Функции одной переменной.
Введение
В математике основополагающими понятиями являются понятие множества, элемента множества. Математический анализ имеет дело, в основном, с числовыми множествами.
В дальнейшем будем использовать следующую символику:
N - множество натуральных чисел;
Z - множество целых чисел;
Q - множество рациональных чисел;
R - множество действительных чисел;
С – множество комплексных чисел;
Î - | знак принадлежности: х Î Х – элемент х принадлежит множеству Х, х Ï Х – х не принадлежит множеству Х; | |
Ì - | знак включения: Х Ì У – множество Х есть подмножество У; | |
È - | знак объединения: Х È У – множество, элементы которого принадлежат Х или У; | |
Ç - | знак пересечения множеств: Х Ç У – множество, элементы которого принадлежат и Х и У одновременно; | |
\ - | знак вычитания множеств: Х \ У – множество, состоящее из элементов множества Х, не принадлежащих У; | |
" - | квантор всеобщности, читается: «для любого», «для всех», «каждый», «всякий» и т. п. ; | |
$ - | квантор существования, читается: «существует», «найдется»; | |
Ù - | логическое «и» (конъюнкция); | |
Ú - | логическое «или» (дизъюнкция); | |
Þ - | знак следствия, читается: «следует», «выполняется», «влечет за собой»; | |
Û - | знак эквивалентности, читается: «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно»; | |
| или: | - знаки описания (расшифровки), читаются: «такой, что...», «для которых выполняется...», и т. п. | |
Например, символьная запись "х ÎN $ y ÎN: (y > x Ú y < x ) читается «для любого натурального числа х найдется натуральное число у такое, что либо y > x , либо y < x ».
Как известно, каждому действительному числу ставится в соответствие единственная точка на числовой прямой. Поэтому в дальнейшем договоримся отождествлять термины «действительное число» и «точка» числовой прямой. Для числовых промежутков будем использовать следующие обозначения:
[a ; b ] или a £ x £ b – замкнутый промежуток или отрезок с началом в точке а и концом в точке b ;
(a ; b ) или a < x < b – открытый промежуток или интервал ;
(a ; b ] или a < x £ b ,
[a ; b ) или a £ x < b
– полуоткрытые промежутки или полуинтервалы;
[a ; +¥) или x ³ a , (–¥; b ] или x £ b – лучи;
(a ; +¥) или x > a , (–¥ ; b ) или x < b – открытые лучи;
(–¥ ; +¥) или –¥ < х < +¥ – координатная прямая (множество R действительных чисел).
В науке и практике приходится иметь дело с разного рода величинами. Одни из них в конкретных условиях остаются неизменными (постоянными), другие – меняются (переменные). Например, объем аудитории, банки – постоянны, а объем воздушного шарика – переменный.
В математическом анализе нас будет интересовать только численное выражение той или иной величины, а не ее природа, т.е. будем рассматривать абстрактные величины. Поэтому, постоянной величиной мы будем называть ту величину, которая принимает фиксированное, конкретное (пусть даже неизвестное) значение. Обозначать это будем: х – const. Чаще всего постоянные обозначают начальными буквами латинского алфавита: a , b , c , ... или греческими a, b, e, l, ... .
Переменной величиной считаем ту, которая может принимать произвольные числовые значения из некоторого множества чисел. Обозначают переменные чаще всего буквами конца латинского алфавита: х , у , z , t ,... . Множество, из которого переменная величина принимает значения, называют областью определения этой переменной и пишут: x ÎD.
Функция одной переменной
Наряду с понятием множества и элемента множества, к основным понятиям математики относят и понятие соответствия. Определенный вид соответствий носит название функции.
Пусть заданы множество Х с элементами х и множество У, состоящее из элементов у (множества Х и У – не пустые, элементы их могут быть любой природы).
Определение 1.1 Если каждому элементу х ÎХ по некоторому закону (правилу) f поставлен в соответствие единственный элемент у Î У, то говорят, что на множестве Х задана функция y = f (x ), х ÎХ или отображение f : Х → У множества Х в множество У.
При этом принята терминология:
х – независимое переменное, или аргумент,
Х – область определения функции, а каждый элемент х ÎХ – значение аргумента,
у – зависимое переменное, или функция от аргумента х ,
У – область значений функции, а каждый элемент у
ÎУ такой, что
y
= f
(x
) для некоторого х
ÎХ, называется значением функции.
В зависимости от множеств Х и У, функции имеют специфические названия и обозначения:
если Х, У – подмножества множества действительных чисел R, то функция у = f (x ) называется действительной функцией действительного аргумента или функцией одной переменной;
если ХÌR, УÌС – комплексная функция действительного аргумента, обозначается z = f (x );
если ХÌС, У ÌС – комплексная функция комплексного аргумента, обозначается w = f (z );
если ХÌN, УÌR – функция натурального аргумента или последовательность у п = f (п );
если ХÌR 2 (т.е. множество точек (x , у ) плоскости), УÌR, z ÎУ – действительная функция двух переменных z = f (x , у );
если ХÌR п (п -мерное арифметическое пространство), УÌR – действительная функция п переменных и = f (x 1 ,х 2 , …, х п ). Эту и перечисленные выше функции называют числовыми функциями;
если ХÌ R, УÌ V 2 (множество геометрических векторов на плоскости) –векторная функция скалярного аргумента, `r (t )= x (t ) +y (t ) ;
если ХÌ R 2 , УÌ V 2 – векторная функция двух скалярных аргументов, `F (x , y ) = P(x , y ) + Q(x , y ) ;
В математическом анализе, в основном, изучаются числовые функции. Рассмотрим сначала действительную функцию одного переменного. Поскольку и аргументом, и функцией при этом является действительная числовая величина, то часто будем употреблять ее в женском роде: независимая переменная, зависимая переменная.
В этом случае определение 1.1 может быть перефразировано так:
Определение 1.2 Если каждому значению переменной х из числового множества ХÌR по некоторому закону f поставлено в соответствие определенное действительное число у , то говорят, что на множестве Х задана числовая функция у = f (x ). При этом х называют независимой переменной (аргументом), у – зависимой переменной (функцией), Х – областью определения функции и обозначают Х = D(f ) .
Множество значений, которые принимает у , называется областью значений функции и обозначается Е(f ) . Буква f символизирует то правило, по которому устанавливается соответствие между х и у . Наряду с буквой f используются и другие буквы: y = g (x ), y = h (x ), y = u (x ) . Также функцию можно обозначить z = j(t ), x = f (z ) , s = S (p ) и т. п., т.е. и независимая переменная, и зависимая могут обозначаться любыми буквами латинского алфавита.
Две функции равны тогда и только тогда, когда они имеют одну область определения и при каждом значения аргумента принимают одно и то же значение.
Задать функцию – значит, указать правило, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции.
Основные способы задания функции:
1) Аналитический – с помощью одной или нескольких формул, например
y = sin3x + x 2 , ,
(последние две функции иногда называют кусочно-аналитическими или ступенчатыми функциями). Если функция задана аналитически (формулой), то под областью определения понимают множество значений аргумента х , для которых по заданной формуле можно вычислить соответствующее значение у (т.е. выполнимы все операции, указанные в формуле).
Если в формуле, описывающей функцию, зависимая переменная выражена через независимую переменную, то такая функция называется явно заданной . Приведенные выше функции заданы явно.
Если же равенство, описывающее функцию, не разрешено относительно зависимой переменной, то функция называется неявно заданной , например
х 2 + 3ху – у 3 = 1 или ln(x +3y ) = y 2 .
Неявно заданная функция может быть представлена в форме
где t – параметр, принимающий значения из некоторого множества. Такую функцию называют параметрически заданной функцией . Например,
, t Î R определяет функцию у = (х –1) 2 ,
определяет функцию .
Параметрическое задание функции широко применяется в механике: если х = х (t ) и у = у (t ) законы изменения координат движущейся точки, то уравнения определяю траекторию движения.
2) Словесный . Например, «целая часть числа» – наибольшее целое, не превосходящее х . Эту функцию обозначают у = [x ].
3) Табличный . Например
х | х 1 | х 2 | х 3 | ... |
у | у 1 | у 2 | у 3 | ... |
Так задаются функции, обычно получаемые по результатам опыта, эксперимента, расчета.
4) Графический.
Определение 1.3. Графиком функции у = f (x ) называется геометрическое место точек координатной плоскости ХОУ с координатами (х , f (x )), где х ÎD(f ).
Изображение функциональной зависимости в виде линии (графика) и является графическим заданием функции . Например, показания осциллографа, электрокардиограмма и т.п. – это графическое представление зависимости между изучаемыми величинами.
Заметим, что для однозначной функции ее график имеет только одну точку пересечения с любой прямой х = а , а Î D(f ).
Свойства функций.
I. Функция у = f (x ), x ÎD, называется ограниченной на множестве D, если существуют действительные числа А, В такие, что " x ÎD выполняется условие A £ f (x ) £ B. График такой функции расположен в некоторой горизонтальной полосе между прямыми у = А и у = В (рис.1а). Если таких чисел А и В не существует, то функция называется неограниченной на множестве D.
Если " x ÎD Þ f (x ) £ B, то функция ограничена сверху (рис.1 б).
Если " x ÎD Þ f (x ) ³ А, то функция ограничена снизу (рис.1в).
Ограниченными в своей области определения являются функции у = sin x и y = cos x , т.к. для всех значений х выполняется
–1 £ sin x £ 1 и –1 £ cos x £ 1.
Функция ограничена сверху, т.к. для всех действительных значений х выполняется условие у £ 1. Примером ограниченной снизу функции служит показательная функция у = , т.к. > 0 для всех действительных значений х .
II. Функция у = f (x ), x ÎD, называется возрастающей , если для любых значений аргумента х 1 , х 2 ÎD таких, что х 1 < х 2 , выполняется условие f (x 1) < f (x 2) (т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции, Рис.2а).
Функция у = f (x ), x ÎD, называется убывающей , если "х 1 ,х 2 ÎD таких, что х 1 < х 2 , выполняется условие (f (x 1) > f (x 2) (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, рис.2б). Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями. Если строгие неравенства заменить нестрогими, то соответственно функция будет называться неубывающей и невозрастающей.
|
III. Функция у = f (x ), x ÎD, называется четной , если
" х ÎD Þ (–х ÎD и f (–x ) = f (x )).
График четной функции симметричен относительно оси ОУ (рис.3а).
Функция у = f (x ), x ÎD, называется нечетной , если
" х ÎD Þ (–х ÎD и f (–x ) = f (x )).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 3б).
IV. Функция у = f (x ), x ÎD, называется периодической , если
$ Т > 0: "х ÎD Þ (х ± ТÎD и f (x ) = f (x ± Т)).
|
Тема 4 . Функция одной переменной.
Время: 2 часа
Цель лекции: Актуализировать понятие функции; расширить имеющиеся представления о функции, познакомить с основными характеристиками функции.
План лекции:
Понятие функции.
Числовые функции. График функции. Способы задания функции.
Обратная функция.
Сложная функция.
Понятие функции.
Понятие функции является одним из основных в математике. Оно связано с установлением соответствия между элементами двух множеств.
Пусть даны два непустых множества Х
и Y
. Соответствие f
, которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент
, называется функцией
и записывается
или
. Говорят ещё, что функция отображает множество Х
на множество Y
.
X
X
Y
Y
X
Y
Y
. .
X
Например, соответствия
f
и
g
, изображённые на рисунке, являются функциями, а
и
u
‒ нет. В случае
‒ не каждому соответствует элемент
. В случае
и
‒ не соблюдается условие однозначности.
Элемент
, который соответствует данному , называют образом
элемента х.
Все элементы , которым соответствует данный
, называют полным прообразом
элемента у
.
Множество Х
называется областью определения
функции f
и обозначается D
(f
). Множество всех
, для которых существует прообраз в Х
, называется множеством значений
функции f
и обозначается Е
(f
).
Числовые функции. График функции. Способы задания.
Пусть задана функция
. Если элементами множеств Х
и Y
являются действительные числа, то функцию называют числовой функцией
. В дальнейшем будем изучать числовые функции, называть их просто функциями и обозначать
.
Переменная х называется аргументом или независимой переменной , а у ‒ функцией или зависимой переменной . Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости .
Частное значение
функции
при х=а
записывают
. Например, если
, то
,
Г
М (х ;у )
у
х
1
О
рафиком функцииНапример, графиком функции
является верхняя полуокружность радиуса R
=1 с центром О
(0;0).
Чтобы задать функцию, необходимо задать правило, позволяющее, зная х , находить соответствующее значение функции.
Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный и графический.
Аналитический способ : функция задаётся в виде одной или нескольких формул или уравнений.
Если область определения функции не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью определения функции
является отрезок
.
Аналитический способ является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию
.
Графический способ : задаётся график функции; по графику находят значение функции, соответствующее данному значению аргумента и наоборот. Преимущества ‒ наглядность; недостатки ‒ неточность.
Табличный способ применяется, когда целесообразно задать пары х и у перечислением.
Основные характеристики функций.
Функция
, определённая на множестве D
, называется чётной
, если
выполняются условия
и
; нечётной
, если
выполняются условия
и
.
График чётной функции симметричен относительно оси Оу , а нечётной ‒ относительно начала координат.
Например,
,
,
‒ чётные функции, а
,
‒ нечётные функции;
,
‒ функции общего вида.
Пусть функция
определёна на множестве D
и пусть
. Если для любых значений аргументов
из неравенства
вытекает неравенство:
а)
, то функция называется возрастающей
на множестве (большему значению аргумента соответствует большее значение функции);
б)
, то функция называется неубывающей
на множестве ;
в)
, то функция называется убывающей
на множестве (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции);
г)
, то функция называется невозрастающей
на множестве .
‒2 О 1 3 4 х
у
Апример, функция, заданная графиком на рисунке, убывает на промежутке
, не убывает на
, возрастает на
.
Возрастающие, невозрастающие, убывающие, неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие ‒ строго монотонными . Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности .
Ф
у=М
у
х
у= ‒М
Ункцию, определённую на множестве D
называют ограниченной
, что для всех
выполняется неравенство:
.
:
.
Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми у =‒М и у=М .
Функция
, определённая на множестве D
, называется периодической
на этом множестве, если существует такое число T
>0
, что при каждом
значение
и
. При этом число Т
называется периодом функции
. Если Т
‒ период функции, то её периодами будут также числа пТ
, где
Так, для
периодами будут числа
Основной период (наименьший положительный) ‒ это период
. Вообще за основной период берут наименьшее положительное число Т
, удовлетворяющее равенству
.
Обратная функция.
Пусть задана функция
с областью определения D
и множеством значений Е
. Если для каждого
существует единственный прообраз в D
, то можно поставить в соответствие элементам
элементы
, т.е. определить функцию
с областью определения Е
и множеством значений D
. Такая функция
называется обратной
к функции
и записывается
. Про функции
и
говорят, что они являются взаимно обратными.
. Заметим, что для функции
промежуточным аргументом
сложной функции.
Например,
, есть суперпозиция двух функций
и
. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.
Дифференциальное
И интегральное исчисление функции
Одной переменной
Утверждено Редакционным советом
университета в качестве учебного пособия
Рецензенты:
Доктор технических наук, профессор Российского химико-технологического университета им. Д. И. Менделеева
Л. С. Гордеев
Кандидат физико-математических наук, доцент Московского автомобильно-дорожного государственного технического университета (МАДИ)
С. А. Изотова
Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной
Д50 переменной: учеб. пособие / Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло,
М. А. Меладзе, Е. Л. Гордеева, В. В. Осипчик; под ред. Е. Г. Рудаковской,
М. Ф. Рушайло. М. : РХТУ им. Д. И. Менделеева,
2012. – 108 с.
ISBN 978-5-7237-0993-5
Пособие представляет сжатое изложение лекций по математическому анализу, читаемых кафедрой высшей математики.
Пособие охватывает следующие разделы курса математического анализа: дифференциальное исчисление функций одной переменной, интегральное исчисление функций одной переменной. Большое внимание уделено разбору примеров по изучаемым темам, имеющим прикладное значение для других дисциплин.
Предназначено для студентов I курса всех факультетов и колледжей РХТУ им. Д. И. Менделеева.
УДК 517 (075)
ISBN 978-5-7237-0993-5 © Российский химико-технологический
университет им. Д. И. Менделеева, 2012
ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.. 3
§ 1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.. 3
1. Определение функции одной переменной. 3
2. Способы задания функции. 3
3. Сложная и обратная функции. 3
4. Элементарные функции. 3
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.. 3
1. Предел функции в конечной точке x 0 3
2. Односторонние пределы.. 3
3. Предел функции на бесконечности. 3
4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. 3
5. Основные теоремы о конечных пределах. 3
6. Первый замечательный предел. 3
7. Второй замечательный предел. 3
§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.. 3
1. Непрерывность функции в точке и на промежутке. 3
2. Точки разрыва функции и их классификация. 3
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.. 3
1. Определение производной, её геометрический и механический смысл. …….3
2. Примеры вывода производных некоторых элементарных функций. 3
3. Таблица производных основных элементарных функций. 3
4. Дифференцируемость функции. Связь дифференцируемости с существованием производной и непрерывностью функции. 3
5. Правила дифференцирования. 3
6. Дифференцирование функции, заданной неявно. 3
7. Производные показательной и степенной функций. 3
8. Производные обратных тригонометрических функций. 3
9. Дифференциал функции. 3
10. Производные и дифференциалы высших порядков. 3
§ 5. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ……...37
1. Теорема Ролля. 3
2. Теорема Лагранжа. 3
3. Теорема Коши. 3
4. Правило Лопиталя. 3
§ 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ.. 3
1. Асимптоты плоской кривой. 3
2. Монотонность функции. 3
3. Экстремумы функции. 3
4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции. 3
5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. 3
6. Схема исследования функции. Построение графика. 3
ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 3
§ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.. 3
1. Первообразная функция и её свойства. 3
2. Понятие неопределённого интеграла. 3
3. Свойства неопределённого интеграла. 3
4. Таблица основных неопределённых интегралов. 3
§ 2. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.. 3
1. Непосредственное интегрирование. 3
2. Интегрирование подстановкой. 3
3. Интегрирование по частям. 3
4. Интегрирование рациональных дробей. 3
5. Интегрирование тригонометрических выражений. 3
6. Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений. 3
§ 3. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.. 3
1. Задача, приводящая к определённому интегралу. 3
2. Свойства определённого интеграла. 3
3. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница. …....3
4. Методы интегрирования определённого интеграла. 3
5. Приложения определённого интеграла. 3
§ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.. 3
1. Интегралы с бесконечными пределами. 3
2. Интегралы от разрывных функций. 3
ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Определение функции одной переменной
Определение. Пусть даны два множества X и Y . Если каждому элементу x из множества X по некоторому правилу f соответствует единственный элемент y из множества Y , то говорят, что на множестве X определена функция y = f (x ) с областью определения X = D (f ) и областью изменения Y = E (f ). При этом x считают независимой переменной, или аргументом функции, а y – зависимой переменной или функцией .
Частным значением функции y = f (x ) при фиксированном значении аргумента x = x 0 называют y 0 = f (x 0 ).
Графиком функции y = f (x ) называют геометрическое место точек M (x;f (x )) на плоскости Oxy , где x Î D (f ) и f (x ) Î E (f ).
Способы задания функции
1) Аналитический способ – способ задания функции с помощью формулы.
Различают несколько способов аналитического задания функции:
а) Функция задана явно формулой y = f (x ).
Например: , где D (y ) = (– ∞;1) (1;+∞).
б) Функция задана неявно уравнением, связывающем x и y : F (x ;y ) = 0.
Например: – уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r . Если из этого уравнения выразить y через x , то получится две функции:
и ,
которые имеют область определения , а области значений этих функций будут: для первой – , для второй – .
в) Функция задана параметрически с помощью некоторого параметра t , причём и аргумент x , и функция y зависят от этого параметра:
Например: можно задать окружность с помощью параметрических уравнений:
2) Табличный способ задания функции – например, таблицы Брадиса задают функции y = sin x , y = cos x и др.
3) Графический способ задания функции , когда зависимость функции от её аргумента задаётся графически.
Сложная и обратная функции
Определение 1 . Пусть функция y = f (U ) определена на множестве D (f ), а функция U = g (x ) определена на D (g ), причём E (g ) D (f ).
Тогда функция y = F (x ) = f (g (x )) называется сложной функцией (или функцией от функции, или суперпозицией функций f и g ).
Определение 2 . Пусть задана функция y = f (x ) взаимно однозначно отображающая множество X = D (f ) на множество Y = E (f ).
Тогда функция x = g (y ) называется обратной к функции y = f (x ), т. е. любому y E (f ) соответствует единственное значение x D (f ), при котором верно равенство y = f (x ).
Замечание. Графики функций y = f (x ) и x = g (y ) представляют одну и ту же кривую. Если же у обратной функции независимую переменную обозначить x , а зависимую y , то графики функций y = f (x ) и y = g (x ) будут симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
Элементарные функции
Основные элементарные функции:
y = const (постоянная функция ), D (y ) = R; E (y ) = c .
(линейная функция ), D (y ) = R; E (y ) = R .
y = (степенная функция ), α ÎR , E (y ), D (y ) зависят от α.
y = (показательная функция ), a > 0, a ≠ 1, D (y ) = R , E (y ) = (0;+∞).
y = (логарифмическая функция )), a > 0, a ≠ 1, D (y ) = (0;+∞), E (y ) = R .
Тригонометрические функции :
y = sin x , D (y ) = R , E (y ) = .
y = cos x , D (y ) = R , E (y ) = .
y = tg x , D (y ) = , E (y ) = R .
y = ctg x , D (y ) = , E (y ) = R .
Обратные тригонометрические функции :
y = arcsin x , D (y ) = , E (y ) = .
y = arccos x , D (y ) = , E (y ) = .
y = arctg x , D (y ) = R , E (y ) = .
y = arcctg x , D (y ) = R , E (y ) = .
Элементарной функцией называется функция, составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции.
Например: – элементарная функция.
Графики обратных тригонометрических функций:
Определение 1. Окрестностью точки x 0 называется любой интервал, содержащий точкуx 0:. и справедливо равенство:
Замечание 2. Если f (x ) имеет в точке x 0 правый и левый пределы, равные между собой, то в точке функция f (x ) имеет предел, равный числу:
Замечание 3. Если f (x ) имеет в точке x 0 правый и левый пределы, но они не равны между собой, то в точке x 0 функция f (x ) не имеет предела.
1) Область определения функции и область значений функции .
Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
2) Нули функции .
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.
3) Промежутки знакопостоянства функции .
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
4) Монотонность функции .
Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
5) Четность (нечетность) функции .
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
6) Ограниченная и неограниченная функции .
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.
7) Периодическость функции .
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).
19. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Применение функ-ций в экономике.
Линейной функцией называется функция вида , где х - переменная, а и b - действительные числа.
Число а называют угловым коэффициентом прямой, он равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс. Графиком линейной функции является прямая линия. Она определяется двумя точками.
1. Область определения - множество всех действительных чисел: Д(y)=R
2. Множество значений - множество всех действительных чисел: Е(у)=R
3. Функция принимает нулевое значение при или.
4. Функция возрастает (убывает) на всей области определения.
5. Линейная функция непрерывная на всей области определения, дифференцируемая и .
Функция вида , где х - переменная, коэффициенты а, b, с - действительные числа, называетсяквадратичной.