетсякорнем (нулем) кратности 2 .

В общем случае для некоторого натурального
имеет место

где
– многочлен степениn - s , и тогда говорят, что –корень (нуль) многочлена кратности s .

Теорема Гаусса (основная теорема алгебры).

Всякий многочлен n -ой степени (ненулевой, т.е.
) имеет по крайней мере один комплексный корень (нуль).

Следствие из теоремы Гаусса.

Многочлен n -ой степени со старшим не равным нулю коэффициентом
имеетn комплексных корней с учетом кратности, иначе говоря
представляется в виде произведения

где
– различные корникратностей, соответственно
.

Если у многочлена с вещественными коэффициентами есть комплексные корни, то они входят сопряженными парами, т.е. если
– корень многочлена, то и корень
будет являться корнем многочлена.

Раскладывая в разложении на квадратичные множители многочлена комплексные корни
на сопряженные, т.е.
получим разложение многочленана линейные множители.

В результате получим разложение вида

где
отвечает вещественному корнюb кратности l , а
– комплексным корнямикратностиm .

Наибольший общий делитель многочленов

Пусть даны произвольные многочлены
и
. Многочлен будет называтьсяобщим делителем для
и
, если он служит делителем для каждого из этих многочленов. Свойство 5. показывает, что к числу общих делителей многочленов
и
принадлежат все многочлены нулевой степени. Если других общих делителей эти два многочлена не имеют, то они называютсявзаимно простыми .

В общем же случае многочлены
и
могут обладать делителями, зависящими от, и введем понятие онаибольшем общем делителе этих многочленов.

Наибольшим общим делителем отличных от нуля многочленов
и
называется такой многочлен
, который является их общим делителем и, вместе с тем, сам делится на любой другой общий делитель этих многочленов. Обозначается наибольший общий делитель многочленов
и
символом
.

Это определение оставляет открытым вопрос, существует ли наибольший общий делитель для любых многочленов
и
. Ответ на этот вопрос положительный. Существует метод для практического разыскания наибольшего общего делителя данных многочленов, называемыйалгоритмом последовательного деления или алгоритмом Евклида.

Алгоритм Евклида – метод для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, а также двух многочленов от одного переменного. Он первоначально был изложен в «Началах» Евклида в геометрической форме как способ нахождения общей меры двух отрезков. Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя, как в кольце целых чисел, так и в кольце многочленов от одного переменного является частным случаем некого общего алгоритма в евклидовых кольцах.

Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов
и
состоит в последовательном делении с остатком
на
, затем
на первый остаток
, затем
на второй остаток
и так далее. Так как степени остатков все время понижаются, то в этой цепочке последовательных делений мы дойдем до такого места, на котором деление совершится нацело и процесс остановится. Последний отличный от нуля остаток
, на который нацело делится предыдущий остаток
, и является наибольшим общим делителем многочленов
и
.

Для доказательства запишем изложенное в виде следующей цепочки равенств:

Последнее равенство показывает, что
служит делителем для
. Отсюда следует, что оба слагаемых правой части предпоследнего равенства делятся на
, а поэтому
будет делителем и для
. Далее, таким же путем, поднимаясь вверх, мы получим, что
является делителем и для
, …,
,
. Отсюда ввиду второго равенства, будет следовать, что
служит делителем для
, а поэтому, на основании первого равенства, - и для
.

Возьмем теперь произвольный общий делитель
многочленов
и
. Так как левая часть и первое слагаемое правой части первого из равенств делятся на
, то
также будет делится на
. Переходя ко второму и следующему равенствам, таким же способом получим, что на
делятся многочлены
,
, … Наконец, если уже будет доказано, что
и
делятся на
, то из предпоследнего равенства получим, что
делится на
. Таким образом,
на самом деле будет наибольшим общим делителем для
и
.

Мы доказали, что любые два многочлена обладают наибольшим общим делителем, и получили способ его вычисления. Этот способ показывает, что если многочлены
и
имеют оба рациональные или действительные коэффициенты, то и коэффициенты их наибольшего общего делителя также будут рациональными или, соответственно, действительными, хотя у этих многочленов могут существовать и такие делители, не все коэффициенты которых рациональны (действительны).

Определение1. 7 . Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент.

Обозначение: выбранный элемент определителя, его минор.

Пример. Для

Определение1. 8. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i+j есть число четное, или число, противоположное минору, если i+j нечетно, т.е.

Рассмотрим еще один способ вычисления определителей третьего порядка – так называемое разложение по строке или столбцу. Для этого докажем следующую теорему:

Теорема 1.1 . Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е.

где i=1,2,3.

Доказательство.

Докажем теорему для первой строки определителя, так как для любой другой строки или столбца можно провести аналогичные рассуждения и получить тот же результат.

Найдем алгебраические дополнения к элементам первой строки:

Таким образом, для вычисления определителя достаточно найти алгебраические дополнения к элементам какой-либо строки или столбца и вычислить сумму их произведений на соответствующие элементы определителя.

Пример. Вычислим определитель с помощью разложения по первому столбцу. Заметим, что при этом искать не требуется, так как следовательно, и Найдем и Следовательно,

Определители более высоких порядков .

Определение1. 9 . Определитель n-го порядка

есть сумма n! членов каждый из которых соответствует одному из n! упорядоченных множеств полученных r попарными перестановками элементов из множества 1,2,…,n.

Замечание 1. Свойства определителей 3-го порядка справедливы и для определителей n-го порядка.

Замечание 2. На практике определители высоких порядков вычисляют с помощью разложения по строке или столбцу. Это позволяет понизить порядок вычисляемых определителей и в конечном счете свести задачу к нахождению определителей 3-го порядка.

Пример. Вычислим определитель 4-го порядка с помощью разложения по 2-му столбцу. Для этого найдем и :

Следовательно,

Теоре́ма Лапла́са - одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 - 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году , хотя частный случай этой теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) был известен ещё Лейбницу.

олнение минора определяется следующим образом:

Справедливо следующее утверждение.

Число миноров, по которым берётся сумма в теореме Лапласа, равно числу способов выбрать столбцов из , то есть биномиальному коэффициенту .

Так как строки и столбцы матрицы равносильны относительно свойств определителя, теорему Лапласа можно сформулировать и для столбцов матрицы.

Разложение определителя по строке (столбцу) (Следствие 1)

Широко известен частный случай теоремы Лапласа - разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Пусть - квадратная матрица размера . Пусть также задан некоторый номер строки либо номер столбца матрицы . Тогда определитель может быть вычислен по следующим формулам.

a i , j

Определители

det(2A )= det(2E ) detA = 0 2 0 (− 2)= 23 (− 2)= − 16 . 0 0 2

(d) Аналогично,

det(− 3A )= det(− 3E ) detA = (− 3)3 (− 2)= 54.

(e) Сначала найдем матрицу (A − 2E ) , а затем ее определитель:

det(A − 2E )= 0 (− 1) (− 3)= 0 .

2.4. Вычисление определителей

Здесь мы рассмотрим два метода вычисления определителей. Суть одного из них заключается в разложении определителя по элементам строки или столбца, в результате чего исходный определитель n -го порядка выражается черезn определителей меньшего порядка. Другой метод основывается на свойствах определителей и связан с преобразованием определителя к более простому виду. Комбинация двух методов дает наиболее эффективный путь вычисления определителей.

2.4.1. Разложение определителя по элементам строки или столбца

Предварительно введем некоторые важные для последующего изложения понятия.

Рассмотрим квадратную матрицу n- го порядка. Выберем i,j -ый элемент этой матрицы и вычеркнем i -ую строку и j -ый столбец. В результате

мы получаем матрицу (n –1)-го порядка, определитель которой называетсяминором элементаa i , j и обозначается символомM i , j .

Определители

Алгебраическое дополнение A i , j элементаa i , j определяется формулой

A i, j= (− 1) i + j M i, j.

Нетрудно заметить, что алгебраическое дополнение i,j -го элемента совпадает с минором этого элемента, если сумма индексов, нумерующих строку и столбец элемента, является четным числом. Для нечетных значенийi+j алгебраическое дополнение отличается от минора только знаком.

Теорема о разложении определителя по элементам строки.

Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:

det A = a i ,1A i ,1+ a i ,2A i ,2+K+ a i ,n A i ,n =

= ∑ a i, jA i, j j= 1

Доказательство : По определению, определитель матрицыA представляет собой сумму

по все возможным перестановкам индексов, нумерующих столбцы. Выберем произвольным образом некоторую строку, например, с

номером i . Один из элементов этой строки представлен в каждом произведенииa 1, k 1 a 2, k 2 K a i , k i K a n , k n . Поэтому слагаемые суммы (*)

можно перегруппировать, объединив в первую группу те, что содержат элемент a i ,1 в качестве общего множителя, во вторую группу – члены,

Другими словами, выражение (*) можно представить в виде линейной комбинации элементов a i , j (j = 1,2,L ,n ),

Определители

элементами, чтобы получить перестановку { j , k 1 , L , k i − 1 , k i + 1 , L , k n } .

Во-вторых, в полученной перестановке, элементj образует j –1 инверсий с другими элементами.

Следовательно,

(− 1) P (k 1 ,L ,k i − 1 ,j ,k i + 1 ,L ,k n )= (− 1) i − 1+ j − 1(− 1) P (k 1 ,L ,k i − 1 ,k i + 1 ,L ,k n )=

= (− 1) i+ j(− 1) P(k1 , L , ki − 1 , ki + 1 , L , kn )

∑ L a i− 1, ki − 1 a i+ 1, ki + 1 K (− 1) P (k 1 , L , k i − 1 , k i + 1 , L , k n ) = M i, j{ k 1 , L , k i − 1 , k i + 1 , L , k n }

представляет собой минор элемента a i , j .

Таким образом, A i , j = (− 1) i + j M i , j , что и требовалось доказать.

Поскольку det A = det A T , то тем самым справедлива и следующая

Теорема о разложении определителя по элементам столбца.

Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения:

det A = a 1,j A 1,j + a 2,j A 2,j +K+ a n ,j A n ,j

= ∑ a i, jA i, j

i = 1

Определители

Теоремы о разложении определителя имеют важное значение в теоретических исследованиях. Они устанавливает, что проблема вычисления определителя n- го порядка сводится к проблеме вычисленияn определителей (n –1)-го порядка.

Примерs:

1) Вычислить определитель произвольной матрицы A = ||a ij || третьего

A 11(a 22a 33− a 23a 32) − a 12(a 21a 33− a 23a 31) + a 13(a 21a 32− a 22a 31)

A 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32− a 11a 23a 32− a 12a 21a 33− a 13a 22a 31,

= − a 12(a 12a 33− a 23a 31) + a 22(a 11a 33− a 13a 31) − a 32(a 11a 23− a 13a 21)

A 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32− a 11a 23a 32− a 12a 21a 33− a 13a 22a 31.

Результаты, полученные различными методами, идентичны.

2 4 5 + 5 1 5+ 3(7+ 12)= 122.

(ii) Тот же самый результат получается при разложении определителя по элементам второго столбца:

Определители

5(5 + 0)+ 4 (10+ 9)− 7(0− 3)= 122.

2.4.2. Вычисление определителей методом элементарных

преобразований

Под элементарными преобразованиями понимаются следующие операции.

С учетом равноправия строк и столбцов определителя подобные операции в полной мере применимы к столбцам.

Идея метода заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований строк и столбцов привести определитель к треугольному виду, что решает проблему его вычисления.

Можно поступать и несколько иначе: с помощью элементарных преобразований получить строку (или столбец), содержащую только один ненулевой элемент, и затем разложить полученный определитель по элементам этой строки (столбца). Подобная процедура понижает порядок определителя на одну единицу.

Определитель матрицы треугольного вида равен произведению ее диагональных элементов:

det A = − 1 8 9= − 72 . 2) Вычислить определитель матрицы

Решение : Сначала преобразуем первую строку с помощью элементарных операций над столбцами, стремясь получить в ней максимально возможное число нулей. С этой целью вычтем из второго столбца пятый столбец, предварительно умноженный на 5, а к третьему столбцу прибавим удвоенный второй столбец:

Теперь разложим определитель по элементам первой строки:

Задание. Вычислить определитель , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй - пять третьих и от четвертой - три третьих строки, получаем:

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей - вторую:

Ответ.

12. Слау 3 порядка

1. Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.

2. Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":

3. Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель

Решение.

Ответ.

4.Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример

Задание. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный: