Операционное исчисление является одной из глав современного математического анализа. Интегральное преобразование Лапласа и построенное на его базе операционное исчисление – эффективный аппарат решения дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и в частных производных), дифференциально разностных и интегральных уравнений, к которым приводятся задачи электротехники, радиотехники, электроники, теории автоматического регулирования, теплотехники, механики и других областей науки и техники. Заметим, что операционное исчисление строится и на других преобразованиях, например, Фурье, Ханкеля, Меллина и т.д.
Идея применения операционного метода заключается в следующем. Пусть требуется найти функцию из некоторого уравнения, содержащего эту функцию под знаком производных и интегралов. От искомой функции (ее называют оригиналом) переходят к другой функции (ее называют изображением), являющейся результатом преобразования . В соответствии с правилами операционного исчисления операции над оригиналом заменяют соответствующими операциями над изображением, которые являются более простыми; например, дифференцированию соответствует умножение на , интегрированию –деление на р и т.д. Это позволяет перейти от сложного уравнения относительно к более простому уравнению относительно , называемому операторным; например, от дифференциального уравнения –к алгебраическому. Решив операторное уравнение, от изображения переходят к оригиналу – искомой функции. Решение задачи операционным методом, таким образом, связано с двумя этапами; нахождением изображения искомого решения и обратным переходом к оригиналу.
Применение операционного метода можно сравнить с логарифмированием, которое позволяет сложные действия над числами заменить более простыми действиями над их логарифмами, после чего от найденного логарифма снова переходят к искомому числу. Здесь роль оригиналов играют числа, а роль изображений – их логарифмы.
1.1. Оригинал и изображение
Пусть – действительная функция действительного аргумента , определенная при любых .
Определение. Будем называть оригиналом функцию , если она удовлетворяет следующим условиям.
1. – кусочно-непрерывная функция при ; это значит, что она или непрерывна, или имеет точки разрыва первого рода, число которых конечно на любом конечном интервале;
2. при ;
3.
с возрастанием может возрастать, но не быстрее некоторой показательной функции. Это означает, что существуют такие числа и что для всех выполняется 
, число называется показателем роста функции
. (Для ограниченных функций можно принять ).
Рассмотрим эти условия несколько подробнее. Условия 1 и 3 выполняются для большинства функций, отвечающих физическим процессам, в которых t понимается как время. Условие 2 оправдано тем, что при изучении процесса безразлично, как ведут себя рассматриваемые функции до некоторого начального момента времени, который, разумеется, можно принять за момент .
В связи с условием 2 в дальнейшем изложении, где это потребуется, будем записывать для краткости лишь то выражение
, которое она имеет для , подразумевая, что для 
. Например, запись
должна пониматься так: 
.
Аналогично, если дано выражение , где , то оно имеет место лишь для , тогда как для функция 
.
Заметим, что если функция не удовлетворяет хотя бы одному из указанных трех условий, то она не является оригиналом. Так, для функции нарушено условие 1 (в точке она терпит разрыв второго рода), для функции не выполняется условие 3 (она растет быстрее показательной функции); поэтому эти функции не могут быть оригиналами.
Заметим также, что необязательно считать оригинал
действительной функцией. Функция
может быть и комплексно-значной, т.е. иметь вид 
. При этом действительная и мнимая части и должны быть оригиналами, т.е. удовлетворять условиям 1, 2, 3.
Определение. Изображением функции – оригинала –называется функция комплексного переменного , определяемая интегралом
. (1.1)
Несобственный интеграл в правой части равенства (1.1), называемый интегралом Лапласа, зависит от параметра .
Таким образом, функции действительного переменного поставлена в соответствие функция комплексного переменного .
Соотношение (1.1) осуществляет преобразование одной функции в другую. Операцию перехода от оригинала к изображению в соответствии с формулой (1.1) называют преобразованием Лапласа , или прямым преобразованием Лапласа.
Тот факт, что есть изображение (говорят также, изображение по Лапласу), символически записывают так:
.
Отыскание оригинала
по изображению называют обращением преобразования Лапласа
, или обратным преобразованием Лапласа; его обозначают символом 
.
Условились обозначать оригиналы малыми буквами 
а их изображения – соответствующими заглавными буквами 
или теми же буквами, что и оригиналы, но снабжать их черточками сверху: 
.
1.2. Примеры вычисления изображений
Приведем примеры вычисления изображения по Лапласу, исходя из его определения.
1.2.1. Функция Хевисайда и ее изображение.
Найдем изображение функции Хевисайда по формуле (1.1), полагая в ней :
Последнее заключение можно сделать только, в том случае, когда 
. Покажем, что это выполняется. По формуле Эйлера имеем:
Тогда
и т.п.
. Следовательно, оригинал. По формуле (1.1) найдем
Это имеет место, если только 
. Последнее же выполняется, как было показано в предыдущем примере, когда 
, иначе . Таким образом,
. (1.3)
Как вставить математические формулы на сайт?
Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.
Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax - специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.
Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ - более более сложный и долгий - позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.
Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :
Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.
Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.
Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.
Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.
Задача ставится так: дана функция F(p), надо найти функцию /( изображением которой является F(p).
Сформулируем условия, достаточные для того, чтобы функция F(p) комплексного переменного р служила изображением.
Теорема 12. Если аналитическая в полуплоскости функция F(p)
1) стремится к нулю при в любой полуплоскости Rep = а > s0 равномерно относительно arg
Отыскание оригинала по изображению
2) интеграл
а-«сю
сходится абсолютно,
то F(p) является изображением некоторой функции-оригинала f{t). Задач*. Может ли функция F(p) = ^ служить изображением некоторой функции-оригинала? Укажем некоторые способы отыскания оригинала по изображению.
3.1. Отыскание оригинала с помощью таблиц изображений
Прежде всего стоит привести функцию F(p) к более простому, «табличному» виду. Например, в случае, когда F(p) - дробно-рациональная функция аргумента р,ее разлагают на элементарные дроби и пользуются подходящими свойствами преобразования Лапласа.
Пример 1. Найти оригинал для
Запишем функцию F(p) в виде
Пользуясь теоремой смещения и свойством линейности преобразования Лапласа, получаем
Пример 2. Найти оригинал для функции
М Запишем F(p) в виде Отсюда /
3.2. Использование теоремы обращения и следствий из нее
Теорема 13 (обращения). /Гош функция fit) есть функция-оригинал с показателем роста s0 и F(p) - ее изображение, то в любой точке непрерывности функции f(t) выполняется соотношение
где интеграл берется вдоль любой прямой и понимается в смысле главного значения, т. е. как
Формула (1) называется формулой обращения преобразования Лапласа, или формулой Меллина.
В самом деле, пусть, например, f(t) - кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке }
