Сайт о телевидении

Основываясь на понятиях определителей второго и третьего порядков, можно аналогично ввести понятие определителя порядка n . Определители порядка выше третьего вычисляются, как правило, с использованием свойств определителей, сформулированных в п. 1.3., которые справедливы для определителей любого порядка.

Используя свойство определителей номер 9 0 введем определение определителя 4-го порядка:

Пример 2. Вычислить, используя подходящее разложение.

Аналогично вводится понятие определителя 5-го, 6-го и т.д. порядка. Значит определитель порядка n:

.

Все свойства определителей 2-го и 3-го порядков, рассмотренные раннее, справедливы и для определителей n-го порядка.

Рассмотрим основные методы вычисления определителей n -го порядка.

Замечание: прежде чем применять этот метод, полезно, используя основные свойства определителей, обратить в нуль все, кроме одного, элементы его некоторой строки или столбца. (Метод эффективного понижения порядка)

Метод приведения к треугольному виду заключается в таком преобразовании определителя, когда все его элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, становятся равными нулю. В этом случае определитель равен произведению элементов его главной диагонали.

Пример 3. Вычислить, приведением к треугольному виду.

Пример 4. Вычислить, используя метод эффективного понижения порядка

.

Решение: по свойству 4 0 определителей из первой строки вынесем множитель 10, а затем будем последовательно умножать вторую строку на 2, на 2, на 1 и складывать соответственно с первой, с третьей и четвертой строками (свойство 8 0).

.

Полученный определитель можно разложить по элементам первого столбца. Он будет сведен к определителю третьего порядка, который вычисляется по правилу Саррюса (треугольника).

Пример 5. Вычислить определитель, приведением к треугольному виду.

.

Пример 3. Вычислить, используя рекуррентные соотношения.

.

.

Лекция 4. Обратная матрица. Ранг матрицы.

1. Понятие обратной матрицы

Определение 1. Квадратная матрица А порядка n называется невырожденной, если ее определитель |A | ≠ 0. В случае, когда | A | = 0, матрица А называется вырожденной.

Только для квадратных невырожденных матриц А вводится понятие обратной матрицы А -1 .

Определение 2 . Матрица А -1 называется обратной для квадратной невырожденной матрицыА, если А -1 А = АА -1 = Е, где Е – единичная матрица порядка n .

Определение 3 . Матрица называетсяприсоединенной, ее элементами являются алгебраические дополнения транспонированной матрицы
.

Алгоритм вычисления обратной матрицы методом присоединенной матрицы.

, где
.

Проверяем правильность вычисления А -1 А = АА -1 = Е. (Е – единичная матрица)

Матрицы А и А -1 взаимообратные. Если | A | = 0, то обратная матрица не существует.

Пример 1. Дана матрица А. Убедиться, что она невырожденная, и найти обратную матрицу
.

Решение:
. Следовательно матрица невырожденная.

Найдем обратную матрицу. Составим алгебраические дополнения элементов матрицы А.

Получаем

.

Методы вычисления определителей n-го порядка.

Пусть дано упорядоченное множество n элементов. Всякое расположение n элементов в определённом порядке называется перестановкой из этих элементов.

Так как каждый элемент определяется своим номером, то будем говорить, что дано n натуральных чисел.

Число различных перестановок из n чисел равно n!

Если в некоторой перестановке из n чисел число i стоит раньше j , но i > j , т. е. большее число стоит раньше меньшего, то говорят, что пара i , j составляет инверсию .

Пример 1. Определить число инверсий в перестановке (1, 5, 4, 3, 2)

Решение.

Числа 5 и 4, 5 и 3, 5 и 2, 4 и 3, 4 и 2, 3 и 2 образуют инверсии. Общее число инверсий в данной перестановке равно 6.

Перестановка называется чётной , если общее число инверсий в ней чётное, в противном случае она называется нечётной . В рассмотренном выше примере дана чётная перестановка.

Пусть дана некоторая перестановка …, i , …, j , … (*) . Преобразование, при котором числа i и j меняются местами, а остальные остаются на своих местах, называется транспозицией . После транспозиции чисел i и j в перестановке (*) получится перестановка …, j , …, i , …, где все элементы, кроме i и j , остались на своих местах.

От любой перестановки из n чисел можно перейти к любой другой перестановке из этих чисел с помощью нескольких транспозиций.

Всякая транспозиция меняет чётность перестановки.

При n ≥ 2 число чётных и нечётных перестановок из n чисел одинаково и равно .

Пусть М – упорядоченное множество из n элементов. Всякое биективное преобразование множества М называется подстановкой n -й степени .

Подстановки записывают так: https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_119.gif" width="27" height="19"> и все ik различны.

Подстановка называется чётной , если обе её строки (перестановки) имеют одинаковые чётности, т. е. либо обе чётные, либо обе нечётные. В противном случае подстановка называется нечётной .

При n ≥ 2 число чётных и нечётных подстановок n -й степени одинаково и равно .

Определителем квадратной матрицы А второго порядка А= называется число, равное =а11а22–а12а21.

Определитель матрицы называют также детерминантом . Для определителя матрицы А используют следующие обозначения: det A, ΔA.

Определителем квадратной матрицы А=третьего порядка называют число, равное │А│=а11а22а33+а12а23а31+а21а13а32‑а13а22а31‑а21а12а33‑а32а23а11

Каждое слагаемое алгебраической суммы в правой части последней формулы представляет собой произведение элементов матрицы, взятых по одному и только одному из каждого столбца и каждой строки. Для определения знака произведения полезно знать правило (его называют правилом треугольника), схематически изображённое на рис.1:

«+» «-»

https://pandia.ru/text/78/456/images/image012_64.gif" width="73" height="75 src=">.

Решение.

Пусть А – матрица n-го порядка с комплексными элементами:

А=https://pandia.ru/text/78/456/images/image015_54.gif" width="112" height="27 src=">(1) ..gif" width="111" height="51">(2) .

Определителем n-го порядка, или определителем квадратной матрицы А=(aij) при n>1, называется алгебраическая сумма всевозможных произведений вида (1) , причём произведение (1) берётся со знаком «+», если соответствующая ему подстановка (2) чётная, и со знаком «‑», если подстановка нечётная.

Минором М ij элемента aij определителя называется определитель, полученный из исходного вычёркиванием i -й строки и j - го столбца.

Алгебраическим дополнением А ij элемента aij определителя называют число А ij =(–1) i + j М ij , где М ij – минор элемента aij .

Свойства определителей

1. Определитель не изменяется при замене всех строк соответствующими столбцами (определитель не изменится при транспонировании).

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

3. Определитель с двумя одинаковыми (пропорциональными) строками (столбцами) равен нулю.

4. Общий для всех элементов строки (столбца) множитель можно вынести за знак определителя.

5. Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, отличное от нуля.

6. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то он равен нулю.

7. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения (свойство разложения определителя по строке (столбцу)).

Рассмотрим некоторые способы вычисления определителей порядка n .

1. Если в определителе n-го порядка хотя одна строка (или столбец) состоят из нулей, то определитель равен нулю.

2. Пусть в определителе n-го порядка какая-то строка содержит отличные от нуля элементы. Вычисление определителя n-го порядка можно свести в этом случае к вычислению определителя порядка n-1. Действительно, используя свойства определителя, можно все элементы какой-либо строки, кроме одного, сделать нулями, а затем разложить определитель по указанной строке. Например, переставим строки и столбцы определителя так, чтобы на месте а11 стоял отличный от нуля элемент.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image018_51.gif" width="32 height=37" height="37">.gif" width="307" height="101 src=">

Заметим, что переставлять строки (или столбцы) не обязательно. Можно нули получать в любой строке (или столбце) определителя.

Общего метода вычисления определителей порядка n не существует, если не считать вычисление определителя заданного порядка непосредственно по определению. К определителю того или иного специального вида применяются различные методы вычисления, приводящие к более простым определителям.

3. Приведем к треугольному виду. Пользуясь свойствами определителя, приводим его к так называемому треугольному виду, когда все элементы, стоящие по одну сторону от главной диагонали равны нулю. Полученный определитель треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Если удобнее получить нули по одну сторону от побочной диагонали, то он будет равен произведению элементов побочной диагонали, взятому со знаком https://pandia.ru/text/78/456/images/image022_48.gif" width="49" height="37">.

Пример 3. Вычислить определитель разложением по строке

https://pandia.ru/text/78/456/images/image024_44.gif" width="612" height="72">

Пример 4. Вычислить определитель четвёртого порядка

https://pandia.ru/text/78/456/images/image026_45.gif" width="373" height="96 src=">.

2-й способ (вычисление определителя путём разложения его по строке):

Вычислим этот определитель разложением по строке, предварительно преобразовав его так, чтобы в какой-то его строке все элементы кроме одного обратились в ноль. Для этого прибавим первую строку определителя к третьей. Затем умножим третий столбец на (‑5) и сложим с четвёртым столбцом. Преобразованный определитель раскладываем по третьей строке. Минор третьего порядка приводим к треугольному виду относительно главной диагонали.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image028_44.gif" width="202" height="121 src=">

Решение.

Вычтем из первой строки вторую, из второй – третью и т. д., наконец, из предпоследней последнюю (последняя строка остается без изменений).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image030_39.gif" width="445" height="126 src=">

Первый определитель в сумме – треугольного вида относительно главной диагонали, поэтому он равен произведению диагональных элементов, т. е. (n–1)n. Второй определитель в сумме преобразуем, прибавив последнюю строку ко всем предыдущим строкам определителя. Полученный при этом преобразовании определитель будет треугольного вида относительно главной диагонали, поэтому он будет равен произведению диагональных элементов, т. е. nn-1:

=(n–1)n+(n–1)n + nn-1.

4. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Если в определителе выделить k строк (или столбцов) (1£k£n-1), то определитель равен сумме произведений всех миноров k-ого порядка, расположенных в выделенных k строках (или столбцах), на их алгебраические дополнения.

Пример 6. Вычислить определитель

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_36.gif" width="538" height="209 src=">

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №2

«ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ N-ГО ПОРЯДКА»

Вариант 1

Вычислить определители

https://pandia.ru/text/78/456/images/image035_39.gif" width="114" height="94 src=">

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ

1. Понятие определителя n-го порядка.

2. Методы вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.

3. Теорема Лапласа.

4. Матрицы и их виды. Действия над матрицами.

5. Обратная матрица.

6. Ранг матрицы.

1. Понятие определителя n-го порядка.

Определитель n-го порядка записывается в виде квадратной таблицы, содержащей n строк и n столбцов:

Числа а ij - элементы определителя, i – номер строки, j –номер столбца, n - порядок определителя.

Диагональ определителя, состоящая из элементов с одинаковыми индексами, называется главной , а другая называется побочной .

Определителем n-го порядка называется число, являющееся алгебраической суммой n! членов, каждый из которых есть произведение n элементов, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца, причем знак всякого члена определяется входящими в его состав элементами.

Основные свойства определителей n - го порядка.

1. При замене строк столбцами значение определителя не меняется.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

3. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

4. Если определитель имеет две одинаковые или пропорциональные строки (столбца), то такой определитель равен нулю.

5. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

6. Значение определителя не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) добавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

7. Если элементы какой-нибудь строки (столбца) являются линейной комбинацией соответствующих элементов двух (или нескольких) других строк (столбцов), то такой определитель равен нулю.

2. Методы вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.

Величину называют определителем (детерминантом) второго порядка и обозначают .

Таким образом,

Определителем третьего порядка называют величину

Эта формула называется правилом Сарруса (правило «треугольников») для вычисления определителей 3-го порядка. Для лучшего запоминания формулы можно составить таблицу Сарруса, добавив к определителю первый и второй столбцы. Тогда все члены будут представлять собой произведение элементов по диагоналям.

Примеры: Вычислить определители:

а)

3. Теорема Лапласа.

Вычисление определителей более высоких порядков непосредственно весьма сложно, поэтому для их вычисления используют свойства определителей, а также теорему Лапласа, позволяющую понижать порядок данного определителя.

Пусть дан определитель:

Вычеркнем в этом определителе i-ую строку и j-ый столбец, на пересечении которых находится элемент а ij . Тогда получим определитель M ij

(n-1) – го порядка, который называют минором элемента а ij .

Алгебраическим дополнением А ij элемента а ij называют минор этого элемента, взятый со знаком (+), если сумма индексов i+j – четное число, и со знаком (-), если эта сумма – число нечетное, т.е.

А ij = (-1) i + j M ij

Пример. Дан определитель третьего порядка

Найти минор и алгебраическое дополнение элемента а 32 .

Решение. ,

Теорема Лапласа: Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на их соответствующие алгебраические дополнения равна определителю, т.е.

Эта теорема дает возможность разложить определитель по элементам какой-нибудь строки или столбца и свести его вычисление к вычислению определителей более низкого порядка. При этом вычисление определителя значительно упрощается, если среди элементов некоторой строки (столбца) имеются нули.

4. Матрицы и их виды. Действия над матрицами.

Матрицей размерности kxn называется прямоугольная таблица чисел:

.

Числа а ij называются ее элементами. В компактном виде матрицу можно записать:, i=1, …, k, j=1, …, n. Матрицы обозначаются заглавными буквами А,В,С, …, элементы матрицы – строчными буквами с двойной индексацией.

Виды матриц.

Матрица называется квадратной n -го порядка , если число строк равно числу столбцов и равно n.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой .

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом.

Если в матрице А переставить строки и столбцы местами, то получим новую матрицу А Т транспонированную к матрице А:

Матрица, у которой все элементы равны 0, называется нулевой.

Квадратная матрица, у которой элементы вдоль главной диагонали равны 1, а остальные – нули, называется единичной матрицей. Она обозначается буквой Е.

Квадратная матрица n-го порядка называется вырожденной (особенной) , если определитель n-го порядка, составленный из ее элементов, равен нулю. Если же этот определитель отличен от нуля, то матрица называется невырожденной (неособенной).

Две матрицы называются равными , если соответствующие элементы их тождественно равны.

Действия над матрицами.

1. Сложение (вычитание) матриц .

Две матрицы одинаковой размерности, т.е. матрицы, имеющие одно и то же число строк и одно и то же число столбцов, можно сложить (вычесть). При этом под суммой (разностью) двух матриц понимают новую матрицу, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов данных матриц.

2. Умножение матрицы на число.

Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент данной матрицы умножить на это число.

3. Умножение матриц.

Две матрицы можно перемножить только тогда, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы .

Произведением матрицы А на матрицу В называется новая матрица С, у которой элемент с ijj , стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на элементы j-го столбца матрицы В. Матрица С имеет столько строк, сколько матрица А, и столько столбцов, сколько матрица В. Правило умножения матриц называют « строка на столбец ».

Замечание : операция умножения матриц в общем случае не перестановочна , т.е. АВ ≠ ВА.

Пример. Найти произведение матриц А и В: С=АВ,

где, .

Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.

Определение 7. Определителем матрицы А (определителем N-го порядка) Называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. При этом произведение берётся со знаком «+», если подстановка из индексов входящих в него элементов чётная, и со знаком «-» в противном случае.

Обозначение определителя: |А | = .

Например, при n = 6 произведение А21а13а62а34а46а55 является членом определителя, так как в него входит точно по одному элементу из каждой строки и из каждого столбца. Подстановка, составленная из его индексов будет . В ней 4-е инверсии в верхней строке и 2-е инверсии – в нижней. Общее число инверсий равно 6, т. е. подстановка чётная. Следовательно, данное произведение входит в разложение определителя со знаком «+».

Произведение А21а13а62а34а46а15 не является членом определителя, так как в него входят два элемента из первой строки.

Свойства определителей.

10. При транспонировании определитель не меняется (напомним, что транспонирование матрицы и определителя означает перемену строк и столбцов местами).

Действительно, если (-1)к является членом определителя, то все a1, a2, … , an различны и к – число инверсий в перестановке (a1, a2, … , an). При транспонировании номера строк станут номерами столбцов и наоборот. Следовательно, в произведении Все множители будут из разных столбцов и строк, т. е. это произведение будет входить в транспонированный определитель. Знак его будет определяться числом инверсий в подстановке . Но это число, очевидно равно к. Итак, (-1)к будет членом транспонированного определителя. Так как мы брали любой член данного определителя, а число членов в данном и транспонированном определителях одинаково, то отсюда и следует их равенство. Из доказанного свойства следует, что всё, что будет доказано для строк определителя, будет верно и для его столбцов.

20. Если все элементы строки (или столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

Это следует из того, что по одному элементу указанной строки (или столбца) будет входить в каждый член определителя.

30. Если все элементы какой-нибудь строки определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Действительно, если все элементы к-ой строки имеют общий множитель l, то их можно записать в виде . Любой член определителя будет иметь вид (-1)s. Следовательно, из всех членов определителя можно вынести множитель l.

40. Если две строки определителя поменять местами, то определитель сменит знак.

Действительно, если (-1)к любой член данного определителя, то в новом определителе номера строк р и q поменяются местами, а номера столбцов останутся прежними. Следовательно, в новом определителе это же самое произведение будет входить в виде (-1)s. Так как в номерах строк произошла одна транспозиция, а номера столбцов не изменились, то к и s имеют противоположные чётности. Итак, все члены данного определителя изменили знак, следовательно, и сам определитель изменил знак.

50. Если две строки определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Действительно, пусть все элементы к-ой строки равны соответствующим элементам р-ой строки, умноженным на l, т. е. |А | = = = 0.

60. Если в определителе все элементы к-ой строки есть суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в которых все строки, кроме к-ой, такие же как и в данном определителе. На месте элементов к-ой строки одного из них стоят первые слагаемые элементов к-ой строки данного определителя, а на месте элементов к-ой строки второго – вторые их слагаемые.

Пусть элементы к-ой строки будут + Ск1, + Ск2 , …. , + Скn . Тогда любой член определителя будет иметь вид

(-1)s= (-1)s + (-1)s.

Собрав все первые слагаемые, мы получим определитель, отличающийся от данного только к-ой строкой. На месте к-ой строки будут стоять , , …. , . Собрав все вторые слагаемые, получим определитель тоже отличающийся от данного только к-ой строкой. В к-ой строке будут стоять Ск1, ск2 , …. , Скn .

70. Если к одной строке определителя прибавить другую его строку, все элементы которой умножены на одно и то же число, то определитель не изменится.

Это свойство является следствием двух предыдущих.

Если в определителе |А | вычеркнуть к-ую строку и р-ый столбец, то останется определитель (n–1)-го порядка. Он называется Минором, дополнительным для элемента и обозначается Мкр . Число (-1)к+р×МКр Называется Алгебраическим дополнением для элемента и обозначается Акр .

80. Дополнительный минор и алгебраическое дополнение не зависит от того, какой элемент стоит в к-ой строке и р-ом столбце определителя.

Лемма 1 D = . (8)

Доказательство. Если А11 = 0, то равенство (8) очевидно. Пусть А11 ¹ 0. Так как в каждый член определителя входит точно один элемент из первой строки, то ненулевыми членами определителя могут быть только те, в которые входит А11 . Все они имеют вид , где gк и к пробегают значения от 2 до N . Знак этого члена в определителе D определяется чётностью подстановки s = .Таким образом D есть алгебраическая сумма слагаемых вида Со знаками, определяемыми подстановкой s. Если в этой сумме вынести за скобки А11 , то получим, что D = А11 × S , где S Есть алгебраическая сумма слагаемых вида , знак которых определяется подстановкой s. Этих слагаемых, очевидно, (N – 1)!. Но подстановка s и подстановка имеют одинаковую чётность. Следовательно, S = М 11. Так как А11 = (-1)1+1×М 11 = М 11, то D = А11 ×А11 .

Лемма 2. D = (9)

Доказательство. В определителе D переставим р-ую строку последовательно с каждой предыдущей. При этом р-ая строка займёт место первой строки, но минор, дополнительный к элементу Арк не изменится. Всего будет сделано (Р – 1) перестановка строк. Если новый определитель обозначить D1, то D1 = (-1)р-1×D. В определителе D1 переставим К -ый столбец последовательно с каждым предыдущим столбцом, при этом будет сделано (К – 1) перестановка столбцов и минор, дополнительный к Арк , не изменится. Получится определитель

D2 = . Очевидно, D2 = (-1)к-1×D1 = (-1)р+к-2×D = (-1)р+к×D. По лемме 1, D2 = Арк ×М Рк. Отсюда D = Арк × (-1)р+к× М Рк = Арк ×Арк.

Теорема 3. Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки на их алгебраические дополнения, т. е. D = Ак1Ак1 + ак2 ×Ак2 +…+а Kn ×А Kn (10).

Доказательство. Пусть D = . Элементы к-ой строки запишем в виде Ак1 =ал1 + 0 + …+ 0, Ак2 = 0 + Ак2 + 0 + … + 0, … , А = 0 + 0 + …+ 0 + А . Используя свойство 60, получим, что D =
= = Ак1Ак1 + Ак2Ак2 + … + АА (использовали лемму 2).

Теорема 4. Сумма произведений элементов одной строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Доказательство. Пусть D = . По предыдущей теореме

D = . Если взять , то в определителе Dбудет две одинаковые строки, т. е. D будет равен нулю. Следовательно, 0 = , если р ¹ к.

Замечание. Теоремы 3 и 4 будут верны, если в их формулировках слово «строка» заменить на слово «столбец».

Способ вычисления определителя N-го порядка.

Для вычисления определителя N -го порядка достаточно в какой-нибудь строке (или столбце) получить как можно больше нулей, используя свойство 70, а потом использовать теорему 3. При этом вычисление определителя n-го порядка сведётся к вычислению определителя (N – 1)-го порядка.

Пример. Вычислите определитель D = .

. Получим нули во второй строке. Для этого Второй столбец 1) умножим на (-2) и прибавим к первому столбцу; 2) прибавим к третьему столбцу; 3) умножим на (-4) и прибавим к четвёртому столбцу. Получим, что D = . Разложим полученный определитель по элементам второй строки. При этом произведения всех элементов этой строки на их алгебраические дополнения, кроме элемента 1, равны нулю. Для того, чтобы получить алгебраическое дополнение для элемента 1, нужно вычеркнуть те строку и столбец, где этот элемент стоит, т. е. вторую строку и второй столбец. Знак алгебраического дополнения определяет (-1)2+2 = (-1)4 = +1. Итак, D = + . Получили определитель 3-го порядка. Этот определитель можно вычислить, используя диагонали и треугольники, но можно свести к определителю второго порядка. Умножим Первый столбец 1) на (-4) и прибавим ко второму столбцу, 2) умножим его на 2 и прибавим к третьему столбцу. Получим, что

Пусть дана матрица

Определение: Определителем n-го порядка называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых является произведением n сомножителей, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы А. Знак перед слагаемым определяется по правилу знаков:

Определение: Пусть – произвольная перестановка чисел 1,2,3...n. Говорят, что элементы и образуют инверсию (нарушение порядка), если, а. Перестановка чисел 1,2,3...n называется четной, если число инверсий, образованных ее элементами, четно, в противном случае она называется нечетной.

Чтобы определить знак перед слагаемым, нужно расположить сомножители, в него входящие, в порядке возрастания первых индексов и рассмотреть перестановку, образованную вторыми индексами. Если эта перестановка четная, то ставим ²+², если нечетная, то ²–².

Определение: Рассмотрим перестановку:

Поменяем местами и, получим перестановку:

Говорят, что перестановка В получается из А транспозицией элементов и.

Утверждение: Всякая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную.

Доказательство: Частный случай: транспозиция соседних элементов меняет четность перестановки.

Все элементы перестановок А и В, кроме и, образуют одни и те же инверсии. Элемент с элементами и в перестановках А и В образует одни и те же инверсии. Элемент с элементами и в перестановках А и В образует одни и те же инверсии. Если элементы и в перестановке А не образовывали инверсии, то в В – образуют, если в А – образовывали, то в В уже не будут образовывать. Таким образом, в результате транспозиции соседних элементов число инверсий либо увеличилось, либо уменьшилось на единицу. Четность поменялась.

Общий случай. Чтобы совершить транспозицию двух произвольных элементов перестановки, будем последовательно переставлять соседние элементы. Для того, чтобы поменять местами элементы и, сначала k раз меняем элемент с, ..., затем раз меняем до. Таким образом, перестановка совершается раз. Четность меняется на противоположную.

Утверждение: Рассмотрим все перестановки n символов 1,2,3,...,n. Число четных перестановок равно числу нечетных перестановок и равно .

Доказательство: Выпишем все четные перестановки и зададим отображение с нечетными по правилу:

Все перестановки являются нечетными согласно предыдущей теореме.

Указанное нами отображение является биекцией множества всех четных перестановок на множество всех нечетных перестановок, в самом деле, по указанному правилу каждой четной перестановке ставится в соответствие единственная нечетная, т.е. это отображение, очевидно, инъективно: . Указанное отображение сюрьективно, в самом деле, каждая нечетная перестановка В является образом той четной перестановки А, которая получается из В заменой в В местами первого и второго символов, следовательно, отображение биективно, следовательно, число четных перестановок равно числу нечетных равно.

Определение: Всякое биективное отображение множества на себя называется подстановкой.

Подстановку, заданную на множестве 1,2,3,...,n удобно записывать виде: или, где первая и вторая строчки – подстановки.

Подстановка определяется с точностью до расположения столбцов: если в подстановке поменять местами любые два столбца, то получится та же подстановка.

Определение: Подстановка называется четной, если перестановки, записанные в первой и второй строчках либо обе четные, либо обе нечетные. В противном случае подстановка называется нечетной. Четность подстановки не изменится, если поменять в ней любые два столбца, следовательно, число четных подстановок равно числу нечетных, равно.

Теперь правило знаков в определении определителя можно сформулировать так: – произведение n сомножителей, взятых по одному из различных строчек и различных столбцов. Рассмотрим подстановку. Если она четная, то перед слагаемым ставится знак ²+², если нечетная, то ²–².

Пример:

1) Пусть дана матрица, тогда через обозначим транспонированную матрицу:

Докажем, что определитель равен определителю А. ().

Доказательство: Рассмотрим слагаемое входящее в det A. Элемент а является произведением сомножителей, принадлежащих разным строкам и столбцам матрицы А, и, следовательно, разным строкам и столбцам матрицы, следовательно, каждый элемент является слагаемым и в и наоборот. Знак элемента а в определителе определяется четностью подстановки, а в – четностью подстановки. Но эти две подстановки одновременно либо четные либо нечетные.

2) Если в определителе все элементы какой-либо, скажем i-ой строки равны 0, то этот определитель равен 0.

Доказательство: В самом деле, по определению определителя все элементы нулевой строки будут входить в каждое слагаемое, из которых состоит определитель, следовательно, определитель есть сумма n! нулей.

3) Если в определителе поменять местами i и j строчки, то его значение изменится на противоположный.

В самом деле, пусть получена из матрицы а заменой двух строк: i и j. Все слагаемые вида входят и в определитель матрицы А и в определитель матрицы, знак перед этим слагаемым определяется с помощью подстановки: , а знак перед этим же слагаемым в определяется с помощью подстановки

Эти подстановки различной четности.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с

Лекция №8 (2 семестр)

Тема: Ранг матрицы. Базисные строки – база векторов – строк. Определитель Грамма и линейная зависимость.

Определение: Дана матрица

Пусть в А выделены строчки с номерами и столбцы. Элементы, стоящие на пересечении выбранных столбцов и строк образуют матрицу k-того порядка. Определитель М этой матрицы называется минором k-того порядка. Если в матрице А вычеркнуты выбранные строки и столбцы, то оставшиеся элементы образуют матрицу n-k-того порядка. Определитель этой матрицы называется дополнительным минором к минору М.

Определение: Пусть выбраны строки с номерами и столбцы с номерами. Выражение называется алгебраическим дополнением минора М.

Теорема Лапласа: Пусть в квадратной матрице А выбраны k строк с номерами , где . Сумма произведений всевозможных миноров k-того порядка, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения равны определителю матрицы А.