Сайт о телевидении

Если совокупность нечетких множеств { } упорядочена, то множества и , и называются прилегающими при условии, что эти нечеткие множества являются перекрывающимися.

База нечетких правил называется непрерывной , если для правил

R k: если x 1 = и x 2 = , тогда y= и k’¹k

выполнены условия:

‑ Ù и являются прилегающими;

‑ Ù и являются прилегающими;

‑ и являются прилегающими.

Непротиворечивость базы нечетких правил рассмотрим на примере . База нечетких правил для управления роботом задана в виде:

………………………………….

R i: если препятствие впереди, то двигайся влево,

R i +1: если препятствие впереди, то двигайся вправо,

……………………………………

База правил противоречива.

Пример непротиворечивой базы нечетких правил следующий:

R 1: если x 1 = или x 2 = , тогда y= ;

R 2: если x 1 = или x 2 = , тогда y= ;

R 3: если x 1 = или x 2 = , тогда y= .

Если правила содержат два условия и один вывод, то эти правила представляют собой систему с двумя входами x 1 и x 2 и одним выходом y . Данная система может быть представлена в матричной форме:

База нечетких правил непротиворечива.

Напомним, что лингвистической называется переменная, принимающая значения из множества слов или словосочетаний некоторого естественного или искусственного языка. Множество допустимых значений лингвистической переменной называется терм-множеством. Задание значения переменной словами, без использования чисел, для человека более естественно. Ежедневно мы принимаем решения на основе лингвистической информации типа: "очень высокая температура"; "длительная поездка"; "быстрый ответ"; "красивый букет"; "гармоничный вкус" и т.п. Психологи установили, что в человеческом мозге почти вся числовая информация вербально перекодируется и хранится в виде лингвистических термов. Понятие лингвистической переменной играет важную роль в нечетком логическом выводе и в принятии решений на основе приближенных рассуждений. Формально, лингвистическая переменная определяется следующим образом.

Определение 44. Лингвистическая переменная задается пятеркой , где - ; имя переменной; - ; терм-множество, каждый элемент которого (терм) представляется как нечеткое множество на универсальном множестве ; - ; синтаксические правила, часто в виде грамматики, порождающие название термов; - ; семантические правила, задающие функции принадлежности нечетких термов, порожденных синтаксическими правилами .

Пример 9. Рассмотрим лингвистическую переменную с именем "температура в комнате". Тогда оставшуюся четверку можно определить так:

Таблица 4 - Правила расчета функций принадлежности

Графики функций принадлежности термов "холодно", "не очень холодно", "комфортно", "более-менее комфортно", "жарко" и "очень жарко" лингвистической переменной "температура в комнате" показаны на рис. 13.

Рисунок 13 - Лингвистическая переменная "температура в комнате"

Нечеткая истинность

Особое место в нечеткой логике занимает лингвистическая переменная "истинность". В классической логике истинность может принимать только два значения: истинно и ложно. В нечеткой логике истинность "размытая". Нечеткая истинность определяется аксиоматически, причем разные авторы делают это по-разному. Интервал используется как универсальное множество для задания лингвистической переменной "истинность". Обычная, четкая истинность может быть представлена нечеткими множествами-синглтонами. В этом случае четкому понятию истинно будет соответствовать функция принадлежности , а четкому понятию ложно - ; , .

Для задания нечеткой истинности Заде предложил такие функции принадлежности термов "истинно" и "ложно":

;

где - ; параметр, определяющий носители нечетких множеств "истинно" и "ложно". Для нечеткого множества "истинно" носителем будет интервал , а для нечеткого множества ложно" - ; .

Функции принадлежности нечетких термов "истинно" и "ложно" изображены на рис. 14. Они построены при значении параметра . Как видно, графики функций принадлежности термов "истинно" и "ложно" представляют собой зеркальные отображения.

Рисунок 14 - Лингвистическая переменная "истинность" по Заде

Для задания нечеткой истинности Балдвин предложил такие функции принадлежности нечетких "истинно" и "ложно":

Квантификаторы "более-менее" и "очень" часто применяют к нечеткими множествами "истинно" и "ложно", получая таким образом термы "очень ложно", "более-менее ложно", "более-менее истинно", "очень истинно", "очень, очень истинно", "очень, очень ложно" и т.п. Функции принадлежности новых термов получают, выполняя операции концентрации и растяжения нечетких множеств "истинно" и "ложно". Операция концентрации соответствует возведению функции принадлежности в квадрат, а операция растяжения - возведению в степень ½. Следовательно, функции принадлежности термов "очень, очень ложно", "очень ложно", "более-менее ложно", "более-менее истинно", "истинно", "очень истинно" и "очень, очень истинно" задаются так.

Лингвистические переменные (ЛП) являются способом описания сложных систем, параметры которых рассматриваются не с количественных позиций, а как качественные. При этом лингвистические переменные позволяют поставить в соответствие качественным характеристикам некоторую количественную интерпретацию с заданной долей уверенности, что обеспечивает возможность обработки качественных данных на ЭВМ. Другой сферой применения лингвистических переменных является нечеткий логический вывод, отличие которого от обычного заключается в том, что истинность логических высказываний определяется не двумя значениями 0 и 1, а множеством значений в интервале .

В основе понятия лингвистической переменной лежит понятие нечетной переменной.

Нечеткой переменной называется совокупность трех элементов:

< X , U , µ A (u ) >,

где Х – название нечеткой переменной; U – универсальное множество; µ A (u ) – нечеткое подмножество А универсального множества U . Другими словами, нечеткая переменная представляет собой именованное нечеткое множество.

Лингвистической переменной называется совокупность пяти элементов:

< L , T (X ), U , G , M >,

где L – название лингвистической переменной;

Т (X ) –множество базовых термов лингвистической переменной, состоящее из множества названий значений лингвистических переменных {T 1 , T 2 , …, T n }, каждому из которых соответствует нечеткая переменная Х универсального множества U;

U – универсальное множество, на котором определена лингвистическая переменная;

G – синтаксическое правило, порождающее названия X значений переменной;

М – семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной X ее смысл М (X ), т.е. нечеткое подмножество универсального множества U .

К термам лингвистической переменной предъявляется требование упорядоченности: T 1 < T 2 < … < T n .

Функции принадлежности нечетких множеств, составляющих количественный смысл базовых термов лингвистической переменной, должны удовлетворять следующим условиям:

2. : ;

4. : .

Здесь n – количество базовых термов лингвистической переменной; u min , u max – границы универсального множества U , на котором определяется лингвистическая переменная. Если U R (R – множество действительных чисел, то U = [u min , u max ].

Синтаксическое правило G представляет собой совокупность четырех элементов: G = < V T , V N , T , P >,

где V T – совокупность терминальных символов или слов; V N – совокупность нетерминальных символов или фраз; Т – совокупность базовых термов; Р – совокупность правил подстановки, определяющих эквивалентность фраз.

Семантическое правило М ставит в соответствие каждой фразе новое не-

четкое множество, определенное на основе функций принадлежности базовых термов и совокупности операций с нечеткими множествами.

В качестве примера рассмотрим числовую лингвистическую переменную «рост человека». Пусть значения переменной задаются с помощью трех базовых термов: «низкий», «средний», «высокий». Термы упорядочены. Универсальным числовым множеством U в данном случае является интервал U = .

Функции принадлежности термов приведены на рис. 7.6 и удовлетворяют рассмотренным выше требованиям.

Рис. 7.6 Лингвистическая переменная «Рост человека»

В качестве синтаксического правила определим, что в множество нетерминальных символов включены слова «и», «или», «более или менее», «не», «очень», которые могут сочетаться с базовыми термами «низкий», «средний», «высокий», причем должны выполняться следующие правила:

Символы «и» и «или» могут соединять только две фразы или базовых терма, а остальные нетерминальные символы являются унарными, т.е. могут предварять фразу или базовый терм; например, «не высокий», «очень низкий», «низкий или средний»;

Одновременное отрицание двух базовых термов, например, «не низкий и не высокий», эквивалентно оставшемуся базовому терму, т.е. «средний».

Применяя эти правила, можно построить множество фраз и правил подстановки. В случае, если синтаксическое правило нельзя задать алгоритмически, то просто перечисляются все возможные фразы.

В качестве семантического правила определим соответствие между нетерминальными символами и операциями над нечеткими множествами:

«не» – дополнение;

«и» - пересечение;

«или» - объединение;

«очень» - концентрирование;

«более или менее» - расширение.

Используя рассмотренную лингвистическую переменную, можно оцени-

вать рост людей, не прибегая к точным измерениям.

Таким образом, с помощью лингвистических переменных можно описывать объекты, точное измерение характеристик которых либо крайне трудоемко, либо вообще невозможно.

Формирование лингвистической переменной, как правило, реализуется на основе опроса экспертов – специалистов в той области, для которой строится ЛП. При этом особое внимание уделяется формированию функций принадлежности нечетких множеств, являющихся базовыми термами лингвистической переменной, так как определение синтаксического и семантического правил для большинства лингвистических переменных стандартно и на практике сводится к перечислению всех возможных фраз и интерпретации нетерминальных символов, как показано выше.

Процесс формирования лингвистической переменной включает следующие этапы:

1. Определение множества термов ЛП и его упорядочение.

2. Построение числовой области определения ЛП.

3. Выяснение схемы опроса экспертов и проведение опроса.

4. Построение функций принадлежности для каждого терма ЛП.

Этап 1 предполагает задание экспертом количества термов ЛП и названий соответствующих им нечетких переменных. Количество термов выбирается из диапазона n = 7±2.

На этапе 2 описывается универсальное множество U , которое может быть числовым и нечисловым. Вид универсального множества зависит от описываемых объектов и определяет способ формирования функций принадлежности термов ЛП.

Этап 3 является ключевым при формировании ЛП. Существует два вида

опроса экспертов: прямой и косвенный. Каждый из этих способов может быть индивидуальным или групповым. Наиболее простым с точки зрения организации и

программной реализации является индивидуальный способ опроса экспертов.

При прямом опросе экспертов непосредственно указывают все параметры функций принадлежности. Недостатком здесь является проявление субъективизма в суждениях, а также необходимость знания экспертом основ нечеткой логики. При косвенном опросе функции принадлежности формируются на основе ответа эксперта на «наводящие» вопросы. При этом повышается объективность оценки и не требуется знания нечеткой логики, однако усиливается риск несогласованности суждений эксперта.

При групповых методах опроса результат формируется на основе объединения мнений нескольких экспертов. На практике наиболее часто используется индивидуальный косвенный опрос.

Лекция. Нечеткие вычисления

Понятие нечеткого числа

Одной из областей применение нечеткой логики является выполнение арифметических операций с нечеткими множествами. Для снижения трудоемкости таких операций используется специальный тип нечетких множеств – нечеткие числа.

Нечетким числом (НЧ) называется нечеткая переменная, имеющая следующие свойства: ; .

Другими словами, нечеткое число– именованное нечеткое множество, для которого универсальное множество U представляет собой интервал действительной оси R .

В реальных задачах используются кусочно-линейные нечеткие числа.Для упрощения арифметических операций кусочно-линейные функции принадлежности дополнительно аппроксимируют, чтобы получить специальный вид нечетких чисел – параметрические нечеткие числа или нечеткие числа

(L –R )–типа, которые характеризуются компактностью представления и просто-

той реализации арифметических операций.

Нечеткое число А называется нечетким числом (L –R )–типа , если его функция принадлежности имеет следующий вид (рис. 7.8):

0,

где – параметры нечеткого числа; L (x ), R (x ) – некоторые функции.

Нечеткое параметрическое число обозначается (a , b , c , d ) LR .

Таким образом, нечеткое число (L –R )–типа описывается шестью параметрами: четырьмя числами, обозначающими его границы, и двумя функциями, определяющими форму его функции принадлежности.

Рис.7.8 Параметрические нечеткие числа

Нечеткое числоназывается унимодальным , если оно имеет только одну точку, в которой функция принадлежности равна единице, т.е. его параметры b и c равны, в противном случае нечеткое число называется толерантным (см. рис. 7.8). Унимодальные нечеткие числа обозначаются пятью параметрами (a , b , d ) LR .

В качестве LR –функций наиболее часто используют линейные зависимости, задаваемые следующими соотношениями:

LR – функции также могут задаваться квадратичными, экспоненциальными и другими зависимостями.

В случае использования линейных функций унимодальные и толерантные нечеткие числа называют соответственно треугольными и трапециевидными и обозначают (a , b , d ) и (a , b , c , d ).

Для нечетких чисел особым образом определяется понятие знака и нулевого значения.

Нечеткое число А называется положительным , если его основание лежит в положительной действительной полуоси или

Нечеткое число А называется отрицательным , если его основание лежит в отрицательной действительной полуоси или

Для параметрических нечетких чисел знак определяется значениями параметров: положительное нечеткое число, если a > 0; отрицательное, если d < 0; нечеткий ноль, если .

Нечеткие множества. Лингвистическая переменная. Нечеткая логика. Нечеткий вывод. Композиционное правило вывода.

(Конспект)

В основе понятия нечеткого множества (НИ) лежит представление о том, что обладающие общим свойством элементы некоторого множества могут иметь различные степени вырожденности этого свойства и, следовательно, различную степень принадлежности этому свойству.

Пусть U некоторое множество. Нечетким множеством Ã в U называется совокупность пар вида {(µ Ã (u), u)}, где u U, µ Ã .

Значение µ Ã называется степенью принадлежности объекта к нечеткому множеству U.

µ Ã : U 

µ Ã – называется функцией принадлежности.

Пример нечетких множеств – возраст людей (рис. 19.1).

По аналогии с традиционной теорией множеств в Теории НМ определяются следующие операции:

Объединение:

, где

Перечисление:

,

Дополнение:

Алгебраическое произведение:

, где

n-арным нечетким отношением определенным на множествах называется нечеткое подмножество декартовых произведений

Так как нечеткое отношение является множеством для него справедливы все операции определенные для нечетких множеств. В практических приложениях теории нечетких множеств важную роль играет операция композиции нечетких отношений.

Композиция нечетких отношений

Пусть заданы 2 двухместных нечетких отношения:

Композиция нечетких отношений определяется следующим выражением:

Степени принадлежности конкретных выражений

Лингвистическая переменная - - это пятерка Х – имя переменной (возраст), U – базовое множество (0…150), Т(х) – терм множества. Множества лингвистических значений(молодой, средних лет, пожилой, старый). Каждое лингвистическое значение является меткой нечеткого множества определенного на U. G – синтаксическое правило, порождающее лингвистическое значение переменной Х (очень молодой, очень старый). М – семантическое правило ставящее в соответствие каждому лингвистическому значению нечеткое подмножество базового множества, то есть функция принадлежности.

Нечетким высказыванием называется утверждение относительно которого в данный момент времени можно судить о степени его истинности или ложности. Истинность принимает значение в интервале . Нечеткое высказывание не допускающее разделения на более простые называется элементарным.

Нечеткое высказывание построенное на элементарных с использованием логических связок называется составным нечетким высказыванием. Логическим связкам соответствуют операции над истинностью нечетких высказываний. - степени истинности конкретных высказываний.

1)

2)

Таким образом алгебра нечетких множеств изоморфна алгебре нечетких высказываний.

4) операция импликации

Для операции импликации в нечеткой логике предложено несколько определений. Основные:

1)

2)

3)

5) Эквивалентность

n-местным нечетким предикатом, определенным на множествах U 1 , U 2 ,…,U n называется выражение содержащее предметные переменные данных множеств и превращающиеся в нечеткие высказывания при замене предметных переменных элементами множеств U 1 , U 2 ,…,U n .

Пусть U 1 , U 2 ,…,U n базовые множества лингвистических переменных, а в качестве символов предметных переменных выступают иена лингвистических переменных. Тогда примерами нечетких предикатов являются:

«давление в цилиндре низкое» - одноместный предикат

«температура в котле значительно выше температуры в теплообменнике» - двуместных предикат.

Если U k =1,5 следовательно «давление в котле низкое» = 0,7

При построении и реализации нечетких алгоритмов важную роль играет композиционное правило вывода.

Пусть - нечеткое отображение

Нечеткое подмножество универсума U, тогда порождает в V нечеткое подмножество

композиционное правило вывода является основой при построении логического вывода в нечеткой логике.

Пусть задано нечеткое высказывание  , где и – нечеткие множества. Пусть также того задано некоторое высказывание (близкое к А, но не тождественное ему).

В классической логике широко используется правило вывода Modus Ponens

Это правило обобщается на случай нечеткой логики следующим образом:

Пусть множество и определены на базовом множестве Х, а и на базовом множестве Y. Естественно считать, что высказывание если задает некоторое нечеткое отображение из множества Х в Y

Тогда в соответствии с композиционным правилом вывода имеем:

Отношение строится на основе определения операции импликации в нечеткой логики.

1)

Если температура в котле низкая (), то подогрев повышенный ()

Реальные нечеткие логические алгоритмы содержат не одно, а множество продукционных правил

Если S 1 , то R 1 , иначе

Если S n , то R n , иначе

Поэтому нечеткие отношения должны быть построены для каждого отдельного правила, а затем агрегированы путем наложения друг на друга

В качестве агрегирующей операции выбирается или min или max в зависимости от типа импликации.

Когда нечеткий вывод используется в контуре управления реальным объектом, на объект должно выдаваться четкое управляющее воздействие. Поэтому необходимо преобразовать нечеткое множество, формируемое на основе композиционного правила вывода, в четкое значение. Эта процедура называется процедурой дефаззификации. Чаще используется 2 способа дефаззификации:

1) Середина «плато»

2) Центр тяжести, определяется точка которая делит площадь нечеткого множества пополам.

Важный аспект понятия лингвистической переменной состоит в том, что эта переменная более высокого порядка, чем нечеткая переменная , в том смысле, что значениями лингвистической переменной являются нечеткие переменные. Например, значениями лингвистической переменной "ВОЗРАСТ" могут быть: "МОЛОДОЙ, НЕМОЛОДОЙ, СТАРЫЙ, ОЧЕНЬ СТАРЫЙ, НЕ МОЛОДОЙ И НЕ СТАРЫЙ" и т.п. Каждое из этих значений является названием нечеткой переменной . Если - название нечеткой переменной, то ограничение, обусловленное этим названием, можно интерпретировать как смысл нечеткой переменной .

Другой важный аспект понятия лингвистической переменной состоит в том, что лингвистической переменной присущи два правила:

1. Cинтаксическое, которое может быть задано в форме грамматики, порождающей название значений переменной;
2. Cемантическое, которое определяет алгоритмическую процедуру для вычисления смысла каждого значения.

Определение . Лингвистическая переменная характеризуется набором свойств , в котором:

Название переменной;

Обозначает терм-множество переменной , т.е. множество названий лингвистических значений переменной , причем каждое из таких значений является нечеткой переменной со значениями из универсального множества с базовой переменной ;

Синтаксическое правило, порождающее названия значений переменной ;

Семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной ее смысл , т.е. нечеткое подмножество универсального множества .

Конкретное название , порожденное синтаксическим правилом , называется термом. Терм , который состоит из одного слова или из нескольких слов, всегда фигурирующих вместе друг с другом, называется атомарным термом. Терм , который состоит из более чем одного атомарного терма, называется составным термом .

Пример . Рассмотрим лингвистическую переменную с именем "ТЕМПЕРАТУРА В КОМНАТЕ". Тогда оставшуюся четверку , можно определить так: