Линейное программирование - один из первых и наиболее подробно изученных разделов математического программирования. Именно линейное программирование явилось тем разделом, с которого начала развиваться сама дисциплина «математическое программирование». Термин «программирование» в названии дисциплины ничего общего с термином «программирование (т.е. составление программ) для ЭВМ» не имеет, так как дисциплина «линейное программирование» возникла еще до того времени, когда ЭВМ стали широко применяться при решении математических, инженерных, экономических и др. задач. Термин «линейное программирование» возник в результате неточного перевода английского «linear programming». Одно из значений слова «programming» - составление планов, планирование. Следовательно, правильным переводом «linear programming» было бы не «линейное программирование», а «линейное планирование», что более точно отражает содержание дисциплины. Однако, термин линейное программирование, нелинейное программирование и т.д. в нашей литературе стали общепринятыми.

Итак, линейное программирование возникло после Второй Мировой Войны и стал быстро развиваться, привлекая внимание математиков, экономистов и инженеров благодаря возможности широкого практического применения, а так же математической «стройности».

Можно сказать, что линейное программирование применимо для построения математических моделей тех процессов, в основу которых может быть положена гипотеза линейного представления реального мира: экономических задач, задач управления и планирования, оптимального размещения оборудования и пр.

Задачами линейного программирования называются задачи, в которых линейны как целевая функция, так и ограничения в виде равенств и неравенств. Кратко задачу линейного программирования можно сформулировать следующим образом: найти вектор значений переменных, доставляющих экстремум линейной целевой функции при m ограничениях в виде линейных равенств или неравенств.

Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К числу задач линейного программирования можно отнести задачи:

• · рационального использования сырья и материалов; задачи оптимизации раскроя;
• · оптимизации производственной программы предприятий;
• · оптимального размещения и концентрации производства;
• · составления оптимального плана перевозок, работы транспорта;
• · управления производственными запасами;
• · и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

Так, по оценкам американских экспертов, около 75% от общего числа применяемых оптимизационных методов приходится на линейное программирование. Около четверти машинного времени, затраченного в последние годы на проведение научных исследований, было отведено решению задач линейного программирования и их многочисленных модификаций.

Постановка задачи оптимизации предполагает существование конкурирующих свойств процесса, например:

• · количество продукции - расход сырья
• · количество продукции - качество продукции

Выбор компромиcного варианта для указанных свойств и представляет собой процедуру решения оптимизационной задачи.

При постановке задачи оптимизации необходимо:

1. Наличие объекта оптимизации и цели оптимизации. При этом формулировка каждой задачи оптимизации должна требовать экстремального значения лишь одной величины, т.е. одновременно системе не должно приписываться два и более критериев оптимизации, т.к. практически всегда экстремум одного критерия не соответствует экстремуму другого. Приведем примеры.

Типичный пример неправильной постановки задачи оптимизации:

«Получить максимальную производительность при минимальной себестоимости».

Ошибка заключается в том, что ставится задача поиска оптимальности 2-х величин, противоречащих друг другу по своей сути.

Правильная постановка задачи могла быть следующая:

• а) получить максимальную производительность при заданной себестоимости;
• б) получить минимальную себестоимость при заданной производительности;

В первом случае критерий оптимизации - производительность, а во втором - себестоимость.

• 2. Наличие ресурсов оптимизации, под которыми понимают возможность выбора значений некоторых параметров оптимизируемого объекта.
• 3. Возможность количественной оценки оптимизируемой величины, поскольку только в этом случае можно сравнивать эффекты от выбора тех или иных управляющих воздействий.
• 4. Учет ограничений.

Обычно оптимизируемая величина связана с экономичностью работы рассматриваемого объекта (аппарат, цех, завод). Оптимизируемый вариант работы объекта должен оцениваться какой-то количественной мерой - критерием оптимальности.

Критерием оптимальности называется количественная оценка оптимизируемого качества объекта.

На основании выбранного критерия оптимальности составляется целевая функция, представляющая собой зависимость критерия оптимальности от параметров, влияющих на ее значение. Вид критерия оптимальности или целевой функции определяется конкретной задачей оптимизации.

Таким образом, задача оптимизации сводится к нахождению экстремума целевой функции.

В зависимости от своей постановки, любая из задач оптимизации может решаться различными методами, и наоборот - любой метод может применяться для решения многих задач. Методы оптимизации могут быть скалярными (оптимизация проводится по одному критерию), векторными (оптимизация проводится по многим критериям), поисковыми (включают методы регулярного и методы случайного поиска), аналитическими (методы дифференциального исчисления, методы вариационного исчисления и др.), вычислительными (основаны на математическом программировании, которое может быть линейным, нелинейным, дискретным, динамическим, стохастическим, эвристическим и т.д.), теоретико-вероятностными, теоретико-игровыми и др. Подвергаться оптимизации могут задачи как с ограничениями, так и без них.

Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных.

В общем виде модель записывается следующим образом:

Целевая функция:

При этом aij, bi, cj () - заданные постоянные величины.

Задача состоит в нахождении оптимального значения функции (1.1) при соблюдении ограничений (1.2) и (1.3).

Систему ограничений (1.2) называют функциональными ограничениями задачи, а ограничения (1.3) - прямыми.

Вектор, удовлетворяющий ограничениям (1.2) и (1.3), называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования. План, при котором функция (1.1) достигает своего максимального (минимального) значения, называется оптимальным.

Рассмотренные выше модели можно отнести к разряду статических моделей линейного программирования, поскольку в них временной интервал был фиксирован. Если возникает необходимость найти решение для другого временного интервала, то нужно заново вводить данные в модель и производить новую оптимизацию. Иначе говоря, в подходе, рассмотренном выше, предполагалось, что все временные интервалы являются независимыми и для каждого временного интервала должна решаться своя задача оптимизации.
В динамических моделях рассматривается поведение системы на нескольких временных интервалах, а поиск решения производится один раз, оптимизируя поведение модели на всех временных интервалах сразу.
Динамические модели являются более реалистическими и более адекватно описывают многие производственные ситуации. Зависимость принятия решения от поведения системы во времени делает динамические модели исключительно полезным методом экономического анализа, но они оказываются значительно сложнее статических по своей постановке, содержат, как правило, большое число переменных, требуют определенного навыка при составлении табличной модели.
В качестве примера рассмотрим практически значимую модель управления производственными запасами (другое название этой модели – многофазовые модели управления запасами ). Для общности результатов мы не будем присваивать параметрам числовые значения. После построения модели можно будет задать явные значения параметров и получить численное решение.

Пример 3.10
Рассмотрим химическую фирму, производящую полиуретан. Производитель имеет заказы на поставку полиуретана в количестве d i тонн в месяц на ближайшие четыре месяца (i=1,2,…,4). Пусть затраты на производство одной тонны полиуретана составляют C i тыс. рублей, а максимальный объем производства полиуретана по месяцам ограничен и равен K i тонн в месяц. Производственная фирма имеет возможность хранить продукцию на складе, причем стоимость хранения одной тонны продукции за месяц составляет n i тыс. рублей. На начальный период времени запас полиуретана на складе составлял L 0 тонн. Менеджеру компании требуется составить план производства полиуретана по месяцам, который бы обеспечил выполнение заказов при минимальной стоимости производства и хранения продукта.
Решение
Заметим, что если бы не было возможности хранить продукцию на складе, то задача разбилась бы на четыре независимые статические задачи и потеряла бы для нас всякий смысл.
Составим уравнение материального баланса, позволяющего вычислить количество продукции, хранящееся на складе в течение i-го месяца. Пусть x i – количество полиуретана, произведенного в i-й временной период. Тогда в течение первого месяца товарный запас на складе будет равен L 1 =L 0 +x 1 -d 1 . Товарный запас второго месяца

Продолжая этот процесс, легко получить общую формулу товарных запасов для любого временного интервала :

. (3.24)
После того как мы вывели уравнение (3.24), описывающее поведение товарных запасов, легко записать математическую модель задачи:

(3.25)
Поставленная задача (3.25) является типичной задачей линейного программирования и может быть достаточно легко решена с помощью программы Поиск решения. Используя численные значения удельных затрат производства

и необходимого объема поставок и производственных мощностей по месяцам
требуется составить оптимальный план производства полиуретана, если на первое января запас полиуретана на складе составлял 15 тонн.

Табличная модель задачи управления запасами
Табличная модель задачи после нахождения оптимального решения приведена на рис. 21.

Рис. 21. Табличная модель задачи динамического программирования

Следует сказать несколько слов и об отчете по устойчивости для этой модели, приведенном на рис. 22.

Рис. 22. Отчет по устойчивости для динамической модели

Если используется простое ограничение на значение оптимизируемых переменных (x i ≤K i в нашем случае), то в отчете по устойчивости теневые цены для этих ограничений помещаются в столбце нормированная стоимость, а информация о допустимом диапазоне теневых цен для этих ограничений не выводится. Таким образом, если увеличить на одну тонну производственные мощности в январе, то общие затраты уменьшатся на 1,7 тыс. рублей.
Требует дополнительных пояснений и столбец Целевой коэффициент отчета по устойчивости. Приведенные здесь значения Excel вычисляет самостоятельно. Смысл целевого коэффициента при переменной состоит в том, что он показывает, насколько увеличится значение целевой функции при увеличении оптимального значения переменной на единицу.
В этом легко убедиться на практике. Оптимальное значение производства полиуретана в январе – 60 тонн, а суммарные затраты равны 4 776,45 тыс. рублей. Если в качестве оптимального значения за январь подставить число 61 и пересчитать суммарные затраты, то получим новое значение – 4 805,50. Разность этих чисел как раз и равна 29,05 – целевому коэффициенту при переменной объема производства в январе.
Широко известны и другие постановки задач динамического программирования. Некоторые из них (модель замены оборудования и модель инвестиций) будут рассмотрены на практических занятиях.

Модели линейного программирования

Многие задачи, с которыми приходится иметь дело в повседневной практике, являются многовариантными. К таким задачам относятся:

Задача об оптимальном использовании ограниченных ресурсов (сырьевых, трудовых, временных);

Задача сетевого планирования и управления;

Задачи массового обслуживания;

Задачи составления расписания (календарного планирования);

Задачи выбора маршрута и другие.

Среди множества возможных вариантов в условиях рыночных отношений приходится отыскивать наилучшие решения в некотором смысле при ограничениях, налагаемых на природные, экономические и технологические возможности. Такие решения называются оптимальными, а задачи и соответствующие им модели позволяющие найти эти решения - оптимизационными (оптимальными). Математическим аппаратом задач оптимального планирования является математическое программирование.

Математическое программирование - область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т. е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.
Функцию, экстремальное значение которой нужно найти в условиях экономических возможностей, называют целевой, показателем эффективности или критерием оптимальности. Экономические возможности формализуются в виде системы ограничений. Все это составляет математическую модель. Математическая модель задачи - это отражение оригинала в виде функций, уравнений, неравенств, цифр и т. д. Модель задачи математического программирования включает:
1) совокупность неизвестных величин, действуя на которые, систему можно совершенствовать. Их называют планом задачи (вектором управления, решением, управлением, стратегией, поведением и др.);
2) целевую функцию (функцию цели, показатель эффективности, критерий оптимальности, функционал задачи и др.). Целевая функция позволяет выбирать наилучший вариант - из множества возможных. Наилучший вариант доставляет целевой функции экстремальное значение. Это может быть прибыль, объем выпуска или реализации, затраты производства, издержки обращения, уровень обслуживания или дефицитности, число комплектов, отходы и т. д.;
Эти условия следуют из ограниченности ресурсов, которыми располагает общество в любой момент времени, из необходимости удовлетворения насущных потребностей, из условий производственных и технологических процессов. Ограниченными являются не только материальные, финансовые и трудовые ресурсы. Таковыми могут быть возможности технического, технологического и вообще научного потенциала. Нередко потребности превышают возможности их удовлетворения. Математически ограничения выражаются в виде уравнений и неравенств. Их совокупность образует область допустимых решений (область экономических возможностей). План, удовлетворяющий системе ограничений задачи, называется допустимым . Допустимый план, доставляющий функции цели экстремальное значение, называется оптимальным. Оптимальное решение, вообще говоря, не обязательно единственно, возможны случаи, когда оно не существует, имеется конечное или бесчисленное множество оптимальных решений.
Оптимизационная задача, в которой целевая функция и неравенства (уравнения), входящие в систему ограничений являются линейными функциями, называется задачей линейного программирования, а соответствующая ей экономико-математическая модель – оптимизационной моделью линейного программирования

Методы и модели линейного программирования широко применяются при оптимизации процессов во всех отраслях народного хозяйства: при разработке производственной программы предприятия, распределении ее по исполнителям, при размещении заказов между исполнителями и по временным интервалам, при определении наилучшего ассортимента выпускаемой продукции, в задачах перспективного, текущего и оперативного планирования и управления; при планировании грузопотоков, определении плана товарооборота и его распределении; в задачах развития и размещения производительных сил, баз и складов систем обращения материальных ресурсов и т. д. Особенно широкое применение методы и модели линейного программирования получили при решении задач экономии ресурсов (выбор ресурсосберегающих технологий, составление смесей, раскрой материалов), производственно-транспортных и других задач.
Начало линейному программированию было положено в 1939 г. советским математиком-экономистом Л. В. Канторовичем в работе «Математические методы организации и планирования производства». Появление этой работы открыло новый этап в применении математики в экономике. Спустя десять лет американский математик Дж. Данциг разработал эффективный метод решения данного класса задач - симплекс-метод. Общая идея симплексного метода (метода последовательного улучшения плана) для решения ЗЛП состоит в следующем:
1) умение находить начальный опорный план;
2) наличие признака оптимальности опорного плана;
3) умение переходить к нехудшему опорному плану.

Лекция №1

Тема: Модели линейного программирования.

1. Понятие модели и моделирования. Классификация математических моделей.

2.Общая задача линейного программирования. Различные формы моделей задач линейного программирования.

3.Постановка и ЭММ задачи планирования производства.

4.Постановка и ЭММ задачи оптимального составления смесей.

Цель: Дать общую характеристику предмету экономико-математического моделирования, показать классификацию видов моделирования и математических моделей. Дать постановку и математическую формулировку общей задачи линейного программирования, а также основных экономико-математических моделей.

1.Понятие модели и моделирования. Классификация математических моделей.

Основным методом исследования систем является метод моделирования , т.е. способ теоретического анализа и практического действия, направленный на разработку и использования моделей. Под моделью понимается образ реального объекта (процесса) в материальной или идеальной форме (т.е. описанный знаковыми средствами на каком-либо языке), отражающие существенные свойства моделируемого объекта (процесса) и замещающий его в ходе исследования и управления.

Математическая модель – это система математических соотношений, приближенно, в абстрактной форме, описывающих изучаемый процесс или систему.

Экономико-математическая модель – это математическая модель, предназначенная для исследования экономической проблемы.

Построение и расчет математической модели позволяют проанализировать ситуацию и выбрать оптимальные решения по управлению ею или обосновать предложенные решения. Применение математических моделей необходимо в тех случаях, когда проблема сложна, зависит от большого числа факторов, по-разному влияющих на её решение. Использование математических моделей позволяет осуществить предварительный выбор оптимальных или близких к ним вариантов решений по определенным критериям.

По числу критериев эффективности математические модели делятся на однокритериальные и многокритериальные. Многокритериальные математические модели содержат два и более критерия.

По учету неизвестных факторов математические модели делятся на детерминированные, стохастические и модели с элементами неопределенности. В детерминированных моделях неизвестные факторы не учитываются. Несмотря на кажущуюся простоту этих моделей, к ним сводят многие практические задачи, в том числе большинство экономических задач. В стохастических моделях неизвестные факторы – это случайные величины, для которых известны функции распределения и различные статистические характеристики. Для моделирования ситуаций, зависящих от факторов, для которых невозможно собрать статистические данные и значения, которых неопределенны, используются модели с элементами неопределенности.

2.Общая задача линейного программирования. Различные формы моделей задач линейного программирования.

В общем виде задача линейного программирования ставится следующим образом: максимизировать (минимизировать) функцию:

при ограничениях:

где x j - управляющие переменные или решения задачи, j =1,… n

b i , a ij , c j - параметры i =1,… m ; j =1,… n

Z - целевая функция или критерий эффективности задачи.

Решить задачу линейного программирования – это значит найти значения управляющих переменных, удовлетворяющих заданным ограничениям (1-3), при которых целевая функция принимает максимальное или минимальное значение.

Задача линейного программирования в развернутом виде записывается следующим образом:

При условии, что все переменные неотрицательны, система ограничений состоит лишь из одних неравенств – такая задача линейного программирования называется стандартной , если система ограничений состоит из одних уравнений, то такая задача называется канонической (основной)

3. Постановка и ЭММ задачи планирования производства.

Постановка задачи планирования производства заключается в следующем: найти такой план выпуска продукции, удовлетворяющий системе ограничений по использованию ресурсов, при котором целевая функция достигает максимального значения.

Обозначим x j (j =1,… n ) - число единиц продукции j –вида, запланированной к производству, b i (i =1,… m ) - запас ресурса i – вида; a ij -затраты i –го ресурса на изготовление единицы продукции j - вида; c j -прибыль от реализации единицы продукции j –вида. Тогда ЭММ задачи планирования производства примет вид

при условиях:

4. Постановка и ЭММ задачи оптимального составления смесей.

Постановка задачи составления смеси (рациона, диеты) заключается в следующем: составить смесь (рацион, диету), удовлетворяющую системе ограничений по сбалансированности питательных веществ, при котором стоимость смеси (рациона, диеты) будет минимальной.

Обозначим x j (j =1,… n ) - число единиц продукта (корма) j –вида, b i (i =1,… m ) – необходимый минимум содержания в рационе (смеси) питательного вещества i – вида; a ij – число единиц питательного вещества i –го вида в единице продукта (корма) j - вида; c j – стоимость единицы продукта (корма) j –вида. Тогда ЭММ задачи примет вид

при условиях:

Вопросы для самоконтроля:

1. Что означает термин «моделирование»?

2. Дайте определение «модели»

3. Как записывается общая задача линейного программирования.

4. Какие существуют формы записи задачи линейного программирования.

5. Запишите ЭММ задачи планирования производства.

6. Запишите ЭММ задачи оптимального составления смеси.

1.«Исследование операций в экономике» под редакцией профессора Кремера Н.Ш., М: Банки и биржи, 1997, стр17-26

2.Хазанова Л.Э. «Математическое моделирование в экономике» Учебное пособие, М: Изд. БЕК, 2005, стр11-20, 24-26

3.Покровский В.В. «Математические методы в бизнесе и менеджменте» Учебное пособие. М.: Финансы и статистика, 2008г

4.Рахметова Р.У. «Математические модели и методы экономики» Учебное пособие. А.:Экономика, 2008г

Лекция №2-3

Тема: Методы решения моделей линейного программирования.

1. Алгоритм метода последовательного улучшения опорного плана в симплексных таблицах (симплексный метод).

2. Алгоритм М-метода решения задач линейного программирования со смешанными ограничениями.

Цель: Дать характеристику методам решения задач линейного программирования.

1. Алгоритм метода последовательного улучшения опорного плана в симплексных таблицах (симплексный метод).

Впервые симплексный метод был предложен Данцигом в 1949 г. Симплекс – это выпуклый простейший многогранник в n -мерном пространстве. Алгоритм симплексного метода построен так, что достаточно найти одну из вершин многогранника допустимых решений, а далее с помощью перебора вершин симплекса план будет улучшаться до нахождения оптимального варианта. Решение экономико–математической задачи проводится в несколько этапов:

1) математическая формулировка условий задачи в виде неравенств и уравнений.

2) решение задачи симплексным методом:

а) приведение задачи к канонической форме и нахождение первоначального варианта допустимого плана соответственного одной из вершин выпуклого многогранника,

б) проверка найденного плана на оптимальность, если план оптимален, то решение получено, в противном случае план должен быть улучшен,

в) последовательное улучшение плана до получения оптимального,

3) экономический анализ оптимального плана.

В зависимости от характера ограничений задачи линейного программирования могут решаться симплексным методом с использованием естественного и искусственного базиса. Если ограничения задаются неравенствами типа , то задача решается с естественным базисом. Если ограничения заданы неравенствами  или , то решение ведется с искусственным базисом.

Условие задачи :

Для производства изделия «А» и «В» используется 3 вида сырья.

Вид сырья	Норма расхода сырья на одно изделие, кг		Общее количество сырья, кг
Прибыль от реализации 1 изд., д. ед.

Определить оптимальный план выпуска изделий, при котором прибыль от реализации будет максимальной.

x 1 -производство изделий вида «А», шт.

x 2 -производство изделий вида «В», шт.

Математическая модель задачи:

Для приведения задачи к каноническому виду в систему неравенств введем дополнительные неизвестные (x 3, x 4, x 5 ) – недоиспользование ресурсов.

Дополнительные переменные входят в целевую функцию с нулевой оценкой, так как недоиспользование ресурсов не приносит никакого дохода. Вынесем дополнительные переменные за знак равенства.

Дополнительные переменные x 3, x 4, x 5 называются базисными, а x 1 и x 2 – основными или небазисными. Находим базисное решение задачи. Для этого примем x 1 =0 x 2 =0.

Тогда x 3 =300, x 4 =120, x 5 =252, Z =0.

Решение проводится в симплексных таблицах на основе тождественных преобразований, путем последовательного исключения неизвестных из уравнений.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

МОДЕЛЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

1 Математическое описание модели линейного программирования

2 Методы реализации моделей линейного программирования

3 Двойственная задача линейного программирования

Модель линейного программирования (ЛП) имеет место, если в исследуемой системе (объекте) ограничения на переменные и целевая функция линейны .

Модели ЛП используются для решения двух основных типов прикладных задач:

1) оптимального планирования в любых сферах человеческой деятельности – социальной, экономической, научно-технической и военной. Например, при оптимальном планировании производства: распределении финансовых, трудовых и других ресурсов, снабжении сырьем, управлении запасами и т. д.

2) транспортной задачи (нахождение оптимального плана различного рода перевозок, оптимального плана распределения разных средств по объектам различного назначения и т. п.)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Требуется найти неотрицательные значения переменных

удовлетворяющих линейным ограничениям в виде равенств и неравенств

,

где – заданные числа,

и обеспечивающих экстремум линейной целевой функции

,

где – заданные числа, что записывается в виде

Допустимым решением называется любая совокупность , удовлетворяющих условиям.

Область допустимых решений – множество всех допустимых решений.

Оптимальное решение
, для которого .

Замечания

1. Приведенная модель ЛП является общей . Различают также стандартные и канонические формы моделей ЛП.

2. Условия существования реализации модели ЛП:

– множество допустимых решений – не пустое;

– целевая функция ограничена на (хотя бы сверху при поиске максимума и снизу при поиске минимума).

3.ЛП основывается на двух теоремах

Теорема 1. Множество G , определяемое системой ограничений вида, есть выпуклое замкнутое множество (выпуклый многогранник в с угловыми точками - вершинами .)

Теорема 2. Линейная форма , определенная на выпуклом многограннике

j =1,2,…,s

i=s +1,s+2,…,m ,

достигает экстремума в одной из вершин этого многогранника.

Данная теорема получила название теоремы об экстремуме линейной формы.

В соответствии с теоремой Вейерштрасса оптимальное решение единственно и является глобальным экстремумом.

Существует общий аналитический подход к реализации модели ЛП – симплекс-метод. При решении задач линейного программирования достаточно часто решения нет. Это происходит по следующим причинам.

Первую причину проиллюстрируем примером

Про такую причину говорят, что ограничения несовместны. Область допустимых решений – пустое множество.

Вторая причина комментируется следующим примером:

В данном случае, область допустимых решений не ограничена сверху. Область допустимых решений не ограничена.

Следуя традициям линейного программирования, дадим задаче ЛП экономическую интерпретацию. Пусть в нашем распоряжении имеется m типов ресурсов. Количество ресурса типа j равно . Эти ресурсы необходимы для производства n типов товаров. Обозначим количество этих товаров символами соответственно. Единица товара типа i стоит . Производство товаров типа i должно быть ограничено величинами соответственно. На производство единицы товара типа i расходуется ресурса типа j . Необходимо определить такой план производства товаров (), чтобы их суммарная стоимость была минимальной.

Задачи линейного программирования, используемые для оптимизации функционирования реальных объектов, содержат значительное число переменных и ограничений. Это обуславливает невозможность решения их графическими методами. При большом числе переменных и ограничений применяются алгебраические методы, в основе которых лежат итерационные вычислительные процедуры. В линейном программировании разработано множество алгебраических методов, различающихся между собой способами построения начального допустимого решения и условиями перехода от одной итерации к другой. Однако все эти методы базируются на общих теоретических положениях.

Общность основных теоретических положений приводит к тому, что алгебраические методы решения задач линейного программирования во многом сходны между собой. В частности, практически любой из них требует предварительного приведения задачи линейного программирования к стандартной (канонической) форме.

Алгебраические методы решения задачи ЛП начинаются с приведения ее к стандартной (канонической) форме :

,

,

i =1,..,n ; j =1,..,m .

Любая задача линейного программирования может быть приведена к стандартной форме. Сравнение общей модели с канонической моделью позволяет сделать вывод о том, что для приведения задачи ЛП к стандартной форме необходимо, во-первых, от системы неравенств перейти к равенствам, а во-вторых, преобразовать все переменные так, чтобы они были неотрицательными.

Переход к равенствам осуществляется прибавлением к левой части ограничений неотрицательной остаточной переменной для неравенств типа , и вычитанием из левой части неотрицательной избыточной переменной для неравенств типа . Например, неравенство при переходе к стандартной форме преобразуется в равенство , a неравенство - в равенство . При этом, как остаточная переменная , так и избыточная переменная являются неотрицательными.

Предполагается, что правая часть неравенств неотрицательна. В противном случае, этого можно добиться умножением обеих частей неравенства на «-1» и сменой его знака на противоположный.

Если в исходной задаче линейного программирования переменная не ограничена в знаке, ее можно представить в виде разности двух неотрицательных переменных , где .

Важной особенностью переменных является то, что при любом допустимом решении только одна из них может принимать положительное значение. Это означает, что если , то и наоборот. Следовательно, может рассматриваться как остаточная, а - как избыточная переменные.

Пример Пусть дана задача линейного программирования:

,

.

Необходимо привести ее к стандартной форме. Заметим, что первое неравенство исходной задачи имеет знак , следовательно, в него необходимо ввести остаточную переменную . В результате получим .

Второе неравенство имеет знак и для преобразования к стандартной форме требует введения избыточной переменной , выполнив эту операцию, получим .

Кроме того, переменная не ограничена в знаке. Следовательно, как в целевой функции, так и в обоих ограничениях она должна быть заменена на разность . Выполнив подстановку, получим задачу линейного программирования в стандартной форме, эквивалентную исходной задаче:

.

Задача линейного программирования, записанная в стандартной форме, представляет собой задачу поиска экстремума целевой функции на множестве векторов, являющихся решениями системы линейных уравнений с учетом условий неотрицательности. Как известно, система линейных уравнений может не иметь решений, иметь единственное решение или иметь бесконечное множество решений. Оптимизация целевой функции возможна только в том случае, если система имеет бесконечное множество решений. Система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, если она совместна (ранг основной матрицы равен рангу расширенной) и, если ранг основной матрицы меньше числа неизвестных.

Пусть ранг матрицы системы ограничений равен m . Это значит, что матрица имеет хоть один минор m -го порядка не равный нулю. Не нарушая общности, можно предположить, что минор расположен в левом верхнем углу матрицы. Этого всегда можно добиться, изменив нумерацию переменных. Этот не равный нулю минор ранга m принято называть базисным. Составим систему из первых m уравнений системы, записав ее следующим образом:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .