ПлохоОтлично
Растровая, векторная и фрактальная графика
Компьютерная графика - это специальная область информатики, изучающая методы и способы создания и обработки изображений на экране компьютера с помощью специальных программ. В зависимости от способа формирования изображений компьютерную графику принято подразделять на растровую и векторную. Кроме того выделяют другие типы графики, например, трехмерную (3 D ), изучающую приемы и методы построения объемных объектов в пространстве. Как правило, в ней сочетаются векторный и растровый способ формирования изображения.
Растровая и векторная графика создается в специальных программах - графических редакторах и процессорах. Например, программы Paint и Gimp являются растровыми, а Inkscape - векторым.
Растровая графика
Растровое изображение представляет картину, состоящую из массива точек на экране, имеющих такие атрибуты как координаты и цвет.
Пиксель – наименьший элемент изображения на экране компьютера. Размер экранного пикселя приблизительно 0,0018 дюйма.
Растровый рисунок похож на мозаику, в которой каждый элемент (пиксель) закрашен определенным цветом. Этот цвет закрепляется за определенным местом экрана. Перемещение фрагмента изображения "снимает" краску с электронного холста и разрушает рисунок.
Информация о текущем состоянии экрана хранится в памяти видеокарты. Информация может храниться и в памяти компьютера - в графическом файле данных.
Самыми близкими аналогами растровой графики является живопись, фотография.
Кодирование графической информации
Качество изображения определяется разрешающей способностью экрана и глубиной цвета.
Число цветов (К), воспроизводимых на экране дисплея, зависти от числа бит (N ), отводимых в видеопамяти под каждый пиксель:
K =2 N
Для получения богатой палитры цветов базовым цветам могут быть заданы различные интенсивности. Например, при глубине цвета в 24 бита на каждый из цветов выделяется по 8 бит (RGB ), т.е. для каждого из цветов возможны K = 28 = 256 уровней интенсивности. Один бит видеопамяти занимает информация об одном пикселе на черно-белом экране (без полутонов).
Величину N называют битовой глубиной.
Страница - раздел видеопамяти, вмещающий информацию об одном образе экрана (одной "картинке" на экране). В видеопамяти одновременно могут размещаться несколько страниц.
Если на экране с разрешающей способностью 800 х 600 высвечиваются только двухцветные изображения, то битовая глубина двухцветного изображения равна 1, а объем видеопамяти на одну страницу изображения равен 800 * 600 * 1 = 480000 бит = 60000 байт.
Для хранения двух страниц изображения при условии, что разрешающая способность дисплея равна 640 х 350 пикселей, а количество используемых цветов - 16 будет таким: 640 * 350 * 4 * 2 = 1792000 бит = 218,75 Кбайт
Количество используемых цветов - 16, это 2 4 , значит, битовая глубина цвета равна 4.
Векторная графика
В векторной графике изображение состоит из простых элементов, называемых примитивами: линий, окружностей, прямоугольников, закрашенных областей. Границы областей задаются кривыми.
Файл, отображающий векторное изображение, содержит начальные координаты и параметры примитивов – векторные команды.
Самым близким аналогом векторной графики является графическое представление математических функций. Например, для описания отрезка прямой достаточно указать координаты его концов, а окружность можно описать, задав координаты центра и радиус.
Информация о цвете объекта сохраняется как часть его описания, т.е. тоже в векторной команде.
Векторные команды сообщают устройству вывода о том, что необходимо нарисовать объект, используя заложенное число элементов-примитивов. Чем больше элементов используется, тем лучше этот объект выглядит.
Приложения для создания векторной графики широко используются в области дизайна, технического рисования, оформительских работ. Элементы векторной графики имеются также в текстовых процессорах. В этих программах одновременно с инструментами рисования и командами предусмотрено специальное программное обеспечение, формирующее векторные команды, соответствующие объектам, из которых состоит рисунок.
Файлы векторной графики могут содержать растровые объекты.
Достоинства векторной графики
Фрактальная графика
Последней из рассматриваемых видов компьютерной графики - это фрактальная графика. Фрактальная графика является на сегодняшний день одним из самых быстро развивающихся перспективных видов компьютерной графики.
Математической основой фрактальной графики является фрактальная геометрия. Здесь в основу метода построения изображений положен принцип наследования от, так называемых, «родителей» геометрических свойств объектов-наследников.
Понятия фрактал , фрактальная геометрия и фрактальная графика, появившиеся в конце 70-х, сегодня прочно вошли в обиход математиков и компьютерных художников. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает «состоящий из фрагментов». Оно было предложено математиком Бенуа Мандель-Бротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.
Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. Объект называют самоподобным, когда увеличенные части объекта походят на сам объект и друг на друга. Перефразируя это определение, можно сказать, что в простейшем случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале.
В центре фрактальной фигуры находится её простейший элемент - равносторонний треугольник, который получил название «фрактальный». Затем, на среднем отрезке сторон строятся равносторонние треугольники со стороной, равной (1/3a) от стороны исходного фрактального треугольника. В свою очередь, на средних отрезках сторон полученных треугольников, являющихся объектами-наследниками первого поколения, выстраиваются треугольники-наследники второго поколения со стороной (1/9а) от стороны исходного треугольника.
Таким образом, мелкие элементы фрактального объекта повторяют свойства всего объекта. Полученный объект носит название «фрактальной фигуры». Процесс наследования можно продолжать до бесконечности. Таким образом, можно описать и такой графический элемент, как прямую.
Изменяя и комбинирую окраску фрактальных фигур можно моделировать образы живой и неживой природы (например, ветви дерева или снежинки), а также, составлять из полученных фигур «фрактальную композицию». Фрактальная графика, также как векторная и трёхмерная, является вычисляемой. Её главное отличие в том, что изображение строится по уравнению или системе уравнений. Поэтому в памяти компьютера для выполнения всех вычислений, ничего кроме формулы хранить не требуется.
Только изменив коэффициенты уравнения, можно получить совершенно другое изображение. Эта идея нашла использование в компьютерной графике благодаря компактности математического аппарата, необходимого для ее реализации. Так, с помощью нескольких математических коэффициентов можно задать линии и поверхности очень сложной формы.
Итак, базовым понятием для фрактальной компьютерной графики являются «Фрактальный треугольник». Затем идет «Фрактальная фигура», «Фрактальный объект»; «Фрактальная прямая»; «Фрактальная композиция»; «Объект-родитель» и «Объект наследник». Следует обратить Ваше внимание на то, что фрактальная компьютерная графика, как вид компьютерной графики двадцать первого века получила широкое распространение не так давно.
Её возможности трудно переоценить. Фрактальная компьютерная графика позволяет создавать абстрактные композиции, где можно реализовать такие композиционные приёмы как, горизонтали и вертикали, диагональные направления, симметрию и асимметрию и др. Сегодня немногие компьютерщики в нашей стране и за рубежом знают фрактальную графику. С чем можно сравнить фрактальное изображение? Ну, например, со сложной структурой кристалла, со снежинкой, элементы которой выстраивается в одну сложную структуру. Это свойство фрактального объекта может быть удачно использовано при составлении декоративной композиции или для создания орнамента. Сегодня разработаны алгоритмы синтеза коэффициентов фрактала, позволяющего воспроизвести копию любой картинки сколь угодно близкой к исходному оригиналу.
С точки зрения машинной графики фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически благодаря фрактальной графике найден способ эффективной реализации сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные. Геометрические фракталы на экране компьютера - это узоры, построенные самим компьютером по заданной программе. Помимо фрактальной живописи существуют фрактальная анимация и фрактальная музыка.
Создатель фракталов - это художник, скульптор, фотограф, изобретатель и ученый в одном лице. Вы сами задаете форму рисунка математической формулой, исследуете сходимость процесса, варьируя его параметры, выбираете вид изображения и палитру цветов, то есть творите рисунок «с нуля». В этом одно из отличий фрактальных графических редакторов (и в частности - Painter) от прочих графических программ.
Например, в Adobe Photoshop изображение, как правило, «с нуля» не создается, а только обрабатывается. Другой самобытной особенностью фрактального графического редактора Painter (как и прочих фрактальных программ, например Art Dabbler) является то, что реальный художник, работающий без компьютера, никогда не достигнет с помощью кисти, карандаша и пера тех возможностей, которые заложены в Painter программистами.
Почему фраталы так красивы?
Так сказочно, обворожительно, волнующе красивы. Математика вся пронизана красотой и гармонией, только эту красоту надо увидеть. Вот как пишет сам Мандельброт в своей книге "The Fractal Geometry of Nature"-"Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин лежит в ее неспособности описать форму облаков, гор или деревьев. Облака - это не сферы, горы - не углы, линия побережья - не окружность, кора не гладкая, а молния не прямая линия..."Фрактальная графика - это не просто множество самоповторяющихся изображений, это модель структуры и принципа любого сущего. Вся наша жизнь представлена фракталами. Взять, к примеру, ДНК, это всего лишь основа, одна итерация, а при повторении… появляется человек! И таких примеров много. Нельзя не отметить широкое применение фракталов в компьютерных играх, где рельефы местности зачастую являются фрактальными изображениями на основе трёхмерных моделей комплексных множеств и броуновского движения. Фрактальная графика необходима везде, и развитие "фрактальных технологий" - это одна из немаловажных задач на сегодняшний день. Фракталы вокруг нас повсюду, и в очертаниях гор, и в извилистой линии морского берега. Некоторые из фракталов непрерывно меняются, подобно движущимся облакам или мерцающему пламени, в то время как другие, подобно деревьям или нашим сосудистым системам, сохраняют структуру, приобретенную в процессе эволюции. Х.О.Пайген и П.Х Рихтер.
При фрактальном подходе хаос...перестает быть синонимом беспорядка и обретает тонкую структуру. Фрактальная наука еще очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и еще подарит нам немало шедевров - тех, которые услаждают глаз, и тех, которые доставляют истинное наслаждение разуму.
Понятие фрактал и фрактальная графика.
Геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature". В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему. Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные. Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому"
В лесах фрактальной графики
Дмитрий Шахов, фрилансер, г.Москва
Фракталы привлекают внимание, завораживают, гипнотизируют. Однако многие считают, что такие изображения — просто узоры, которые хороши лишь на экране монитора или в качестве прикладных вспомогательных средств для оформления различной полиграфической продукции. При этом мало кто догадывается, что простота эта только кажущаяся. На самом деле фрактальная графика довольно сложна и является результатом слияния математики и искусства. Сегодня фракталы — один из самых перспективных, быстро развивающихся видов компьютерной графики.
Прежде чем перейти к рассмотрению фрактальной графики, рассмотрим, в чем суть компьютерной, или «машинной», графики, а также общепринятую классификацию компьютерной графики (Computer Graphics, CG). Это понятие появилось относительно недавно, в 60-х годах прошлого столетия, когда были изобретены электронные вычислительные устройства. Термин «компьютерная графика» трактуется в различных источниках по-разному. Некоторые определяют его как область информатики, занимающуюся вопросами получения различных изображений (рисунков, чертежей, мультипликации) на компьютере. Компьютерная графика охватывает все виды и формы представления изображений, доступные для человеческого восприятия на экране монитора или в виде копии на внешнем носителе (бумаге, ткани, кинопленке и т.п.). В других источниках компьютерная графика называется специальной областью информатики, изучающей методы и средства создания и обработки изображений с помощью программно-аппаратных вычислительных комплексов.
В широком смысле слова компьютерная графика — это всё, для чего используется визуальная, образная среда отображения на мониторе. Если сузить понятие до практического использования, то под компьютерной графикой можно подразумевать процесс создания, обработки и вывода разного рода изображений с помощью компьютера.
В зависимости от способа формирования изображений компьютерная графика делится на растровую, векторную и фрактальную (рис. 1).
Основным и наименьшим элементом растрового изображения является точка. Когда изображение находится в программной среде на экране, она называется пикселом. Каждый пиксел растрового изображения имеет две характеристики: размещение и цвет. Чем больше количество пикселов и меньше их размеры, тем лучше выглядит изображение. Большие объемы данных — это основная проблема при использовании растровых изображений. Второй недостаток растровых изображений связан с невозможностью их увеличения для рассмотрения деталей. Поскольку изображение состоит из точек, увеличение изображения приводит к тому, что эти точки становятся крупнее и напоминают мозаику, а следовательно, дополнительных деталей в этом случае рассмотреть не удается. Более того, увеличение точек растра визуально искажает изображение и делает его зернистым. Этот эффект называется пикселизацией.
Рис. 1. Типы компьютерной графики: а — растровая; б — векторная; в — фрактальная
В векторной графике основным элементом изображения является линия (не важно, прямая или кривая). Разумеется, в растровой графике тоже существуют линии, но там они рассматриваются как комбинации точек. Для каждой точки линии в растровой графике отводится одна или несколько ячеек памяти (чем больше цветов могут иметь точки, тем больше ячеек им выделяется). Соответственно, чем длиннее растровая линия, тем больше памяти она занимает. В векторной графике объем памяти, занимаемый линией, не зависит от размеров линии, поскольку линия представляется в виде формулы, а точнее, в виде нескольких параметров. Что бы мы ни делали с этой линией, меняются только ее параметры, хранящиеся в ячейках памяти. Количество же ячеек для любой линии остается неизменным.
Рис. 2. Пример фрактальности в природе — капуста Романеску
Изображение в векторном формате легко редактируется: его можно без потерь масштабировать, поворачивать, деформировать. Имитация трехмерности в векторной графике тоже проще, чем в растровой. Дело в том, что каждое преобразование фактически выполняется так: старое изображение (или фрагмент) стирается, а вместо него строится новое. Математическое описание векторного рисунка остается прежним — изменяются только значения некоторых переменных, например коэффициентов.
Фрактальная графика относительно молода по сравнению с растровой и векторной графикой. Основой фрактальной графики является фрактальная геометрия, позволяющая математически описывать различные виды неоднородностей, встречающихся в природе. Понятия «фрактал», «фрактальная геометрия» и «фрактальная графика» появились в конце 1970-х. Слово «фрактал» образовано от латинского fractus и означает «состоящий из фрагментов». Оно было предложено математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги «The Fractal Geometry of Nature» Бенуа Мандельброта. Определение фрактала, данное Мандельбротом: фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Самоподобие — одно из основных свойств фракталов. Таким образом, фрактальная графика — это вид компьютерной графики, в которой в той или иной мере используются самоподобные структуры (проще говоря, фракталы). Далее мы поговорим о том, что же такое самоподобие и где в природе встречаются фракталы.
Что подразумевается под самоподобием? Капуста Романеску из Италии — самый характерный пример фрактального объекта в природе. Капустные почки у нее нарастают в виде некой спирали (рис. 2), которая называется логарифмической, а число капустных почек совпадает с числом Фибоначчи. Числа Фибоначчи — это элементы числовой последовательности 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Свое название они получили в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи). Каждая часть элементов капусты Романеску имеет ту же форму, что и весь кочан. Это свойство повторяется с регулярностью в различных масштабах. По сути эта капуста является природным фракталом. То есть как бы мы ни увеличивали фрактал, после каждого шага мы увидим ту же форму, что характерна для данного фрактала в целом. Таким образом, с фракталами тесно связаны еще два понятия — итерация и рекурсия. Рекурсия — процесс повторения элементов самоподобным образом. Итерация — упрощенно говоря — повторное применение какой-либо математической операции.
На самом деле фрактальные свойства имеет очень большое количество природных объектов — просто мало кто об этом задумывается. Вы можете любоваться облаками на небе, набегающими волнами прибоя, ходить по лесу — и даже не подозревать, что в основе этой красоты лежит математика! Да-да! Исследования фрактальных свойств природных объектов начал проводить еще Бенуа Мандельброт. Оказывается, несмотря на всю сложность природных объектов, многие из них в принципе описываются довольно простыми математическими формулами. Хотя в чистом виде фракталы в природе не существуют. То, что мы наблюдаем, — это так называемые стохастические фракталы. То есть такие фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. «Чистый» фрактал можно приближать до бесконечности, поскольку он обладает бесконечной рекурсией, а вот о стохастических фракталах этого сказать нельзя.
Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из следующих свойств:
Кроме того, для построения фрактала необходимо учитывать начальное состояние и описывающую его формулу — так называемое исходное множество, которое пропускается через некий механизм, вызывающий его отображение и добавляющий отображенное множество к исходному. Этот процесс и называется итерацией. Таким образом, после нескольких подобных относительно простых операций получается весьма сложное изображение. В процессе получения фрактала важны два момента: исходное множество и механизм преобразования. В зависимости от алгоритма построения фракталы делятся на линейные и нелинейные.
Алгоритмы построения линейных фракталов определяются линейными функциями. В них самоподобие присутствует в простейшем варианте: любая часть повторяет целое.
Нелинейные фракталы задаются нелинейной функцией роста, то есть уравнениями в степени выше первой. В них самоподобие будет более сложным: любая часть является уже не точной, а деформированной копией целого.
Один из простейших примеров линейного фрактала — кривая Коха (1904 год, немецкий математик Хельга фон Кох).
Существует простая рекурсивная процедура (получение самоподобных частей фрактала) формирования фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рис. 3 приведено несколько шагов этой процедуры для кривой Коха.
Одним из первых нелинейные фракталы описал французский математик Гастон Жюлиа еще в 1918 году. Но в его работе отсутствовали изображения исследованных им множеств и термин «фрактал».
В наше время компьютеры позволили получить изображения множеств Жюлиа (рис. 4а ), которые вместе с множествами Мандельброта(рис. 4б ) являются ныне самыми известными квадратичными фрактальными структурами.
Оба типа фракталов возникают в результате реализации на комплексной плоскости самого простого нелинейного алгоритма.
Здесь в основу метода построения изображений положен принцип наследования от так называемых родителей геометрических свойств объектов-наследников. Построение фрактального рисунка осуществляется по какому-либо алгоритму или путем автоматической генерации изображений при помощи вычислений по конкретным формулам. Изменения значений в алгоритмах или коэффициентов в формулах приводит к модификации этих изображений. Главным преимуществом фрактальной графики является то, что в файле фрактального изображения сохраняются только алгоритмы и формулы.
Фрактал — объект, отдельные элементы которого наследуют свойства родительских структур. Поскольку более детальное описание элементов меньшего масштаба происходит по простому алгоритму, описать такой объект можно всего несколькими математическими уравнениями.
Фракталы позволяют описывать целые классы изображений, для детального описания которых требуется относительно мало памяти. В то же время фракталы слабо применимы к изображениям вне этих классов.
Программные средства для работы с фрактальной графикой предназначены для автоматической генерации изображений путем математических расчетов. Именно поэтому фрактальная графика не признается ни компьютерными, ни обычными художниками из-за того, что якобы здесь за человека всё делает программа. На самом деле процесс работы с фрактальной графикой хоть и автоматизирован, но, тем не менее, полностью творческий: комбинируя формулы и меняя переменные, можно добиваться удивительных результатов и воплощать самые смелые художественные замыслы. Создание фрактальной художественной композиции заключается не в рисовании или оформлении, а в программировании.
Изменяя и комбинируя окраску фрактальных фигур, можно моделировать образы живой и неживой природы (например, ветви дерева или снежинки), а также составлять из полученных фигур «фрактальную» композицию. Фрактальная графика, так же как векторная и трехмерная, является вычисляемой. Ее главное отличие в том, что изображение строится по уравнению или системе уравнений. Поэтому для выполнения всех вычислений в памяти компьютера ничего, кроме формулы, хранить не требуется.
Только изменив коэффициенты уравнения, можно получить совершенно иное изображение. Эта идея нашла применение в компьютерной графике благодаря компактности математического аппарата, необходимого для ее реализации. Так, с помощью нескольких математических коэффициентов можно задать линии и поверхности очень сложной формы.
В машинной графике фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически, благодаря фрактальной графике найден способ эффективной реализации сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные. Собственно, поэтому настоящей статье и дано такое название. Многие природные объекты имеют фрактальные свойства, поэтому их легко создавать на компьютере с помощью фрактальной графики. Например, при разработке компьютерной игры нет нужды каждый раз заново рисовать лес, горы, облака и т.д. Эти объекты обладают самоподобием, а следовательно, могут быть легко сгенерированы программными средствами на основе математических формул. Добавляя или изменяя некоторые параметры исходной формулы, можно добиться удивительного разнообразия получаемых природных объектов. Фракталы на экране компьютера — это узоры, построенные самим ПК по заданной программе. Помимо фрактальной живописи существуют фрактальные анимация и музыка.
В заключение хотелось бы отметить следующее: фрактальная графика — одно из самых необычных и перспективных направлений в компьютерной графике. Результаты, которые можно получить с ее помощью, поражают воображение даже самых искушенных ценителей компьютерного искусства. Так, изображения, создаваемые с помощью программ-фракталогенераторов, порой содержат совершенно фантастические и необычные пейзажи (рис. 5), которые даже не снились художникам-сюрреалистам. И наоборот, с помощью фрактальной графики можно с удивительной точностью изобразить то, что мы видим в окружающем нас мире. Воистину мир фракталов удивителен!
Продолжение следует.
На сегодня фрактальная графика очень быстро развивается и весьма популярна и перспективна. Основой фрактальной графики является геометрия. Основным методом создания изображений является принцип наследственности от геометрического свойства наследников.
Фрактал - это структура, которая состоит из частей, подобных целому. Его основное свойство - самоподобие. Объекты, называют самоподобными, если части объекта после увеличения, остаются похожими друг на друга.
Центром фрактальной фигуры является её простейший элемент - треугольник с равными сторонами, который назвали «фрактальный». На середине сторон треугольника строят такие же равносторонние треугольники, которые равны одной третьей стороны исходной фигуры. Затем, на треугольниках первого поколения выстраивают треугольники второго поколения, но уже со стороной равно одной девятой от стороны центрального треугольника. Этот процесс можно продолжать нескончаемое число раз.
Изменение и комбинируя окраски фрактальных фигур, возможно, проектировать живые или неживые природные образы, такие как снег или же деревья, ветви, листья. Составлять фрактальную композицию. Изображения фрактальной графики состоят из уравнений или по системе уравнений. Фрактальная графика - это вычисление. Для того, что выполнять изображения такой графики, компьютеру нужно хранить только формулу или алгоритм, по которой производятся вычисления. Заменив коэффициенты уравнения, можем создать абсолютно другое изображение, а при использовании сразу нескольких коэффициентов одновременно, можно создать линии или поверхность самого сложной формы.
Фрактальная графика 21 века стала популярной совсем недавно, в ней используются такие понятия, как: фрактальные треугольники, фигуры, объекты прямые и композиции. А так же «Объекты-родители» и «Объекты-наследники». Все эти понятия играют свою роль в создании изображения.
При помощи фрактальной компьютерной графики создаются абстрактные композиции, реализующие такие приемы композиции как линии горизонтальные и вертикальные, любые направления диагоналей, различные симметричные и асимметричные. Немногие российские и зарубежные программисты, и компьютерные дизайнеры знакомы с фрактальной графикой.
Объекты фрактальной графики по структуре можно сравнивать со сложными структурами кристалликов льда или снежинок. Используя эти уникальные свойства фрактальной графики можно создавать декоративные орнаменты. Разработанные великими умами алгоритмы и уравнения для синтеза коэффициентов фрактальных рисунков, позволяют создать картинки, близкие по сходству с оригиналом, то есть клонировать картинку, причем неограниченное количество раз.
В машинной графике использование фрактальной геометрии незаменимо при создании искусственных облаков, поверхности моря или гор. Только благодаря фрактальной графике был создан способ реализации сложных объектов, которые по образу очень похожи на природу. Геометрические фракталы на мониторе компьютера - это построенные по заданной программе узоры.
Создателями фракталов является человек разносторонний, владеющий несколькими профессиями сразу. Он должен быть одновременно и художником, и скульптором, и фотографом. Создавая рисунок свои руками, вы пользуясь математической формулой сам задаете ту форму изображения, которая вам нужна. Подстраиваете параметры, выбираете, каким рисунок будет по виду, какого цвета. Отличие фрактальной графики от других редакторов графики, например Photoshop, заключается в том, что вы создаете свой уникальный рисунок с «ноля».
В Photoshop невозможно создать рисунок, его можно лишь отредактировать или отформатировать, придать ему необходимый цвет, размер, улучшить качество и сгладить недостатки. Отличительной чертой редактора Painter считается то, что художник, в реале работающий без помощи компьютера, не сможет, используя кисть, перо или карандаш, тех же возможностей, что даны в Painter.
Введение
Слово фрактал образовано от латинского "fractus" и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому". Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов.
Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и т. д. Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, получить линии и поверхности очень сложной формы. Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, объемных рельефных гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные. Фрактальная компьютерная графика широко используется при создании мультфильмов и фантастических художественных фильмов. Используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.
1. Теоретическая часть
1.1Применение фракталов ·Компьютерные системы. Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. Достоинство фрактального сжатия изображений - очень маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки. Фрактально упакованные картинки можно масштабировать без появления пикселизации. Но процесс сжатия занимает продолжительное время и иногда длится часами. Алгоритм фрактальной упаковки с потерей качества позволяет задать степень сжатия, аналогично формату jpeg.В основе алгоритма лежит поиск больших кусков изображения подобных некоторым маленьким кусочкам. И в выходной файл записывается только какой кусочек какому подобен. При сжатии обычно используют квадратную сетку (кусочки - квадраты), что приводит к небольшой угловатости при восстановлении картинки, шестиугольная сетка лишена такого недостатка.·Механика жидкостей. Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать.При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени.Пористые материалы хорошо представляются в фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Это используется в нефтяной науке.·Телекоммуникации. В телекоммуникациях фракталы используются для создания фрактальных антенн. Фрактальные антенны - относительно новый класс электрически малых антенн (ЭМА), принципиально отличающийся своей геометрией от известных решений. По сути, традиционная эволюция антенн базировалась на евклидовой геометрии, оперирующей объектами целочисленной размерности (линия, круг, эллипс, параболоид и т. п.). Фрактальная антенны с удивительно компактным дизайном обеспечивает превосходную широкополосную производительность в маленьком форм-факторе. Достаточно компактны для установки или встраивания в различных местах, фрактальные антенны используются для морских, воздушных транспортных средств, или персональных устройств. На изображении выше пример фрактальной антенны.Также в сфере сетевых технологий было проведено множество исследований показывающих самоподобие траффика передаваемого по разного рода сетям. Особенно это касается речевых, аудио и видео сервисов. Поэтому сейчас ведутся разработки и исследования возможности фрактального сжатия траффика передаваемого по сетям, с целью более эффективной передачи информации. 1.2Классификация фракталов Вообще фракталом называется предмет который обладает одним из указанных свойств:vОбладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом и есть отличие от регулярных фигур, таких как окружность или эллипс. Если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведет к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину. vЯвляется самоподобным или приближенно самоподобным. vОбладает дробной метрической размерностью. В основном фракталы классифицируют по трём видам:.Алгебраические фракталы .Геометрические фракталы .Стохастические фракталы Алгебраические фракталыАлгебраические фракталы - это самая крупная группа фракталов, получившая название за использование алгебраических формул. Методовполучения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом функция для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение: с течением времени она может стремиться к бесконечности; стремиться к 0; принимать несколько фиксированных значений и не выходить за их пределы. Поведение хаотично, без каких-либо тенденций. Таким образом было получено множество Мандельброта - фрактал, определённый, как множество точек С на комплексной плоскости. Бенуа Мандельброт предложил модель фрактала, которая стала классической и часто используется для демонстрации, как типичного примера самого фрактала, так и для демонстрации красоты фракталов, которая также привлекает исследователей, художников, просто интересующихся людей. Рис.1. Пример алгебраического фрактала. Геометрические фракталыФракталы этого класса самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность. В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а, точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора. Примерами таких кривых служат: кривая Коха (снежинка Коха), кривая Леви, кривая Минковского, кривая Пеано. Рис.2. Пример геометрического фрактала. Стохастические фракталыТипичный представитель данного класса фракталов "Плазма". Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. 1.3Виды фракталов Рассмотрим несколько распространённых видов фракталов.Решётка Серпинского.Это один из фракталов, с которыми экспериментировал Мандельброт, когда разрабатывал концепции фрактальных размерностей и итераций. Треугольники, сформированные соединением средних точек большего треугольника вырезаны из главного треугольника, образовывая треугольник, с большим количеством дырочек. В этом случае инициатор - большой треугольник а шаблон - операция вырезания треугольников, подобных большему. Так же можно получить и трехмерную версию треугольника, используя обыкновенный тетраэдр и вырезая маленькие тетраэдры. Размерность такого фрактала ln3/ln2 = 1.584962501. Рис.3. Решетка Серпинского. Треугольник Серпинского.Не перепутайте этот фрактал с решеткой Серпинского. Это два абсолютно разных объекта. В этом фрактале, инициатор и генератор одинаковы. При каждой итерации, добавляется уменьшенная копия инициатора к каждому углу генератора и так далее. Если при создании этого фрактала произвести бесконечное число итераций, он бы занял всю плоскость, не оставив ни одной дырочки. Поэтому его фрактальная размерность ln9/ln3 = 2.0. Рис.4. Треугольник Серпинского. Кривая Коха.Кривая Коха один из самых типичных детерминированных фракталов. Она была изобретена в 1904 году шведским математиком по имени Хельге фон Кох, который, изучая работы Георга Контора и Карла Вейерштрассе, натолкнулся на описания некоторых странных кривых с необычным поведением. Инициатор - прямая линия. Генератор - равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. Эти треугольники добавляются к середине каждого сегмента снова и снова. В своем исследовании, Мандельброт много экспериментировал с кривыми Коха, и получил фигуры такие как Острова Коха, Кресты Коха, Снежинки Коха и даже трехмерные представления кривой Коха, используя тетраэдр и прибавляя меньшие по размерам тетраэдры к каждой его грани. Кривая Коха имеет размерность ln4/ln3 = 1.261859507. Рис.5. Кривая Коха. Фрактал Мандельброта.Это НЕ множество Мандельброта, которое можно достаточно часто видеть. Множество Мандельброта основано на нелинейных уравнениях и является комплексным фракталом. Это тоже вариант кривой Коха несмотря на то, что этот объект не похож на нее. Инициатор и генератор так же отличны от использованных для создания фракталов, основанных на принципе кривой Коха, но идея остается той же. Вместо того, чтобы присоединять равносторонние треугольники к отрезку кривой, квадраты присоединяются к квадрату. Благодаря тому, что этот фрактал занимает точно половину отведенного пространства при каждой итерации, он имеет простую фрактальную размерность 3/2 = 1.5 Рис.6. Фрактал Мандельброта. Кривая Дракона.Изобретенная итальянским математиком Джузеппе Пеано, Кривая Дракона или Взмах Дракона, как он назвал его, очень похож на колбасу Минковского. Использован более простой инициатор, а генератор тот же самый. Мандельброт назвал этот фрактал Река Двойного Дракона. Его фрактальная размерность приблизительно равна 1.5236. Рис.7. Дракон Джузеппе Пеано. Множество Мандельброта.Множества Мандельброта и Жюлиа, вероятно, два наиболее распространенных среди сложных фракталов. Их можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Множество Мандельброта, которое было построено Бенуа Мандельбротом, наверное первая ассоциация, возникающая у людей, когда они слышат слово фрактал. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями, генерируется простой формулой Zn+1=Zna+C, где Z и C - комплексные числа и а - положительное число.Множество Мандельброта, которое чаще всего можно увидеть - это множество Мандельброта 2й степени, то есть а=2. Тот факт, что множество Мандельброта не только Zn+1=ZnІ+C, а фрактал, показатель в формуле которого может быть любым положительным числом ввел в заблуждение многих. На этой странице вы видите пример множества Мандельброта для различных значений показателя а.Также популярен процесс Z=Z*tg (Z+C). Благодаря включению функции тангенса, получается множество Мандельброта, окруженное областью, напоминающей яблоко. При использовании функции косинуса, получаются эффекты воздушных пузырьков. Короче говоря, существует бесконечное количество способов настройки множества Мандельброта для получения различных красивых картинок. Рис.8. Множество Мандельброта. Модель ДжулииМодель фрактала Джулии имеет то же уравнение, что и модель Мандельброта: Z=Z 2 +c, только здесь переменным параметром является не c , a z. Соответственно, меняется вся структура фрактала, так как теперь на начальное положение не накладывается никаких ограничений. Между моделями Мандельброта и Джулии существует такое различие: если модель Мандельброта является статической (так как z начальное всегда равно нулю), то модель Джулии является динамической моделью фрактала. Рис.9. Модель Джулии. 2. Постановка задачи Необходимо спроектировать и разработать программный продукт, при помощи которого возможно наглядно посмотреть изображения фрактальной графики. Программа должна позволять раскрыть сущность фрактала - многократное самоповторение (всего изображения или определённой его части). Интерфейс должен быть максимально понятным. Скорость работы должна быть такой, чтобы сбалансировать производительность и качество, то есть при данной скорости прорисовывается достаточно наглядное изображение. Необходима так же возможность сохранения фрактального изображения. Программа должна быть интуитивно понятной и "не отталкивать при первом взгляде". Возможностями программы должны быть доступны прорисовки алгебраического и геометрического фракталов. Рис.10. Схема работы программы. Работать мы будем в среде программирования PascalABC.NET, поговорим о ней подробнее. PascalABC.NET - это язык программирования Паскаль нового поколения, который включает в себя классический Паскаль, большинство возможностей языка Delphi , а также ряд собственных расширений. Он реализован на платформе Microsoft.NET и содержит все современные языковые средства такие как: классы , перегрузку операций , интерфейсы , обработку исключений , обобщенные классы и подпрограммы , сборку мусора , лямбда-выражения, средства параллельного программирования ..NET является мультипарадигменным языком: на нем можно программировать в структурном , объектно-ориентированном и функциональном стилях. Также это простая и мощная интегрированная среда разработки, поддерживающая технологию IntelliSense , содержащая средства автоформатирования, встроенный отладчик и встроенный дизайнер форм. Кроме того, консольный компилятор PascalABC.NET функционирует на Linux и MacOS под Mono .Среда PascalABC.NET проектируется как простая, но мощная оболочка, обеспечивающая подсветку синтаксиса, подсказку по коду (подсказка по точке, подсказка параметров подпрограмм, всплывающая подсказка по именам), форматирование текста программы по запросу, переход к определению и реализации подпрограммы, элементы рефакторинга. Она разрабатывается в большей степени с целью обучения программированию и содержит в своем составе ряд дополнительных модулей, предназначенных для обучения.Особенности:·доступ к существующим.NET библиотекам и возможность создания новых. В частности, существуют библиотеки для основных алгоритмов и структур данных. ·среда разработки, ориентированная на обучение: подсказки по коду, отладчик, автоформатирование кода и подсветка синтаксиса, простая навигация по коду и т.д. ·поддержка современных возможностей языков программирования: модули, классы, пространства имен, обработка исключений, сборка мусора и т.д. ·средства параллельного программирования (директивы OpenMP). ·обучающий инструментарий, сохранившийся с Pascal ABC: встроенный задачник, механизм проверяемых заданий, "исполнители" Робот и Чертежник и т.д. По функциональному назначению выделяется три области экрана:ØСтрока меню ØРабочая область ØСтрока состояния В рабочей области есть возможность открывать различные окна программы: окна редактируемого текста, окна помощи, отладки и настройки. Имя файла написано в заголовке окна. Строка состояния показывает некоторые доступные и важные в настоящее время операции и комбинации клавиш соответствующие им. Рис.11. Главное окно в PascalABC.NET Основные команды и горячие клавиши.Основные команды языка программирования Pascal и соответствующие им горячие клавиши:·Ctrl+F9 - запуск программы ·Alt+F5 - просмотр пользовательского экрана ·F2 - сохранение программы ·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·Компьютерные системы. Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. Достоинство фрактального сжатия изображений - очень маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки. Фрактально упакованные картинки можно масштабировать без появления пикселизации. Но процесс сжатия занимает продолжительное время и иногда длится часами. Алгоритм фрактальной упаковки с потерей качества позволяет задать степень сжатия, аналогично формату jpeg.В основе алгоритма лежит поиск больших кусков изображения подобных некоторым маленьким кусочкам. И в выходной файл записывается только какой кусочек какому подобен. При сжатии обычно используют квадратную сетку (кусочки - квадраты), что приводит к небольшой угловатости при восстановлении картинки, шестиугольная сетка лишена такого недостатка.·Механика жидкостей. Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать.При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени.Пористые материалы хорошо представляются в фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Это используется в нефтяной науке.·Телекоммуникации. В телекоммуникациях фракталы используются для создания фрактальных антенн. Фрактальные антенны - относительно новый класс электрически малых антенн (ЭМА), принципиально отличающийся своей геометрией от известных решений. По сути, традиционная эволюция антенн базировалась на евклидовой геометрии, оперирующей объектами целочисленной размерности (линия, круг, эллипс, параболоид и т. п.). Фрактальная антенны с удивительно компактным дизайном обеспечивает превосходную широкополосную производительность в маленьком форм-факторе. Достаточно компактны для установки или встраивания в различных местах, фрактальные антенны используются для морских, воздушных транспортных средств, или персональных устройств. На изображении выше пример фрактальной антенны.Также в сфере сетевых технологий было проведено множество исследований показывающих самоподобие траффика передаваемого по разного рода сетям. Особенно это касается речевых, аудио и видео сервисов. Поэтому сейчас ведутся разработки и исследования возможности фрактального сжатия траффика передаваемого по сетям, с целью более эффективной передачи информации. 1.2Классификация фракталов Вообще фракталом называется предмет который обладает одним из указанных свойств:vОбладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом и есть отличие от регулярных фигур, таких как окружность или эллипс. Если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведет к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину. vЯвляется самоподобным или приближенно самоподобным. vОбладает дробной метрической размерностью. В основном фракталы классифицируют по трём видам:.Алгебраические фракталы .Геометрические фракталы .Стохастические фракталы Алгебраические фракталыАлгебраические фракталы - это самая крупная группа фракталов, получившая название за использование алгебраических формул. Методовполучения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом функция для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение: с течением времени она может стремиться к бесконечности; стремиться к 0; принимать несколько фиксированных значений и не выходить за их пределы. Поведение хаотично, без каких-либо тенденций. Таким образом было получено множество Мандельброта - фрактал, определённый, как множество точек С на комплексной плоскости. Бенуа Мандельброт предложил модель фрактала, которая стала классической и часто используется для демонстрации, как типичного примера самого фрактала, так и для демонстрации красоты фракталов, которая также привлекает исследователей, художников, просто интересующихся людей. Рис.1. Пример алгебраического фрактала. Геометрические фракталыФракталы этого класса самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность. В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а, точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора. Примерами таких кривых служат: кривая Коха (снежинка Коха), кривая Леви, кривая Минковского, кривая Пеано. Рис.2. Пример геометрического фрактала. Стохастические фракталыТипичный представитель данного класса фракталов "Плазма". Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. 1.3Виды фракталов Рассмотрим несколько распространённых видов фракталов.Решётка Серпинского.Это один из фракталов, с которыми экспериментировал Мандельброт, когда разрабатывал концепции фрактальных размерностей и итераций. Треугольники, сформированные соединением средних точек большего треугольника вырезаны из главного треугольника, образовывая треугольник, с большим количеством дырочек. В этом случае инициатор - большой треугольник а шаблон - операция вырезания треугольников, подобных большему. Так же можно получить и трехмерную версию треугольника, используя обыкновенный тетраэдр и вырезая маленькие тетраэдры. Размерность такого фрактала ln3/ln2 = 1.584962501. Рис.3. Решетка Серпинского. Треугольник Серпинского.Не перепутайте этот фрактал с решеткой Серпинского. Это два абсолютно разных объекта. В этом фрактале, инициатор и генератор одинаковы. При каждой итерации, добавляется уменьшенная копия инициатора к каждому углу генератора и так далее. Если при создании этого фрактала произвести бесконечное число итераций, он бы занял всю плоскость, не оставив ни одной дырочки. Поэтому его фрактальная размерность ln9/ln3 = 2.0. Рис.4. Треугольник Серпинского. Кривая Коха.Кривая Коха один из самых типичных детерминированных фракталов. Она была изобретена в 1904 году шведским математиком по имени Хельге фон Кох, который, изучая работы Георга Контора и Карла Вейерштрассе, натолкнулся на описания некоторых странных кривых с необычным поведением. Инициатор - прямая линия. Генератор - равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. Эти треугольники добавляются к середине каждого сегмента снова и снова. В своем исследовании, Мандельброт много экспериментировал с кривыми Коха, и получил фигуры такие как Острова Коха, Кресты Коха, Снежинки Коха и даже трехмерные представления кривой Коха, используя тетраэдр и прибавляя меньшие по размерам тетраэдры к каждой его грани. Кривая Коха имеет размерность ln4/ln3 = 1.261859507. Рис.5. Кривая Коха. Фрактал Мандельброта.Это НЕ множество Мандельброта, которое можно достаточно часто видеть. Множество Мандельброта основано на нелинейных уравнениях и является комплексным фракталом. Это тоже вариант кривой Коха несмотря на то, что этот объект не похож на нее. Инициатор и генератор так же отличны от использованных для создания фракталов, основанных на принципе кривой Коха, но идея остается той же. Вместо того, чтобы присоединять равносторонние треугольники к отрезку кривой, квадраты присоединяются к квадрату. Благодаря тому, что этот фрактал занимает точно половину отведенного пространства при каждой итерации, он имеет простую фрактальную размерность 3/2 = 1.5 Рис.6. Фрактал Мандельброта. Кривая Дракона.Изобретенная итальянским математиком Джузеппе Пеано, Кривая Дракона или Взмах Дракона, как он назвал его, очень похож на колбасу Минковского. Использован более простой инициатор, а генератор тот же самый. Мандельброт назвал этот фрактал Река Двойного Дракона. Его фрактальная размерность приблизительно равна 1.5236. Рис.7. Дракон Джузеппе Пеано. Множество Мандельброта.Множества Мандельброта и Жюлиа, вероятно, два наиболее распространенных среди сложных фракталов. Их можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Множество Мандельброта, которое было построено Бенуа Мандельбротом, наверное первая ассоциация, возникающая у людей, когда они слышат слово фрактал. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями, генерируется простой формулой Zn+1=Zna+C, где Z и C - комплексные числа и а - положительное число.Множество Мандельброта, которое чаще всего можно увидеть - это множество Мандельброта 2й степени, то есть а=2. Тот факт, что множество Мандельброта не только Zn+1=ZnІ+C, а фрактал, показатель в формуле которого может быть любым положительным числом ввел в заблуждение многих. На этой странице вы видите пример множества Мандельброта для различных значений показателя а.Также популярен процесс Z=Z*tg (Z+C). Благодаря включению функции тангенса, получается множество Мандельброта, окруженное областью, напоминающей яблоко. При использовании функции косинуса, получаются эффекты воздушных пузырьков. Короче говоря, существует бесконечное количество способов настройки множества Мандельброта для получения различных красивых картинок. Рис.8. Множество Мандельброта. Модель ДжулииМодель фрактала Джулии имеет то же уравнение, что и модель Мандельброта: Z=Z 2 +c, только здесь переменным параметром является не c , a z. Соответственно, меняется вся структура фрактала, так как теперь на начальное положение не накладывается никаких ограничений. Между моделями Мандельброта и Джулии существует такое различие: если модель Мандельброта является статической (так как z начальное всегда равно нулю), то модель Джулии является динамической моделью фрактала. Рис.9. Модель Джулии. 2. Постановка задачи Необходимо спроектировать и разработать программный продукт, при помощи которого возможно наглядно посмотреть изображения фрактальной графики. Программа должна позволять раскрыть сущность фрактала - многократное самоповторение (всего изображения или определённой его части). Интерфейс должен быть максимально понятным. Скорость работы должна быть такой, чтобы сбалансировать производительность и качество, то есть при данной скорости прорисовывается достаточно наглядное изображение. Необходима так же возможность сохранения фрактального изображения. Программа должна быть интуитивно понятной и "не отталкивать при первом взгляде". Возможностями программы должны быть доступны прорисовки алгебраического и геометрического фракталов. Рис.10. Схема работы программы. Работать мы будем в среде программирования PascalABC.NET, поговорим о ней подробнее. PascalABC.NET - это язык программирования Паскаль нового поколения, который включает в себя классический Паскаль, большинство возможностей языка Delphi , а также ряд собственных расширений. Он реализован на платформе Microsoft.NET и содержит все современные языковые средства такие как: классы , перегрузку операций , интерфейсы , обработку исключений , обобщенные классы и подпрограммы , сборку мусора , лямбда-выражения, средства параллельного программирования ..NET является мультипарадигменным языком: на нем можно программировать в структурном , объектно-ориентированном и функциональном стилях. Также это простая и мощная интегрированная среда разработки, поддерживающая технологию IntelliSense , содержащая средства автоформатирования, встроенный отладчик и встроенный дизайнер форм. Кроме того, консольный компилятор PascalABC.NET функционирует на Linux и MacOS под Mono .Среда PascalABC.NET проектируется как простая, но мощная оболочка, обеспечивающая подсветку синтаксиса, подсказку по коду (подсказка по точке, подсказка параметров подпрограмм, всплывающая подсказка по именам), форматирование текста программы по запросу, переход к определению и реализации подпрограммы, элементы рефакторинга. Она разрабатывается в большей степени с целью обучения программированию и содержит в своем составе ряд дополнительных модулей, предназначенных для обучения.Особенности:·доступ к существующим.NET библиотекам и возможность создания новых. В частности, существуют библиотеки для основных алгоритмов и структур данных. ·среда разработки, ориентированная на обучение: подсказки по коду, отладчик, автоформатирование кода и подсветка синтаксиса, простая навигация по коду и т.д. ·поддержка современных возможностей языков программирования: модули, классы, пространства имен, обработка исключений, сборка мусора и т.д. ·средства параллельного программирования (директивы OpenMP). ·обучающий инструментарий, сохранившийся с Pascal ABC: встроенный задачник, механизм проверяемых заданий, "исполнители" Робот и Чертежник и т.д. По функциональному назначению выделяется три области экрана:ØСтрока меню ØРабочая область ØСтрока состояния В рабочей области есть возможность открывать различные окна программы: окна редактируемого текста, окна помощи, отладки и настройки. Имя файла написано в заголовке окна. Строка состояния показывает некоторые доступные и важные в настоящее время операции и комбинации клавиш соответствующие им. Рис.11. Главное окно в PascalABC.NET Основные команды и горячие клавиши.Основные команды языка программирования Pascal и соответствующие им горячие клавиши:·Ctrl+F9 - запуск программы ·Alt+F5 - просмотр пользовательского экрана ·F2 - сохранение программы ·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. Достоинство фрактального сжатия изображений - очень маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки. Фрактально упакованные картинки можно масштабировать без появления пикселизации. Но процесс сжатия занимает продолжительное время и иногда длится часами. Алгоритм фрактальной упаковки с потерей качества позволяет задать степень сжатия, аналогично формату jpeg.
В основе алгоритма лежит поиск больших кусков изображения подобных некоторым маленьким кусочкам. И в выходной файл записывается только какой кусочек какому подобен. При сжатии обычно используют квадратную сетку (кусочки - квадраты), что приводит к небольшой угловатости при восстановлении картинки, шестиугольная сетка лишена такого недостатка.
·Механика жидкостей. Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать.При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени.Пористые материалы хорошо представляются в фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Это используется в нефтяной науке.·Телекоммуникации. В телекоммуникациях фракталы используются для создания фрактальных антенн. Фрактальные антенны - относительно новый класс электрически малых антенн (ЭМА), принципиально отличающийся своей геометрией от известных решений. По сути, традиционная эволюция антенн базировалась на евклидовой геометрии, оперирующей объектами целочисленной размерности (линия, круг, эллипс, параболоид и т. п.). Фрактальная антенны с удивительно компактным дизайном обеспечивает превосходную широкополосную производительность в маленьком форм-факторе. Достаточно компактны для установки или встраивания в различных местах, фрактальные антенны используются для морских, воздушных транспортных средств, или персональных устройств. На изображении выше пример фрактальной антенны.Также в сфере сетевых технологий было проведено множество исследований показывающих самоподобие траффика передаваемого по разного рода сетям. Особенно это касается речевых, аудио и видео сервисов. Поэтому сейчас ведутся разработки и исследования возможности фрактального сжатия траффика передаваемого по сетям, с целью более эффективной передачи информации. 1.2Классификация фракталов Вообще фракталом называется предмет который обладает одним из указанных свойств:vОбладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом и есть отличие от регулярных фигур, таких как окружность или эллипс. Если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведет к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину. vЯвляется самоподобным или приближенно самоподобным. vОбладает дробной метрической размерностью. В основном фракталы классифицируют по трём видам:.Алгебраические фракталы .Геометрические фракталы .Стохастические фракталы Алгебраические фракталыАлгебраические фракталы - это самая крупная группа фракталов, получившая название за использование алгебраических формул. Методовполучения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом функция для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение: с течением времени она может стремиться к бесконечности; стремиться к 0; принимать несколько фиксированных значений и не выходить за их пределы. Поведение хаотично, без каких-либо тенденций. Таким образом было получено множество Мандельброта - фрактал, определённый, как множество точек С на комплексной плоскости. Бенуа Мандельброт предложил модель фрактала, которая стала классической и часто используется для демонстрации, как типичного примера самого фрактала, так и для демонстрации красоты фракталов, которая также привлекает исследователей, художников, просто интересующихся людей. Рис.1. Пример алгебраического фрактала. Геометрические фракталыФракталы этого класса самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность. В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а, точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора. Примерами таких кривых служат: кривая Коха (снежинка Коха), кривая Леви, кривая Минковского, кривая Пеано. Рис.2. Пример геометрического фрактала. Стохастические фракталыТипичный представитель данного класса фракталов "Плазма". Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. 1.3Виды фракталов Рассмотрим несколько распространённых видов фракталов.Решётка Серпинского.Это один из фракталов, с которыми экспериментировал Мандельброт, когда разрабатывал концепции фрактальных размерностей и итераций. Треугольники, сформированные соединением средних точек большего треугольника вырезаны из главного треугольника, образовывая треугольник, с большим количеством дырочек. В этом случае инициатор - большой треугольник а шаблон - операция вырезания треугольников, подобных большему. Так же можно получить и трехмерную версию треугольника, используя обыкновенный тетраэдр и вырезая маленькие тетраэдры. Размерность такого фрактала ln3/ln2 = 1.584962501. Рис.3. Решетка Серпинского. Треугольник Серпинского.Не перепутайте этот фрактал с решеткой Серпинского. Это два абсолютно разных объекта. В этом фрактале, инициатор и генератор одинаковы. При каждой итерации, добавляется уменьшенная копия инициатора к каждому углу генератора и так далее. Если при создании этого фрактала произвести бесконечное число итераций, он бы занял всю плоскость, не оставив ни одной дырочки. Поэтому его фрактальная размерность ln9/ln3 = 2.0. Рис.4. Треугольник Серпинского. Кривая Коха.Кривая Коха один из самых типичных детерминированных фракталов. Она была изобретена в 1904 году шведским математиком по имени Хельге фон Кох, который, изучая работы Георга Контора и Карла Вейерштрассе, натолкнулся на описания некоторых странных кривых с необычным поведением. Инициатор - прямая линия. Генератор - равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. Эти треугольники добавляются к середине каждого сегмента снова и снова. В своем исследовании, Мандельброт много экспериментировал с кривыми Коха, и получил фигуры такие как Острова Коха, Кресты Коха, Снежинки Коха и даже трехмерные представления кривой Коха, используя тетраэдр и прибавляя меньшие по размерам тетраэдры к каждой его грани. Кривая Коха имеет размерность ln4/ln3 = 1.261859507. Рис.5. Кривая Коха. Фрактал Мандельброта.Это НЕ множество Мандельброта, которое можно достаточно часто видеть. Множество Мандельброта основано на нелинейных уравнениях и является комплексным фракталом. Это тоже вариант кривой Коха несмотря на то, что этот объект не похож на нее. Инициатор и генератор так же отличны от использованных для создания фракталов, основанных на принципе кривой Коха, но идея остается той же. Вместо того, чтобы присоединять равносторонние треугольники к отрезку кривой, квадраты присоединяются к квадрату. Благодаря тому, что этот фрактал занимает точно половину отведенного пространства при каждой итерации, он имеет простую фрактальную размерность 3/2 = 1.5 Рис.6. Фрактал Мандельброта. Кривая Дракона.Изобретенная итальянским математиком Джузеппе Пеано, Кривая Дракона или Взмах Дракона, как он назвал его, очень похож на колбасу Минковского. Использован более простой инициатор, а генератор тот же самый. Мандельброт назвал этот фрактал Река Двойного Дракона. Его фрактальная размерность приблизительно равна 1.5236. Рис.7. Дракон Джузеппе Пеано. Множество Мандельброта.Множества Мандельброта и Жюлиа, вероятно, два наиболее распространенных среди сложных фракталов. Их можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Множество Мандельброта, которое было построено Бенуа Мандельбротом, наверное первая ассоциация, возникающая у людей, когда они слышат слово фрактал. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями, генерируется простой формулой Zn+1=Zna+C, где Z и C - комплексные числа и а - положительное число.Множество Мандельброта, которое чаще всего можно увидеть - это множество Мандельброта 2й степени, то есть а=2. Тот факт, что множество Мандельброта не только Zn+1=ZnІ+C, а фрактал, показатель в формуле которого может быть любым положительным числом ввел в заблуждение многих. На этой странице вы видите пример множества Мандельброта для различных значений показателя а.Также популярен процесс Z=Z*tg (Z+C). Благодаря включению функции тангенса, получается множество Мандельброта, окруженное областью, напоминающей яблоко. При использовании функции косинуса, получаются эффекты воздушных пузырьков. Короче говоря, существует бесконечное количество способов настройки множества Мандельброта для получения различных красивых картинок. Рис.8. Множество Мандельброта. Модель ДжулииМодель фрактала Джулии имеет то же уравнение, что и модель Мандельброта: Z=Z 2 +c, только здесь переменным параметром является не c , a z. Соответственно, меняется вся структура фрактала, так как теперь на начальное положение не накладывается никаких ограничений. Между моделями Мандельброта и Джулии существует такое различие: если модель Мандельброта является статической (так как z начальное всегда равно нулю), то модель Джулии является динамической моделью фрактала. Рис.9. Модель Джулии. 2. Постановка задачи Необходимо спроектировать и разработать программный продукт, при помощи которого возможно наглядно посмотреть изображения фрактальной графики. Программа должна позволять раскрыть сущность фрактала - многократное самоповторение (всего изображения или определённой его части). Интерфейс должен быть максимально понятным. Скорость работы должна быть такой, чтобы сбалансировать производительность и качество, то есть при данной скорости прорисовывается достаточно наглядное изображение. Необходима так же возможность сохранения фрактального изображения. Программа должна быть интуитивно понятной и "не отталкивать при первом взгляде". Возможностями программы должны быть доступны прорисовки алгебраического и геометрического фракталов. Рис.10. Схема работы программы. Работать мы будем в среде программирования PascalABC.NET, поговорим о ней подробнее. PascalABC.NET - это язык программирования Паскаль нового поколения, который включает в себя классический Паскаль, большинство возможностей языка Delphi , а также ряд собственных расширений. Он реализован на платформе Microsoft.NET и содержит все современные языковые средства такие как: классы , перегрузку операций , интерфейсы , обработку исключений , обобщенные классы и подпрограммы , сборку мусора , лямбда-выражения, средства параллельного программирования ..NET является мультипарадигменным языком: на нем можно программировать в структурном , объектно-ориентированном и функциональном стилях. Также это простая и мощная интегрированная среда разработки, поддерживающая технологию IntelliSense , содержащая средства автоформатирования, встроенный отладчик и встроенный дизайнер форм. Кроме того, консольный компилятор PascalABC.NET функционирует на Linux и MacOS под Mono .Среда PascalABC.NET проектируется как простая, но мощная оболочка, обеспечивающая подсветку синтаксиса, подсказку по коду (подсказка по точке, подсказка параметров подпрограмм, всплывающая подсказка по именам), форматирование текста программы по запросу, переход к определению и реализации подпрограммы, элементы рефакторинга. Она разрабатывается в большей степени с целью обучения программированию и содержит в своем составе ряд дополнительных модулей, предназначенных для обучения.Особенности:·доступ к существующим.NET библиотекам и возможность создания новых. В частности, существуют библиотеки для основных алгоритмов и структур данных. ·среда разработки, ориентированная на обучение: подсказки по коду, отладчик, автоформатирование кода и подсветка синтаксиса, простая навигация по коду и т.д. ·поддержка современных возможностей языков программирования: модули, классы, пространства имен, обработка исключений, сборка мусора и т.д. ·средства параллельного программирования (директивы OpenMP). ·обучающий инструментарий, сохранившийся с Pascal ABC: встроенный задачник, механизм проверяемых заданий, "исполнители" Робот и Чертежник и т.д. По функциональному назначению выделяется три области экрана:ØСтрока меню ØРабочая область ØСтрока состояния В рабочей области есть возможность открывать различные окна программы: окна редактируемого текста, окна помощи, отладки и настройки. Имя файла написано в заголовке окна. Строка состояния показывает некоторые доступные и важные в настоящее время операции и комбинации клавиш соответствующие им. Рис.11. Главное окно в PascalABC.NET Основные команды и горячие клавиши.Основные команды языка программирования Pascal и соответствующие им горячие клавиши:·Ctrl+F9 - запуск программы ·Alt+F5 - просмотр пользовательского экрана ·F2 - сохранение программы ·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать.
При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени.
Пористые материалы хорошо представляются в фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Это используется в нефтяной науке.
·Телекоммуникации. В телекоммуникациях фракталы используются для создания фрактальных антенн. Фрактальные антенны - относительно новый класс электрически малых антенн (ЭМА), принципиально отличающийся своей геометрией от известных решений. По сути, традиционная эволюция антенн базировалась на евклидовой геометрии, оперирующей объектами целочисленной размерности (линия, круг, эллипс, параболоид и т. п.). Фрактальная антенны с удивительно компактным дизайном обеспечивает превосходную широкополосную производительность в маленьком форм-факторе. Достаточно компактны для установки или встраивания в различных местах, фрактальные антенны используются для морских, воздушных транспортных средств, или персональных устройств. На изображении выше пример фрактальной антенны.Также в сфере сетевых технологий было проведено множество исследований показывающих самоподобие траффика передаваемого по разного рода сетям. Особенно это касается речевых, аудио и видео сервисов. Поэтому сейчас ведутся разработки и исследования возможности фрактального сжатия траффика передаваемого по сетям, с целью более эффективной передачи информации. 1.2Классификация фракталов Вообще фракталом называется предмет который обладает одним из указанных свойств:vОбладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом и есть отличие от регулярных фигур, таких как окружность или эллипс. Если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведет к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину. vЯвляется самоподобным или приближенно самоподобным. vОбладает дробной метрической размерностью. В основном фракталы классифицируют по трём видам:.Алгебраические фракталы .Геометрические фракталы .Стохастические фракталы Алгебраические фракталыАлгебраические фракталы - это самая крупная группа фракталов, получившая название за использование алгебраических формул. Методовполучения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом функция для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение: с течением времени она может стремиться к бесконечности; стремиться к 0; принимать несколько фиксированных значений и не выходить за их пределы. Поведение хаотично, без каких-либо тенденций. Таким образом было получено множество Мандельброта - фрактал, определённый, как множество точек С на комплексной плоскости. Бенуа Мандельброт предложил модель фрактала, которая стала классической и часто используется для демонстрации, как типичного примера самого фрактала, так и для демонстрации красоты фракталов, которая также привлекает исследователей, художников, просто интересующихся людей. Рис.1. Пример алгебраического фрактала. Геометрические фракталыФракталы этого класса самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность. В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а, точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора. Примерами таких кривых служат: кривая Коха (снежинка Коха), кривая Леви, кривая Минковского, кривая Пеано. Рис.2. Пример геометрического фрактала. Стохастические фракталыТипичный представитель данного класса фракталов "Плазма". Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. 1.3Виды фракталов Рассмотрим несколько распространённых видов фракталов.Решётка Серпинского.Это один из фракталов, с которыми экспериментировал Мандельброт, когда разрабатывал концепции фрактальных размерностей и итераций. Треугольники, сформированные соединением средних точек большего треугольника вырезаны из главного треугольника, образовывая треугольник, с большим количеством дырочек. В этом случае инициатор - большой треугольник а шаблон - операция вырезания треугольников, подобных большему. Так же можно получить и трехмерную версию треугольника, используя обыкновенный тетраэдр и вырезая маленькие тетраэдры. Размерность такого фрактала ln3/ln2 = 1.584962501. Рис.3. Решетка Серпинского. Треугольник Серпинского.Не перепутайте этот фрактал с решеткой Серпинского. Это два абсолютно разных объекта. В этом фрактале, инициатор и генератор одинаковы. При каждой итерации, добавляется уменьшенная копия инициатора к каждому углу генератора и так далее. Если при создании этого фрактала произвести бесконечное число итераций, он бы занял всю плоскость, не оставив ни одной дырочки. Поэтому его фрактальная размерность ln9/ln3 = 2.0. Рис.4. Треугольник Серпинского. Кривая Коха.Кривая Коха один из самых типичных детерминированных фракталов. Она была изобретена в 1904 году шведским математиком по имени Хельге фон Кох, который, изучая работы Георга Контора и Карла Вейерштрассе, натолкнулся на описания некоторых странных кривых с необычным поведением. Инициатор - прямая линия. Генератор - равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. Эти треугольники добавляются к середине каждого сегмента снова и снова. В своем исследовании, Мандельброт много экспериментировал с кривыми Коха, и получил фигуры такие как Острова Коха, Кресты Коха, Снежинки Коха и даже трехмерные представления кривой Коха, используя тетраэдр и прибавляя меньшие по размерам тетраэдры к каждой его грани. Кривая Коха имеет размерность ln4/ln3 = 1.261859507. Рис.5. Кривая Коха. Фрактал Мандельброта.Это НЕ множество Мандельброта, которое можно достаточно часто видеть. Множество Мандельброта основано на нелинейных уравнениях и является комплексным фракталом. Это тоже вариант кривой Коха несмотря на то, что этот объект не похож на нее. Инициатор и генератор так же отличны от использованных для создания фракталов, основанных на принципе кривой Коха, но идея остается той же. Вместо того, чтобы присоединять равносторонние треугольники к отрезку кривой, квадраты присоединяются к квадрату. Благодаря тому, что этот фрактал занимает точно половину отведенного пространства при каждой итерации, он имеет простую фрактальную размерность 3/2 = 1.5 Рис.6. Фрактал Мандельброта. Кривая Дракона.Изобретенная итальянским математиком Джузеппе Пеано, Кривая Дракона или Взмах Дракона, как он назвал его, очень похож на колбасу Минковского. Использован более простой инициатор, а генератор тот же самый. Мандельброт назвал этот фрактал Река Двойного Дракона. Его фрактальная размерность приблизительно равна 1.5236. Рис.7. Дракон Джузеппе Пеано. Множество Мандельброта.Множества Мандельброта и Жюлиа, вероятно, два наиболее распространенных среди сложных фракталов. Их можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Множество Мандельброта, которое было построено Бенуа Мандельбротом, наверное первая ассоциация, возникающая у людей, когда они слышат слово фрактал. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями, генерируется простой формулой Zn+1=Zna+C, где Z и C - комплексные числа и а - положительное число.Множество Мандельброта, которое чаще всего можно увидеть - это множество Мандельброта 2й степени, то есть а=2. Тот факт, что множество Мандельброта не только Zn+1=ZnІ+C, а фрактал, показатель в формуле которого может быть любым положительным числом ввел в заблуждение многих. На этой странице вы видите пример множества Мандельброта для различных значений показателя а.Также популярен процесс Z=Z*tg (Z+C). Благодаря включению функции тангенса, получается множество Мандельброта, окруженное областью, напоминающей яблоко. При использовании функции косинуса, получаются эффекты воздушных пузырьков. Короче говоря, существует бесконечное количество способов настройки множества Мандельброта для получения различных красивых картинок. Рис.8. Множество Мандельброта. Модель ДжулииМодель фрактала Джулии имеет то же уравнение, что и модель Мандельброта: Z=Z 2 +c, только здесь переменным параметром является не c , a z. Соответственно, меняется вся структура фрактала, так как теперь на начальное положение не накладывается никаких ограничений. Между моделями Мандельброта и Джулии существует такое различие: если модель Мандельброта является статической (так как z начальное всегда равно нулю), то модель Джулии является динамической моделью фрактала. Рис.9. Модель Джулии. 2. Постановка задачи Необходимо спроектировать и разработать программный продукт, при помощи которого возможно наглядно посмотреть изображения фрактальной графики. Программа должна позволять раскрыть сущность фрактала - многократное самоповторение (всего изображения или определённой его части). Интерфейс должен быть максимально понятным. Скорость работы должна быть такой, чтобы сбалансировать производительность и качество, то есть при данной скорости прорисовывается достаточно наглядное изображение. Необходима так же возможность сохранения фрактального изображения. Программа должна быть интуитивно понятной и "не отталкивать при первом взгляде". Возможностями программы должны быть доступны прорисовки алгебраического и геометрического фракталов. Рис.10. Схема работы программы. Работать мы будем в среде программирования PascalABC.NET, поговорим о ней подробнее. PascalABC.NET - это язык программирования Паскаль нового поколения, который включает в себя классический Паскаль, большинство возможностей языка Delphi , а также ряд собственных расширений. Он реализован на платформе Microsoft.NET и содержит все современные языковые средства такие как: классы , перегрузку операций , интерфейсы , обработку исключений , обобщенные классы и подпрограммы , сборку мусора , лямбда-выражения, средства параллельного программирования ..NET является мультипарадигменным языком: на нем можно программировать в структурном , объектно-ориентированном и функциональном стилях. Также это простая и мощная интегрированная среда разработки, поддерживающая технологию IntelliSense , содержащая средства автоформатирования, встроенный отладчик и встроенный дизайнер форм. Кроме того, консольный компилятор PascalABC.NET функционирует на Linux и MacOS под Mono .Среда PascalABC.NET проектируется как простая, но мощная оболочка, обеспечивающая подсветку синтаксиса, подсказку по коду (подсказка по точке, подсказка параметров подпрограмм, всплывающая подсказка по именам), форматирование текста программы по запросу, переход к определению и реализации подпрограммы, элементы рефакторинга. Она разрабатывается в большей степени с целью обучения программированию и содержит в своем составе ряд дополнительных модулей, предназначенных для обучения.Особенности:·доступ к существующим.NET библиотекам и возможность создания новых. В частности, существуют библиотеки для основных алгоритмов и структур данных. ·среда разработки, ориентированная на обучение: подсказки по коду, отладчик, автоформатирование кода и подсветка синтаксиса, простая навигация по коду и т.д. ·поддержка современных возможностей языков программирования: модули, классы, пространства имен, обработка исключений, сборка мусора и т.д. ·средства параллельного программирования (директивы OpenMP). ·обучающий инструментарий, сохранившийся с Pascal ABC: встроенный задачник, механизм проверяемых заданий, "исполнители" Робот и Чертежник и т.д. По функциональному назначению выделяется три области экрана:ØСтрока меню ØРабочая область ØСтрока состояния В рабочей области есть возможность открывать различные окна программы: окна редактируемого текста, окна помощи, отладки и настройки. Имя файла написано в заголовке окна. Строка состояния показывает некоторые доступные и важные в настоящее время операции и комбинации клавиш соответствующие им. Рис.11. Главное окно в PascalABC.NET Основные команды и горячие клавиши.Основные команды языка программирования Pascal и соответствующие им горячие клавиши:·Ctrl+F9 - запуск программы ·Alt+F5 - просмотр пользовательского экрана ·F2 - сохранение программы ·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
В телекоммуникациях фракталы используются для создания фрактальных антенн. Фрактальные антенны - относительно новый класс электрически малых антенн (ЭМА), принципиально отличающийся своей геометрией от известных решений. По сути, традиционная эволюция антенн базировалась на евклидовой геометрии, оперирующей объектами целочисленной размерности (линия, круг, эллипс, параболоид и т. п.). Фрактальная антенны с удивительно компактным дизайном обеспечивает превосходную широкополосную производительность в маленьком форм-факторе. Достаточно компактны для установки или встраивания в различных местах, фрактальные антенны используются для морских, воздушных транспортных средств, или персональных устройств. На изображении выше пример фрактальной антенны.
Также в сфере сетевых технологий было проведено множество исследований показывающих самоподобие траффика передаваемого по разного рода сетям. Особенно это касается речевых, аудио и видео сервисов. Поэтому сейчас ведутся разработки и исследования возможности фрактального сжатия траффика передаваемого по сетям, с целью более эффективной передачи информации.
1.2Классификация фракталов Вообще фракталом называется предмет который обладает одним из указанных свойств:vОбладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом и есть отличие от регулярных фигур, таких как окружность или эллипс. Если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведет к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину. vЯвляется самоподобным или приближенно самоподобным. vОбладает дробной метрической размерностью. В основном фракталы классифицируют по трём видам:.Алгебраические фракталы .Геометрические фракталы .Стохастические фракталы Алгебраические фракталыАлгебраические фракталы - это самая крупная группа фракталов, получившая название за использование алгебраических формул. Методовполучения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом функция для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение: с течением времени она может стремиться к бесконечности; стремиться к 0; принимать несколько фиксированных значений и не выходить за их пределы. Поведение хаотично, без каких-либо тенденций. Таким образом было получено множество Мандельброта - фрактал, определённый, как множество точек С на комплексной плоскости. Бенуа Мандельброт предложил модель фрактала, которая стала классической и часто используется для демонстрации, как типичного примера самого фрактала, так и для демонстрации красоты фракталов, которая также привлекает исследователей, художников, просто интересующихся людей. Рис.1. Пример алгебраического фрактала. Геометрические фракталыФракталы этого класса самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность. В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а, точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора. Примерами таких кривых служат: кривая Коха (снежинка Коха), кривая Леви, кривая Минковского, кривая Пеано. Рис.2. Пример геометрического фрактала. Стохастические фракталыТипичный представитель данного класса фракталов "Плазма". Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. 1.3Виды фракталов Рассмотрим несколько распространённых видов фракталов.Решётка Серпинского.Это один из фракталов, с которыми экспериментировал Мандельброт, когда разрабатывал концепции фрактальных размерностей и итераций. Треугольники, сформированные соединением средних точек большего треугольника вырезаны из главного треугольника, образовывая треугольник, с большим количеством дырочек. В этом случае инициатор - большой треугольник а шаблон - операция вырезания треугольников, подобных большему. Так же можно получить и трехмерную версию треугольника, используя обыкновенный тетраэдр и вырезая маленькие тетраэдры. Размерность такого фрактала ln3/ln2 = 1.584962501. Рис.3. Решетка Серпинского. Треугольник Серпинского.Не перепутайте этот фрактал с решеткой Серпинского. Это два абсолютно разных объекта. В этом фрактале, инициатор и генератор одинаковы. При каждой итерации, добавляется уменьшенная копия инициатора к каждому углу генератора и так далее. Если при создании этого фрактала произвести бесконечное число итераций, он бы занял всю плоскость, не оставив ни одной дырочки. Поэтому его фрактальная размерность ln9/ln3 = 2.0. Рис.4. Треугольник Серпинского. Кривая Коха.Кривая Коха один из самых типичных детерминированных фракталов. Она была изобретена в 1904 году шведским математиком по имени Хельге фон Кох, который, изучая работы Георга Контора и Карла Вейерштрассе, натолкнулся на описания некоторых странных кривых с необычным поведением. Инициатор - прямая линия. Генератор - равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. Эти треугольники добавляются к середине каждого сегмента снова и снова. В своем исследовании, Мандельброт много экспериментировал с кривыми Коха, и получил фигуры такие как Острова Коха, Кресты Коха, Снежинки Коха и даже трехмерные представления кривой Коха, используя тетраэдр и прибавляя меньшие по размерам тетраэдры к каждой его грани. Кривая Коха имеет размерность ln4/ln3 = 1.261859507. Рис.5. Кривая Коха. Фрактал Мандельброта.Это НЕ множество Мандельброта, которое можно достаточно часто видеть. Множество Мандельброта основано на нелинейных уравнениях и является комплексным фракталом. Это тоже вариант кривой Коха несмотря на то, что этот объект не похож на нее. Инициатор и генератор так же отличны от использованных для создания фракталов, основанных на принципе кривой Коха, но идея остается той же. Вместо того, чтобы присоединять равносторонние треугольники к отрезку кривой, квадраты присоединяются к квадрату. Благодаря тому, что этот фрактал занимает точно половину отведенного пространства при каждой итерации, он имеет простую фрактальную размерность 3/2 = 1.5 Рис.6. Фрактал Мандельброта. Кривая Дракона.Изобретенная итальянским математиком Джузеппе Пеано, Кривая Дракона или Взмах Дракона, как он назвал его, очень похож на колбасу Минковского. Использован более простой инициатор, а генератор тот же самый. Мандельброт назвал этот фрактал Река Двойного Дракона. Его фрактальная размерность приблизительно равна 1.5236. Рис.7. Дракон Джузеппе Пеано. Множество Мандельброта.Множества Мандельброта и Жюлиа, вероятно, два наиболее распространенных среди сложных фракталов. Их можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Множество Мандельброта, которое было построено Бенуа Мандельбротом, наверное первая ассоциация, возникающая у людей, когда они слышат слово фрактал. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями, генерируется простой формулой Zn+1=Zna+C, где Z и C - комплексные числа и а - положительное число.Множество Мандельброта, которое чаще всего можно увидеть - это множество Мандельброта 2й степени, то есть а=2. Тот факт, что множество Мандельброта не только Zn+1=ZnІ+C, а фрактал, показатель в формуле которого может быть любым положительным числом ввел в заблуждение многих. На этой странице вы видите пример множества Мандельброта для различных значений показателя а.Также популярен процесс Z=Z*tg (Z+C). Благодаря включению функции тангенса, получается множество Мандельброта, окруженное областью, напоминающей яблоко. При использовании функции косинуса, получаются эффекты воздушных пузырьков. Короче говоря, существует бесконечное количество способов настройки множества Мандельброта для получения различных красивых картинок. Рис.8. Множество Мандельброта. Модель ДжулииМодель фрактала Джулии имеет то же уравнение, что и модель Мандельброта: Z=Z 2 +c, только здесь переменным параметром является не c , a z. Соответственно, меняется вся структура фрактала, так как теперь на начальное положение не накладывается никаких ограничений. Между моделями Мандельброта и Джулии существует такое различие: если модель Мандельброта является статической (так как z начальное всегда равно нулю), то модель Джулии является динамической моделью фрактала. Рис.9. Модель Джулии. 2. Постановка задачи Необходимо спроектировать и разработать программный продукт, при помощи которого возможно наглядно посмотреть изображения фрактальной графики. Программа должна позволять раскрыть сущность фрактала - многократное самоповторение (всего изображения или определённой его части). Интерфейс должен быть максимально понятным. Скорость работы должна быть такой, чтобы сбалансировать производительность и качество, то есть при данной скорости прорисовывается достаточно наглядное изображение. Необходима так же возможность сохранения фрактального изображения. Программа должна быть интуитивно понятной и "не отталкивать при первом взгляде". Возможностями программы должны быть доступны прорисовки алгебраического и геометрического фракталов. Рис.10. Схема работы программы. Работать мы будем в среде программирования PascalABC.NET, поговорим о ней подробнее. PascalABC.NET - это язык программирования Паскаль нового поколения, который включает в себя классический Паскаль, большинство возможностей языка Delphi , а также ряд собственных расширений. Он реализован на платформе Microsoft.NET и содержит все современные языковые средства такие как: классы , перегрузку операций , интерфейсы , обработку исключений , обобщенные классы и подпрограммы , сборку мусора , лямбда-выражения, средства параллельного программирования ..NET является мультипарадигменным языком: на нем можно программировать в структурном , объектно-ориентированном и функциональном стилях. Также это простая и мощная интегрированная среда разработки, поддерживающая технологию IntelliSense , содержащая средства автоформатирования, встроенный отладчик и встроенный дизайнер форм. Кроме того, консольный компилятор PascalABC.NET функционирует на Linux и MacOS под Mono .Среда PascalABC.NET проектируется как простая, но мощная оболочка, обеспечивающая подсветку синтаксиса, подсказку по коду (подсказка по точке, подсказка параметров подпрограмм, всплывающая подсказка по именам), форматирование текста программы по запросу, переход к определению и реализации подпрограммы, элементы рефакторинга. Она разрабатывается в большей степени с целью обучения программированию и содержит в своем составе ряд дополнительных модулей, предназначенных для обучения.Особенности:·доступ к существующим.NET библиотекам и возможность создания новых. В частности, существуют библиотеки для основных алгоритмов и структур данных. ·среда разработки, ориентированная на обучение: подсказки по коду, отладчик, автоформатирование кода и подсветка синтаксиса, простая навигация по коду и т.д. ·поддержка современных возможностей языков программирования: модули, классы, пространства имен, обработка исключений, сборка мусора и т.д. ·средства параллельного программирования (директивы OpenMP). ·обучающий инструментарий, сохранившийся с Pascal ABC: встроенный задачник, механизм проверяемых заданий, "исполнители" Робот и Чертежник и т.д. По функциональному назначению выделяется три области экрана:ØСтрока меню ØРабочая область ØСтрока состояния В рабочей области есть возможность открывать различные окна программы: окна редактируемого текста, окна помощи, отладки и настройки. Имя файла написано в заголовке окна. Строка состояния показывает некоторые доступные и важные в настоящее время операции и комбинации клавиш соответствующие им. Рис.11. Главное окно в PascalABC.NET Основные команды и горячие клавиши.Основные команды языка программирования Pascal и соответствующие им горячие клавиши:·Ctrl+F9 - запуск программы ·Alt+F5 - просмотр пользовательского экрана ·F2 - сохранение программы ·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
Вообще фракталом называется предмет который обладает одним из указанных свойств:
vОбладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом и есть отличие от регулярных фигур, таких как окружность или эллипс. Если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведет к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину. vЯвляется самоподобным или приближенно самоподобным. vОбладает дробной метрической размерностью. В основном фракталы классифицируют по трём видам:.Алгебраические фракталы .Геометрические фракталы .Стохастические фракталы Алгебраические фракталыАлгебраические фракталы - это самая крупная группа фракталов, получившая название за использование алгебраических формул. Методовполучения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом функция для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение: с течением времени она может стремиться к бесконечности; стремиться к 0; принимать несколько фиксированных значений и не выходить за их пределы. Поведение хаотично, без каких-либо тенденций. Таким образом было получено множество Мандельброта - фрактал, определённый, как множество точек С на комплексной плоскости. Бенуа Мандельброт предложил модель фрактала, которая стала классической и часто используется для демонстрации, как типичного примера самого фрактала, так и для демонстрации красоты фракталов, которая также привлекает исследователей, художников, просто интересующихся людей. Рис.1. Пример алгебраического фрактала. Геометрические фракталыФракталы этого класса самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность. В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а, точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора. Примерами таких кривых служат: кривая Коха (снежинка Коха), кривая Леви, кривая Минковского, кривая Пеано. Рис.2. Пример геометрического фрактала. Стохастические фракталыТипичный представитель данного класса фракталов "Плазма". Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. 1.3Виды фракталов Рассмотрим несколько распространённых видов фракталов.Решётка Серпинского.Это один из фракталов, с которыми экспериментировал Мандельброт, когда разрабатывал концепции фрактальных размерностей и итераций. Треугольники, сформированные соединением средних точек большего треугольника вырезаны из главного треугольника, образовывая треугольник, с большим количеством дырочек. В этом случае инициатор - большой треугольник а шаблон - операция вырезания треугольников, подобных большему. Так же можно получить и трехмерную версию треугольника, используя обыкновенный тетраэдр и вырезая маленькие тетраэдры. Размерность такого фрактала ln3/ln2 = 1.584962501. Рис.3. Решетка Серпинского. Треугольник Серпинского.Не перепутайте этот фрактал с решеткой Серпинского. Это два абсолютно разных объекта. В этом фрактале, инициатор и генератор одинаковы. При каждой итерации, добавляется уменьшенная копия инициатора к каждому углу генератора и так далее. Если при создании этого фрактала произвести бесконечное число итераций, он бы занял всю плоскость, не оставив ни одной дырочки. Поэтому его фрактальная размерность ln9/ln3 = 2.0. Рис.4. Треугольник Серпинского. Кривая Коха.Кривая Коха один из самых типичных детерминированных фракталов. Она была изобретена в 1904 году шведским математиком по имени Хельге фон Кох, который, изучая работы Георга Контора и Карла Вейерштрассе, натолкнулся на описания некоторых странных кривых с необычным поведением. Инициатор - прямая линия. Генератор - равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. Эти треугольники добавляются к середине каждого сегмента снова и снова. В своем исследовании, Мандельброт много экспериментировал с кривыми Коха, и получил фигуры такие как Острова Коха, Кресты Коха, Снежинки Коха и даже трехмерные представления кривой Коха, используя тетраэдр и прибавляя меньшие по размерам тетраэдры к каждой его грани. Кривая Коха имеет размерность ln4/ln3 = 1.261859507. Рис.5. Кривая Коха. Фрактал Мандельброта.Это НЕ множество Мандельброта, которое можно достаточно часто видеть. Множество Мандельброта основано на нелинейных уравнениях и является комплексным фракталом. Это тоже вариант кривой Коха несмотря на то, что этот объект не похож на нее. Инициатор и генератор так же отличны от использованных для создания фракталов, основанных на принципе кривой Коха, но идея остается той же. Вместо того, чтобы присоединять равносторонние треугольники к отрезку кривой, квадраты присоединяются к квадрату. Благодаря тому, что этот фрактал занимает точно половину отведенного пространства при каждой итерации, он имеет простую фрактальную размерность 3/2 = 1.5 Рис.6. Фрактал Мандельброта. Кривая Дракона.Изобретенная итальянским математиком Джузеппе Пеано, Кривая Дракона или Взмах Дракона, как он назвал его, очень похож на колбасу Минковского. Использован более простой инициатор, а генератор тот же самый. Мандельброт назвал этот фрактал Река Двойного Дракона. Его фрактальная размерность приблизительно равна 1.5236. Рис.7. Дракон Джузеппе Пеано. Множество Мандельброта.Множества Мандельброта и Жюлиа, вероятно, два наиболее распространенных среди сложных фракталов. Их можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Множество Мандельброта, которое было построено Бенуа Мандельбротом, наверное первая ассоциация, возникающая у людей, когда они слышат слово фрактал. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями, генерируется простой формулой Zn+1=Zna+C, где Z и C - комплексные числа и а - положительное число.Множество Мандельброта, которое чаще всего можно увидеть - это множество Мандельброта 2й степени, то есть а=2. Тот факт, что множество Мандельброта не только Zn+1=ZnІ+C, а фрактал, показатель в формуле которого может быть любым положительным числом ввел в заблуждение многих. На этой странице вы видите пример множества Мандельброта для различных значений показателя а.Также популярен процесс Z=Z*tg (Z+C). Благодаря включению функции тангенса, получается множество Мандельброта, окруженное областью, напоминающей яблоко. При использовании функции косинуса, получаются эффекты воздушных пузырьков. Короче говоря, существует бесконечное количество способов настройки множества Мандельброта для получения различных красивых картинок. Рис.8. Множество Мандельброта. Модель ДжулииМодель фрактала Джулии имеет то же уравнение, что и модель Мандельброта: Z=Z 2 +c, только здесь переменным параметром является не c , a z. Соответственно, меняется вся структура фрактала, так как теперь на начальное положение не накладывается никаких ограничений. Между моделями Мандельброта и Джулии существует такое различие: если модель Мандельброта является статической (так как z начальное всегда равно нулю), то модель Джулии является динамической моделью фрактала. Рис.9. Модель Джулии. 2. Постановка задачи Необходимо спроектировать и разработать программный продукт, при помощи которого возможно наглядно посмотреть изображения фрактальной графики. Программа должна позволять раскрыть сущность фрактала - многократное самоповторение (всего изображения или определённой его части). Интерфейс должен быть максимально понятным. Скорость работы должна быть такой, чтобы сбалансировать производительность и качество, то есть при данной скорости прорисовывается достаточно наглядное изображение. Необходима так же возможность сохранения фрактального изображения. Программа должна быть интуитивно понятной и "не отталкивать при первом взгляде". Возможностями программы должны быть доступны прорисовки алгебраического и геометрического фракталов. Рис.10. Схема работы программы. Работать мы будем в среде программирования PascalABC.NET, поговорим о ней подробнее. PascalABC.NET - это язык программирования Паскаль нового поколения, который включает в себя классический Паскаль, большинство возможностей языка Delphi , а также ряд собственных расширений. Он реализован на платформе Microsoft.NET и содержит все современные языковые средства такие как: классы , перегрузку операций , интерфейсы , обработку исключений , обобщенные классы и подпрограммы , сборку мусора , лямбда-выражения, средства параллельного программирования ..NET является мультипарадигменным языком: на нем можно программировать в структурном , объектно-ориентированном и функциональном стилях. Также это простая и мощная интегрированная среда разработки, поддерживающая технологию IntelliSense , содержащая средства автоформатирования, встроенный отладчик и встроенный дизайнер форм. Кроме того, консольный компилятор PascalABC.NET функционирует на Linux и MacOS под Mono .Среда PascalABC.NET проектируется как простая, но мощная оболочка, обеспечивающая подсветку синтаксиса, подсказку по коду (подсказка по точке, подсказка параметров подпрограмм, всплывающая подсказка по именам), форматирование текста программы по запросу, переход к определению и реализации подпрограммы, элементы рефакторинга. Она разрабатывается в большей степени с целью обучения программированию и содержит в своем составе ряд дополнительных модулей, предназначенных для обучения.Особенности:·доступ к существующим.NET библиотекам и возможность создания новых. В частности, существуют библиотеки для основных алгоритмов и структур данных. ·среда разработки, ориентированная на обучение: подсказки по коду, отладчик, автоформатирование кода и подсветка синтаксиса, простая навигация по коду и т.д. ·поддержка современных возможностей языков программирования: модули, классы, пространства имен, обработка исключений, сборка мусора и т.д. ·средства параллельного программирования (директивы OpenMP). ·обучающий инструментарий, сохранившийся с Pascal ABC: встроенный задачник, механизм проверяемых заданий, "исполнители" Робот и Чертежник и т.д. По функциональному назначению выделяется три области экрана:ØСтрока меню ØРабочая область ØСтрока состояния В рабочей области есть возможность открывать различные окна программы: окна редактируемого текста, окна помощи, отладки и настройки. Имя файла написано в заголовке окна. Строка состояния показывает некоторые доступные и важные в настоящее время операции и комбинации клавиш соответствующие им. Рис.11. Главное окно в PascalABC.NET Основные команды и горячие клавиши.Основные команды языка программирования Pascal и соответствующие им горячие клавиши:·Ctrl+F9 - запуск программы ·Alt+F5 - просмотр пользовательского экрана ·F2 - сохранение программы ·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
vЯвляется самоподобным или приближенно самоподобным. vОбладает дробной метрической размерностью. В основном фракталы классифицируют по трём видам:.Алгебраические фракталы .Геометрические фракталы .Стохастические фракталы Алгебраические фракталыАлгебраические фракталы - это самая крупная группа фракталов, получившая название за использование алгебраических формул. Методовполучения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом функция для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение: с течением времени она может стремиться к бесконечности; стремиться к 0; принимать несколько фиксированных значений и не выходить за их пределы. Поведение хаотично, без каких-либо тенденций. Таким образом было получено множество Мандельброта - фрактал, определённый, как множество точек С на комплексной плоскости. Бенуа Мандельброт предложил модель фрактала, которая стала классической и часто используется для демонстрации, как типичного примера самого фрактала, так и для демонстрации красоты фракталов, которая также привлекает исследователей, художников, просто интересующихся людей. Рис.1. Пример алгебраического фрактала. Геометрические фракталыФракталы этого класса самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность. В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а, точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора. Примерами таких кривых служат: кривая Коха (снежинка Коха), кривая Леви, кривая Минковского, кривая Пеано. Рис.2. Пример геометрического фрактала. Стохастические фракталыТипичный представитель данного класса фракталов "Плазма". Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. 1.3Виды фракталов Рассмотрим несколько распространённых видов фракталов.Решётка Серпинского.Это один из фракталов, с которыми экспериментировал Мандельброт, когда разрабатывал концепции фрактальных размерностей и итераций. Треугольники, сформированные соединением средних точек большего треугольника вырезаны из главного треугольника, образовывая треугольник, с большим количеством дырочек. В этом случае инициатор - большой треугольник а шаблон - операция вырезания треугольников, подобных большему. Так же можно получить и трехмерную версию треугольника, используя обыкновенный тетраэдр и вырезая маленькие тетраэдры. Размерность такого фрактала ln3/ln2 = 1.584962501. Рис.3. Решетка Серпинского. Треугольник Серпинского.Не перепутайте этот фрактал с решеткой Серпинского. Это два абсолютно разных объекта. В этом фрактале, инициатор и генератор одинаковы. При каждой итерации, добавляется уменьшенная копия инициатора к каждому углу генератора и так далее. Если при создании этого фрактала произвести бесконечное число итераций, он бы занял всю плоскость, не оставив ни одной дырочки. Поэтому его фрактальная размерность ln9/ln3 = 2.0. Рис.4. Треугольник Серпинского. Кривая Коха.Кривая Коха один из самых типичных детерминированных фракталов. Она была изобретена в 1904 году шведским математиком по имени Хельге фон Кох, который, изучая работы Георга Контора и Карла Вейерштрассе, натолкнулся на описания некоторых странных кривых с необычным поведением. Инициатор - прямая линия. Генератор - равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. Эти треугольники добавляются к середине каждого сегмента снова и снова. В своем исследовании, Мандельброт много экспериментировал с кривыми Коха, и получил фигуры такие как Острова Коха, Кресты Коха, Снежинки Коха и даже трехмерные представления кривой Коха, используя тетраэдр и прибавляя меньшие по размерам тетраэдры к каждой его грани. Кривая Коха имеет размерность ln4/ln3 = 1.261859507. Рис.5. Кривая Коха. Фрактал Мандельброта.Это НЕ множество Мандельброта, которое можно достаточно часто видеть. Множество Мандельброта основано на нелинейных уравнениях и является комплексным фракталом. Это тоже вариант кривой Коха несмотря на то, что этот объект не похож на нее. Инициатор и генератор так же отличны от использованных для создания фракталов, основанных на принципе кривой Коха, но идея остается той же. Вместо того, чтобы присоединять равносторонние треугольники к отрезку кривой, квадраты присоединяются к квадрату. Благодаря тому, что этот фрактал занимает точно половину отведенного пространства при каждой итерации, он имеет простую фрактальную размерность 3/2 = 1.5 Рис.6. Фрактал Мандельброта. Кривая Дракона.Изобретенная итальянским математиком Джузеппе Пеано, Кривая Дракона или Взмах Дракона, как он назвал его, очень похож на колбасу Минковского. Использован более простой инициатор, а генератор тот же самый. Мандельброт назвал этот фрактал Река Двойного Дракона. Его фрактальная размерность приблизительно равна 1.5236. Рис.7. Дракон Джузеппе Пеано. Множество Мандельброта.Множества Мандельброта и Жюлиа, вероятно, два наиболее распространенных среди сложных фракталов. Их можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Множество Мандельброта, которое было построено Бенуа Мандельбротом, наверное первая ассоциация, возникающая у людей, когда они слышат слово фрактал. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями, генерируется простой формулой Zn+1=Zna+C, где Z и C - комплексные числа и а - положительное число.Множество Мандельброта, которое чаще всего можно увидеть - это множество Мандельброта 2й степени, то есть а=2. Тот факт, что множество Мандельброта не только Zn+1=ZnІ+C, а фрактал, показатель в формуле которого может быть любым положительным числом ввел в заблуждение многих. На этой странице вы видите пример множества Мандельброта для различных значений показателя а.Также популярен процесс Z=Z*tg (Z+C). Благодаря включению функции тангенса, получается множество Мандельброта, окруженное областью, напоминающей яблоко. При использовании функции косинуса, получаются эффекты воздушных пузырьков. Короче говоря, существует бесконечное количество способов настройки множества Мандельброта для получения различных красивых картинок. Рис.8. Множество Мандельброта. Модель ДжулииМодель фрактала Джулии имеет то же уравнение, что и модель Мандельброта: Z=Z 2 +c, только здесь переменным параметром является не c , a z. Соответственно, меняется вся структура фрактала, так как теперь на начальное положение не накладывается никаких ограничений. Между моделями Мандельброта и Джулии существует такое различие: если модель Мандельброта является статической (так как z начальное всегда равно нулю), то модель Джулии является динамической моделью фрактала. Рис.9. Модель Джулии. 2. Постановка задачи Необходимо спроектировать и разработать программный продукт, при помощи которого возможно наглядно посмотреть изображения фрактальной графики. Программа должна позволять раскрыть сущность фрактала - многократное самоповторение (всего изображения или определённой его части). Интерфейс должен быть максимально понятным. Скорость работы должна быть такой, чтобы сбалансировать производительность и качество, то есть при данной скорости прорисовывается достаточно наглядное изображение. Необходима так же возможность сохранения фрактального изображения. Программа должна быть интуитивно понятной и "не отталкивать при первом взгляде". Возможностями программы должны быть доступны прорисовки алгебраического и геометрического фракталов. Рис.10. Схема работы программы. Работать мы будем в среде программирования PascalABC.NET, поговорим о ней подробнее. PascalABC.NET - это язык программирования Паскаль нового поколения, который включает в себя классический Паскаль, большинство возможностей языка Delphi , а также ряд собственных расширений. Он реализован на платформе Microsoft.NET и содержит все современные языковые средства такие как: классы , перегрузку операций , интерфейсы , обработку исключений , обобщенные классы и подпрограммы , сборку мусора , лямбда-выражения, средства параллельного программирования ..NET является мультипарадигменным языком: на нем можно программировать в структурном , объектно-ориентированном и функциональном стилях. Также это простая и мощная интегрированная среда разработки, поддерживающая технологию IntelliSense , содержащая средства автоформатирования, встроенный отладчик и встроенный дизайнер форм. Кроме того, консольный компилятор PascalABC.NET функционирует на Linux и MacOS под Mono .Среда PascalABC.NET проектируется как простая, но мощная оболочка, обеспечивающая подсветку синтаксиса, подсказку по коду (подсказка по точке, подсказка параметров подпрограмм, всплывающая подсказка по именам), форматирование текста программы по запросу, переход к определению и реализации подпрограммы, элементы рефакторинга. Она разрабатывается в большей степени с целью обучения программированию и содержит в своем составе ряд дополнительных модулей, предназначенных для обучения.Особенности:·доступ к существующим.NET библиотекам и возможность создания новых. В частности, существуют библиотеки для основных алгоритмов и структур данных. ·среда разработки, ориентированная на обучение: подсказки по коду, отладчик, автоформатирование кода и подсветка синтаксиса, простая навигация по коду и т.д. ·поддержка современных возможностей языков программирования: модули, классы, пространства имен, обработка исключений, сборка мусора и т.д. ·средства параллельного программирования (директивы OpenMP). ·обучающий инструментарий, сохранившийся с Pascal ABC: встроенный задачник, механизм проверяемых заданий, "исполнители" Робот и Чертежник и т.д. По функциональному назначению выделяется три области экрана:ØСтрока меню ØРабочая область ØСтрока состояния В рабочей области есть возможность открывать различные окна программы: окна редактируемого текста, окна помощи, отладки и настройки. Имя файла написано в заголовке окна. Строка состояния показывает некоторые доступные и важные в настоящее время операции и комбинации клавиш соответствующие им. Рис.11. Главное окно в PascalABC.NET Основные команды и горячие клавиши.Основные команды языка программирования Pascal и соответствующие им горячие клавиши:·Ctrl+F9 - запуск программы ·Alt+F5 - просмотр пользовательского экрана ·F2 - сохранение программы ·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
vОбладает дробной метрической размерностью. В основном фракталы классифицируют по трём видам:.Алгебраические фракталы .Геометрические фракталы .Стохастические фракталы Алгебраические фракталыАлгебраические фракталы - это самая крупная группа фракталов, получившая название за использование алгебраических формул. Методовполучения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом функция для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение: с течением времени она может стремиться к бесконечности; стремиться к 0; принимать несколько фиксированных значений и не выходить за их пределы. Поведение хаотично, без каких-либо тенденций. Таким образом было получено множество Мандельброта - фрактал, определённый, как множество точек С на комплексной плоскости. Бенуа Мандельброт предложил модель фрактала, которая стала классической и часто используется для демонстрации, как типичного примера самого фрактала, так и для демонстрации красоты фракталов, которая также привлекает исследователей, художников, просто интересующихся людей. Рис.1. Пример алгебраического фрактала. Геометрические фракталыФракталы этого класса самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность. В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а, точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора. Примерами таких кривых служат: кривая Коха (снежинка Коха), кривая Леви, кривая Минковского, кривая Пеано. Рис.2. Пример геометрического фрактала. Стохастические фракталыТипичный представитель данного класса фракталов "Плазма". Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. 1.3Виды фракталов Рассмотрим несколько распространённых видов фракталов.Решётка Серпинского.Это один из фракталов, с которыми экспериментировал Мандельброт, когда разрабатывал концепции фрактальных размерностей и итераций. Треугольники, сформированные соединением средних точек большего треугольника вырезаны из главного треугольника, образовывая треугольник, с большим количеством дырочек. В этом случае инициатор - большой треугольник а шаблон - операция вырезания треугольников, подобных большему. Так же можно получить и трехмерную версию треугольника, используя обыкновенный тетраэдр и вырезая маленькие тетраэдры. Размерность такого фрактала ln3/ln2 = 1.584962501. Рис.3. Решетка Серпинского. Треугольник Серпинского.Не перепутайте этот фрактал с решеткой Серпинского. Это два абсолютно разных объекта. В этом фрактале, инициатор и генератор одинаковы. При каждой итерации, добавляется уменьшенная копия инициатора к каждому углу генератора и так далее. Если при создании этого фрактала произвести бесконечное число итераций, он бы занял всю плоскость, не оставив ни одной дырочки. Поэтому его фрактальная размерность ln9/ln3 = 2.0. Рис.4. Треугольник Серпинского. Кривая Коха.Кривая Коха один из самых типичных детерминированных фракталов. Она была изобретена в 1904 году шведским математиком по имени Хельге фон Кох, который, изучая работы Георга Контора и Карла Вейерштрассе, натолкнулся на описания некоторых странных кривых с необычным поведением. Инициатор - прямая линия. Генератор - равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. Эти треугольники добавляются к середине каждого сегмента снова и снова. В своем исследовании, Мандельброт много экспериментировал с кривыми Коха, и получил фигуры такие как Острова Коха, Кресты Коха, Снежинки Коха и даже трехмерные представления кривой Коха, используя тетраэдр и прибавляя меньшие по размерам тетраэдры к каждой его грани. Кривая Коха имеет размерность ln4/ln3 = 1.261859507. Рис.5. Кривая Коха. Фрактал Мандельброта.Это НЕ множество Мандельброта, которое можно достаточно часто видеть. Множество Мандельброта основано на нелинейных уравнениях и является комплексным фракталом. Это тоже вариант кривой Коха несмотря на то, что этот объект не похож на нее. Инициатор и генератор так же отличны от использованных для создания фракталов, основанных на принципе кривой Коха, но идея остается той же. Вместо того, чтобы присоединять равносторонние треугольники к отрезку кривой, квадраты присоединяются к квадрату. Благодаря тому, что этот фрактал занимает точно половину отведенного пространства при каждой итерации, он имеет простую фрактальную размерность 3/2 = 1.5 Рис.6. Фрактал Мандельброта. Кривая Дракона.Изобретенная итальянским математиком Джузеппе Пеано, Кривая Дракона или Взмах Дракона, как он назвал его, очень похож на колбасу Минковского. Использован более простой инициатор, а генератор тот же самый. Мандельброт назвал этот фрактал Река Двойного Дракона. Его фрактальная размерность приблизительно равна 1.5236. Рис.7. Дракон Джузеппе Пеано. Множество Мандельброта.Множества Мандельброта и Жюлиа, вероятно, два наиболее распространенных среди сложных фракталов. Их можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Множество Мандельброта, которое было построено Бенуа Мандельбротом, наверное первая ассоциация, возникающая у людей, когда они слышат слово фрактал. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями, генерируется простой формулой Zn+1=Zna+C, где Z и C - комплексные числа и а - положительное число.Множество Мандельброта, которое чаще всего можно увидеть - это множество Мандельброта 2й степени, то есть а=2. Тот факт, что множество Мандельброта не только Zn+1=ZnІ+C, а фрактал, показатель в формуле которого может быть любым положительным числом ввел в заблуждение многих. На этой странице вы видите пример множества Мандельброта для различных значений показателя а.Также популярен процесс Z=Z*tg (Z+C). Благодаря включению функции тангенса, получается множество Мандельброта, окруженное областью, напоминающей яблоко. При использовании функции косинуса, получаются эффекты воздушных пузырьков. Короче говоря, существует бесконечное количество способов настройки множества Мандельброта для получения различных красивых картинок. Рис.8. Множество Мандельброта. Модель ДжулииМодель фрактала Джулии имеет то же уравнение, что и модель Мандельброта: Z=Z 2 +c, только здесь переменным параметром является не c , a z. Соответственно, меняется вся структура фрактала, так как теперь на начальное положение не накладывается никаких ограничений. Между моделями Мандельброта и Джулии существует такое различие: если модель Мандельброта является статической (так как z начальное всегда равно нулю), то модель Джулии является динамической моделью фрактала. Рис.9. Модель Джулии. 2. Постановка задачи Необходимо спроектировать и разработать программный продукт, при помощи которого возможно наглядно посмотреть изображения фрактальной графики. Программа должна позволять раскрыть сущность фрактала - многократное самоповторение (всего изображения или определённой его части). Интерфейс должен быть максимально понятным. Скорость работы должна быть такой, чтобы сбалансировать производительность и качество, то есть при данной скорости прорисовывается достаточно наглядное изображение. Необходима так же возможность сохранения фрактального изображения. Программа должна быть интуитивно понятной и "не отталкивать при первом взгляде". Возможностями программы должны быть доступны прорисовки алгебраического и геометрического фракталов. Рис.10. Схема работы программы. Работать мы будем в среде программирования PascalABC.NET, поговорим о ней подробнее. PascalABC.NET - это язык программирования Паскаль нового поколения, который включает в себя классический Паскаль, большинство возможностей языка Delphi , а также ряд собственных расширений. Он реализован на платформе Microsoft.NET и содержит все современные языковые средства такие как: классы , перегрузку операций , интерфейсы , обработку исключений , обобщенные классы и подпрограммы , сборку мусора , лямбда-выражения, средства параллельного программирования ..NET является мультипарадигменным языком: на нем можно программировать в структурном , объектно-ориентированном и функциональном стилях. Также это простая и мощная интегрированная среда разработки, поддерживающая технологию IntelliSense , содержащая средства автоформатирования, встроенный отладчик и встроенный дизайнер форм. Кроме того, консольный компилятор PascalABC.NET функционирует на Linux и MacOS под Mono .Среда PascalABC.NET проектируется как простая, но мощная оболочка, обеспечивающая подсветку синтаксиса, подсказку по коду (подсказка по точке, подсказка параметров подпрограмм, всплывающая подсказка по именам), форматирование текста программы по запросу, переход к определению и реализации подпрограммы, элементы рефакторинга. Она разрабатывается в большей степени с целью обучения программированию и содержит в своем составе ряд дополнительных модулей, предназначенных для обучения.Особенности:·доступ к существующим.NET библиотекам и возможность создания новых. В частности, существуют библиотеки для основных алгоритмов и структур данных. ·среда разработки, ориентированная на обучение: подсказки по коду, отладчик, автоформатирование кода и подсветка синтаксиса, простая навигация по коду и т.д. ·поддержка современных возможностей языков программирования: модули, классы, пространства имен, обработка исключений, сборка мусора и т.д. ·средства параллельного программирования (директивы OpenMP). ·обучающий инструментарий, сохранившийся с Pascal ABC: встроенный задачник, механизм проверяемых заданий, "исполнители" Робот и Чертежник и т.д. По функциональному назначению выделяется три области экрана:ØСтрока меню ØРабочая область ØСтрока состояния В рабочей области есть возможность открывать различные окна программы: окна редактируемого текста, окна помощи, отладки и настройки. Имя файла написано в заголовке окна. Строка состояния показывает некоторые доступные и важные в настоящее время операции и комбинации клавиш соответствующие им. Рис.11. Главное окно в PascalABC.NET Основные команды и горячие клавиши.Основные команды языка программирования Pascal и соответствующие им горячие клавиши:·Ctrl+F9 - запуск программы ·Alt+F5 - просмотр пользовательского экрана ·F2 - сохранение программы ·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
В основном фракталы классифицируют по трём видам:
.Алгебраические фракталы .Геометрические фракталы .Стохастические фракталы Алгебраические фракталыАлгебраические фракталы - это самая крупная группа фракталов, получившая название за использование алгебраических формул. Методовполучения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом функция для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение: с течением времени она может стремиться к бесконечности; стремиться к 0; принимать несколько фиксированных значений и не выходить за их пределы. Поведение хаотично, без каких-либо тенденций. Таким образом было получено множество Мандельброта - фрактал, определённый, как множество точек С на комплексной плоскости. Бенуа Мандельброт предложил модель фрактала, которая стала классической и часто используется для демонстрации, как типичного примера самого фрактала, так и для демонстрации красоты фракталов, которая также привлекает исследователей, художников, просто интересующихся людей. Рис.1. Пример алгебраического фрактала. Геометрические фракталыФракталы этого класса самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность. В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а, точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора. Примерами таких кривых служат: кривая Коха (снежинка Коха), кривая Леви, кривая Минковского, кривая Пеано. Рис.2. Пример геометрического фрактала. Стохастические фракталыТипичный представитель данного класса фракталов "Плазма". Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. 1.3Виды фракталов Рассмотрим несколько распространённых видов фракталов.Решётка Серпинского.Это один из фракталов, с которыми экспериментировал Мандельброт, когда разрабатывал концепции фрактальных размерностей и итераций. Треугольники, сформированные соединением средних точек большего треугольника вырезаны из главного треугольника, образовывая треугольник, с большим количеством дырочек. В этом случае инициатор - большой треугольник а шаблон - операция вырезания треугольников, подобных большему. Так же можно получить и трехмерную версию треугольника, используя обыкновенный тетраэдр и вырезая маленькие тетраэдры. Размерность такого фрактала ln3/ln2 = 1.584962501. Рис.3. Решетка Серпинского. Треугольник Серпинского.Не перепутайте этот фрактал с решеткой Серпинского. Это два абсолютно разных объекта. В этом фрактале, инициатор и генератор одинаковы. При каждой итерации, добавляется уменьшенная копия инициатора к каждому углу генератора и так далее. Если при создании этого фрактала произвести бесконечное число итераций, он бы занял всю плоскость, не оставив ни одной дырочки. Поэтому его фрактальная размерность ln9/ln3 = 2.0. Рис.4. Треугольник Серпинского. Кривая Коха.Кривая Коха один из самых типичных детерминированных фракталов. Она была изобретена в 1904 году шведским математиком по имени Хельге фон Кох, который, изучая работы Георга Контора и Карла Вейерштрассе, натолкнулся на описания некоторых странных кривых с необычным поведением. Инициатор - прямая линия. Генератор - равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. Эти треугольники добавляются к середине каждого сегмента снова и снова. В своем исследовании, Мандельброт много экспериментировал с кривыми Коха, и получил фигуры такие как Острова Коха, Кресты Коха, Снежинки Коха и даже трехмерные представления кривой Коха, используя тетраэдр и прибавляя меньшие по размерам тетраэдры к каждой его грани. Кривая Коха имеет размерность ln4/ln3 = 1.261859507. Рис.5. Кривая Коха. Фрактал Мандельброта.Это НЕ множество Мандельброта, которое можно достаточно часто видеть. Множество Мандельброта основано на нелинейных уравнениях и является комплексным фракталом. Это тоже вариант кривой Коха несмотря на то, что этот объект не похож на нее. Инициатор и генератор так же отличны от использованных для создания фракталов, основанных на принципе кривой Коха, но идея остается той же. Вместо того, чтобы присоединять равносторонние треугольники к отрезку кривой, квадраты присоединяются к квадрату. Благодаря тому, что этот фрактал занимает точно половину отведенного пространства при каждой итерации, он имеет простую фрактальную размерность 3/2 = 1.5 Рис.6. Фрактал Мандельброта. Кривая Дракона.Изобретенная итальянским математиком Джузеппе Пеано, Кривая Дракона или Взмах Дракона, как он назвал его, очень похож на колбасу Минковского. Использован более простой инициатор, а генератор тот же самый. Мандельброт назвал этот фрактал Река Двойного Дракона. Его фрактальная размерность приблизительно равна 1.5236. Рис.7. Дракон Джузеппе Пеано. Множество Мандельброта.Множества Мандельброта и Жюлиа, вероятно, два наиболее распространенных среди сложных фракталов. Их можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Множество Мандельброта, которое было построено Бенуа Мандельбротом, наверное первая ассоциация, возникающая у людей, когда они слышат слово фрактал. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями, генерируется простой формулой Zn+1=Zna+C, где Z и C - комплексные числа и а - положительное число.Множество Мандельброта, которое чаще всего можно увидеть - это множество Мандельброта 2й степени, то есть а=2. Тот факт, что множество Мандельброта не только Zn+1=ZnІ+C, а фрактал, показатель в формуле которого может быть любым положительным числом ввел в заблуждение многих. На этой странице вы видите пример множества Мандельброта для различных значений показателя а.Также популярен процесс Z=Z*tg (Z+C). Благодаря включению функции тангенса, получается множество Мандельброта, окруженное областью, напоминающей яблоко. При использовании функции косинуса, получаются эффекты воздушных пузырьков. Короче говоря, существует бесконечное количество способов настройки множества Мандельброта для получения различных красивых картинок. Рис.8. Множество Мандельброта. Модель ДжулииМодель фрактала Джулии имеет то же уравнение, что и модель Мандельброта: Z=Z 2 +c, только здесь переменным параметром является не c , a z. Соответственно, меняется вся структура фрактала, так как теперь на начальное положение не накладывается никаких ограничений. Между моделями Мандельброта и Джулии существует такое различие: если модель Мандельброта является статической (так как z начальное всегда равно нулю), то модель Джулии является динамической моделью фрактала. Рис.9. Модель Джулии. 2. Постановка задачи Необходимо спроектировать и разработать программный продукт, при помощи которого возможно наглядно посмотреть изображения фрактальной графики. Программа должна позволять раскрыть сущность фрактала - многократное самоповторение (всего изображения или определённой его части). Интерфейс должен быть максимально понятным. Скорость работы должна быть такой, чтобы сбалансировать производительность и качество, то есть при данной скорости прорисовывается достаточно наглядное изображение. Необходима так же возможность сохранения фрактального изображения. Программа должна быть интуитивно понятной и "не отталкивать при первом взгляде". Возможностями программы должны быть доступны прорисовки алгебраического и геометрического фракталов. Рис.10. Схема работы программы. Работать мы будем в среде программирования PascalABC.NET, поговорим о ней подробнее. PascalABC.NET - это язык программирования Паскаль нового поколения, который включает в себя классический Паскаль, большинство возможностей языка Delphi , а также ряд собственных расширений. Он реализован на платформе Microsoft.NET и содержит все современные языковые средства такие как: классы , перегрузку операций , интерфейсы , обработку исключений , обобщенные классы и подпрограммы , сборку мусора , лямбда-выражения, средства параллельного программирования ..NET является мультипарадигменным языком: на нем можно программировать в структурном , объектно-ориентированном и функциональном стилях. Также это простая и мощная интегрированная среда разработки, поддерживающая технологию IntelliSense , содержащая средства автоформатирования, встроенный отладчик и встроенный дизайнер форм. Кроме того, консольный компилятор PascalABC.NET функционирует на Linux и MacOS под Mono .Среда PascalABC.NET проектируется как простая, но мощная оболочка, обеспечивающая подсветку синтаксиса, подсказку по коду (подсказка по точке, подсказка параметров подпрограмм, всплывающая подсказка по именам), форматирование текста программы по запросу, переход к определению и реализации подпрограммы, элементы рефакторинга. Она разрабатывается в большей степени с целью обучения программированию и содержит в своем составе ряд дополнительных модулей, предназначенных для обучения.Особенности:·доступ к существующим.NET библиотекам и возможность создания новых. В частности, существуют библиотеки для основных алгоритмов и структур данных. ·среда разработки, ориентированная на обучение: подсказки по коду, отладчик, автоформатирование кода и подсветка синтаксиса, простая навигация по коду и т.д. ·поддержка современных возможностей языков программирования: модули, классы, пространства имен, обработка исключений, сборка мусора и т.д. ·средства параллельного программирования (директивы OpenMP). ·обучающий инструментарий, сохранившийся с Pascal ABC: встроенный задачник, механизм проверяемых заданий, "исполнители" Робот и Чертежник и т.д. По функциональному назначению выделяется три области экрана:ØСтрока меню ØРабочая область ØСтрока состояния В рабочей области есть возможность открывать различные окна программы: окна редактируемого текста, окна помощи, отладки и настройки. Имя файла написано в заголовке окна. Строка состояния показывает некоторые доступные и важные в настоящее время операции и комбинации клавиш соответствующие им. Рис.11. Главное окно в PascalABC.NET Основные команды и горячие клавиши.Основные команды языка программирования Pascal и соответствующие им горячие клавиши:·Ctrl+F9 - запуск программы ·Alt+F5 - просмотр пользовательского экрана ·F2 - сохранение программы ·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
.Геометрические фракталы .Стохастические фракталы Алгебраические фракталыАлгебраические фракталы - это самая крупная группа фракталов, получившая название за использование алгебраических формул. Методовполучения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом функция для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение: с течением времени она может стремиться к бесконечности; стремиться к 0; принимать несколько фиксированных значений и не выходить за их пределы. Поведение хаотично, без каких-либо тенденций. Таким образом было получено множество Мандельброта - фрактал, определённый, как множество точек С на комплексной плоскости. Бенуа Мандельброт предложил модель фрактала, которая стала классической и часто используется для демонстрации, как типичного примера самого фрактала, так и для демонстрации красоты фракталов, которая также привлекает исследователей, художников, просто интересующихся людей. Рис.1. Пример алгебраического фрактала. Геометрические фракталыФракталы этого класса самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность. В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а, точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора. Примерами таких кривых служат: кривая Коха (снежинка Коха), кривая Леви, кривая Минковского, кривая Пеано. Рис.2. Пример геометрического фрактала. Стохастические фракталыТипичный представитель данного класса фракталов "Плазма". Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. 1.3Виды фракталов Рассмотрим несколько распространённых видов фракталов.Решётка Серпинского.Это один из фракталов, с которыми экспериментировал Мандельброт, когда разрабатывал концепции фрактальных размерностей и итераций. Треугольники, сформированные соединением средних точек большего треугольника вырезаны из главного треугольника, образовывая треугольник, с большим количеством дырочек. В этом случае инициатор - большой треугольник а шаблон - операция вырезания треугольников, подобных большему. Так же можно получить и трехмерную версию треугольника, используя обыкновенный тетраэдр и вырезая маленькие тетраэдры. Размерность такого фрактала ln3/ln2 = 1.584962501. Рис.3. Решетка Серпинского. Треугольник Серпинского.Не перепутайте этот фрактал с решеткой Серпинского. Это два абсолютно разных объекта. В этом фрактале, инициатор и генератор одинаковы. При каждой итерации, добавляется уменьшенная копия инициатора к каждому углу генератора и так далее. Если при создании этого фрактала произвести бесконечное число итераций, он бы занял всю плоскость, не оставив ни одной дырочки. Поэтому его фрактальная размерность ln9/ln3 = 2.0. Рис.4. Треугольник Серпинского. Кривая Коха.Кривая Коха один из самых типичных детерминированных фракталов. Она была изобретена в 1904 году шведским математиком по имени Хельге фон Кох, который, изучая работы Георга Контора и Карла Вейерштрассе, натолкнулся на описания некоторых странных кривых с необычным поведением. Инициатор - прямая линия. Генератор - равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. Эти треугольники добавляются к середине каждого сегмента снова и снова. В своем исследовании, Мандельброт много экспериментировал с кривыми Коха, и получил фигуры такие как Острова Коха, Кресты Коха, Снежинки Коха и даже трехмерные представления кривой Коха, используя тетраэдр и прибавляя меньшие по размерам тетраэдры к каждой его грани. Кривая Коха имеет размерность ln4/ln3 = 1.261859507. Рис.5. Кривая Коха. Фрактал Мандельброта.Это НЕ множество Мандельброта, которое можно достаточно часто видеть. Множество Мандельброта основано на нелинейных уравнениях и является комплексным фракталом. Это тоже вариант кривой Коха несмотря на то, что этот объект не похож на нее. Инициатор и генератор так же отличны от использованных для создания фракталов, основанных на принципе кривой Коха, но идея остается той же. Вместо того, чтобы присоединять равносторонние треугольники к отрезку кривой, квадраты присоединяются к квадрату. Благодаря тому, что этот фрактал занимает точно половину отведенного пространства при каждой итерации, он имеет простую фрактальную размерность 3/2 = 1.5 Рис.6. Фрактал Мандельброта. Кривая Дракона.Изобретенная итальянским математиком Джузеппе Пеано, Кривая Дракона или Взмах Дракона, как он назвал его, очень похож на колбасу Минковского. Использован более простой инициатор, а генератор тот же самый. Мандельброт назвал этот фрактал Река Двойного Дракона. Его фрактальная размерность приблизительно равна 1.5236. Рис.7. Дракон Джузеппе Пеано. Множество Мандельброта.Множества Мандельброта и Жюлиа, вероятно, два наиболее распространенных среди сложных фракталов. Их можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Множество Мандельброта, которое было построено Бенуа Мандельбротом, наверное первая ассоциация, возникающая у людей, когда они слышат слово фрактал. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями, генерируется простой формулой Zn+1=Zna+C, где Z и C - комплексные числа и а - положительное число.Множество Мандельброта, которое чаще всего можно увидеть - это множество Мандельброта 2й степени, то есть а=2. Тот факт, что множество Мандельброта не только Zn+1=ZnІ+C, а фрактал, показатель в формуле которого может быть любым положительным числом ввел в заблуждение многих. На этой странице вы видите пример множества Мандельброта для различных значений показателя а.Также популярен процесс Z=Z*tg (Z+C). Благодаря включению функции тангенса, получается множество Мандельброта, окруженное областью, напоминающей яблоко. При использовании функции косинуса, получаются эффекты воздушных пузырьков. Короче говоря, существует бесконечное количество способов настройки множества Мандельброта для получения различных красивых картинок. Рис.8. Множество Мандельброта. Модель ДжулииМодель фрактала Джулии имеет то же уравнение, что и модель Мандельброта: Z=Z 2 +c, только здесь переменным параметром является не c , a z. Соответственно, меняется вся структура фрактала, так как теперь на начальное положение не накладывается никаких ограничений. Между моделями Мандельброта и Джулии существует такое различие: если модель Мандельброта является статической (так как z начальное всегда равно нулю), то модель Джулии является динамической моделью фрактала. Рис.9. Модель Джулии. 2. Постановка задачи Необходимо спроектировать и разработать программный продукт, при помощи которого возможно наглядно посмотреть изображения фрактальной графики. Программа должна позволять раскрыть сущность фрактала - многократное самоповторение (всего изображения или определённой его части). Интерфейс должен быть максимально понятным. Скорость работы должна быть такой, чтобы сбалансировать производительность и качество, то есть при данной скорости прорисовывается достаточно наглядное изображение. Необходима так же возможность сохранения фрактального изображения. Программа должна быть интуитивно понятной и "не отталкивать при первом взгляде". Возможностями программы должны быть доступны прорисовки алгебраического и геометрического фракталов. Рис.10. Схема работы программы. Работать мы будем в среде программирования PascalABC.NET, поговорим о ней подробнее. PascalABC.NET - это язык программирования Паскаль нового поколения, который включает в себя классический Паскаль, большинство возможностей языка Delphi , а также ряд собственных расширений. Он реализован на платформе Microsoft.NET и содержит все современные языковые средства такие как: классы , перегрузку операций , интерфейсы , обработку исключений , обобщенные классы и подпрограммы , сборку мусора , лямбда-выражения, средства параллельного программирования ..NET является мультипарадигменным языком: на нем можно программировать в структурном , объектно-ориентированном и функциональном стилях. Также это простая и мощная интегрированная среда разработки, поддерживающая технологию IntelliSense , содержащая средства автоформатирования, встроенный отладчик и встроенный дизайнер форм. Кроме того, консольный компилятор PascalABC.NET функционирует на Linux и MacOS под Mono .Среда PascalABC.NET проектируется как простая, но мощная оболочка, обеспечивающая подсветку синтаксиса, подсказку по коду (подсказка по точке, подсказка параметров подпрограмм, всплывающая подсказка по именам), форматирование текста программы по запросу, переход к определению и реализации подпрограммы, элементы рефакторинга. Она разрабатывается в большей степени с целью обучения программированию и содержит в своем составе ряд дополнительных модулей, предназначенных для обучения.Особенности:·доступ к существующим.NET библиотекам и возможность создания новых. В частности, существуют библиотеки для основных алгоритмов и структур данных. ·среда разработки, ориентированная на обучение: подсказки по коду, отладчик, автоформатирование кода и подсветка синтаксиса, простая навигация по коду и т.д. ·поддержка современных возможностей языков программирования: модули, классы, пространства имен, обработка исключений, сборка мусора и т.д. ·средства параллельного программирования (директивы OpenMP). ·обучающий инструментарий, сохранившийся с Pascal ABC: встроенный задачник, механизм проверяемых заданий, "исполнители" Робот и Чертежник и т.д. По функциональному назначению выделяется три области экрана:ØСтрока меню ØРабочая область ØСтрока состояния В рабочей области есть возможность открывать различные окна программы: окна редактируемого текста, окна помощи, отладки и настройки. Имя файла написано в заголовке окна. Строка состояния показывает некоторые доступные и важные в настоящее время операции и комбинации клавиш соответствующие им. Рис.11. Главное окно в PascalABC.NET Основные команды и горячие клавиши.Основные команды языка программирования Pascal и соответствующие им горячие клавиши:·Ctrl+F9 - запуск программы ·Alt+F5 - просмотр пользовательского экрана ·F2 - сохранение программы ·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
.Стохастические фракталы Алгебраические фракталыАлгебраические фракталы - это самая крупная группа фракталов, получившая название за использование алгебраических формул. Методовполучения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом функция для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение: с течением времени она может стремиться к бесконечности; стремиться к 0; принимать несколько фиксированных значений и не выходить за их пределы. Поведение хаотично, без каких-либо тенденций. Таким образом было получено множество Мандельброта - фрактал, определённый, как множество точек С на комплексной плоскости. Бенуа Мандельброт предложил модель фрактала, которая стала классической и часто используется для демонстрации, как типичного примера самого фрактала, так и для демонстрации красоты фракталов, которая также привлекает исследователей, художников, просто интересующихся людей. Рис.1. Пример алгебраического фрактала. Геометрические фракталыФракталы этого класса самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность. В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а, точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора. Примерами таких кривых служат: кривая Коха (снежинка Коха), кривая Леви, кривая Минковского, кривая Пеано. Рис.2. Пример геометрического фрактала. Стохастические фракталыТипичный представитель данного класса фракталов "Плазма". Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. 1.3Виды фракталов Рассмотрим несколько распространённых видов фракталов.Решётка Серпинского.Это один из фракталов, с которыми экспериментировал Мандельброт, когда разрабатывал концепции фрактальных размерностей и итераций. Треугольники, сформированные соединением средних точек большего треугольника вырезаны из главного треугольника, образовывая треугольник, с большим количеством дырочек. В этом случае инициатор - большой треугольник а шаблон - операция вырезания треугольников, подобных большему. Так же можно получить и трехмерную версию треугольника, используя обыкновенный тетраэдр и вырезая маленькие тетраэдры. Размерность такого фрактала ln3/ln2 = 1.584962501. Рис.3. Решетка Серпинского. Треугольник Серпинского.Не перепутайте этот фрактал с решеткой Серпинского. Это два абсолютно разных объекта. В этом фрактале, инициатор и генератор одинаковы. При каждой итерации, добавляется уменьшенная копия инициатора к каждому углу генератора и так далее. Если при создании этого фрактала произвести бесконечное число итераций, он бы занял всю плоскость, не оставив ни одной дырочки. Поэтому его фрактальная размерность ln9/ln3 = 2.0. Рис.4. Треугольник Серпинского. Кривая Коха.Кривая Коха один из самых типичных детерминированных фракталов. Она была изобретена в 1904 году шведским математиком по имени Хельге фон Кох, который, изучая работы Георга Контора и Карла Вейерштрассе, натолкнулся на описания некоторых странных кривых с необычным поведением. Инициатор - прямая линия. Генератор - равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. Эти треугольники добавляются к середине каждого сегмента снова и снова. В своем исследовании, Мандельброт много экспериментировал с кривыми Коха, и получил фигуры такие как Острова Коха, Кресты Коха, Снежинки Коха и даже трехмерные представления кривой Коха, используя тетраэдр и прибавляя меньшие по размерам тетраэдры к каждой его грани. Кривая Коха имеет размерность ln4/ln3 = 1.261859507. Рис.5. Кривая Коха. Фрактал Мандельброта.Это НЕ множество Мандельброта, которое можно достаточно часто видеть. Множество Мандельброта основано на нелинейных уравнениях и является комплексным фракталом. Это тоже вариант кривой Коха несмотря на то, что этот объект не похож на нее. Инициатор и генератор так же отличны от использованных для создания фракталов, основанных на принципе кривой Коха, но идея остается той же. Вместо того, чтобы присоединять равносторонние треугольники к отрезку кривой, квадраты присоединяются к квадрату. Благодаря тому, что этот фрактал занимает точно половину отведенного пространства при каждой итерации, он имеет простую фрактальную размерность 3/2 = 1.5 Рис.6. Фрактал Мандельброта. Кривая Дракона.Изобретенная итальянским математиком Джузеппе Пеано, Кривая Дракона или Взмах Дракона, как он назвал его, очень похож на колбасу Минковского. Использован более простой инициатор, а генератор тот же самый. Мандельброт назвал этот фрактал Река Двойного Дракона. Его фрактальная размерность приблизительно равна 1.5236. Рис.7. Дракон Джузеппе Пеано. Множество Мандельброта.Множества Мандельброта и Жюлиа, вероятно, два наиболее распространенных среди сложных фракталов. Их можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Множество Мандельброта, которое было построено Бенуа Мандельбротом, наверное первая ассоциация, возникающая у людей, когда они слышат слово фрактал. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями, генерируется простой формулой Zn+1=Zna+C, где Z и C - комплексные числа и а - положительное число.Множество Мандельброта, которое чаще всего можно увидеть - это множество Мандельброта 2й степени, то есть а=2. Тот факт, что множество Мандельброта не только Zn+1=ZnІ+C, а фрактал, показатель в формуле которого может быть любым положительным числом ввел в заблуждение многих. На этой странице вы видите пример множества Мандельброта для различных значений показателя а.Также популярен процесс Z=Z*tg (Z+C). Благодаря включению функции тангенса, получается множество Мандельброта, окруженное областью, напоминающей яблоко. При использовании функции косинуса, получаются эффекты воздушных пузырьков. Короче говоря, существует бесконечное количество способов настройки множества Мандельброта для получения различных красивых картинок. Рис.8. Множество Мандельброта. Модель ДжулииМодель фрактала Джулии имеет то же уравнение, что и модель Мандельброта: Z=Z 2 +c, только здесь переменным параметром является не c , a z. Соответственно, меняется вся структура фрактала, так как теперь на начальное положение не накладывается никаких ограничений. Между моделями Мандельброта и Джулии существует такое различие: если модель Мандельброта является статической (так как z начальное всегда равно нулю), то модель Джулии является динамической моделью фрактала. Рис.9. Модель Джулии. 2. Постановка задачи Необходимо спроектировать и разработать программный продукт, при помощи которого возможно наглядно посмотреть изображения фрактальной графики. Программа должна позволять раскрыть сущность фрактала - многократное самоповторение (всего изображения или определённой его части). Интерфейс должен быть максимально понятным. Скорость работы должна быть такой, чтобы сбалансировать производительность и качество, то есть при данной скорости прорисовывается достаточно наглядное изображение. Необходима так же возможность сохранения фрактального изображения. Программа должна быть интуитивно понятной и "не отталкивать при первом взгляде". Возможностями программы должны быть доступны прорисовки алгебраического и геометрического фракталов. Рис.10. Схема работы программы. Работать мы будем в среде программирования PascalABC.NET, поговорим о ней подробнее. PascalABC.NET - это язык программирования Паскаль нового поколения, который включает в себя классический Паскаль, большинство возможностей языка Delphi , а также ряд собственных расширений. Он реализован на платформе Microsoft.NET и содержит все современные языковые средства такие как: классы , перегрузку операций , интерфейсы , обработку исключений , обобщенные классы и подпрограммы , сборку мусора , лямбда-выражения, средства параллельного программирования ..NET является мультипарадигменным языком: на нем можно программировать в структурном , объектно-ориентированном и функциональном стилях. Также это простая и мощная интегрированная среда разработки, поддерживающая технологию IntelliSense , содержащая средства автоформатирования, встроенный отладчик и встроенный дизайнер форм. Кроме того, консольный компилятор PascalABC.NET функционирует на Linux и MacOS под Mono .Среда PascalABC.NET проектируется как простая, но мощная оболочка, обеспечивающая подсветку синтаксиса, подсказку по коду (подсказка по точке, подсказка параметров подпрограмм, всплывающая подсказка по именам), форматирование текста программы по запросу, переход к определению и реализации подпрограммы, элементы рефакторинга. Она разрабатывается в большей степени с целью обучения программированию и содержит в своем составе ряд дополнительных модулей, предназначенных для обучения.Особенности:·доступ к существующим.NET библиотекам и возможность создания новых. В частности, существуют библиотеки для основных алгоритмов и структур данных. ·среда разработки, ориентированная на обучение: подсказки по коду, отладчик, автоформатирование кода и подсветка синтаксиса, простая навигация по коду и т.д. ·поддержка современных возможностей языков программирования: модули, классы, пространства имен, обработка исключений, сборка мусора и т.д. ·средства параллельного программирования (директивы OpenMP). ·обучающий инструментарий, сохранившийся с Pascal ABC: встроенный задачник, механизм проверяемых заданий, "исполнители" Робот и Чертежник и т.д. По функциональному назначению выделяется три области экрана:ØСтрока меню ØРабочая область ØСтрока состояния В рабочей области есть возможность открывать различные окна программы: окна редактируемого текста, окна помощи, отладки и настройки. Имя файла написано в заголовке окна. Строка состояния показывает некоторые доступные и важные в настоящее время операции и комбинации клавиш соответствующие им. Рис.11. Главное окно в PascalABC.NET Основные команды и горячие клавиши.Основные команды языка программирования Pascal и соответствующие им горячие клавиши:·Ctrl+F9 - запуск программы ·Alt+F5 - просмотр пользовательского экрана ·F2 - сохранение программы ·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
Алгебраические фракталы
Алгебраические фракталы - это самая крупная группа фракталов, получившая название за использование алгебраических формул. Методов
получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом функция для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение: с течением времени она может стремиться к бесконечности; стремиться к 0; принимать несколько фиксированных значений и не выходить за их пределы. Поведение хаотично, без каких-либо тенденций. Таким образом было получено множество Мандельброта - фрактал, определённый, как множество точек С на комплексной плоскости. Бенуа Мандельброт предложил модель фрактала, которая стала классической и часто используется для демонстрации, как типичного примера самого фрактала, так и для демонстрации красоты фракталов, которая также привлекает исследователей, художников, просто интересующихся людей.
Рис.1. Пример алгебраического фрактала.
Геометрические фракталы
Фракталы этого класса самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность. В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а, точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора. Примерами таких кривых служат: кривая Коха (снежинка Коха), кривая Леви, кривая Минковского, кривая Пеано.
Рис.2. Пример геометрического фрактала.
Стохастические фракталы
Типичный представитель данного класса фракталов "Плазма". Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ.
1.3Виды фракталов Рассмотрим несколько распространённых видов фракталов.Решётка Серпинского.Это один из фракталов, с которыми экспериментировал Мандельброт, когда разрабатывал концепции фрактальных размерностей и итераций. Треугольники, сформированные соединением средних точек большего треугольника вырезаны из главного треугольника, образовывая треугольник, с большим количеством дырочек. В этом случае инициатор - большой треугольник а шаблон - операция вырезания треугольников, подобных большему. Так же можно получить и трехмерную версию треугольника, используя обыкновенный тетраэдр и вырезая маленькие тетраэдры. Размерность такого фрактала ln3/ln2 = 1.584962501. Рис.3. Решетка Серпинского. Треугольник Серпинского.Не перепутайте этот фрактал с решеткой Серпинского. Это два абсолютно разных объекта. В этом фрактале, инициатор и генератор одинаковы. При каждой итерации, добавляется уменьшенная копия инициатора к каждому углу генератора и так далее. Если при создании этого фрактала произвести бесконечное число итераций, он бы занял всю плоскость, не оставив ни одной дырочки. Поэтому его фрактальная размерность ln9/ln3 = 2.0. Рис.4. Треугольник Серпинского. Кривая Коха.Кривая Коха один из самых типичных детерминированных фракталов. Она была изобретена в 1904 году шведским математиком по имени Хельге фон Кох, который, изучая работы Георга Контора и Карла Вейерштрассе, натолкнулся на описания некоторых странных кривых с необычным поведением. Инициатор - прямая линия. Генератор - равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. Эти треугольники добавляются к середине каждого сегмента снова и снова. В своем исследовании, Мандельброт много экспериментировал с кривыми Коха, и получил фигуры такие как Острова Коха, Кресты Коха, Снежинки Коха и даже трехмерные представления кривой Коха, используя тетраэдр и прибавляя меньшие по размерам тетраэдры к каждой его грани. Кривая Коха имеет размерность ln4/ln3 = 1.261859507. Рис.5. Кривая Коха. Фрактал Мандельброта.Это НЕ множество Мандельброта, которое можно достаточно часто видеть. Множество Мандельброта основано на нелинейных уравнениях и является комплексным фракталом. Это тоже вариант кривой Коха несмотря на то, что этот объект не похож на нее. Инициатор и генератор так же отличны от использованных для создания фракталов, основанных на принципе кривой Коха, но идея остается той же. Вместо того, чтобы присоединять равносторонние треугольники к отрезку кривой, квадраты присоединяются к квадрату. Благодаря тому, что этот фрактал занимает точно половину отведенного пространства при каждой итерации, он имеет простую фрактальную размерность 3/2 = 1.5 Рис.6. Фрактал Мандельброта. Кривая Дракона.Изобретенная итальянским математиком Джузеппе Пеано, Кривая Дракона или Взмах Дракона, как он назвал его, очень похож на колбасу Минковского. Использован более простой инициатор, а генератор тот же самый. Мандельброт назвал этот фрактал Река Двойного Дракона. Его фрактальная размерность приблизительно равна 1.5236. Рис.7. Дракон Джузеппе Пеано. Множество Мандельброта.Множества Мандельброта и Жюлиа, вероятно, два наиболее распространенных среди сложных фракталов. Их можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Множество Мандельброта, которое было построено Бенуа Мандельбротом, наверное первая ассоциация, возникающая у людей, когда они слышат слово фрактал. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями, генерируется простой формулой Zn+1=Zna+C, где Z и C - комплексные числа и а - положительное число.Множество Мандельброта, которое чаще всего можно увидеть - это множество Мандельброта 2й степени, то есть а=2. Тот факт, что множество Мандельброта не только Zn+1=ZnІ+C, а фрактал, показатель в формуле которого может быть любым положительным числом ввел в заблуждение многих. На этой странице вы видите пример множества Мандельброта для различных значений показателя а.Также популярен процесс Z=Z*tg (Z+C). Благодаря включению функции тангенса, получается множество Мандельброта, окруженное областью, напоминающей яблоко. При использовании функции косинуса, получаются эффекты воздушных пузырьков. Короче говоря, существует бесконечное количество способов настройки множества Мандельброта для получения различных красивых картинок. Рис.8. Множество Мандельброта. Модель ДжулииМодель фрактала Джулии имеет то же уравнение, что и модель Мандельброта: Z=Z 2 +c, только здесь переменным параметром является не c , a z. Соответственно, меняется вся структура фрактала, так как теперь на начальное положение не накладывается никаких ограничений. Между моделями Мандельброта и Джулии существует такое различие: если модель Мандельброта является статической (так как z начальное всегда равно нулю), то модель Джулии является динамической моделью фрактала. Рис.9. Модель Джулии. 2. Постановка задачи Необходимо спроектировать и разработать программный продукт, при помощи которого возможно наглядно посмотреть изображения фрактальной графики. Программа должна позволять раскрыть сущность фрактала - многократное самоповторение (всего изображения или определённой его части). Интерфейс должен быть максимально понятным. Скорость работы должна быть такой, чтобы сбалансировать производительность и качество, то есть при данной скорости прорисовывается достаточно наглядное изображение. Необходима так же возможность сохранения фрактального изображения. Программа должна быть интуитивно понятной и "не отталкивать при первом взгляде". Возможностями программы должны быть доступны прорисовки алгебраического и геометрического фракталов. Рис.10. Схема работы программы. Работать мы будем в среде программирования PascalABC.NET, поговорим о ней подробнее. PascalABC.NET - это язык программирования Паскаль нового поколения, который включает в себя классический Паскаль, большинство возможностей языка Delphi , а также ряд собственных расширений. Он реализован на платформе Microsoft.NET и содержит все современные языковые средства такие как: классы , перегрузку операций , интерфейсы , обработку исключений , обобщенные классы и подпрограммы , сборку мусора , лямбда-выражения, средства параллельного программирования ..NET является мультипарадигменным языком: на нем можно программировать в структурном , объектно-ориентированном и функциональном стилях. Также это простая и мощная интегрированная среда разработки, поддерживающая технологию IntelliSense , содержащая средства автоформатирования, встроенный отладчик и встроенный дизайнер форм. Кроме того, консольный компилятор PascalABC.NET функционирует на Linux и MacOS под Mono .Среда PascalABC.NET проектируется как простая, но мощная оболочка, обеспечивающая подсветку синтаксиса, подсказку по коду (подсказка по точке, подсказка параметров подпрограмм, всплывающая подсказка по именам), форматирование текста программы по запросу, переход к определению и реализации подпрограммы, элементы рефакторинга. Она разрабатывается в большей степени с целью обучения программированию и содержит в своем составе ряд дополнительных модулей, предназначенных для обучения.Особенности:·доступ к существующим.NET библиотекам и возможность создания новых. В частности, существуют библиотеки для основных алгоритмов и структур данных. ·среда разработки, ориентированная на обучение: подсказки по коду, отладчик, автоформатирование кода и подсветка синтаксиса, простая навигация по коду и т.д. ·поддержка современных возможностей языков программирования: модули, классы, пространства имен, обработка исключений, сборка мусора и т.д. ·средства параллельного программирования (директивы OpenMP). ·обучающий инструментарий, сохранившийся с Pascal ABC: встроенный задачник, механизм проверяемых заданий, "исполнители" Робот и Чертежник и т.д. По функциональному назначению выделяется три области экрана:ØСтрока меню ØРабочая область ØСтрока состояния В рабочей области есть возможность открывать различные окна программы: окна редактируемого текста, окна помощи, отладки и настройки. Имя файла написано в заголовке окна. Строка состояния показывает некоторые доступные и важные в настоящее время операции и комбинации клавиш соответствующие им. Рис.11. Главное окно в PascalABC.NET Основные команды и горячие клавиши.Основные команды языка программирования Pascal и соответствующие им горячие клавиши:·Ctrl+F9 - запуск программы ·Alt+F5 - просмотр пользовательского экрана ·F2 - сохранение программы ·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
Рассмотрим несколько распространённых видов фракталов.
Решётка Серпинского.
Это один из фракталов, с которыми экспериментировал Мандельброт, когда разрабатывал концепции фрактальных размерностей и итераций. Треугольники, сформированные соединением средних точек большего треугольника вырезаны из главного треугольника, образовывая треугольник, с большим количеством дырочек. В этом случае инициатор - большой треугольник а шаблон - операция вырезания треугольников, подобных большему. Так же можно получить и трехмерную версию треугольника, используя обыкновенный тетраэдр и вырезая маленькие тетраэдры. Размерность такого фрактала ln3/ln2 = 1.584962501.
Рис.3. Решетка Серпинского.
Треугольник Серпинского.
Не перепутайте этот фрактал с решеткой Серпинского. Это два абсолютно разных объекта. В этом фрактале, инициатор и генератор одинаковы. При каждой итерации, добавляется уменьшенная копия инициатора к каждому углу генератора и так далее. Если при создании этого фрактала произвести бесконечное число итераций, он бы занял всю плоскость, не оставив ни одной дырочки. Поэтому его фрактальная размерность ln9/ln3 = 2.0.
Рис.4. Треугольник Серпинского.
Кривая Коха.
Кривая Коха один из самых типичных детерминированных фракталов. Она была изобретена в 1904 году шведским математиком по имени Хельге фон Кох, который, изучая работы Георга Контора и Карла Вейерштрассе, натолкнулся на описания некоторых странных кривых с необычным поведением. Инициатор - прямая линия. Генератор - равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. Эти треугольники добавляются к середине каждого сегмента снова и снова. В своем исследовании, Мандельброт много экспериментировал с кривыми Коха, и получил фигуры такие как Острова Коха, Кресты Коха, Снежинки Коха и даже трехмерные представления кривой Коха, используя тетраэдр и прибавляя меньшие по размерам тетраэдры к каждой его грани. Кривая Коха имеет размерность ln4/ln3 = 1.261859507.
Рис.5. Кривая Коха.
Фрактал Мандельброта.
Это НЕ множество Мандельброта, которое можно достаточно часто видеть. Множество Мандельброта основано на нелинейных уравнениях и является комплексным фракталом. Это тоже вариант кривой Коха несмотря на то, что этот объект не похож на нее. Инициатор и генератор так же отличны от использованных для создания фракталов, основанных на принципе кривой Коха, но идея остается той же. Вместо того, чтобы присоединять равносторонние треугольники к отрезку кривой, квадраты присоединяются к квадрату. Благодаря тому, что этот фрактал занимает точно половину отведенного пространства при каждой итерации, он имеет простую фрактальную размерность 3/2 = 1.5
Рис.6. Фрактал Мандельброта.
Кривая Дракона.
Изобретенная итальянским математиком Джузеппе Пеано, Кривая Дракона или Взмах Дракона, как он назвал его, очень похож на колбасу Минковского. Использован более простой инициатор, а генератор тот же самый. Мандельброт назвал этот фрактал Река Двойного Дракона. Его фрактальная размерность приблизительно равна 1.5236.
Рис.7. Дракон Джузеппе Пеано.
Множество Мандельброта.
Множества Мандельброта и Жюлиа, вероятно, два наиболее распространенных среди сложных фракталов. Их можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Множество Мандельброта, которое было построено Бенуа Мандельбротом, наверное первая ассоциация, возникающая у людей, когда они слышат слово фрактал. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями, генерируется простой формулой Zn+1=Zna+C, где Z и C - комплексные числа и а - положительное число.
Множество Мандельброта, которое чаще всего можно увидеть - это множество Мандельброта 2й степени, то есть а=2. Тот факт, что множество Мандельброта не только Zn+1=ZnІ+C, а фрактал, показатель в формуле которого может быть любым положительным числом ввел в заблуждение многих. На этой странице вы видите пример множества Мандельброта для различных значений показателя а.
Также популярен процесс Z=Z*tg (Z+C). Благодаря включению функции тангенса, получается множество Мандельброта, окруженное областью, напоминающей яблоко. При использовании функции косинуса, получаются эффекты воздушных пузырьков. Короче говоря, существует бесконечное количество способов настройки множества Мандельброта для получения различных красивых картинок.
Рис.8. Множество Мандельброта.
Модель Джулии
Модель фрактала Джулии имеет то же уравнение, что и модель Мандельброта: Z=Z 2 +c, только здесь переменным параметром является не c , a z. Соответственно, меняется вся структура фрактала, так как теперь на начальное положение не накладывается никаких ограничений. Между моделями Мандельброта и Джулии существует такое различие: если модель Мандельброта является статической (так как z начальное всегда равно нулю), то модель Джулии является динамической моделью фрактала. Рис.9. Модель Джулии. 2. Постановка задачи Необходимо спроектировать и разработать программный продукт, при помощи которого возможно наглядно посмотреть изображения фрактальной графики. Программа должна позволять раскрыть сущность фрактала - многократное самоповторение (всего изображения или определённой его части). Интерфейс должен быть максимально понятным. Скорость работы должна быть такой, чтобы сбалансировать производительность и качество, то есть при данной скорости прорисовывается достаточно наглядное изображение. Необходима так же возможность сохранения фрактального изображения. Программа должна быть интуитивно понятной и "не отталкивать при первом взгляде". Возможностями программы должны быть доступны прорисовки алгебраического и геометрического фракталов. Рис.10. Схема работы программы. Работать мы будем в среде программирования PascalABC.NET, поговорим о ней подробнее. PascalABC.NET - это язык программирования Паскаль нового поколения, который включает в себя классический Паскаль, большинство возможностей языка Delphi , а также ряд собственных расширений. Он реализован на платформе Microsoft.NET и содержит все современные языковые средства такие как: классы , перегрузку операций , интерфейсы , обработку исключений , обобщенные классы и подпрограммы , сборку мусора , лямбда-выражения, средства параллельного программирования ..NET является мультипарадигменным языком: на нем можно программировать в структурном , объектно-ориентированном и функциональном стилях. Также это простая и мощная интегрированная среда разработки, поддерживающая технологию IntelliSense , содержащая средства автоформатирования, встроенный отладчик и встроенный дизайнер форм. Кроме того, консольный компилятор PascalABC.NET функционирует на Linux и MacOS под Mono .Среда PascalABC.NET проектируется как простая, но мощная оболочка, обеспечивающая подсветку синтаксиса, подсказку по коду (подсказка по точке, подсказка параметров подпрограмм, всплывающая подсказка по именам), форматирование текста программы по запросу, переход к определению и реализации подпрограммы, элементы рефакторинга. Она разрабатывается в большей степени с целью обучения программированию и содержит в своем составе ряд дополнительных модулей, предназначенных для обучения.Особенности:·доступ к существующим.NET библиотекам и возможность создания новых. В частности, существуют библиотеки для основных алгоритмов и структур данных. ·среда разработки, ориентированная на обучение: подсказки по коду, отладчик, автоформатирование кода и подсветка синтаксиса, простая навигация по коду и т.д. ·поддержка современных возможностей языков программирования: модули, классы, пространства имен, обработка исключений, сборка мусора и т.д. ·средства параллельного программирования (директивы OpenMP). ·обучающий инструментарий, сохранившийся с Pascal ABC: встроенный задачник, механизм проверяемых заданий, "исполнители" Робот и Чертежник и т.д. По функциональному назначению выделяется три области экрана:ØСтрока меню ØРабочая область ØСтрока состояния В рабочей области есть возможность открывать различные окна программы: окна редактируемого текста, окна помощи, отладки и настройки. Имя файла написано в заголовке окна. Строка состояния показывает некоторые доступные и важные в настоящее время операции и комбинации клавиш соответствующие им. Рис.11. Главное окно в PascalABC.NET Основные команды и горячие клавиши.Основные команды языка программирования Pascal и соответствующие им горячие клавиши:·Ctrl+F9 - запуск программы ·Alt+F5 - просмотр пользовательского экрана ·F2 - сохранение программы ·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
Соответственно, меняется вся структура фрактала, так как теперь на начальное положение не накладывается никаких ограничений. Между моделями Мандельброта и Джулии существует такое различие: если модель Мандельброта является статической (так как z начальное всегда равно нулю), то модель Джулии является динамической моделью фрактала. Рис.9. Модель Джулии. 2. Постановка задачи Необходимо спроектировать и разработать программный продукт, при помощи которого возможно наглядно посмотреть изображения фрактальной графики. Программа должна позволять раскрыть сущность фрактала - многократное самоповторение (всего изображения или определённой его части). Интерфейс должен быть максимально понятным. Скорость работы должна быть такой, чтобы сбалансировать производительность и качество, то есть при данной скорости прорисовывается достаточно наглядное изображение. Необходима так же возможность сохранения фрактального изображения. Программа должна быть интуитивно понятной и "не отталкивать при первом взгляде". Возможностями программы должны быть доступны прорисовки алгебраического и геометрического фракталов. Рис.10. Схема работы программы. Работать мы будем в среде программирования PascalABC.NET, поговорим о ней подробнее. PascalABC.NET - это язык программирования Паскаль нового поколения, который включает в себя классический Паскаль, большинство возможностей языка Delphi , а также ряд собственных расширений. Он реализован на платформе Microsoft.NET и содержит все современные языковые средства такие как: классы , перегрузку операций , интерфейсы , обработку исключений , обобщенные классы и подпрограммы , сборку мусора , лямбда-выражения, средства параллельного программирования ..NET является мультипарадигменным языком: на нем можно программировать в структурном , объектно-ориентированном и функциональном стилях. Также это простая и мощная интегрированная среда разработки, поддерживающая технологию IntelliSense , содержащая средства автоформатирования, встроенный отладчик и встроенный дизайнер форм. Кроме того, консольный компилятор PascalABC.NET функционирует на Linux и MacOS под Mono .Среда PascalABC.NET проектируется как простая, но мощная оболочка, обеспечивающая подсветку синтаксиса, подсказку по коду (подсказка по точке, подсказка параметров подпрограмм, всплывающая подсказка по именам), форматирование текста программы по запросу, переход к определению и реализации подпрограммы, элементы рефакторинга. Она разрабатывается в большей степени с целью обучения программированию и содержит в своем составе ряд дополнительных модулей, предназначенных для обучения.Особенности:·доступ к существующим.NET библиотекам и возможность создания новых. В частности, существуют библиотеки для основных алгоритмов и структур данных. ·среда разработки, ориентированная на обучение: подсказки по коду, отладчик, автоформатирование кода и подсветка синтаксиса, простая навигация по коду и т.д. ·поддержка современных возможностей языков программирования: модули, классы, пространства имен, обработка исключений, сборка мусора и т.д. ·средства параллельного программирования (директивы OpenMP). ·обучающий инструментарий, сохранившийся с Pascal ABC: встроенный задачник, механизм проверяемых заданий, "исполнители" Робот и Чертежник и т.д. По функциональному назначению выделяется три области экрана:ØСтрока меню ØРабочая область ØСтрока состояния В рабочей области есть возможность открывать различные окна программы: окна редактируемого текста, окна помощи, отладки и настройки. Имя файла написано в заголовке окна. Строка состояния показывает некоторые доступные и важные в настоящее время операции и комбинации клавиш соответствующие им. Рис.11. Главное окно в PascalABC.NET Основные команды и горячие клавиши.Основные команды языка программирования Pascal и соответствующие им горячие клавиши:·Ctrl+F9 - запуск программы ·Alt+F5 - просмотр пользовательского экрана ·F2 - сохранение программы ·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
Рис.9. Модель Джулии.
2. Постановка задачи
Необходимо спроектировать и разработать программный продукт, при помощи которого возможно наглядно посмотреть изображения фрактальной графики. Программа должна позволять раскрыть сущность фрактала - многократное самоповторение (всего изображения или определённой его части). Интерфейс должен быть максимально понятным. Скорость работы должна быть такой, чтобы сбалансировать производительность и качество, то есть при данной скорости прорисовывается достаточно наглядное изображение. Необходима так же возможность сохранения фрактального изображения. Программа должна быть интуитивно понятной и "не отталкивать при первом взгляде". Возможностями программы должны быть доступны прорисовки алгебраического и геометрического фракталов.
Рис.10. Схема работы программы.
Работать мы будем в среде программирования PascalABC.NET, поговорим о ней подробнее. PascalABC.NET - это язык программирования Паскаль нового поколения, который включает в себя классический Паскаль, большинство возможностей языка Delphi , а также ряд собственных расширений. Он реализован на платформе Microsoft.NET и содержит все современные языковые средства такие как: классы , перегрузку операций , интерфейсы , обработку исключений , обобщенные классы и подпрограммы , сборку мусора , лямбда-выражения, средства параллельного программирования ..NET является мультипарадигменным языком: на нем можно программировать в структурном , объектно-ориентированном и функциональном стилях. Также это простая и мощная интегрированная среда разработки, поддерживающая технологию IntelliSense , содержащая средства автоформатирования, встроенный отладчик и встроенный дизайнер форм. Кроме того, консольный компилятор PascalABC.NET функционирует на Linux и MacOS под Mono .
Среда PascalABC.NET проектируется как простая, но мощная оболочка, обеспечивающая подсветку синтаксиса, подсказку по коду (подсказка по точке, подсказка параметров подпрограмм, всплывающая подсказка по именам), форматирование текста программы по запросу, переход к определению и реализации подпрограммы, элементы рефакторинга. Она разрабатывается в большей степени с целью обучения программированию и содержит в своем составе ряд дополнительных модулей, предназначенных для обучения.
Особенности:
·доступ к существующим.NET библиотекам и возможность создания новых. В частности, существуют библиотеки для основных алгоритмов и структур данных. ·среда разработки, ориентированная на обучение: подсказки по коду, отладчик, автоформатирование кода и подсветка синтаксиса, простая навигация по коду и т.д. ·поддержка современных возможностей языков программирования: модули, классы, пространства имен, обработка исключений, сборка мусора и т.д. ·средства параллельного программирования (директивы OpenMP). ·обучающий инструментарий, сохранившийся с Pascal ABC: встроенный задачник, механизм проверяемых заданий, "исполнители" Робот и Чертежник и т.д. По функциональному назначению выделяется три области экрана:ØСтрока меню ØРабочая область ØСтрока состояния В рабочей области есть возможность открывать различные окна программы: окна редактируемого текста, окна помощи, отладки и настройки. Имя файла написано в заголовке окна. Строка состояния показывает некоторые доступные и важные в настоящее время операции и комбинации клавиш соответствующие им. Рис.11. Главное окно в PascalABC.NET Основные команды и горячие клавиши.Основные команды языка программирования Pascal и соответствующие им горячие клавиши:·Ctrl+F9 - запуск программы ·Alt+F5 - просмотр пользовательского экрана ·F2 - сохранение программы ·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·среда разработки, ориентированная на обучение: подсказки по коду, отладчик, автоформатирование кода и подсветка синтаксиса, простая навигация по коду и т.д. ·поддержка современных возможностей языков программирования: модули, классы, пространства имен, обработка исключений, сборка мусора и т.д. ·средства параллельного программирования (директивы OpenMP). ·обучающий инструментарий, сохранившийся с Pascal ABC: встроенный задачник, механизм проверяемых заданий, "исполнители" Робот и Чертежник и т.д. По функциональному назначению выделяется три области экрана:ØСтрока меню ØРабочая область ØСтрока состояния В рабочей области есть возможность открывать различные окна программы: окна редактируемого текста, окна помощи, отладки и настройки. Имя файла написано в заголовке окна. Строка состояния показывает некоторые доступные и важные в настоящее время операции и комбинации клавиш соответствующие им. Рис.11. Главное окно в PascalABC.NET Основные команды и горячие клавиши.Основные команды языка программирования Pascal и соответствующие им горячие клавиши:·Ctrl+F9 - запуск программы ·Alt+F5 - просмотр пользовательского экрана ·F2 - сохранение программы ·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·поддержка современных возможностей языков программирования: модули, классы, пространства имен, обработка исключений, сборка мусора и т.д. ·средства параллельного программирования (директивы OpenMP). ·обучающий инструментарий, сохранившийся с Pascal ABC: встроенный задачник, механизм проверяемых заданий, "исполнители" Робот и Чертежник и т.д. По функциональному назначению выделяется три области экрана:ØСтрока меню ØРабочая область ØСтрока состояния В рабочей области есть возможность открывать различные окна программы: окна редактируемого текста, окна помощи, отладки и настройки. Имя файла написано в заголовке окна. Строка состояния показывает некоторые доступные и важные в настоящее время операции и комбинации клавиш соответствующие им. Рис.11. Главное окно в PascalABC.NET Основные команды и горячие клавиши.Основные команды языка программирования Pascal и соответствующие им горячие клавиши:·Ctrl+F9 - запуск программы ·Alt+F5 - просмотр пользовательского экрана ·F2 - сохранение программы ·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·средства параллельного программирования (директивы OpenMP). ·обучающий инструментарий, сохранившийся с Pascal ABC: встроенный задачник, механизм проверяемых заданий, "исполнители" Робот и Чертежник и т.д. По функциональному назначению выделяется три области экрана:ØСтрока меню ØРабочая область ØСтрока состояния В рабочей области есть возможность открывать различные окна программы: окна редактируемого текста, окна помощи, отладки и настройки. Имя файла написано в заголовке окна. Строка состояния показывает некоторые доступные и важные в настоящее время операции и комбинации клавиш соответствующие им. Рис.11. Главное окно в PascalABC.NET Основные команды и горячие клавиши.Основные команды языка программирования Pascal и соответствующие им горячие клавиши:·Ctrl+F9 - запуск программы ·Alt+F5 - просмотр пользовательского экрана ·F2 - сохранение программы ·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·обучающий инструментарий, сохранившийся с Pascal ABC: встроенный задачник, механизм проверяемых заданий, "исполнители" Робот и Чертежник и т.д. По функциональному назначению выделяется три области экрана:ØСтрока меню ØРабочая область ØСтрока состояния В рабочей области есть возможность открывать различные окна программы: окна редактируемого текста, окна помощи, отладки и настройки. Имя файла написано в заголовке окна. Строка состояния показывает некоторые доступные и важные в настоящее время операции и комбинации клавиш соответствующие им. Рис.11. Главное окно в PascalABC.NET Основные команды и горячие клавиши.Основные команды языка программирования Pascal и соответствующие им горячие клавиши:·Ctrl+F9 - запуск программы ·Alt+F5 - просмотр пользовательского экрана ·F2 - сохранение программы ·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
По функциональному назначению выделяется три области экрана:
ØСтрока меню ØРабочая область ØСтрока состояния В рабочей области есть возможность открывать различные окна программы: окна редактируемого текста, окна помощи, отладки и настройки. Имя файла написано в заголовке окна. Строка состояния показывает некоторые доступные и важные в настоящее время операции и комбинации клавиш соответствующие им. Рис.11. Главное окно в PascalABC.NET Основные команды и горячие клавиши.Основные команды языка программирования Pascal и соответствующие им горячие клавиши:·Ctrl+F9 - запуск программы ·Alt+F5 - просмотр пользовательского экрана ·F2 - сохранение программы ·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
ØРабочая область ØСтрока состояния В рабочей области есть возможность открывать различные окна программы: окна редактируемого текста, окна помощи, отладки и настройки. Имя файла написано в заголовке окна. Строка состояния показывает некоторые доступные и важные в настоящее время операции и комбинации клавиш соответствующие им. Рис.11. Главное окно в PascalABC.NET Основные команды и горячие клавиши.Основные команды языка программирования Pascal и соответствующие им горячие клавиши:·Ctrl+F9 - запуск программы ·Alt+F5 - просмотр пользовательского экрана ·F2 - сохранение программы ·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
ØСтрока состояния В рабочей области есть возможность открывать различные окна программы: окна редактируемого текста, окна помощи, отладки и настройки. Имя файла написано в заголовке окна. Строка состояния показывает некоторые доступные и важные в настоящее время операции и комбинации клавиш соответствующие им. Рис.11. Главное окно в PascalABC.NET Основные команды и горячие клавиши.Основные команды языка программирования Pascal и соответствующие им горячие клавиши:·Ctrl+F9 - запуск программы ·Alt+F5 - просмотр пользовательского экрана ·F2 - сохранение программы ·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
В рабочей области есть возможность открывать различные окна программы: окна редактируемого текста, окна помощи, отладки и настройки. Имя файла написано в заголовке окна. Строка состояния показывает некоторые доступные и важные в настоящее время операции и комбинации клавиш соответствующие им.
Рис.11. Главное окно в PascalABC.NET
Основные команды и горячие клавиши.
Основные команды языка программирования Pascal и соответствующие им горячие клавиши:
·Ctrl+F9 - запуск программы ·Alt+F5 - просмотр пользовательского экрана ·F2 - сохранение программы ·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·Alt+F5 - просмотр пользовательского экрана ·F2 - сохранение программы ·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·F2 - сохранение программы ·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·F3 - открытие сохраненной программы ·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·Alt+F3 - закрытие активного окна ·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·Alt+X - выход из Турбо Паскаль ·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·F1 - контекстная помощь ·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·Ctrl+F1 - справка об операторе, на котором установлен курсор ·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·Alt+Backspace - отмена последнего изменения ·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·Ctrl+Y - удаление строки ·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·Shift+стрелки - выделение блока текста ·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·Ctrl+Insert - копирование выделенного блока в буфер ·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·Shift+Insert - вставка из буфера Операции отношения.К операциям отношения в Pascal относят:·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
Операции отношения.
К операциям отношения в Pascal относят:
·> - больше ·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·< - меньше ·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·= - равно ·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·<> - не равно ·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·>= - больше или равно ·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·<= - меньше или равно В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.Приоритет операций.Существует следующий приоритет операций:·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
В операциях отношения могут быть не только числа, но также и символы, строки, множества и указатели.
Приоритет операций.
Существует следующий приоритет операций:
·унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @ ·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·операции типа умножения: * / div mod and ·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·операции типа сложения: + - or xor ·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·операции отношения: = <> < > <= >= in Логические операции.·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
Логические операции.
·NOT - логическое отрицание ("НЕ") ·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·AND - логическое умножение ("И") ·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·OR - логическое сложение ("ИЛИ") ·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
·XOR - логическое ("Исключающее ИЛИ") Структура программыПрограмма на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)Описания могут включать в себя:фрактал стохастический множество криваяРис.12.Структура программы. Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }: 3. Практическая часть В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага. Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут. Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского. Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET. program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}. Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET. После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой". Рис.16. Запуск программы. После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок. Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского. Заключение Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление. Список литературы 1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
Структура программы
Программа на языке Pascal состоит из заголовка, разделов описаний и раздела операторов. Заголовок программы должен содержат имя программы (program tab;)
Описания могут включать в себя:
фрактал стохастический множество кривая
Рис.12.Структура программы.
Раздел описания модулей. Состоит из служебного слова USES и содержит имена подключаемых модулей (библиотек). Раздел описания модулей должен быть первым среди разделов описаний. Имена модулей разделяются друг от друга запятыми (uses CRT,tab;).
Все метки, которые используются в программе, должны быть описаны в разделе описания меток (label 5, 365, 95, Quit;).
Описание констант позволяет использовать имена как синонимы констант, их необходимо определить в разделе описания констант:K=524; MAX= 17850;
В разделе описания переменных необходимо внести все переменные, которые используются в программе, и еще нужно определить их тип:
var S,R,M: Integer;,Y: Char;,D6: Boolean;
Раздел операторов - составной оператор, содержащий между служебными словами begin.......end последовательность операторов. Операторы отделяются символом " ; ". А текст заканчивается точкой(.) .
Кроме описаний и операторов PascalABC.NET может содержать комментарии, представляющие собой произвольную последовательность символов, которые располагаются между скобкой комментариев { ... }:
3. Практическая часть
В этой части мы приступим к созданию фракталов, в нашем случае это треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага.
Рис.13. Пошаговое создание треугольника Серпинского.
Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться "в обратном направлении": взять изначально "пустой" треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут.
Рис.14. Пошаговое создание треугольника Серпинского.
Вот наш конечный код написание нашей программы треугольника Серпинского в среде программирования PascalABC.NET.
program Serpinskiy;CRT, GraphABC;, gm: Integer;= 9;tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));;draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n: Real;n > 0 thenn:= (x1 + x2) / 2;n:= (y1 + y2) / 2;n:= (x2 + x3) / 2;n:= (y2 + y3) / 2;n:= (x3 + x1) / 2;n:= (y3 + y1) / 2;(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);;;(320,10,600,470,40,470);(320,10,600,470,40,470,iter);{}.
Рис.15. Готовая программа в PascalABC.NET.
После того как написали код, следует запустить нашу программу. Для этого заходим в раздел "Программа" и выбираем пункт "Выполнить без связи с оболочкой".
Рис.16. Запуск программы.
После запуска откроется дополнительное окно, в котором мы можем увидеть наш готовый рисунок.
Рис.17. Готовый Треугольник Серпинского.
Заключение
Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы выяснили, что фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает. В этом мы можем убедиться на конкретном примере, представленном в практической части работы, а именно на примере создания фрактала треугольника Серпинского. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные программы. От самого процесса создания совершенно для нас нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Фракталы очень разнообразны, как и их применение. Изучая фрактальные модели для практического применения, каждый сможет выбрать подходящее для себя направление.
Список литературы
1.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2008 г.
Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2010 г.
Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-2007.
Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: "Мир", 2009.
Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории 2011.
Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, "Фракталы в физике". М.: Мир 2010.
Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. 2009.
Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 2009.
