Сайт о телевидении

Начало развитию подхода, получившего название метод ветвей и границ, положила работа Ленд и Дойг (1960). Это, скорее, даже не метод, а концепция или процедурная оболочка, на основе которой стали разрабатывать алгоритмы решения целочисленных задач различной природы. Ценность предложенной идеи стала особенно заметна после появления первого точного алгоритма решения задачи коммивояжера, построенного по схеме ветвей и границ (Литтл с соавторами, 1963). Метод можно применять как к полностью, так и частично целочисленным задачам.

Суть идеи схожа с известной шуткой о ловле льва в пустыне: делим пустыню пополам; если льва нет в первой половине, ищем во второй, которую делим пополам и т. д. В отличии от льва оптимум не перемещается, и в этом смысле наша задача легче.

Метод заключается в построении дерева задач, корнем которого является исходная задача, возможно без условия целочисленности (НЗ). Нижележащие задачи порождаются вышележащими так, что их допустимые множества (ДМ) являются непересекающимися подмножествами ДМ вышележащей задачи. Рост дерева происходит за счет перспективных ветвей. Перспективность определяется по оценке критерия терминальной задачи ветвиV ирекорду Z. ОценкаV – это значение критерия, заведомо не хуже оптимального, аZ – достигнутое в процессе решения значение критерия исходной задачи (в качестве начального может приниматься значение, заведомо хуже оптимального). Значит, задача будет порождающей только при условии, что ее оценка лучше рекорда. При этом уровень, на котором находится задача, не имеет значения.

Рассмотрим метод применительно к линейной целочисленной задаче. Хотя нет каких-либо ограничений на число задач, непосредственно порождаемых перспективной, в алгоритмах, как правило, используется разбиение на две задачи, то есть строится бинарное дерево (рис. 7.5). При этом для целочисленных множеств выполняются соотношения

Очевидно, что если, например,V 22 окажется хуже рекорда илиD 22 =, правая ветвь обрывается (говорят также, что она прозондирована). Если же оценкаV 22 будет лучше Z , производится ветвление: множествоD 22 разбивается на 2 подмножества. Решение завершится, когда все ветви будут прозондированы.

Вид оценки зависит от направленности критерия: при максимизации используется верхняя оценка, при минимизации – нижняя. Последующее изложение метода будет относиться к задаче на максимум.

Для алгоритмической реализации схемы ветвей и границ необходимо решить два основополагающих вопроса:

Каким образом разбивать перспективное множество на подмножества;

Как определять верхнюю оценку критерия на рассматриваемом множестве.

Ответы на них зависят от типа задачи (частично или полностью целочисленная, имеет особые свойства или нет, с булевыми или не булевыми переменными). Ниже рассматривается общий случай.

Пусть известен диапазон возможных значений j -й переменной

0  х j  d j ,

которая в непрерывном оптимальном решении оказалась нецелочисленной и равной x j * . Тогда целочисленное значение этой переменной может достигаться либо в интервале 0  х j 
,либо в интервале
+1 х j  d j , где
- целая часть (рис. 7.6).

Это соответствует разбиению непрерывного множестваD н на два непересекающихся подмножества D 1 н и D 2 н , объединение которых не равно D н . В то же время такое разбиение целочисленного множества удовлетворяет соотношениям (7.9). При этом целочисленные множества, как исходное, так и порожденные, включены в соответствующие непрерывные множества. Следовательно, поиск целочисленного решения на непрерывном множестве даст тот же результат, что и на целочисленном. Легко увидеть, что приведенное выделение подинтервалов по одной переменной приводит к разбиению исходного множества на два подмножества при любом числе переменных.

Теперь перейдем ко второму вопросу. Так как целочисленное множество является подмножеством соответствующего непрерывного, оптимальное значение критерия на непрерывном множестве всегда будет не меньше, чем на целочисленном. Поэтому в качестве верхней оценки V можно брать оптимальное значение критерия L * непрерывной задачи.

Выбор начального значения рекорда зависит от ситуации:

если известно какое-либо целочисленное значение, то рекорд принимается равным критерию в этом решении;

при положительности всех коэффициентов критерия можно взять нулевое значение рекорда;

в иных случаях за начальное значение рекорда берется –М , где М- максимально представимое в компьютере число.

По ходу разбиения формируются порождаемые задачи, которые помещаются в список задач. Первоначальный список содержит только одну задачу – исходную задачу без условий целочисленности. И в последующем список будет содержать только непрерывные задачи.

Таким образом, базовый алгоритм, реализующий метод ветвей и границ, включает следующие шаги.

Приведенный алгоритм является базовым, так как не включает однозначных правил выбора задачи из списка и ветвящей переменной. Для частично целочисленных задач при выборе переменной для ветвления исключаются непрерывные переменные.

Пример 7.3 . Применим алгоритм ветвей и границ к задаче

L= 9x 1 + 5x 2  max;

3x 1 - 6x 2  1;

5x 1 +2x 2  28;

 x j  0 , целые.

Отбрасывая условие цедочисленности, получаем непрерывную задачу, которую помещаем в список задач. Так как коэффициенты критерия положительны, начальное значение рекорда принимаем равным нулю. Берем из списка единственную задачу и решаем ее. Получаем оптимальное решение в вершине А (рис. 7.7):x 1 * =4,72; x 2 * =2,19 . Ветвление производим по переменнойx 1 . Добавляя к решенной задаче ограничение x 1 4, образуем задачу 2, а добавление x 1 5 дает задачу 3. Допустимые множества новых задач покзаны на рис. 7.7. Эти задачи помещаем в список задач. Решение задачи 2 достигается в точке В, а задачи 3 – в С. Весь ход решения исходной задачи представлен в виде дерева решений на рис. 7.10. Порядок решения задач из списка отражает счетчик итераций k . На 3-й итерации (задача 4) получено целочисленное решение со значением критерия 41 (точка D нарис. 7.8). Поэтому изменяется рекорд: Z =41.Задача 6 имеет нецелочисленное решение (вершина Е на рис. 7.9), задача 8 – целочисленное решение в точкеF. В результате после 7-й итерации рекорд становится равным 50.

Остальные задачи не имеют допустимых решений, то есть список задач исчерпывается и, таким образом, констатируем получение оптимального решения исходной задачи, равное решению непрерывной задачи 8.

Из приведенного дерева решений видно, что число задач в списке могло быть меньше при другом порядке решения задач. Действительно, если бы сначала были решены задачи правой ветви с рекордом Z= 50, то после решения задачи 2 не произошло бы ветвления, так как верхняя оценка оказалась бы ниже рекорда (V=L * =45,17<50).

Естественно возникает вопрос: а как на числе задач и дереве решений может отразиться выбор другой переменной для ветвления? Так, в нашем примере если после 1-й итерации произвести ветвление по переменнойx 2 , то получим дерево, показанное на рис. 7.11. Оно содержит на 2 задачи больше, чем на рис. 7.10. Конечно, оно может быть также другим при ином порядке решения задач.

Таким образом, число решаемых задач существенно зависит от выбора задачи из списка и переменной для ветвления.

Из алгоритма и приведенного примера следует, что ветвь обрывается по одной из трех причин:

неразрешимость задачи;

задача имеет целочисленное решение;

верхняя оценка не больше рекорда.

Теперь сделаем ряд замечаний относительно метода ветвей и границ. Как уже отмечалось, в базовом алгоритме не оговариваются правила выбора задачи и переменной. В большинстве программных реализаций метода используются правила, основанные на эвристических оценках перспективности задач и переменных. В некоторых пакетах, например, "ЛП в АСУ" предлагается несколько вариантов управления процессом решения: от автоматического до ручного, в котором пользователь может сам делать выбор как задачи, так и переменной. Кроме того, алгоритмы, основанные на методе ветвей и границ, могут существенно отличаться в связи с учетом особенностей класса задач. Например, для задачи коммивояжера, определение оценки значительно упрощено (не требуется решать непрерывную линейную задачу).

Метода ветвей и границ имеет преимущества в сравнении с методом отсечений:

накопление ошибок менее значительное, так как решение идет по разным ветвям;

при принудительной остановке процесса решения высока вероятность получения целочисленного результата, но без установления его оптимальности;

при решении непрерывных задач размеры симплекс-таблиц не увеличиваются.

Недостатки метода ветвей и границ:

Нельзя оценить число задач, которые придется решать. Чем ближе снизу начальное значение рекорда и сверху оценка критерия задачи к искомому оптимальному значению критерия, тем меньше вершин будет иметь дерево решений, а значит, и затрат ресурсов. Однако завышение начального рекорда может привести к неразрешимости задачи, что всегда следует иметь в виду.

Отсутствие признака оптимальности. Оптимальное решение может быть получено задолго до останова алгоритма, но обнаружить это в общем случае нельзя. Оптимальность устанавливается только по исчерпании списка задач.

Очевидно, что эффективность метода повышается с уменьшением диапазонов значений переменных и числа нецелых переменных в решении первой непрерывной задачи.

Метод ветвей и границ относится к комбинаторным методам решения целочисленных задач и применим как к полностью, так и к частично целочисленным задачам.

Суть метода ветвей и границ – в направленном частичном переборе допустимых решений. Будем рассматривать . Вначале она решается без ограничений на целочисленность. При этом находится верхняя граница F(x), так как целочисленное решение не может улучшить значение функции цели.

Далее в методе ветвей и границ область допустимых значений переменных (ОДЗП) разбивается на ряд непересекающихся областей (ветвление), в каждой из которых оценивается экстремальное значение функции. Если целое решение не найдено, ветвление продолжается.

Ветвление производится последовательным введением дополнительных ограничений. Пусть x k – целочисленная переменная, значение которой в оптимальном решении получилось дробным. Интервал [β k ] ≤ x k ≤ [β k ]+1 не содержит целочисленных компонентов решения. Поэтому допустимое целое значение x k должно удовлетворять одному из неравенств x k ≥[β k ]+1 или x k ≤[β k ]. Это и есть дополнительные ограничения. Введение их в методе ветвей и границ на каждом шаге порождает две не связанные между собой подзадачи. Каждая подзадача решается как задача линейного программирования с исходной целевой функцией. После конечного числа шагов будет найдено целочисленное оптимальное решение.

Применение метода ветвей и границ рассмотрим на конкретном примере.

Пример 1. Методом ветвей и границ F(x) = 2x 1 + 3x 2 при ограничениях

3x 1 +4x 2 ≤24

2x 1 +5x 2 ≤22

x 1,2 ≥0 - целые

1-й шаг метода ветвей и границ. с отброшенными условиями целочисленности с помощью симплекс-метода (табл. 1 – 3).

По данным табл. 3 запишем оптимальное нецелое решение

Таблица 1 - симплекс-таблица для задачи ЛП

Таблица 2 - симплекс-таблица для задачи ЛП

Таблица 3 - симплекс-таблица для задачи ЛП

Графическая интерпретация задачи приведена на рис. 1. Здесь ОДЗП представлена четырехугольником ABCD, а координаты вершины С совпадают с x * 1 и x * 2 . Обе переменные в оптимальном решении являются нецелыми, поэтому любая из них может быть выбрана в качестве переменной, инициирующей процесс ветвления.

Пусть это будет x 2 . Выбор x 2 порождает две подзадачи (2 и 3), одна из них получается путем добавления ограничения x 2 ≥3 к исходной задаче, а другая – путем добавления ограничения x 2 ≤2. При этом ОДЗП разбивается на две заштрихованные области (рис. 1), а полоса значений 2 < x 2 < 3 исключается из рассмотрения. Однако множество допустимых целочисленных решений сохраняется, порожденные подзадачи содержат все целочисленные решения исходной задачи.

Рисунок 1 - графическая интерпритация решения примера методом ветвей и границ

2-й шаг метода ветвей и границ. Осуществляется выбор одной из обозначенных ранее подзадач. Не существует точных методов определения, какой из подзадач отдать предпочтение. Случайный выбор приводит к разным последовательностям подзадач и, следовательно, к различным количествам итераций, обеспечивающих получение оптимального решения.

Пусть вначале решается подзадача 3 с дополнительным ограничением x 2 ≤2 или x 2 + x 5 = 2 . Из табл. 3 для переменной x 2 справедливо следующее выражение -2/7x 3 +3/7x 4 +x 2 =18/7 или x 2 =18/7+2/7x 3 -3/7x 4 , тогда 2/7x 3 -3/7x 4 +x 5 =-4/7 . Включаем ограничение в табл. 3, при этом получим новую таблицу (табл. 4).

Осуществляя оптимизацию решения, переходим к табл. 5, которой соответствует решение

Переменная x 1 нецелая, поэтому ветвление необходимо продолжить; при этом возникают подзадачи 4 и 5 с ограничениями x 1 ≤5 и x 1 ≥6 соответственно. Полоса значений 5 < x 1 < 6 исключается из рассмотрения.

Таблица 5 - симплекс-таблица для задачи ЛП

3-й шаг метода ветвей и границ. Решаются подзадачи 4 и 5. Из рис. 1 видно, что оптимальное целочисленное решение подзадачи 4 достигается в вершине К с координатами x * 1 =5, x * 2 =2, однако это не означает, что найден оптимум исходной задачи. Причиной такого вывода являются еще не решенные подзадачи 3 и 5, которые также могут дать целочисленные решения. Найденное целочисленное решение F = 16 определяет нижнюю границу значений целевой функции, т.е. меньше этого значения оно быть не должно.

Подзадача 5 предполагает введение дополнительного ограничения x 1 ≥6 в подзадачу 3 . Графическое решение на рис. 1 определяет вершину L с координатами x * 1 =6, x * 2 =3/2 , в которой достигается оптимальное решение подзадачи 5: F max = 16.5 . Дальнейшее ветвление в этом направлении осуществлять нецелесообразно, так как большего, чем 16, целого значения функции цели получить невозможно. Ветвление подзадачи 5 в лучшем случае приведёт к другому целочисленному решению, в котором F = 16.

4-й шаг метода ветвей и границ. Исследуется подзадача 2 с ограничением x 2 ≥3, находится её оптимальное решение, которое соответствует вершине М (рис. 1) с координатами x * 1 =3.5, x * 2 =3. Значение функции цели при этом F max =16, которое не превышает найденного ранее решения. Таким образом, поиск вдоль ветви x 2 ≥3 следует прекратить.

Отметим, что алгоритм метода ветвей и границ является наиболее надёжным средством решения целочисленных задач, он положен в основу большинства прикладных программ для ПЭВМ, используемых для этих целей.

Для решения задач линейного программирования имеется широкий набор разнообразных машинных программ, которые избавляют от трудоёмкого процесса вычислений вручную. Однако интерпретация информации, выведенной на печать, невозможна без чёткого представления о том, почему и как работает .

Метод можно применять как к полностью, так и частично целочисленным задачам.

Метод заключается в построении дерева задач. Оценка V – это значение критерия, заведомо не хуже оптимального, а рекорд Z – достигнутое в процессе решения значение критерия исходной задачи. Задача будет порождающей только при условии, что ее оценка лучше рекорда. При этом уровень, на котором находится задача, не имеет значения.

Рассмотрим метод применительно к линейной целочисленной задаче. Используется разбиение на две задачи, то есть строится бинарное дерево. При этом для целочисленных множеств выполняются соотношения (9)

Алгоритм:

1. Задается начальное значение рекорда и в список задач помещается исходная задача без требования целочисленности переменных.

2. Анализируется список задач: если он пуст, то переход на шаг 6. Иначе выбирается одна из задач с удалением ее из списка.

3. Выбранная задача решается одним из методов линейного программирования. Если задача неразрешима или оптимальное значение критерия L* £ Z , ветвь обрывается (задача прозондирована). Переход на шаг 2.

4. Полученное решение анализируется на целочисленность. Если решение целочисленное, оно фиксируется, рекорду присваивается оптимальное значение критерия решенной непрерывной задачи (Z :=L* ), ветвь обрывается и осуществляется переход на шаг 2.

5. Выбирается одна из переменных, имеющих нецелочисленные значения. По ней производится ветвление: порождаются 2 задачи, одна образуется присоединением к решенной (родительской) задаче условия х j £ , другая – добавлением к родительской ограничения х j ³ +1. Эти задачи заносятся в список задач. Переход на шаг2.

6. Вывод результатов (если значение рекорда больше начального, получено оптимальное решение исходной задачи, иначе задача неразрешима).

Число решаемых задач существенно зависит от выбора задачи из списка и переменной для ветвления. Из алгоритма, что ветвь обрывается по одной из трех причин:

Неразрешимость задачи;

Задача имеет целочисленное решение;

Верхняя оценка не больше рекорда.

Метода ветвей и границ имеет преимущества в сравнении с методом отсечений: накопление ошибок менее значительное, так как решение идет по разным ветвям; при принудительной остановке процесса решения высока вероятность получения целочисленного результата, но без установления его оптимальности; при решении непрерывных задач размеры симплекс-таблиц не увеличиваются.

Недостатки метода ветвей и границ:

Нельзя оценить число задач, которые придется решать; Отсутствие признака оптимальности. Оптимальность устанавливается только по исчерпании списка задач; Размерность ограничена примерно 100.

Одна из самых известных и важных задач транспортной логистики (и класса задач оптимизации в целом) – задача коммивояжера (англ. «Travelling salesman problem», TSP ). Также встречается название «задача о бродячем торговце ». Суть задачи сводится к поиску оптимального, то есть кратчайшего пути проходящего через некие пункты по одному разу. Например, задача коммивояжера может применяться для нахождения самого выгодного маршрута, позволяющего объехать определенные города со своим товаром по одному разу и вернуться в исходную точку. Мерой выгодности маршрута будет минимальное время, проведенное в пути, минимальные расходы на дорогу или, в простейшем случае, минимальная длина пути.

Кто и когда впервые начал исследовать задачу коммивояжера неизвестно, но одним из первых предложил решение подобной проблемы выдающийся математик XIX в. – Уильям Гамильтон. Здесь мы рассмотрим замкнутый вариант задачи (т.е. такой, когда в итоге мы возвращаемся в исходную точку) и ее решение методом ветвей и границ .

Общий план решения задачи коммивояжера

Для решения задачи коммивояжера методом ветвей и границ необходимо выполнить следующий алгоритм (последовательность действий):

1. Построение матрицы с исходными данными.
2. Нахождение минимума по строкам.
3. Редукция строк.
4. Нахождение минимума по столбцам.
5. Редукция столбцов.
6. Вычисление оценок нулевых клеток.
7. Редукция матрицы.
8. Если полный путь еще не найден, переходим к пункту 2, если найден к пункту 9.
9. Вычисление итоговой длины пути и построение маршрута.

Более подробно эти этапы решения задачи о бродячем торговце раскрыты ниже.

Подробная методика решения задачи коммивояжера

В целях лучшего понимания задачи будем оперировать не понятиями графа, его вершин и т.д., а понятиями простыми и максимально приближенными к реальности: вершины графа будут называться «города», ребра их соединяющие – «дороги».

Итак, методика решения задачи коммивояжера:

1. Построение матрицы с исходными данными

Сначала необходимо длины дорог соединяющих города представить в виде следующей таблицы:

В нашем примере у нас 4 города и в таблице указано расстояние от каждого города к 3-м другим, в зависимости от направления движения (т.к. некоторые ж/д пути могут быть с односторонним движением и т.д.).

Расстояние от города к этому же городу обозначено буквой M. Также используется знак бесконечности. Это сделано для того, чтобы данный отрезок путь был условно принят за бесконечно длинный. Тогда не будет смысла выбрать движение от 1-ого города к 1-му, от 2-ого ко 2-му, и т.п. в качестве отрезка маршрута.

2. Нахождение минимума по строкам

Находим минимальное значение в каждой строке (di ) и выписываем его в отдельный столбец.

3. Редукция строк

Производим редукцию строк – из каждого элемента в строке вычитаем соответствующее значение найденного минимума (di).

В итоге в каждой строке будет хотя бы одна нулевая клетка .

4. Нахождение минимума по столбцам

5. Редукция столбцов

Вычитаем из каждого элемента матрицы соответствующее ему dj.

В итоге в каждом столбце будет хотя бы одна нулевая клетка .

6. Вычисление оценок нулевых клеток

Для каждой нулевой клетки получившейся преобразованной матрицы находим «оценку ». Ею будет сумма минимального элемента по строке и минимального элемента по столбцу, в которых размещена данная нулевая клетка. Сама она при этом не учитывается. Найденные ранее di и dj не учитываются. Полученную оценку записываем рядом с нулем, в скобках.

И так по всем нулевым клеткам:

7. Редукция матрицы

Выбираем нулевую клетку с наибольшей оценкой. Заменяем ее на «М ». Мы нашли один из отрезков пути. Выписываем его (от какого города к какому движемся, в нашем примере от 4-ого к 2-му).

Ту строку и тот столбец, где образовалось две «М» полностью вычеркиваем. В клетку, соответствующую обратному пути , ставим еще одну букву «М» (т.к. мы уже не будем возвращаться обратно).

8. Если полный путь еще не найден, переходим к пункту 2, если найден к пункту 9

Если мы еще не нашли все отрезки пути, то возвращаемся ко 2 -му пункту и вновь ищем минимумы по строкам и столбцам, проводим их редукцию, считаем оценки нулевых клеток и т.д.

Если все отрезки пути найдены (или найдены еще не все отрезки, но оставшаяся часть пути очевидна) – переходим к пункту 9 .

9. Вычисление итоговой длины пути и построение маршрута

Найдя все отрезки пути, остается только соединить их между собой и рассчитать общую длину пути (стоимость поездки по этому маршруту, затраченное время и т.д.). Длины дорог соединяющих города берем из самой первой таблицы с исходными данными.

В нашем примере маршрут получился следующий: 4 → 2 → 3 → 1 → 4 .

Общая длина пути: L = 30 .

Практическое применение задачи коммивояжера

Применение задачи коммивояжера на практике довольно обширно. В частности ее можно использовать для поиска кратчайшего маршрута при гастролях эстрадной группы по городам, нахождения последовательности технологических операций обеспечивающей наименьшее время выполнения всего производственного цикла и пр.

Решение задачи коммивояжера онлайн

Галяутдинов Р.Р.

© Копирование материала допустимо только при указании прямой гиперссылки на

К идее метода ветвей и границ приходили многие исследователи, но Литтл с соавторами на основе указанного метода разработали удачный алгоритм решения ЗК и тем самым способствовали популяризации подхода. С тех пор метод ветвей и границ был успешно применен ко многим задачам, для решения ЗК было придумано несколько других модификаций метода, но в большинстве учебников излагается пионерская работа Литтла.

Общая идея тривиальна: нужно разделить огромное число перебираемых вариантов на классы и получить оценки (снизу - в задаче минимизации, сверху - в задаче максимизации) для этих классов, чтобы иметь возможность отбрасывать варианты не по одному, а целыми классами. Трудность состоит в том, чтобы найти такое разделение на классы (ветви) и такие оценки (границы), чтобы процедура была эффективной.

Таблица 2

Таблица 3

Таблица 4

Изложим алгоритм Литтла на примере 1 предыдущего раздела. Повторно запишем матрицу:

Нам будет удобнее трактовать С ij как стоимость проезда из города i в город j. Допустим, что добрый мэр города j издал указ выплачивать каждому въехавшему в город коммивояжеру 5 долларов. Это означает, что любой тур подешевеет на 5 долларов, поскольку в любом туре нужно въехать в город j. Но поскольку все туры равномерно подешевели, то прежний минимальный тур будет и теперь стоить меньше всех. Добрый же поступок мэра можно представить как уменьшение всех чисел j-го столбца матрицы С на 5. Если бы мэр хотел спровадить коммивояжеров из j-го города и установил награду за выезд в размере 10 долларов, это можно было бы выразить вычитанием 10 из всех элементов j-й той строки. Это снова бы изменило стоимость каждого тура, но минимальный тур остался бы минимальным. Итак, доказана следующая лемма.

Вычитая любую константу из всех элементов любой строки или столбца матрицы С, мы оставляем минимальный тур минимальным.

Для алгоритма нам будет удобно получить побольше нулей в матрице С, не получая там, однако, отрицательных чисел. Для этого мы вычтем из каждой строки ее минимальный элемент (это называется приведением по строкам, см. табл. 3), а затем вычтем из каждого столбца матрицы, приведенной по строкам, его минимальный элемент, получив матрицу, приведенную по столбцам, см. табл. 4).

Прочерки по диагонали означают, что из города i в город i ходить нельзя. Заметим, что сумма констант приведения по строкам равна 27, сумма по столбцам 7, сумма сумм равна 34.

Тур можно задать системой из шести подчеркнутых (выделенных другим цветом) элементов матрицы С, например, такой, как показано на табл. 2. Подчеркивание элемента означает, что в туре из i-го элемента идут именно в j-тый. Для тура из шести городов подчеркнутых элементов должно быть шесть, так как в туре из шести городов есть шесть ребер. Каждый столбец должен содержать ровно один подчеркнутый элемент (в каждый город коммивояжер въехал один раз), в каждой строке должен быть ровно один подчеркнутый элемент (из каждого города коммивояжер выехал один раз); кроме того, подчеркнутые элементы должны описывать один тур, а не несколько меньших циклов. Сумма чисел подчеркнутых элементов есть стоимость тура. На табл. 2 стоимость равна 36, это тот минимальный тур, который получен лексикографическим перебором.

Теперь будем рассуждать от приведенной матрицы на табл. 2. Если в ней удастся построить правильную систему подчеркнутых элементов, т.е. систему, удовлетворяющую трем вышеописанным требованиям, и этими подчеркнутыми элементами будут только нули, то ясно, что для этой матрицы мы получим минимальный тур. Но он же будет минимальным и для исходной матрицы С, только для того, чтобы получить правильную стоимость тура, нужно будет обратно прибавить все константы приведения, и стоимость тура изменится с 0 до 34. Таким образом, минимальный тур не может быть меньше 34. Мы получили оценку снизу для всех туров.

Теперь приступим к ветвлению. Для этого проделаем шаг оценки нулей. Рассмотрим нуль в клетке (1,2) приведенной матрицы. Он означает, что цена перехода из города 1 в город 2 равна 0. А если мы не пойдем из города 1 в город 2? Тогда все равно нужно въехать в город 2 за цены, указанные во втором столбце; дешевле всего за 1 (из города 6). Далее, все равно надо будет выехать из города 1 за цену, указанную в первой строке; дешевле всего в город 3 за 0. Суммируя эти два минимума, имеем 1+0=1: если не ехать «по нулю» из города 1 в город 2, то надо заплатить не меньше 1. Это и есть оценка нуля. Оценки всех нулей поставлены на табл. 5 правее и выше нуля (оценки нуля, равные нулю, не ставились).

Выберем максимальную из этих оценок (в примере есть несколько оценок, равных единице, выберем первую из них, в клетке (1,2)).

Итак, выбрано нулевое ребро (1,2). Разобьем все туры на два класса - включающие ребро (1,2) и не включающие ребро (1,2). Про второй класс можно сказать, что придется приплатить еще 1, так что туры этого класса стоят 35 или больше.

Что касается первого класса, то в нем надо рассмотреть матрицу на табл. 6 с вычеркнутой первой строкой и вторым столбцом.

Таблица 5

Таблица 7

Дополнительно в уменьшенной матрице поставлен запрет в клетке (2,1), т.к. выбрано ребро (1,2) и замыкать преждевременно тур ребром (2,1) нельзя. Уменьшенную матрицу можно привести на 1 по первому столбцу, так что каждый тур, ей отвечающий, стоит не меньше 35. Результат наших ветвлений и получения оценок показан на рис. 6.

Кружки представляют классы: верхний кружок - класс всех туров; нижний левый - класс всех туров, включающих ребро (1,2); нижний правый - класс всех туров, не включающих ребро (1,2). Числа над кружками - оценки снизу.

Продолжим ветвление в положительную сторону: влево - вниз. Для этого оценим нули в уменьшенной матрице C на табл. 7. Максимальная оценка в клетке (3,1) равна 3. Таким образом, оценка для правой нижней вершины на рис. 7 есть 35+3=38. Для оценки левой нижней вершины на рис. 7 нужно вычеркнуть из матрицы C еще строку 3 и столбец 1, получив матрицу C[(1,2), (3,1)] на табл. 8. В эту матрицу нужно поставить запрет в клетку (2,3), так как уже построен фрагмент тура из ребер (1,2) и (3,1), т.е. , и нужно запретить преждевременное замыкание (2,3). Эта матрица приводится по столбцу на 1 (табл. 9), таким образом, каждый тур соответствующего класса (т.е. тур, содержащий ребра (1,2) и (3,1)) стоит 36 и более.

Таблица 9

Таблица 11

Оцениваем теперь нули в приведенной матрице C[(1,2), (3,1)] нуль с максимальной оценкой 3 находится в клетке (6,5). Отрицательный вариант имеет оценку 38+3=41. Для получения оценки положительного варианта убираем строчку 6 и столбец 5, ставим запрет в клетку (5,6), см. табл. 10. Эта матрица неприводима. Следовательно, оценка положительного варианта не увеличивается (рис. 8).

Оценивая нули в матрице на табл. 10, получаем ветвление по выбору ребра (2,6), отрицательный вариант получает оценку 36+3=39, а для получения оценки положительного варианта вычеркиваем вторую строку и шестой столбец, получая матрицу на табл. 11.

В матрицу надо добавить запрет в клетку (5,3), ибо уже построен фрагмент тура и надо запретить преждевременный возврат (5,3). Теперь, когда осталась матрица 2х2 с запретами по диагонали, достраиваем тур ребрами (4,3) и (5,4). Мы не зря ветвились, по положительным вариантам. Сейчас получен тур: 1>2>6>5>4>3>1 стоимостью в 36. При достижении низа по дереву перебора класс туров сузился до одного тура, а оценка снизу превратилась в точную стоимость.

Итак, все классы, имеющие оценку 36 и выше, лучшего тура не содержат. Поэтому соответствующие вершины вычеркиваются. Вычеркиваются также вершины, оба потомка которой вычеркнуты. Мы колоссально сократили полный перебор. Осталось проверить, не содержит ли лучшего тура класс, соответствующий матрице С , т.е. приведенной матрице С с запретом в клетке 1,2, приведенной на 1 по столбцу (что дало оценку 34+1=35). Оценка нулей дает 3 для нуля в клетке (1,3), так что оценка отрицательного варианта 35+3 превосходит стоимость уже полученного тура 36 и отрицательный вариант отсекается.

Для получения оценки положительного варианта исключаем из матрицы первую строку и третий столбец, ставим запрет (3,1) и получаем матрицу. Эта матрица приводится по четвертой строке на 1, оценка класса достигает 36 и кружок зачеркивается. Поскольку у вершины «все» убиты оба потомка, она убивается тоже. Вершин не осталось, перебор окончен. Мы получили тот же минимальный тур, который показан подчеркиванием на табл. 2.

Удовлетворительных теоретических оценок быстродействия алгоритма Литтла и родственных алгоритмов нет, но практика показывает, что на современных ЭВМ они часто позволяют решить ЗК с n = 100. Это огромный прогресс по сравнению с полным перебором. Кроме того, алгоритмы типа ветвей и границ являются, если нет возможности доводить их до конца, эффективными эвристическими процедурами.