Сайт о телевидении

Целевая функция. Если доход от реализации одного стола равен С 1 рублей, то от реализации столов в объеме х 1 штук месячный доход

составит С 1 х 1 рублей. Аналогично месячный доход от реализации шкафов составит С 2 х 2 рублей. Обозначив общий доход (в руб.) через Z , можно дать следующую математическую формулировку целевой функции: определить (допустимые) значения х 1 , и х 2 , максимизирующие величину общего дохода Z = С 1 х 1 + С 2 х 2 =

2

∑

j=1

C j x j .

Ограничения. При решении рассматриваемой задачи должны быть учтены ограничения на расход ресурсов. Пиломатериал идет на изготовление и столов и шкафов. На один стол идет а 11 (м 3) пиломатериала, тогда на столы в количестве x 1 штук потребуется а 11 x 1 (м 3) пиломатериала. На изготовление шкафов в количестве х 2 штук потребуется а 12 х 2 (м 3) пиломатериала. Всего пиломатериала потребуется а 11 х 1 + а 12 x 2 (м 3). Расход его не должен превышать величины b 1 (м 3). Тогда ограничение на пиломатериал запишем в виде неравенства

На переменные задачи х 1 и х 2 должны быть наложены условия неотрицательности и неделимости, т.е. введем ограничения

х 1 ≥ 0, х 2 ≥ 0,

где х 1 , х 2 - целые числа.

Итак, математическую модель задачи можно записать следующим образом: определить месячные объемы производства столов х 1 и шкафов х 2 , при которых достигается

Следует отметить, что с формальных позиций данная модель является линейной, потому что все входящие в нее функции (ограничения и целевая функция) линейны. Но линейный характер построенной модели должен предполагать наличие двух свойств - пропорциональности и аддитивности. Пропорциональность предполагает прямо пропорциональную зависимость между переменной и целевой функцией и объемом потребления ограниченных ресурсов. Например, прямая пропорциональность не будет иметь места, если ввести зависимость доходов фабрики от размера партии продаваемых продуктов. Аддитивность наблюдается в том, что составляющие дохода в целевой функции независимы, общий доход равен сумме доходов. Если фабрика производит два конкретных вида продукции, увеличение сбыта одного из которых отрицательно сказывается на объеме реализации другого, то такая модель не обладает свойством аддитивности.

Для определения переменных рассмотренной модели могут использоваться методы линейного программирования. Базовым методом ЛП является симплекс-метод, разработанный Г. Данцигом . Задачу ЛП можно решить и графически. Графическое представление решения задачи поможет понять и идею симплекс-метода. Конкретизируем задачу, представив исходные данные в табл. 3.1 (данные приводятся условные).

Таблица 3.1

Ресурсы	Расход ресурсов на единицу продукции		Запас ресурсов
	Стол	Шкаф
Пиломатериалы (м 3)	0,06	0,07	42
Шурупы (кг)	0,04	0,085	34
Краска (кг)	0,035	0,12	42
Цена единицы продукции (руб.)	500	750	-

Запишем модель задачи с приведенными данными:

В дальнейшем ограничение (3.5) учитывать не будем, а решение задачи получим округлением найденных переменных задачи (3.0-3.4).

44 :: 45 :: 46 :: 47 :: Содержание

47 :: 48 :: 49 :: 50 :: 51 :: Содержание

3.2.2. Графический способ решения ЗЛП

Для определения решения ЗЛП с двумя переменными выполним следующие действия.

1. Построим множество допустимых решений Ω задачи. Данное множество Ω образуется в результате пересечения полуплоскостей (ограничений) (3.1-3.4). На рис. 3.2 множество допустимых решений показано в виде пятиугольника. Области, в которых выполняются соответствующие ограничения в виде неравенств, указываются стрелками, направленными в сторону допустимых значений переменных. Полученный многогранник Ω называют симплексом. Отсюда и название метода поиска оптимального решения.

2. Построим вектор-градиент С, составленный из производных целевой функции по переменным задачи, который указывает направление возрастания целевой функции по этим переменным. С = (С 1 , С 2) = (500,750). Начало этого вектора лежит в точке с координатами (0, 0), а конец - в точке (500, 750). Ряд параллельных штриховых линий, перпендикулярных вектору-градиенту, образует множество целевых

Функций при произвольно выбранных значениях Z . При Z = 0 прямая (целевая функция) проходит через точку (0, 0), а целевая функция Z принимает минимальное значение.

Рис. 3 2 Геометрическая интерпретация ЗЛП

3. Переместим прямую, характеризующую доход Z , в направлении вектор-градиента (для задачи max Z ) до тех пор, пока она не сместится в область недопустимых решений. На рис. 3.2 видно, что оптимальному решению соответствует точка X* = (х 1 *, х 2 *). Так как точка X* является точкой пересечения прямых (3.1) и (3.2), значения х 1 * и х 2 * определяются решением системы двух уравнений:

Решение указанной системы уравнений дает результат х 1 * = 517,4 и х 2 * =156,5. Полученное решение означает, что месячный объем производства столов должен составить 517 шт., а шкафов - 156 шт. Доход, полученный в этом случае, составит:

Z = 517 · 500 + 156 · 750 = 375500 рублей

ЗЛП со многими переменными можно решить графически, если в ее канонической записи число неизвестных n и число линейно независимых уравнений m связано соотношением n-m ≤ 2. Запишем каноническую форму ЗЛП, рассмотренную выше. Для этого введем новые переменные x 3 , x 4 и x 5 .

Для данной ЗЛП число переменных n = 5, а число линейно-независимых уравнений m = 3. Эта и другие ЗЛП в канонической форме могут быть решены графически, если n-m ≤ 2.

Выберем любые m неизвестные и выразим каждую из них через оставшиеся (n-m ) переменные. В нашем случае удобно взять переменные x 3 , x 4 и x 5 и выразить их через x 1 и x 2 .

Учитывая неотрицательность всех переменных, в том числе х 3 ≥ 0, х 4 ≥ 0 и х 5 ≥ 0, а также зависимость последних от двух переменных x 1 и х 2 , можно графически показать решение расширенной задачи с проекцией на переменные x 1 и х 2 . Полуплоскость х 3 ≥ 0 (см. рис. 3.2) совпадает с ограничением (3.1), полуплоскость х 4 ≥ 0 - с ограничением (3.2), а полуплоскость х 5 ≥ 0 - с ограничением (3.3). Точка оптимума в координатах x 1 и х 2 образуется в результате пересечения полуплоскостей х 3 и х 4: x 1 * = 517,4; х 2 = 156,5. Соответственно значения переменных х 3 Ä х 4 будут нулевыми: x 3 * =0; х 4 * = 0. Тогда из (3.9) следует, что x 5 * = 42 - 0,035·517,4 - 0,12·156,5 = 5,1. Решением ЗЛП (3.6-3.10) будет вектор X* = (517,4; 156,5; 0; 0; 5,1).

Геометрическое представление ЗЛП отражает следующее:

1) множество допустимых решений Ω выпуклое;

2) оптимальное решение не существует, если множество Ω пустое или неограниченное в направлении перемещения семейства гиперплоскостей уровня цели поиска экстремума;

3) решение находится в одной из угловых точек (вершин) множества допустимых решений Ω, получивших название базисных;

4) для канонической ЗЛП базисные решения характеризуются вектором X - (x 1 , x 2 ,..., х n), в котором значения m переменных отличны от нуля, где m - число линейно независимых уравнений задачи (число базисных переменных угловой точки множества Ω).

Для оптимального решения X* рассмотренного примера базисными переменными стали переменные x 1 , х 2 и х 5 . Оставшиеся переменные (n - m ) называют небазисными или свободными. Их значения в угловой точке равны нулю.

Обратите внимание на то, что любая базисная переменная может быть выражена через небазисные, и базисная переменная в модели (3.6)-(3.10) записывается один раз с коэффициентом единица.

Приведенная задача использования ресурсов имеет весьма простую постановку и структуру. В ней могут появиться требования учета выпуска продуктов в определенном соотношении, учета их возможного выпуска по различным технологиям, учета загрузки оборудования и другие. Все эти ситуации достаточно хорошо описываются моделями линейного программирования.

47 :: 48 :: 49 :: 50 :: 51 :: Содержание

50 :: 51 :: 52 :: 53 :: 54 :: 55 :: 56 :: 57 :: 58 :: 59 :: 60 :: 61 :: Содержание

3.2.3. Алгебраический (симплексный) метод решения ЗЛП

Рассмотренный выше графический способ решения задачи ЛП позволяет понять идею методов оптимизации, в том числе и методов линейного программирования. Сущность всех методов математического программирования заключается в том, чтобы вместо "слепого" перебора вариантов плана вести перебор выборочный, организованный, направленный на скорейшее, а в некоторых случаях и последовательное, улучшение решения.

Экстремальное решение достигается не внутри области допустимых решений Ω, а на границе ее (см. рис. 3.2); если быть еще точнее, то в одной из вершин угловых точек многоугольника, образованного в результате пересечения прямых, связанных с определенными ограничениями, либо на отрезке между двумя соседними угловыми точками. Так как экстремум обязательно достигается в одной или двух угловых точках допустимых планов, то нужно просто вычислить значения целевых функций во всех угловых точках (в нашем примере их пять) и

выбрать ту из них, которой соответствует экстремальное значение. При большом числе переменных и при большом числе ограничений число угловых точек многогранника становится столь велико, что вычислить в каждой из них значение целевой функции, запомнить эти значения и сравнить между собой весьма проблематично даже для мощных ЭВМ. Поэтому нужно искать какой-то другой путь решения.

К точке оптимума можно подобраться последовательно, переходя от одной угловой точки к соседней, например, каждый раз от исходной (опорной) точки X 0 (х 1 = 0, х 2 = 0) последовательно к той соседней, которая ближе и быстрее приближает к X*. Перебор точек решения по такой схеме позволяет предложенный Р. Данцигом симплекс-метод . Для нашего примера на первом шаге (итерации) от опорной точки X 0 мы перейдем по схеме симплекс-метода к точке X 1 с координатами (700, 0) и на втором шаге перейдем к точке X*. По другому же пути к точке X* можно добраться лишь за три шага. С вычислительной точки зрения симплекс-метод реализуется через так называемые симплекс-таблицы, которые рассчитываются для каждой угловой точки, начиная с опорной. Симплекс-таблицы позволяют определить оптимальность принимаемого решения, значения переменных, оценить ресурсные параметры (ограничения) на предмет их дефицитности, и в случае неоптимального решения, указывают, как перейти к соседней точке (следующей таблице). В силу различных особенностей и постановок задач ЛП симплекс-метод имеет различные модификации: прямой, двойственный, двухэтапный .

Для реализации любого из симплекс-методов необходимо построение начального опорного плана .

Пусть система ограничений такова:

Добавив к левым частям неравенства дополнительные переменные x n+i ≥ 0, i = 1, m , получим каноническую (расширенную) задачу, стратегически эквивалентную исходной, с системой ограничений:

Тогда начальным опорным планом будет вектор

Который удовлетворяет допустимости решения (он является базисным, т.к. число ненулевых элементов равно m , и опорным, т.к. все x j ≥ 0). Пусть система ограничений такова:

Вычтя из левых частей неравенства дополнительные переменные x n+i ≥ 0, i = 1, m , получим расширенную задачу, стратегически эквивалентную исходной, с системой ограничений:

Однако теперь дополнительные переменные входят в левую часть ограничений с коэффициентами, равными минус единице. Поэтому план

не удовлетворяет условиям допустимости решения (он базисный, но не опорный).

Как в первом, так и во втором случае при добавлении дополнительных переменных (они же становятся базисными переменными) в систему ограничений эти же переменные вводятся в целевую функцию с коэффициентами, равными нулю: C n+i ≥ 0, i = 1, m , т.е. в целевой функции при базисных переменных стоят нулевые коэффициенты, а при небазисных - коэффициенты С j , j = 1, n . Пусть целевая функция стремится к минимуму. Тогда значение целевой функции может быть уменьшено, если в базис вводить ту переменную x j , при которой коэффициент С j целевой функции имеет знак минус. И если все коэффициенты в целевой функции имеют знак плюс, то уменьшить ее значение не представляется возможным. Поэтому признаком оптимальности решения ЗЛП служат коэффициенты (оценки) в целевой функции при небазисных переменных.

В зависимости от выполнения условий оптимальности и допустимости применяют ту или иную схему решения ЗЛП .

Методы решения ЗЛП разбиваются на две группы:

1) методы последовательного улучшения решения. В основу их заложено движение от первоначальной точки (любое допустимое, но неоптимальное решение задачи в канонической форме) к оптимальной

Точке за конечное число шагов (итераций). К этой группе относятся прямой симплекс-метод, метод потенциалов и другие;

2) методы последовательного сокращения невязок. В основу их заложено движение от исходной условно-оптимальной точки, лежащей вне области допустимых решений, но удовлетворяющей признаку оптимальности решения, к оптимальной и допустимой точке. К этой группе относятся двойственный симплекс-метод, венгерский метод и другие. Все алгоритмы решения ЗЛП опираются на каноническую форму задачи. Поэтому число искомых переменных канонической задачи будет больше, чем в исходной.

При выборе алгоритма решения задачи ЛП исходят из следующих данных. Пусть ЗЛП приведена к каноническому виду, решается на минимум и свободные коэффициенты b i ≥ 0, i = 1, m . Тогда, если в целевой функции задачи имеются отрицательные коэффициенты (условие оптимальности решения задачи не выполняется), а начальный план задачи не имеет отрицательных значений переменных (условие допустимости решения задачи выполняется), то для решения предлагаемой задачи следует воспользоваться алгоритмом прямого симплекс-метода (табл. 3.2). Двойственный симплекс-метод применяется, если условие оптимальности решения задачи выполняется, а допустимости - нет. Двухэтапный симплекс-метод применяется, если условия и оптимальности и допустимости решения задачи не выполняются.

Таблица 3.2

Рассмотрим прямой симплекс-метод решения задач ЛП на следующем примере.

Пример 3.1

Минимизировать функцию Z = -x 1 - х 2 при ограничениях: 0,5х 1 + х 2 ≤ 1;

2х 1 + х 2 ≤ 2;

х 1 , х 2 ≥ 0.

Графическое представление задачи (3.11-3.14) показано на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Графическое представление задачи (3.11) - (3.14)

Начальной базисной опорной точкой задачи будет вектор Х 0 = (0; 0; 1; 2). Значение целевой функции в этой точке Z (X 0) = 0.

Перенесем в целевой функции (3.11) переменную Z за знак равенства и данную задачу запишем в виде табл. 3.3, называемой симплекс-таблицей (нулевая итерация).

Таблица 3.3

В литературе описаны и другие формы записи симплекс-таблицы . По симплекс-таблице всегда можно сказать, является ли найденное решение оптимальным. В данном случае решение х 1 = 0; х 2 = 0; х 3 = 1; х 4 = 2 не является наилучшим, так как можно ввести в базис одну из переменных х 1 или х 2 (при этих переменных стоят коэффициенты со знаком минус с 1 = -1 и с 2 = - 1), уменьшив значение целевой функции. Тогда вводя в базис одну из небазисных переменных х 1 или х 2 (увеличив ее значение), следует вывести из базиса переменную х 3 или х 4 (доведя ее значение до нуля). В прямом симплекс-методе рассматриваются последовательно вопросы:

• 
  
• 
  
• 
  переход к новой канонической форме ЗЛП (к следующей итерации симплекс-таблицы).

. Целесообразно включить в базис ту переменную, коэффициент при которой имеет наименьшее значение. Коэффициенты при небазисных переменных в неоптимальном решении имеют отрицательные значения. Пусть это будет переменная x s , для которой C s = min j , с j < 0, j не∈ базису. В нашем примере c 1 = c 2 = -1, поэтому включим в базис любую переменную х 1 или х 2 (пусть х 1). Столбец в симплекс-таблице с переменной x s назовем ведущим столбцом, в нашем случае s = l.

. Если в базис включаем переменную x 1 , то это значит, что увеличиваем ее значение с нуля до каких-то определенных пределов. До каких? Обратимся к рис. 3.3. Крайним значением для переменной х 1 будет единица, при этом переменная (прямая) х 4 в ограничении (3.13) примет значение, равное нулю, то есть из базиса выйдет х 4 , а ее место займет переменная x 1 . Из уравнения (3.12) определим значение х 3 = 1 - 0,5 · 1 = 0,5. Таким образом, на следующей итерации (шаге) допустимым решением будет вектор X 1 = (1; 0; 0,5; 0). Значение целевой функции в этой точке Z (1) = -1.

Не прибегая к графическому представлению задачи, определение предельного значения x l и определение переменной х 4 , которую следует вывести из базиса, можно провести на следующем распределении. Если вывести из базиса переменную х 3 , т.е. должно быть х 3 = 0, то из (3.12) следует x l = b 1 /а 1 s = 1/0,5 = 2. Если вывести из базиса переменную х 4 , т.е. сделать х 4 = 0, то из (3.13) x l = b 2 /а 2 s = 1/1 = 1. Получается, что значение x l = 1 или x l = 2. Но при x l = 2 в уравнении (3.13) переменная х 4 = 1 - 2 - 0,5 · 0 = -1, что противоречит условию допустимости решения (3.14). Поэтому включаем в базис x l с наименьшим значением, которое определено из второго ограничения. В этом ограничении находится исключаемая переменная из базиса х 4 . В общем случае переменная x s , включаемая в базис, может увеличиваться до значения

Пусть максимум достигается в строке r , т.е. x s = b r /a rs , тогда в этой строке базисная переменная обращается в нуль, т.е. выводится из базиса. Строку r называют ведущей строкой , а элемент а rs - ведущим элементом . Если в ведущем столбце не найдутся положительные a is , то это означает, что ЗЛП не имеет области допустимых решений.

Переход к новой канонической форме ЗЛП . В табл. 3.4 показаны переходы от нулевой итерации к последующим методам последовательного исключения вновь вводимой базисной переменной из неведущих строк. Новая строка на последующей итерации с вновь введенной базисной переменной получается путем деления элементов ведущей строки на ведущий элемент, относительно полученной строки далее производится исключение новой базисной переменной из других строк. В табл. 3.4 на итерации 1’ указаны коэффициенты при базисных переменных, под которые осуществляется соответствующий переход. Ведущие элементы в таблице помечены звездочкой.

Расчет коэффициентов на очередной итерации можно производить по правилу четырехугольника .

Эта таблица на итерации 2 соответствует оптимальному решению X* = X 2 = (2/3; 2/3; 0; 0).

Значение целевой функции Z (X*) = -4/3.

Таблица 3.4

Рассмотрим двойственный симплекс-метод решения задачи ЛП на следующем примере.

Пример 3.2

Максимизировать функцию Z = -х 1 - х 2 при ограничениях:

0,5х 1 + х 2 ≤ 1;

2х 1 + х 2 ≥ 2;

х 1 , х 2 ≥ 0.

В канонической форме ЗЛП примет вид

Графическое представление задачи показано на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Графическое представление задачи (3.15) - (3.18)

Составим симплекс-таблицу 3.5.

Таблица 3.5

Нулевая строка в табл. 3.5 указывает на то, что признак оптимальности решения задачи выполнен (нет отрицательных коэффициентов).

Однако начальное решение Х 0 = (0; 0; 1; -2) является отрицательным.

Попытаемся решить задачу (в противоположность прямому симплекс-методу) последовательным движением от исходной недопустимой точки Х 0 к X*, рассматривая вопросы:

• 
  поиск переменной для исключения из базиса;
• 
  поиск переменной для включения в базис;
• 
  переход к новой форме ЗЛП (последующей итерации решения).

Поиск переменной для исключения из базиса . Из базиса исключается переменная из ведущей строки r , имеющая наименьшее отрицательное значение. Если все переменные, расположенные в базисе, будут положительными, то вычисления заканчиваются, так как решение

Будет и оптимальным и допустимым. В нашем примере исключаем переменную х 4 = -2.

Поиск переменной для включения в базис . Какую небазисную переменную включить в базис х 1 или х 2 ? В принципе любую можно включить в базис с целью движения в область допустимых решений. Из графического представления задачи (см. рис. 3.4) видно, что при включении в базис переменной х 2 мы попадаем сразу в допустимую и оптимальную точку X*. В литературе показано, что к оптимальному решению можно добраться быстрее, если выбирать для включения в базис переменную x s такую, что для нее отношение C s /|a rs | для всех элементов a rs ведущей строки будет минимальным:

Если все элементы a rj · ≥ 0, то это будет означать, что задача не имеет допустимых решений. В нашем примере минимальное отношение (3.19) достигается для переменной х 1 и равно 1/2. Решим задачу табличным способом (табл. 3.6).

Таблица 3.6

Оптимальное решение: X* = (1; 0; 1/2; 0;); Z (X* ) = -z" = -1.

Предположим, что при решении предыдущего примера (см. табл. 3.6) в базис включили бы не х 1 , а переменную х 2 , то получили бы на итерации 1 следующую табл. 3.7.

Таблица 3.7

Нулевая строка в табл. 3.7 указывает на то, что признак оптимальности решения задачи не выполнен, и промежуточное решение X 1 = (0; 2; -1; 0) является недопустимым. Далее задачу можно решать двухэтапным симплекс-методом, методом больших штрафов и другими . Рассмотрим двухэтапный симплекс-метод .

1. Вводим дополнительно по одной переменной, делая их базисными, в те уравнения, в которых не выполнялись условия допустимости. В нашем случае вводим переменную х 5 в строку (1), прежде изменив знаки на противоположные (табл. 3.8), и столбец под х 5:

3/2 х 1 - х 3 - х 4 + х 5 = 1.

2. Вводим новую (фиктивную) целевую функцию W как сумму вновь вводимых дополнительных переменных, выраженную через небазисные переменные. В нашем случае W = х 5 = 1 - 3/2 x 1 + х 3 + х 4 . Вносим дополнительно строку (3) в табл. 3.8 с фиктивной целевой функцией -W - 3/2 х 1 + х 3 + х 4 = -1.

3. Применяем прямой симплекс-метод для минимизации фиктивной целевой W с пересчетом всех коэффициентов. Первый этап заканчивается, если фиктивная целевая функция W обратится в нуль W = 0, а следовательно, и дополнительные переменные тоже будут с нулевыми значениями. Далее строка с фиктивной целевой функцией и столбцы с дополнительными переменными не рассматриваются. Если в результате минимизации целевой W получим оптимальное значение W , отличное от нуля W ≠ 0, то это будет означать, что исходная ЗЛП не имеет допустимых решений.

Применяем прямой симплекс-метод для оптимизации основной

целевой функции Z . Включаем в базис переменную х 3 вместо переменной х 2 . Делаем пересчет коэффициентов на итерации 3 и получаем оптимальное решение: X* = (1; 0; 1/2; 0;); Z (X*) = -z" = -1.

Таблица 3.8

50 :: 51 :: 52 :: 53 :: 54 :: 55 :: 56 :: 57 :: 58 :: 59 :: 60 :: 61 :: Содержание

61 :: 62 :: 63 :: 64 :: 65 :: 66 :: 67 :: 68 :: 69 :: 70 :: Содержание

3.2.4. Анализ модели задачи линейного программирования

Данные в оптимальной симплекс-таблице позволяют делать всесторонний анализ линейной модели, в частности анализ чувствительности оптимального решения к изменению запасов ресурсов и вариациям коэффициентов целевой функции. Дадим вначале понятие двойственности задач линейного программирования.

Рассмотрим задачу линейного программирования (3.20)-(3.22) на примере задачи использования ресурсов. Если для этой исходной ЗЛП (назовем ее прямой) ввести переменные y i для оценки ресурсных ограничений (3.21) и сделать переход к математической постановке другой задачи (двойственной или обратной) вида (3.23)-(3.25), то решения прямой и двойственной задач будут находиться во взаимной зависимости, выраженной через соответствующие теоремы двойственности .

Очевидно, задача, двойственная двойственной, совпадает с исходной. Поэтому нет разницы, какую принять в качестве прямой, а какую - двойственной. Говорят о паре взаимно двойственных задач.

В условиях рыночной системы управления производственной и сбытовой деятельностью предприятий и фирм в основе принятия хозяйственных решений лежит рыночная информация, а обоснованность решений проверяется рынком в ходе реализации товаров и услуг. При таком подходе начальным пунктом всего цикла предпринимательской деятельности становится изучение потребительского спроса. Рассмотрим некоторые вопросы моделирования спроса и потребления.

Рассмотрим потребителя, который в результате своего существования потребляет некоторые блага. Уровень удовлетворения потребностей потребителя обозначим через U .Предположим, что имеется n видов благ Б 1 , Б 2 ,…, Б n . В качестве благ могут выступать:

· продовольственные товары;

· товары первой необходимости;

· товары второй необходимости;

· предметы роскоши;

· платные услуги и т. д.

Пусть количество потребления каждого блага равно х 1 , х 2 ,…, х n . Целевой функцией потребления называется зависимость между степенью (уровнем) удовлетворения потребностей U и количеством потребляемых благ: х 1 , х 2 , …, х n . Эта функция имеет вид .

В пространстве потребительских благ каждому уравнению соответствует определенная поверхность равноценных, или безразличных, наборов благ, которая называется поверхностью безразличия . Гиперповерхность такой кривой, называемой многомерной поверхностью безразличия, можно представить в виде , где С - константа. Для наглядности рассмотрим пространство двух благ, например, в виде двух агрегированных групп товаров: продукты питания Б 1 и непродовольственные товары, включая платные услуги Б 2 . Тогда уровни целевой функции потребления можно изобразить на плоскости в виде кривых безразличия, соответствующих различным значениям константы С .Для этого выражают количество потребления одного блага х 1 через другое х 2 . Рассмотрим пример.

Пример 6.3 . Целевая функция потребления имеет вид . Найти кривые безразличия.

Решение . Кривые безразличия имеют вид или , или (при этом следует отметить, что должно выполняться ).

Каждый потребитель стремится максимизировать уровень удовлетворения потребностей, то есть . Однако максимизации степени удовлетворения потребностей будут мешать возможности потребителя. Обозначим цену на единицу каждого блага через р 1 , р 2 ,…, р n , а доход потребителя через D .Тогда должно выполняться бюджетное ограничение , имеющее смысл закона, согласно которому затраты потребителя не должны превышать сумму дохода:

В результате для нахождения оптимального набора благ необходимо решать задачу оптимального программирования:

(6.3)

Рассмотрим двухфакторную функцию потребления , где х 1 - объем потребления продуктов питания и х 2 - потребление непродовольственных товаров и платных услуг. Кроме того, предположим, что весь доход потребитель направляет на удовлетворение своих потребностей. В этом случае бюджетное ограничение будет содержать только два слагаемых, и неравенство превратится в равенство. Задача оптимального программирования при этом примет вид:

(6.4)

Геометрически оптимальное решение имеет смысл точки касания кривой безразличия линии, соответствующей бюджетному ограничению.

х 2

Из бюджетного ограничения системы (6.4) можно выразить переменную . Подставив это выражение в целевую функцию, получаем функцию одной переменной , максимум которой можно найти из уравнения, приравняв производную к нулю: .

Пример 6.4 . Целевая функция потребления имеет вид . Цена на благо Б 1 равна 20, цена на благо Б 2 равна 50. Доход потребителя составляет 1800 единиц. Найти кривые безразличия, оптимальный набор благ потребителя, функцию спроса на первое благо по цене, функцию спроса на первое благо по доходу.

Решение. Кривые безразличия имеют вид:

Получаем множество гипербол, расположенных в первой координатной четверти на разном расстоянии от начала координат в зависимости от значения константы С .

Находим оптимальный набор благ. Задача оптимального программирования имеет вид:

Для ее решения выражаем из бюджетного ограничения одну переменную через другую: . Подставляем в целевую функцию

Находим производную и приравниваем ее к нулю

Получаем .

Таким образом, оптимальный набор благ составляют 30,5 и 23,8 единиц. Находим теперь функцию спроса на первое благо по цене на него. Для этого в бюджетном ограничении вместо фиксированного значения вводим цену первого блага , получая уравнение: . Выражаем

или , откуда находим функцию спроса на первое благо по цене: .

Находим теперь функцию спроса на первое благо по доходу. Для этого выражаем из бюджетного ограничения одну переменную через другую: . Подставляем в целевую функцию:

Находим производную и приравниваем ее к нулю:

Отсюда находим функцию спроса на первое благо по доходу

7. Модель
межотраслевого баланса

Балансовые модели предназначены для анализа и планирования производства и распределения продукции на различных уровнях - от отдельного предприятия до народного хозяйства в целом. Если вспомнить историю народного хозяйства как Советского Союза и России, так и других развитых стран, то можно наблюдать, что в экономике многих государств в разное время случались экономические кризисы разных крайностей от кризисов перепроизводства (США, середина ХХ века), до дефицита (Россия, конец ХХ века). Все эти экономические кризисы связаны с нарушением баланса между производством и потреблением. Из этих фактов видно, что баланс между произведенной продукцией и потреблением является важным критерием как для макроэкономики, так и для микроэкономики.

Экономико-математические модели баланса пытались выстроить многие экономисты и математики с самого начала возникновения проблемы, однако, наиболее полную балансовую модель удалось построить в 1936 г. американским экономистом В. Леонтьевым (который после революции эмигрировал в США и за свою модель получил Нобелевскую премию в области экономики). Эта модель позволяла рассчитать баланс между несколькими взаимодействующими отраслями, хотя ее можно легко обобщить и для организаций микроэкономики, например, для вычисления баланса между несколькими взаимодействующими предприятиями или между подразделениями одного предприятия (например, цехами одного завода).

Цель балансового анализа - ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из п отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции; а с другой - как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями.

Предположим, что рассматривается п отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Пусть общий объем произведенной продукции i -й отрасли равен . Полная стоимость продукции, произведенной i -й отраслью, будем называть валовым продуктом этой отрасли. Теперь рассмотрим, на что тратится продукция, производимая отраслью. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и потребление другими отраслями, связанными с этой отраслью. Количество продукции i -й отрасли, предназначенной для конечного потребления (вне сферы материального производства) личного и общественного j -й отраслью, обозначим . Оставшаяся часть предназначена для реализации во внешнюю сферу. Эта часть называется конечным продуктом. Пусть i -я отрасль производит конечного продукта.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год). Так как валовой объем продукции любой i -й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то уравнение баланса между производством и потреблением будет иметь вид

, (i = 1, 2, …, n ). (7.1)

Уравнения (7.1) называются соотношениями баланса.

. (7.2)

Все ранее рассмотренные показатели можно записать в основную балансовую таблицу:

Отрасль	Потребление отраслей,	Конечный продукт,	Валовойпродукт,
		…	n
			…
			…
…		…			…	…
n			…
Чистый продукт			…

В результате основная балансовая таблица содержит четыре матрицы: матрицу межотраслевых производственных связей

; матрицу валовой продукции ; матрицу конечной продукции и матрицу чистой продукции .

Одной из задач балансового анализа является определение валового продукта , если известно распределение конечного . Для этого введем коэффициенты прямых затрат

Они получаются в результате деления всех элементов каждого столбца матрицы на соответствующий элемент матрицы межотраслевых производственных связей Х .Коэффициенты прямых затрат имеют смысл количества потребления продукции j -й отрасли, необходимой для производства единицы продукции i -й отраслью. Из выражения (7.3) можно получить: . Подставив последнее выражение в соотношение баланса (7.1), получим

. (7.4)

Если обозначить матрицу коэффициентов прямых затрат как , то соотношение баланса (7.4) в матричном виде можно записать в виде

Из последнего выражения можно найти значение конечного продукта при известном значении валового

где - единичная матрица того же размера, что и А .

Пример 7.1 . Баланс четырех отраслей за предыдущий период имеет матрицу межотраслевых производственных связей вида и матрицу валовой продукции вида . Необходимо определить конечный продукт Y и чистый продукт C каждой отрасли.

Конечный продукт Y получается в результате вычитания из каждого элемента матрицы валовой продукции суммы элементов соответствующих строк матрицы . Например, первое значение равно 100 – (10 + 20 + 15 + 10) = 45. Чистый продукт С получается в результате вычитания из каждого элемента матрицы валовой продукции Х суммы элементов соответствующих столбцов матрицы . Например, первое значение равно 100 – (10 + 5 + 25 + 20) = 40. В результате получим основную балансовую таблицу:

Отрасль	Потребление отраслей,	Конечный продукт,	Валовойпродукт,
Чистый продукт,					S = 210	S = 400

Поставим теперь другую задачу: рассчитаем конечный продукт каждой отрасли на будущий период, если валовой продукт окажется равным . Для решения этой задачи найдем коэффициенты прямых затрат:i -й отрасли.

Пример 7.2 . В некотором регионе имеются две основные отрасли народного хозяйства: машиностроение (м/с) и сельское хозяйство (с/х). Баланс этих отраслей за отчетный период определяется матрицами , . Вычислим остальные показатели и заполним основную балансовую таблицу

Предположим, что на будущий период планируется конечная продукция в объемах . Нужно определить, какой валовой продукт при этом нужно планировать. Найдем коэффициенты прямых затрат:

Можно выделить следующие причины, по которым экономические системы являются стохастическими:

1) система сложная, многокритериальная, описывается многоуровневой иерархической структурой;

2) система подвержена влиянию большого числа неуправляемых внешних факторов (погодные условия, внешняя политика, социальные факторы и т. д.);

3) преднамеренное искажение информации, сокрытие информации и целенаправленная экономическая диверсия.

Исходя из этого для моделирования многих экономических систем используют математические методы, основанные на применении законов теории вероятностей, которые получили название стохастических методов .

При применении стохастических методов оптимизация целевой функции ведется по среднему значению, то есть при заданных параметрах необходимо найти такое решение, когда значение целевой функции в среднем будет максимальным.

Стохастические системы в экономике описываются марковским аппаратом, в основе которого лежат марковские случайные процессы . Они применяются в случаях, когда нельзя заформализовать модель (описать аналитическим выражением) и в случае, когда система представляет собой многопараметрическую вероятностную экономическую систему.

Переменные задачи

Построим модель задачи.

Решение

Прежде чем построить математическую модель задачи, ᴛ.ᴇ. записать ее с помощью математических символов, крайне важно четко разобраться с экономической ситуацией, описанной в условии. Для этого крайне важно с точки зрения экономики, а не математики, ответить на следующие вопросы:

1) Что является искомыми величинами задачи?

2) Какова цель решения? Какой параметр задачи служит критерием эффективности (оптимальности) решения, к примеру, прибыль, себестоимость, время и т.д. В каком направлении должно изменяться значение этого параметра (к max или к min) для достижения наилучших результатов?

3) Какие условия в отношении искомых величин и ресурсов задачи должны быть выполнены?

Эти условия устанавливают, как должны соотноситься друг с другом различные параметры задачи, к примеру, количество ресурса, затраченного при производстве, и его запас на складе; количество выпускаемой продукции и емкость склада, где она будет храниться; количество выпускаемой продукции и рыночный спрос на эту продукцию и т.д.

Только после экономического ответа на всœе эти вопросы можно приступать к записи этих ответов в математическом виде, ᴛ.ᴇ. к записи математической модели.

В задаче требуется установить, сколько краски каждого вида нужно производить. По этой причине искомыми величинами, а значит, и переменными задачи являются суточные объёмы производства каждого вида красок:

x1 – суточный объём производства краски 1-го вида, [т краски/сутки];

x2 – суточный объём производства краски 2-го вида, [т краски/сутки].

В условии задачи сформулирована цель – добиться максимального дохода от реализации продукции. Т.е. критерием эффективности служит параметр суточного дохода, который должен стремиться к максимуму. Чтобы рассчитать величину суточного дохода от продажи красок обоих видов, крайне важно знать объёмы производства красок, ᴛ.ᴇ. x1 и x2 т краски в сутки, а также оптовые цены на краски 1-го и 2-го видов – согласно условию, соответственно 3 и 2 тыс. руб. за 1 т краски. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, доход от продажи суточного объёма производства краски 1-го вида равен 3 x 1 тыс. руб. в сутки, а от продажи краски 2-го вида – 2x 2 тыс. руб. в сутки. По этой причине запишем целœевую функцию в виде суммы дохода от продажи красок 1-го и 2-го видов (при допущении независимости объёмов сбыта каждой из красок)

Целевая функция - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Целевая функция" 2017, 2018.

- Основные понятия. Критерии эффективности. Целевая функция

ГЛАВА 16. ЭФФЕКТИВНОСТЬ МЕНЕДЖМЕНТА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Чем вызвана необходимость внешнеэкономической деятельности предприятия? 2. Что благоприятствует внешнеэкономической деятельности предприятия? 3. Что является препятствием для... .

- В нашем примере целевая функция имеет вид

F(X) = 75X1 + 800/X1 + 78X2 + 1600/X2 . Функция выпукла, если F"(x)>0 для любого x. Проверим: ; ; ; . Значит, функция выпукла, поскольку "x>0. Следовательно, выбор оптимального числа поездов на двух участках оказывается задачей выпуклого программирования, которая может быть решена... .

- Целевая функция потребления и моделирование поведения потребителей

В условиях рыночной системы управления производственной и сбытовой деятельностью предприятий и фирм в основе принятия хозяйственных решений лежит рыночная информация, а обоснованность решений проверяется рынком в ходе реализации товаров и услуг. При таком подходе...

Если ограничивающий фактор один (например, дефицитный станок), решение может быть найдено с применением простых формул (см. ссылку в начале статьи). Если же ограничивающих факторов несколько, применяется метод линейного программирования.

Линейное программирование – это название, данное комбинации инструментов используемых в науке об управлении. Этот метод решает проблему распределения ограниченных ресурсов между конкурирующими видами деятельности с тем, чтобы максимизировать или минимизировать некоторые численные величины, такие как маржинальная прибыль или расходы. В бизнесе он может использоваться в таких областях как планирование производства для максимального увеличения прибыли, подбор комплектующих для минимизации затрат, выбор портфеля инвестиций для максимизации доходности, оптимизация перевозок товаров в целях сокращения расстояний, распределение персонала с целью максимально увеличить эффективность работы и составление графика работ в целях экономии времени.

Скачать заметку в формате , рисунки в формате

Линейное программирование предусматривает построение математической модели рассматриваемой задачи. После чего решение может быть найдено графически (рассмотрено ниже), с использованием Excel (будет рассмотрено отдельно) или специализированных компьютерных программ.

Пожалуй, построение математической модели – наиболее сложная часть линейного программирования, требующая перевода рассматриваемой задачи в систему переменных величин, уравнений и неравенств – процесс, в конечном итоге зависящий от навыков, опыта, способностей и интуиции составителя модели.

Рассмотрим пример построения математической модели линейного программирования

Николай Кузнецов управляет небольшим механическим заводом. В будущем месяце он планирует изготавливать два продукта (А и В), по которым удельная маржинальная прибыль оценивается в 2500 и 3500 руб., соответственно.

Изготовление обоих продуктов требует затрат на машинную обработку, сырье и труд (рис. 1). На изготовление каждой единицы продукта А отводится 3 часа машинной обработки, 16 единиц сырья и 6 единиц труда. Соответствующие требования к единице продукта В составляют 10, 4 и 6. Николай прогнозирует, что в следующем месяце он может предоставить 330 часов машинной обработки, 400 единиц сырья и 240 единиц труда. Технология производственного процесса такова, что не менее 12 единиц продукта В необходимо изготавливать в каждый конкретный месяц.

Рис. 1. Использование и предоставление ресурсов

Николай хочет построить модель с тем, чтобы определить количество единиц продуктов А и В, которые он доложен производить в следующем месяце для максимизации маржинальной прибыли.

Линейная модель может быть построена в четыре этапа.

Этап 1. Определение переменных

Существует целевая переменная (обозначим её Z), которую необходимо оптимизировать, то есть максимизировать или минимизировать (например, прибыль, выручка или расходы). Николай стремится максимизировать маржинальную прибыль, следовательно, целевая переменная:

Z = суммарная маржинальная прибыль (в рублях), полученная в следующем месяце в результате производства продуктов А и В.

Существует ряд неизвестных искомых переменных (обозначим их х 1 , х 2 , х 3 и пр.), чьи значения необходимо определить для получения оптимальной величины целевой функции, которая, в нашем случае является суммарной маржинальной прибылью. Эта маржинальная прибыль зависит от количества произведенных продуктов А и В. Значения этих величин необходимо рассчитать, и поэтому они представляют собой искомые переменные в модели. Итак, обозначим:

х 1 = количество единиц продукта А, произведенных в следующем месяце.

х 2 = количество единиц продукта В, произведенных в следующем месяце.

Очень важно четко определить все переменные величины; особое внимание уделите единицам измерения и периоду времени, к которому относятся переменные.

Этап. 2. Построение целевой функции

Целевая функция – это линейное уравнение, которое должно быть или максимизировано или минимизировано. Оно содержит целевую переменную, выраженную с помощью искомых переменных, то есть Z выраженную через х 1 , х 2 … в виде линейного уравнения.

В нашем примере каждый изготовленный продукт А приносит 2500 руб. маржинальной прибыли, а при изготовлении х 1 единиц продукта А, маржинальная прибыль составит 2500 * х 1 . Аналогично маржинальная прибыль от изготовления х 2 единиц продукта В составит 3500 * х 2 . Таким образом, суммарная маржинальная прибыль, полученная в следующем месяце за счет производства х 1 единиц продукта А и х 2 единиц продукта В, то есть, целевая переменная Z составит:

Z = 2500 * х 1 + 3500 *х 2

Николай стремится максимизировать этот показатель. Таким образом, целевая функция в нашей модели:

Максимизировать Z = 2500 * х 1 + 3500 *х 2

Этап. 3. Определение ограничений

Ограничения – это система линейных уравнений и/или неравенств, которые ограничивают величины искомых переменных. Они математически отражают доступность ресурсов, технологические факторы, условия маркетинга и иные требования. Ограничения могут быть трех видов: «меньше или равно», «больше или равно», «строго равно».

В нашем примере для производства продуктов А и В необходимо время машинной обработки, сырье и труд, и доступность этих ресурсов ограничена. Объемы производства этих двух продуктов (то есть значения х 1 их 2) будут, таким образом, ограничены тем, что количество ресурсов, необходимых в производственном процессе, не может превышать имеющееся в наличии. Рассмотрим ситуацию со временем машинной обработки. Изготовление каждой единицы продукта А требует трех часов машинной обработки, и если изготовлено х 1 , единиц, то будет потрачено З * х 1 , часов этого ресурса. Изготовление каждой единицы продукта В требует 10 часов и, следовательно, если произведено х 2 продуктов, то потребуется 10 * х 2 часов. Таким образом, общий объем машинного времени, необходимого для производства х 1 единиц продукта А и х 2 единиц продукта В, составляет 3 * х 1 + 10 * х 2 . Это общее значение машинного времени не может превышать 330 часов. Математически это записывается следующим образом:

3 * х 1 + 10 * х 2 ≤ 330

Аналогичные соображения применяются к сырью и труду, что позволяет записать еще два ограничения:

16 * х 1 + 4 * х 2 ≤ 400

6 * х 1 + 6 * х 2 ≤ 240

Наконец следует отметить, что существует условие, согласно которому должно быть изготовлено не менее 12 единиц продукта В:

Этап 4. Запись условий неотрицательности

Искомые переменные не могут быть отрицательными числами, что необходимо записать в виде неравенств х 1 ≥ 0 и х 2 ≥ 0. В нашем примере второе условия является избыточным, так как выше было определено, что х 2 не может быть меньше 12.

Полная модель линейного программирования для производственной задачи Николая может быть записана в виде:

Максимизировать: Z = 2500 * х 1 + 3500 *х 2

При условии, что: 3 * х 1 + 10 * х 2 ≤ 330

16 * х 1 + 4 * х 2 ≤ 400

6 * х 1 + 6 * х 2 ≤ 240

Рассмотрим графический метод решения задачи линейного программирования.

Этот метод подходит только для задач с двумя искомыми переменными. Модель, построенная выше, будет использована для демонстрации метода.

Оси на графике представляют собой две искомые переменные (рис. 2). Не имеет значения, какую переменную отложить вдоль, какой оси. Важно выбрать масштаб, который в конечном итоге позволит построить наглядную диаграмму. Поскольку обе переменные должны быть неотрицательными, рисуется только I-й квадрант.

Рис. 2. Оси графика линейного программирования

Рассмотрим, например, первое ограничение: 3 * х 1 + 10 * х 2 ≤ 330. Это неравенство описывает область, лежащую ниже прямой: 3 * х 1 + 10 * х 2 = 330. Эта прямая пересекает ось х 1 при значении х 2 = 0, то есть уравнение выглядит так: 3 * х 1 + 10 * 0 = 330, а его решение: х 1 = 330 / 3 = 110

Аналогично вычисляем точки пересечения с осями х 1 и х 2 для всех условий-ограничений:

Область допустимых значений	Граница допустимых значений	Пересечение с осью х 1	Пересечение с осью х 2
3 * х 1 + 10 * х 2 ≤ 330	3 * х 1 + 10 * х 2 = 330	х 1 = 110; х 2 = 0	х 1 = 0; х 2 = 33
16 * х 1 + 4 * х 2 ≤ 400	16 * х 1 + 4 * х 2 = 400	х 1 = 25; х 2 = 0	х 1 = 0; х 2 = 100
6 * х 1 + 6 * х 2 ≤ 240	6 * х 1 + 6 * х 2 = 240	х 1 = 40; х 2 = 0	х 1 = 0; х 2 = 40
х 2 ≥ 12	х 2 = 12	не пересекает; идет параллельно оси х 1	х 1 = 0; х 2 = 12

Графически первое ограничение отражено на рис. 3.

Рис. 3. Построение области допустимых решений для первого ограничения

Любая точка в пределах выделенного треугольника или на его границах будет соответствовать этому ограничению. Такие точки называются допустимыми, а точки за пределами треугольника называются недопустимыми.

Аналогично отражаем на графике остальные ограничения (рис. 4). Значения х 1 и х 2 на или внутри заштрихованной области ABCDE будут соответствовать всем ограничениям модели. Такая область называется областью допустимых решений.

Рис. 4. Область допустимых решений для модели в целом

Теперь в области допустимых решений необходимо определить значения х 1 и х 2 , которые максимизируют Z. Для этого в уравнении целевой функции:

Z = 2500 * х 1 + 3500 *х 2

разделим (или умножим) коэффициенты перед х 1 и х 2 на одно и тоже число, так чтобы получившиеся значения попали в диапазон, отражаемый на графике; в нашем случае такой диапазон – от 0 до 120; поэтому коэффициенты можно разделить на 100 (или 50):

Z = 25х 1 + 35х 2

затем присвоим Z значение равное произведению коэффициентов перед х 1 и х 2 (25 * 35 = 875):

875 = 25х 1 + 35х 2

и, наконец, найдем точки пересечения прямой с осями х 1 и х 2:

Нанесем это целевое уравнение на график аналогично ограничениям (рис. 5):

Рис. 5. Нанесение целевой функции (черная пунктирная линия) на область допустимых решений

Значение Z постоянно на всем протяжении линии целевой функции. Чтобы найти значения х 1 и х 2 , которые максимизируют Z, нужно параллельно переносить линию целевой функции к такой точке в границах области допустимых решений, которая расположена на максимальном удалении от исходной линии целевой функции вверх и вправо, то есть к точке С (рис. 6).

Рис. 6. Линия целевой функции достигла максимума в пределах области допустимых решений (в точке С)

Можно сделать вывод, что оптимальное решение будет находиться в одной из крайних точек области принятия решения. В какой именно, будет зависеть от угла наклона целевой функции и от того, какую задачу мы решаем: максимизации или минимизации. Таким образом, не обязательно чертить целевую функцию – все, что необходимо, это определить значения х 1 и х 2 в каждой из крайних точек путем считывания с диаграммы или путем решения соответствующей пары уравнений. Найденные значения х 1 и х 2 затем подставляются в целевую функцию для расчета соответствующей величины Z. Оптимальным решением является то, при котором получена максимальная величина Z при решении задачи максимизации, и минимальная – при решении задачи минимизации.

Определим, например значения х 1 и х 2 в точке С. Заметим, что точка С находится на пересечении линий: 3х 1 + 10х 2 = 330 и 6х 1 + 6х 2 = 240. Решение этой системы уравнений дает: х 1 = 10, х 2 = 30. Результаты расчета для всех вершин области допустимых решений приведены в таблице:

Точка	Значение х 1	Значение х 2	Z = 2500х 1 + 3500х 2
А	22	12	97 000
В	20	20	120 000
С	10	30	130 000
D	0	33	115 500
E	0	12	42 000

Таким образом, Николай Кузнецом должен запланировать на следующий месяц производство 10 изделий А и 30 изделий В, что позволит ему получить маржинальную прибыль в размере 130 тыс. руб.

Кратко суть графического метода решения задач линейного программирования можно изложить следующим образом:

1. Начертите на графике две оси, представляющие собою два параметра решения; нарисуйте только I-й квадрант.
2. Определите координаты точек пересечения всех граничных условий с осями, подставляя в уравнения граничных условий поочередно значения х 1 = 0 и х 2 = 0.
3. Нанести линии ограничений модели на график.
4. Определите на графике область (называемую допустимой областью принятия решения), которая соответствует всем ограничениям. Если такая область отсутствует, значит, модель не имеет решения.
5. Определите значения искомых переменных в крайних точках области принятия решения, и в каждом случае рассчитайте соответствующее значение целевой переменной Z.
6. Для задач максимизации решение – точка, в которой Z максимально, для задач минимизации, решение – точка, в которой Z минимально.

Определение . Любое решение системы ограничений называется допустимым решением ЗЛП.
Определение . Допустимое решение, в котором целевая функция достигает максимального или минимального значения, называется оптимальным решением.

В силу этих определений задача ЛП может быть сформулирована следующим образом: среди всех точек выпуклой области, являющейся решением системы ограничений, выбрать такую, координаты которой минимизируют (максимизируют) линейную функцию F = с 1 x + с 2 y .
Заметим, что переменные x , y в ЗЛП принимают, как правило, неотрицательные значения (x ≥ 0, y ≥ 0), поэтому область расположена в I четверти координатной плоскости.

Рассмотрим линейную функцию F = с 1 x + с 2 y и зафиксируем какое-нибудь ее значение F . Пусть, к примеру, F = 0, т.е. с 1 x + с 2 y = 0. Графиком этого уравнения будет прямая, проходящая через начало координат (0;0) (рис.).
Рисунок
При изменении этого фиксированного значения F = d , прямая с 1 x + с 2 y = d будет смещаться параллельно и «зачертит» всю плоскость. Пусть D – многоугольник – область решения системы ограничений. При изменении d прямая с 1 x + с 2 y = d , при некотором значении d = d 1 достигнет многоугольника D , назовем эту точку А «точкой входа», и затем, пройдя многоугольник, при некотором значении d = d 2 будем иметь с ним последнюю общую точку В , назовем В «точкой выхода».
Очевидно, что своего наименьшего и наибольшего значения целевая функция F =с 1 x + с 2 y достигнет в точках «входа» А и «выхода» В .
Учитывая, что оптимальное значение на множестве допустимых решений целевая функция принимает в вершинах области D , можно предложить следующий план решения ЗЛП:

1. построить область решений системы ограничений;
2. построить прямую, соответствующую целевой функции, и параллельным переносом этой прямой найти точку «входа» или «выхода» (в зависимости от требования минимизировать или максимизировать целевую функцию);
3. определить координаты этой точки, вычислить в них значение целевой функции.

Заметим, что вектор (с 1 , с 2), перпендикулярный прямой, показывает направление роста целевой функции.

При графическом решении ЗЛП возможны два случая, которые требуют особого обсуждения.

Случай 1
Рисунок 6
При перемещении прямой с 1 x + с 2 y = d «вход» или «выход» (как на рисунке) произойдет по стороне многоугольника. Это случится, если в многоугольнике есть стороны, параллельные прямой с 1 х + с 2 у = d .
В этом случае точек «выхода» (« входа») бесчисленное множество, а именно – любая точка отрезка АВ . Это означает, что целевая функция принимает максимальное(минимальное) значение не в одной точке, а во всех точках, лежащих на соответствующей стороне многоугольника D .

Случай 2
Рассмотрим случай, когда область допустимых значений неограниченна.
В случае неограниченной области целевая функция может быть задана таким образом, что соответствующая ей прямая не имеет точки «выхода» (или «входа»). Тогда максимальное значение функции (минимальное) не достигается никогда – говорят, что функция не ограничена.
Рисунок
Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 4x + 6y → max , при системе ограничений
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами.
x + y = 18

x	12	9
y	6	9

0,5x + y = 12

x	12	18
y	6	3

x = 12 – параллельна оси OY ;
y = 9 – параллельна оси OX ;
x = 0 – ось OY ;
y = 0 – ось OX ;
x ≥ 0 – полуплоскость правее оси OY ;
y ≥ 0 – полуплоскость выше оси OX ;
y ≤ 9 – полуплоскость ниже y = 9;
x ≤ 12 – полуплоскость левее x = 12;
0,5x + y ≤ 12 – полуплоскость ниже прямой 0,5x + y = 12;
x + y ≤ 18 – полуплоскость ниже прямой x + y = 18.
Рисунок
Пересечением всех этих полуплоскостей является очевидно, пятиугольник ОАВСД , с вершинами в точках О (0; 0), А (0; 9), В (6; 9), С (12; 6), Д (12; 0). Этот пятиугольник и образует область допустимых решений задачи.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 4x + 6y → max.

x	3	0
y	–2	0

Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: 4x + 6y = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Из всего семейства прямых 4x + 6y = const последней вершиной, через которую пройдет прямая при выходе за границу многоугольника, будет вершина С (12; 6). Именно в ней F = 4x + 6y достигнет своего максимального значения.
Значит, при x = 12, y = 6 функция F достигает своего максимального значения F = 4 ∙ 12 + 6 ∙ 6 = 84, равного 84. Точка с координатами (12; 6) удовлетворяет всем неравенствам системы ограничений, и в ней значение целевой функции оптимально F * = 84 (оптимальное значение будем обозначать «*»).
Задача решена. Итак, необходимо выпустить 12 изделий I вида и 6 изделий II вида, при этом прибыль составит 84 тыс. руб.

Графический метод применяется для решения задач, которые имели в системе ограничений только две переменные. Этот метод может применяться и для систем неравенств, имеющих три переменных. Геометрически ситуация будет иная, роль прямых будут играть плоскости в трехмерном пространстве, а решением неравенства от трех переменных будет являться полупространство, находящееся по одну сторону от плоскости. Роль областей будут играть многогранники, являющиеся пересечением полупространств.