Функция одной переменной

Функции одной переменной.

Введение

В математике основополагающими понятиями являются понятие множества, элемента множества. Математический анализ имеет дело, в основном, с числовыми множествами.

В дальнейшем будем использовать следующую символику:

N - множество натуральных чисел;

Z - множество целых чисел;

Q - множество рациональных чисел;

R - множество действительных чисел;

С – множество комплексных чисел;

Î -	знак принадлежности: х Î Х – элемент х принадлежит множеству Х, х Ï Х – х не принадлежит множеству Х;
Ì -	знак включения: Х Ì У – множество Х есть подмножество У;
È -	знак объединения: Х È У – множество, элементы которого принадлежат Х или У;
Ç -	знак пересечения множеств: Х Ç У – множество, элементы которого принадлежат и Х и У одновременно;
\ -	знак вычитания множеств: Х \ У – множество, состоящее из элементов множества Х, не принадлежащих У;
" -	квантор всеобщности, читается: «для любого», «для всех», «каждый», «всякий» и т. п. ;
$ -	квантор существования, читается: «существует», «найдется»;
Ù -	логическое «и» (конъюнкция);
Ú -	логическое «или» (дизъюнкция);
Þ -	знак следствия, читается: «следует», «выполняется», «влечет за собой»;
Û -	знак эквивалентности, читается: «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно»;
| или:	- знаки описания (расшифровки), читаются: «такой, что...», «для которых выполняется...», и т. п.

Например, символьная запись "х ÎN $ y ÎN: (y > x Ú y < x ) читается «для любого натурального числа х найдется натуральное число у такое, что либо y > x , либо y < x ».

Как известно, каждому действительному числу ставится в соответствие единственная точка на числовой прямой. Поэтому в дальнейшем договоримся отождествлять термины «действительное число» и «точка» числовой прямой. Для числовых промежутков будем использовать следующие обозначения:

[a ; b ] или a £ x £ b – замкнутый промежуток или отрезок с началом в точке а и концом в точке b ;

(a ; b ) или a < x < b – открытый промежуток или интервал ;

(a ; b ] или a < x £ b ,

[a ; b ) или a £ x < b

– полуоткрытые промежутки или полуинтервалы;

[a ; +¥) или x ³ a , (–¥; b ] или x £ b – лучи;

(a ; +¥) или x > a , (–¥ ; b ) или x < b – открытые лучи;

(–¥ ; +¥) или –¥ < х < +¥ – координатная прямая (множество R действительных чисел).

В науке и практике приходится иметь дело с разного рода величинами. Одни из них в конкретных условиях остаются неизменными (постоянными), другие – меняются (переменные). Например, объем аудитории, банки – постоянны, а объем воздушного шарика – переменный.

В математическом анализе нас будет интересовать только численное выражение той или иной величины, а не ее природа, т.е. будем рассматривать абстрактные величины. Поэтому, постоянной величиной мы будем называть ту величину, которая принимает фиксированное, конкретное (пусть даже неизвестное) значение. Обозначать это будем: х – const. Чаще всего постоянные обозначают начальными буквами латинского алфавита: a , b , c , ... или греческими a, b, e, l, ... .

Переменной величиной считаем ту, которая может принимать произвольные числовые значения из некоторого множества чисел. Обозначают переменные чаще всего буквами конца латинского алфавита: х , у , z , t ,... . Множество, из которого переменная величина принимает значения, называют областью определения этой переменной и пишут: x ÎD.

Функция одной переменной

Наряду с понятием множества и элемента множества, к основным понятиям математики относят и понятие соответствия. Определенный вид соответствий носит название функции.

Пусть заданы множество Х с элементами х и множество У, состоящее из элементов у (множества Х и У – не пустые, элементы их могут быть любой природы).

Определение 1.1 Если каждому элементу х ÎХ по некоторому закону (правилу) f поставлен в соответствие единственный элемент у Î У, то говорят, что на множестве Х задана функция y = f (x ), х ÎХ или отображение f : Х → У множества Х в множество У.

При этом принята терминология:

х – независимое переменное, или аргумент,

Х – область определения функции, а каждый элемент х ÎХ – значение аргумента,

у – зависимое переменное, или функция от аргумента х ,

У – область значений функции, а каждый элемент у ÎУ такой, что
y = f (x ) для некоторого х ÎХ, называется значением функции.

В зависимости от множеств Х и У, функции имеют специфические названия и обозначения:

если Х, У – подмножества множества действительных чисел R, то функция у = f (x ) называется действительной функцией действительного аргумента или функцией одной переменной;

если ХÌR, УÌС – комплексная функция действительного аргумента, обозначается z = f (x );

если ХÌС, У ÌС – комплексная функция комплексного аргумента, обозначается w = f (z );

если ХÌN, УÌR – функция натурального аргумента или последовательность у п = f (п );

если ХÌR 2 (т.е. множество точек (x , у ) плоскости), УÌR, z ÎУ – действительная функция двух переменных z = f (x , у );

если ХÌR п (п -мерное арифметическое пространство), УÌR – действительная функция п переменных и = f (x 1 ,х 2 , …, х п ). Эту и перечисленные выше функции называют числовыми функциями;

если ХÌ R, УÌ V 2 (множество геометрических векторов на плоскости) –векторная функция скалярного аргумента, `r (t )= x (t ) +y (t ) ;

если ХÌ R 2 , УÌ V 2 – векторная функция двух скалярных аргументов, `F (x , y ) = P(x , y ) + Q(x , y ) ;

В математическом анализе, в основном, изучаются числовые функции. Рассмотрим сначала действительную функцию одного переменного. Поскольку и аргументом, и функцией при этом является действительная числовая величина, то часто будем употреблять ее в женском роде: независимая переменная, зависимая переменная.

В этом случае определение 1.1 может быть перефразировано так:

Определение 1.2 Если каждому значению переменной х из числового множества ХÌR по некоторому закону f поставлено в соответствие определенное действительное число у , то говорят, что на множестве Х задана числовая функция у = f (x ). При этом х называют независимой переменной (аргументом), у – зависимой переменной (функцией), Х – областью определения функции и обозначают Х = D(f ) .

Множество значений, которые принимает у , называется областью значений функции и обозначается Е(f ) . Буква f символизирует то правило, по которому устанавливается соответствие между х и у . Наряду с буквой f используются и другие буквы: y = g (x ), y = h (x ), y = u (x ) . Также функцию можно обозначить z = j(t ), x = f (z ) , s = S (p ) и т. п., т.е. и независимая переменная, и зависимая могут обозначаться любыми буквами латинского алфавита.

Две функции равны тогда и только тогда, когда они имеют одну область определения и при каждом значения аргумента принимают одно и то же значение.

Задать функцию – значит, указать правило, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции.

Основные способы задания функции:

1) Аналитический – с помощью одной или нескольких формул, например

y = sin3x + x 2 , ,

(последние две функции иногда называют кусочно-аналитическими или ступенчатыми функциями). Если функция задана аналитически (формулой), то под областью определения понимают множество значений аргумента х , для которых по заданной формуле можно вычислить соответствующее значение у (т.е. выполнимы все операции, указанные в формуле).

Если в формуле, описывающей функцию, зависимая переменная выражена через независимую переменную, то такая функция называется явно заданной . Приведенные выше функции заданы явно.

Если же равенство, описывающее функцию, не разрешено относительно зависимой переменной, то функция называется неявно заданной , например

х 2 + 3ху – у 3 = 1 или ln(x +3y ) = y 2 .

Неявно заданная функция может быть представлена в форме

где t – параметр, принимающий значения из некоторого множества. Такую функцию называют параметрически заданной функцией . Например,

, t Î R определяет функцию у = (х –1) 2 ,

определяет функцию .

Параметрическое задание функции широко применяется в механике: если х = х (t ) и у = у (t ) законы изменения координат движущейся точки, то уравнения определяю траекторию движения.

2) Словесный . Например, «целая часть числа» – наибольшее целое, не превосходящее х . Эту функцию обозначают у = [x ].

3) Табличный . Например

х	х 1	х 2	х 3	...
у	у 1	у 2	у 3	...

Так задаются функции, обычно получаемые по результатам опыта, эксперимента, расчета.

4) Графический.

Определение 1.3. Графиком функции у = f (x ) называется геометрическое место точек координатной плоскости ХОУ с координатами (х , f (x )), где х ÎD(f ).

Изображение функциональной зависимости в виде линии (графика) и является графическим заданием функции . Например, показания осциллографа, электрокардиограмма и т.п. – это графическое представление зависимости между изучаемыми величинами.

Заметим, что для однозначной функции ее график имеет только одну точку пересечения с любой прямой х = а , а Î D(f ).

Свойства функций.

I. Функция у = f (x ), x ÎD, называется ограниченной на множестве D, если существуют действительные числа А, В такие, что " x ÎD выполняется условие A £ f (x ) £ B. График такой функции расположен в некоторой горизонтальной полосе между прямыми у = А и у = В (рис.1а). Если таких чисел А и В не существует, то функция называется неограниченной на множестве D.

Если " x ÎD Þ f (x ) £ B, то функция ограничена сверху (рис.1 б).

Если " x ÎD Þ f (x ) ³ А, то функция ограничена снизу (рис.1в).

Ограниченными в своей области определения являются функции у = sin x и y = cos x , т.к. для всех значений х выполняется

–1 £ sin x £ 1 и –1 £ cos x £ 1.

Функция ограничена сверху, т.к. для всех действительных значений х выполняется условие у £ 1. Примером ограниченной снизу функции служит показательная функция у = , т.к. > 0 для всех действительных значений х .

II. Функция у = f (x ), x ÎD, называется возрастающей , если для любых значений аргумента х 1 , х 2 ÎD таких, что х 1 < х 2 , выполняется условие f (x 1) < f (x 2) (т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции, Рис.2а).

Функция у = f (x ), x ÎD, называется убывающей , если "х 1 ,х 2 ÎD таких, что х 1 < х 2 , выполняется условие (f (x 1) > f (x 2) (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, рис.2б). Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями. Если строгие неравенства заменить нестрогими, то соответственно функция будет называться неубывающей и невозрастающей.

III. Функция у = f (x ), x ÎD, называется четной , если

" х ÎD Þ (–х ÎD и f (–x ) = f (x )).

График четной функции симметричен относительно оси ОУ (рис.3а).

Функция у = f (x ), x ÎD, называется нечетной , если

" х ÎD Þ (–х ÎD и f (–x ) = f (x )).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 3б).

IV. Функция у = f (x ), x ÎD, называется периодической , если

$ Т > 0: "х ÎD Þ (х ± ТÎD и f (x ) = f (x ± Т)).

у

Число Т при этом называется периодом функции. На любых двух соседних отрезках оси ОХ длины Т график периодической функции имеет один и тот же вид (рис. 4).

Тема 4 . Функция одной переменной.

Время: 2 часа

Цель лекции: Актуализировать понятие функции; расширить имеющиеся представления о функции, познакомить с основными характеристиками функции.

План лекции:

Понятие функции.

Числовые функции. График функции. Способы задания функции.

Обратная функция.

Сложная функция.

Понятие функции.

Понятие функции является одним из основных в математике. Оно связано с установлением соответствия между элементами двух множеств.

Пусть даны два непустых множества Х и Y . Соответствие f , которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент
, называется функцией и записывается
или
. Говорят ещё, что функция отображает множество Х на множество Y .

X

X

Y

Y

X

Y

Y

. .

X

Например, соответствия f и g , изображённые на рисунке, являются функциями, а  и u ‒ нет. В случае  ‒ не каждому соответствует элемент
. В случае и ‒ не соблюдается условие однозначности.

Элемент
, который соответствует данному , называют образом элемента х. Все элементы , которым соответствует данный
, называют полным прообразом элемента у .

Множество Х называется областью определения функции f и обозначается D (f ). Множество всех
, для которых существует прообраз в Х , называется множеством значений функции f и обозначается Е (f ).

Числовые функции. График функции. Способы задания.

Пусть задана функция
. Если элементами множеств Х и Y являются действительные числа, то функцию называют числовой функцией . В дальнейшем будем изучать числовые функции, называть их просто функциями и обозначать
.

Переменная х называется аргументом или независимой переменной , а у ‒ функцией или зависимой переменной . Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости .

Частное значение функции
при х=а записывают
. Например, если
, то
,

Г

М (х ;у )

у

х

1

О

рафиком функции
называется множество всех точек плоскости Оху , для каждой из которых х является значением аргумента, а у ‒ соответствующее значение функции.

Например, графиком функции
является верхняя полуокружность радиуса R =1 с центром О (0;0).

Чтобы задать функцию, необходимо задать правило, позволяющее, зная х , находить соответствующее значение функции.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный и графический.

Аналитический способ : функция задаётся в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Если область определения функции не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью определения функции
является отрезок
.

Аналитический способ является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию
.

Графический способ : задаётся график функции; по графику находят значение функции, соответствующее данному значению аргумента и наоборот. Преимущества ‒ наглядность; недостатки ‒ неточность.

Табличный способ применяется, когда целесообразно задать пары х и у перечислением.

Основные характеристики функций.

Функция
, определённая на множестве D , называется чётной , если
выполняются условия
и
; нечётной , если
выполняются условия
и
.

График чётной функции симметричен относительно оси Оу , а нечётной ‒ относительно начала координат.

Например,
,
,
‒ чётные функции, а
,
‒ нечётные функции;
,
‒ функции общего вида.

Пусть функция
определёна на множестве D и пусть
. Если для любых значений аргументов
из неравенства
вытекает неравенство:

а)
, то функция называется возрастающей на множестве (большему значению аргумента соответствует большее значение функции);

б)
, то функция называется неубывающей на множестве ;

в)
, то функция называется убывающей на множестве (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции);

г)
, то функция называется невозрастающей на множестве .

‒2 О 1 3 4 х

у

Апример, функция, заданная графиком на рисунке, убывает на промежутке
, не убывает на
, возрастает на
.

Возрастающие, невозрастающие, убывающие, неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие ‒ строго монотонными . Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности .

Ф

у=М

у

х

у= ‒М

Ункцию, определённую на множестве D называют ограниченной
, что для всех
выполняется неравенство:
.

:

.

Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми у =‒М и у=М .

Функция
, определённая на множестве D , называется периодической на этом множестве, если существует такое число T >0 , что при каждом
значение
и
. При этом число Т называется периодом функции . Если Т ‒ период функции, то её периодами будут также числа пТ , где
Так, для
периодами будут числа
Основной период (наименьший положительный) ‒ это период
. Вообще за основной период берут наименьшее положительное число Т , удовлетворяющее равенству
.

Обратная функция.

Пусть задана функция
с областью определения D и множеством значений Е . Если для каждого
существует единственный прообраз в D , то можно поставить в соответствие элементам
элементы
, т.е. определить функцию
с областью определения Е и множеством значений D . Такая функция
называется обратной к функции
и записывается
. Про функции
и
говорят, что они являются взаимно обратными. . Заметим, что для функции промежуточным аргументом сложной функции.

Например,
, есть суперпозиция двух функций
и
. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

Если каждому элементу х множ-ва Х (х є Х) ставится в соответствие вполне определённый элемент у множ-ва У (у є У), то говорят, что на множ-ве Х задана функция у = f(x). При этом х назыв. независимой переменной (или аргументом), у – зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответсвия. Множ-во Х назыв. областью определения, а множ-во У – областью значений функции.

Способы задания фун-ий.

а)аналитический, если фун-ия задана формулой у = f(x)

б)табличный способ. Состоит в том, что фун-ия задаётся таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения фун-ии f(x).

в)графический. Состоит в изображении графика фун-ии – множества точек (х,у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значения фун-ии f(x).

г)логический

3 . Односторонний предел. Существование предела в точке.

Число назыв. односторонним пределом слева фун-ии f(x) в точке сгущения x 0, если для ∀ε>0 ∃δ>0, такое, что x∈(x 0 -δ, x 0 ] => f(x)

Число назыв. односторонним пределом справа фун-ии f(x) в точке сгущения х 0 , если если ∀ε>0

∃δ>0, такое, что x∈(x 0 -δ, x 0 ] => f(x)

Число назыв. односторонним пределом справа фун-ии f(x) в точке сгущения х 0 , если если ∀ε>0 ∃δ>0, такое,что х ∈[ x 0, x 0 + δ) =>

Сущ-ие предела в точке. Число А назыв. пределом фун-ии f(x) при х, стремящемся к х 0 (или точке х 0), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдётся такое положительное число δ>0 (зависящее от ε, δ=δ(ε)), что для всех х, не равных х 0 и удовлетворяющее условию , выполняется неравенство

Обозначается или

2. Предел функции и его свойства.

Предельной точной сгущения множества A называется точка x 0 , если в любой окрестности этой точки найдутся такие множества, отличные от x 0 .

Определение предела по Коши. Функция y=f(x), определенная в A, имеет предел С в точке сгущения x 0 , если ∀ε>0 ∃δ>0, такое, что x∈(x 0 -δ, x 0) ∪(x 0 , x 0 +δ) ⇒ f(x)∈(C-ε, С+ε). Существование предела записывают в виде lim x → x 0 f(x)=C или |x-x 0 |<δ⇒|f(x)-C|< ε.

Определение предела по Гейне. Если для различных последовательностей {x n }, стремящихся к x 0 , последовательность значений функции {f(x n)} сходится к некоторому числу C, то это число называется пределом функции f(x).

Определение Коши используется для обоснования существования предела, а опред-ие Гейна – для обоснования отсутствия предела.

Свойства предела: предел единственен и фун-ия в некоторой окрестности предельной точки ограничена.

1)Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине.

Рассмотрим сначала понятие переменной величины, или просто переменной.

Переменная величина х определяется множеством тех значений, которые она может принять в рассматриваемом случае. Это множество X назовем областью изменения значений переменной x .

Главным предметом изучения в математике является, однако, не изменение одной переменной самой по себе, а зависимость между двумя или несколькими переменными при их совместном изменении. Во многих случаях переменные не могут принимать любую пару значений из своих областей изменения; если одной из них придано конкретное значение, то этим уже определяется и значение другой. Тогда первая из них называется независимой , а вторая – зависимой переменной.

Пусть даны две переменные x и y с областями изменения X и Y . Если при этом каждому элементу x X по определенному правилу f поставлен в соответствие единственный элемент y Y , то говорят, что на множестве X задана функция y = f (x ).

Ясно, что при этом переменная x является независимой переменной. Ее часто называют аргументом функции.

Переменная y является зависимой переменной и называется значением функции, или просто функцией .

Множество X называется областью определения функции, а множество Y - областью ее значений .

Существует ряд способов задания функции:

а) наиболее простой - аналитический способ, т. е. задание функции в виде формулы. Если область определения функции X при этом не указана, то под X подразумевается множество значений x , при которых формула имеет смысл;

б) графический способ. Этот способ особенно нагляден. Для функции одной переменной y = f (x ) используется координатная плоскость (xy ).

Совокупность точек y , соответствующих заданным значениям x , определяет график функции на плоскости (xy );

в) табличный способ. Он часто используется, когда независимая переменная x принимает лишь конечное число значений.

5.2. Основные свойства функций

Рассмотрим основные свойства функций, которые упрощают проведение их исследования:

Четность. Функция y = f (x ) называется четной , если для любого значения x , принадлежащего области определения функции X , значение (–x ) тоже принадлежит X и при этом выполняется

f (–x ) = f (x ).

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция y = f (x ) называется нечетной , если для любого x X следует (–x ) X и при этом

f (–x ) = –f (x ).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Если функция y = f (x ) не является ни четной, ни нечетной, то ее часто называют функцией общего вида .

Монотонность. Функция y = f (x ) называется возрастающей на некотором интервале (a , b ), если для любых x 1 , x 2 (a , b ), таких,

что x 1 < x 2 , следует, что f (x 1) < f (x 2), и убывающей , если f (x 1) > f (x 2).

Возрастающую и убывающую на интервале (a,b ) функции называют монотонными на этом интервале, а сам интервал (a,b ) - интервалом монотонности этих функций.

В некоторых учебниках такие функции называют строго монотонными , а монотонными называют неубывающую и невозрастающую на рассматриваемом интервале функции (вместо строгих неравенств для функций пишутся нестрогие).

Ограниченность. Функция y = f (x ) называется ограниченной на интервале (a , b ), если существует такое число С > 0, что для любого x (a , b ) следует |f (x )| < C , и неограниченной в противном случае, т. е. если для любого числа C > 0 существует такой x (a , b ), что |f (x )| > C. На рис. 5.1 показан график функции, ограниченной на интервале (a , b ).

Аналогичное определение ограниченности можно дать для любого вида промежутка.

Периодичность. Функция y = f (x ) называется периодической , если существует такое число t , что для любого x X выполняется

f (x + t ) = f (x ).

Наименьшее из таких чисел t называется периодом функции и обозначается Т .

Характерным признаком периодичности функций является наличие в их составе тригонометрических функций.

5.3. Элементарные функции и их графики

К элементарным функциям относятся:

а) простейшие элементарные функции

1. Константа y = c , где с - постоянное для данной функции действительное число, одно и то же для всех значений x .

2. Степенная функция , где - любое постоянное действительное число, кроме нуля. Вид графиков функций при некоторых целых положительных ( = n ), целых отрицательных ( = –n ) и дробных ( = 1/n ) значениях представлен ниже.

4. Логарифмическая функция y = log a x (a > 0; a 1).

5. Тригонометрические функции : y = sin x , y = cos x , y = tg x , y = ctg x .

6. Обратные тригонометрические функции .

y = arcsin x y = arccos x

y = arctg x y = arcctg x

б) сложные функции

Кроме перечисленных простейших элементарных функций аргумента x к элементарным функциям также относятся функции, аргументами которых являются тоже элементарные функции, а также функции, полученные путем выполнения конечного числа арифметических действий над элементарными функциями. Например, функция

тоже является элементарной функцией.

Функции, аргументами которых являются не независимые переменные, а другие функции, называются сложными функциями или суперпозициями функций. Пусть даны две функции: y = sinx и z = log 2 y . Тогда сложная функция (суперпозиция функций) может иметь вид

z = log 2 (sin x ).

Также можно ввести понятиеобратной функции .Пусть y = f (x ) задана в области определения X , а Y - множество ее значений. Выберем какое-нибудь значение y = y 0 и по нему найдем x 0 так, чтобы y 0 было равно f (x 0).Подобных значений x 0 может оказаться и несколько.

Таким образом, каждому значению y из Y ставится в соответствие одно или несколько значений x . Если такое значение x только одно, то в области Y может быть определена функция x = g (y ), которая называется обратной для функции y = f (x ).

Найдем, например, обратную функцию для показательной функции y = a x . Из определения логарифма следует, что если задано значение y , то значение x , удовлетворяющее условию y = a x , находится по формуле x = log a y . То есть каждому y из Y можно поставить в соответствие одно определенное значение x = log a y .

Следовательно, функция x = log a y является обратной для функции y = a x на множествах X и Y . Так как принято у любой функции независимую переменную обозначать x , то в этом случае говорят, что y = f (x ) и y = g (x ) - обратные функции.

Графики функции y = f (x ) и обратной ей функции y = g (x ) симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.