МиноромM ij элемента a ij определителя n -го порядка называется определитель порядка (n-1 ), полученный из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, в которых находится этот элемент (i -ой строки и j -го столбца).
Алгебраическое дополнение элемента a ij задается выражением:
Определители порядка n >3 вычисляются с помощью теоремыо разложении определителя по элементам строки или столбца:
Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки или любого столбца на соответствующие этим элементам алгебраические дополнения, т.е.
Пример.
Вычислить определитель, разложив его по элементам строки или столбца:
Решение
1. Если в какой-нибудь одной строке или одном столбце присутствует только один элемент, отличный от нуля, то преобразовывать определитель нет необходимости. В противном случае, прежде чем применять теорему о разложении определителя, преобразуем его, используя следующее свойство: если к элементам строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель, то значение определителя не изменится.
Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2 .
Из элементов столбца 4 вычитаем соответствующие элементы столбца 3 , умноженные на 2.
Разлагаем определитель по элементам третьей строки
2. Полученный определитель 3-го порядка можно вычислить по правилу треугольников или по правилу Саррюса (см выше). Однако элементы определителя являются числами довольно большими, поэтому разложим определитель, предварительно преобразовав его:
Из элементов второй строки вычитаем соответствующие элементы первой строки, умноженные на 3.
Из элементов первой строки вычитаем соответствующие элементы третьей строки.
К элементам строки 1 прибавляем соответствующие элементы строки 2
Определитель с нулевой строкой равен 0.
Итак, определители порядка n >3 вычисляются:
· преобразованием определителя к треугольному виду с помощью свойств определителей;
· разложением определителя по элементам сроки или столбца, тем самым понижая его порядок.
Ранг матрицы.
Ранг матрицы представляет собой важную числовую характеристику. Наиболее характерной задачей, требующей нахождения ранга матрицы, является проверка совместности системы линейных алгебраических уравнений.
Возьмем матрицу А
порядка p
xn
. Пусть k
– некоторое натуральное число, не превосходящее наименьшего из чисел p
и n
, то есть, 
Минором k-ого порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы порядка k xk , составленной из элементов матрицы А , которые находятся в заранее выбранных k строках и k столбцах, причем расположение элементов матрицы А сохраняется.
Рассмотрим матрицу:
Запишем несколько миноров первого порядка этой матрицы. К примеру, если мы выберем третью строку и второй столбец матрицы А , то нашему выбору соответствует минор первого порядка det(-4)=-4. Иными словами, для получения этого минора мы вычеркнули первую и вторую строки, а также первый, третий и четвертый столбцы из матрицы А , а из оставшегося элемента составили определитель.
Таким образом, минорами первого порядка матрицы являются сами элементы матрицы.
Покажем несколько миноров второго порядка. Выбираем две строки и два столбца. К примеру, возьмем первую и вторую строки, и третий и четвертый столбец. При таком выборе имеем минор второго порядка 
.
Другим минором второго порядка матрицы А
является минор 
Аналогично могут быть найдены миноры третьего порядка матрицы А . Так как в матрице А всего три строки, то выбираем их все. Если к этим строкам выбрать три первых столбца, то получим минор третьего порядка:
Другим минором третьего порядка является:
Для данной матрицы А миноров порядка выше третьего не существует, так как
Сколько же существует миноров k -ого порядка матрицы А порядка p xn ? Немало!
Число миноров порядка k может быть вычислено по формуле:
Рангом матрицы называется наивысший порядок минора матрицы, отличного от нуля.
Ранг матрицы А обозначают как rang(A). Из определений ранга матрицы и минора матрицы можно заключить, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы не меньше единицы.
Итак, первым методом нахождения ранга матрицы является метод перебора миноров . Этот способ основан на определении ранга матрицы.
Пусть нам требуется найти ранг матрицы А порядка p xn .
Если есть хотя бы один элемент матрицы, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (так как есть минор первого порядка, не равный нулю).
Далее перебираем миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы равен единице. Если существует хотя бы один ненулевой минор второго порядка, то переходим к перебору миноров третьего порядка, а ранг матрицы как минимум равен двум.
Аналогично, если все миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум. Если существует хотя бы один минор третьего порядка, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен трем, а мы преступаем к перебору миноров четвертого порядка.
Отметим, что ранг матрицы не может превышать наименьшего из чисел p и n .
Пример.
Найдите ранг матрицы 
.
Решение.
1. Так как матрица ненулевая, то ее ранг не меньше единицы.
2. Один из миноров второго порядка 
отличен от нуля, следовательно, ранг матрицы А
не меньше двух.
3. Миноров третьего порядка 
Все миноры третьего порядка равны нулю. Поэтому, ранг матрицы равен двум.
rang(A) = 2 .
Существуют другие методы нахождения ранга матрицы, которые позволяют получить результат при меньшей вычислительной работе.
Одним из таких методов является метод окаймляющих миноров . При использовании этого метода вычисления несколько сокращаются, и все же они довольно громоздки.
Существуют еще один способ нахождения ранга матрицы - с помощью элементарных преобразований (метод Гаусса).
Следующие преобразования матрицы называют элементарными :
· перестановка местами строк (или столбцов) матрицы;
· умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k , отличное от нуля;
· прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца) матрицы, умноженных на произвольное число k .
Матрица В называется эквивалентной матрице А , если В получена из А с помощью конечного числа элементарных преобразований. Эквивалентность матриц обозначается символом « ~ » , то есть, записывается A ~ B.
Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований матрицы основано на утверждении: если матрица В получена из матрицы А помощью конечного числа элементарных преобразований, то rang(A) = rang(B) , т.е. ранги эквивалентных матриц равны.
Суть метода элементарных преобразований заключается в приведении матрицы, ранг которой нам требуется найти, к трапециевидной (в частном случае к верхней треугольной) с помощью элементарных преобразований.
Ранг матриц такого вида очень легко найти. Он равен количеству строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент. А так как ранг матрицы при проведении элементарных преобразований не изменяется, то полученное значение будет рангом исходной матрицы.
Пример.
Методом элементарных преобразований найдите ранг матрицы
.
Решение.
1. Поменяем местами первую и вторую строки матрицы А , так как элемент a 11 =0 , а элемент a 21 отличен от нуля:
~ 
В полученной матрице элемент равен единице. В противном случае нужно было умножить элементы первой строки на . Сделаем все элементы первого столбца, кроме первого, нулевыми. Во второй строке ноль уже есть, к третьей строке прибавим первую, умноженную на 2:
Элемент в полученной матрице отличен от нуля. Умножим элементы второй строки на 
Второй столбец полученной матрицы имеет нужный вид, так как элемент уже равен нулю.
Так как 
, а 
, то поменяем местами третий и четвертый столбцы и умножим третью строку полученной матрицы на :
Исходная матрица приведена к трапециевидной, ее ранг равен количеству строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент. Таких строк три, следовательно ранг исходной матрицы равен трем.rang(A)=3.
Обратная матрица.
Пусть имеем матрицу А .
Матрицей, обратной матрице А , называется матрица A -1 такая, что A -1 A = A A -1 = E .
Обратная матрица может существовать только для квадратной матрицы. Причем сама является той же размерности, что и исходная матрица.
Для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, она должна быть невырожденной (т.е. Δ ≠0 ). Это условие является и достаточным для существования A -1 к матрице А . Итак, всякая невырожденная матрица имеет обратную, и, притом, единственную.
Алгоритм нахождения обратной матрицы на примере матрицы А :
1. Находим определитель матрицы. Если Δ ≠0 , то матрица A -1 существует.
2. Составим матрицу В алгебраических дополнений элементов исходной матрицы А . Т.е. в матрице В элементом i - ой строки и j - го столбца будет алгебраическое дополнение A ij элемента a ij исходной матрицы.
3. Транспонируем матрицу В и получим B t .
4. Найдем обратную матрицу, умножив полученную матрицу B t на число .
Пример.
Для данной матрицы найти обратную и выполнить проверку:
Решение
Воспользуемся ранее описанным алгоритмом нахождения обратной матрицы.
1. Для выяснения существования обратной матрицы, необходимо вычислить определитель данной матрицы. Воспользуемся правилом треугольников:
Матрица является невырожденной, следовательно, она обратима.
Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы:
Из найденных алгебраических дополнений составляется матрица:
и транспонируется 
Разделив каждый элемент полученной матрицы на определитель, получим матрицу, обратную к исходной:
Проверка осуществляется умножением полученной матрицы на исходную. Если обратная матрица найдена правильно, в результате умножения получится единичная матрица.
Для нахождения обратной матрицы для данной, можно воспользоваться методом Гаусса (конечно, предварительно необходимо убедиться, что матрица обратима), рассмотрение которого оставляю для самостоятельной работы.
©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-10-12
Алгебраическое дополнение - понятие матричной алгебры; применительно к элементу aij квадратной матрицы А образуется путем умножения минора элемента aij на (1)i+j; обозначается Аij: Aij=(1)i+jMij, где Mij минор элемента aij матрицы A=, т.е. определитель… … Экономико-математический словарь
алгебраическое дополнение - Понятие матричной алгебры; применительно к элементу aij квадратной матрицы А образуется путем умножения минора элемента aij на (1)i+j; обозначается Аij: Aij=(1)i+jMij, где Mij минор элемента aij матрицы A=, т.е. определитель матрицы,… … Справочник технического переводчика
Алгебраическое дополнение - см. в ст. Определитель … Большая советская энциклопедия
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ - для минора М число, равное где М минор порядка k, расположенный в строках с номерами и столбцах с номерами некоторой квадратной матрицы Апорядка п; определитель матрицы порядка n k, полученной из матрицы Авычеркиванием строк и столбцов минора М;… … Математическая энциклопедия
Дополнение - В Викисловаре есть статья «дополнение» Дополнение может означать … Википедия
ДОПОЛНЕНИЕ - операция, к рая ставит в соответствие подмножеству Мданного множества Xдругое подмножество так, что если известны Ми N, то тем или иным способом может быть восстановлено множество X. В зависимости от того, какой структурой наделено множество X,… … Математическая энциклопедия
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ - или детерминант, в математике запись чисел в виде квадратной таблицы, в соответствие которой ставится другое число (значение определителя). Очень часто под понятием определитель имеют в виду как значение определителя, так и форму его записи.… … Энциклопедия Кольера
Теорема Лапласа - О теореме из теории вероятностей см. статью Локальная теорема Муавра Лапласа. Теорема Лапласа одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера Симона Лапласа (1749 1827), которому приписывают формулирование… … Википедия
Матрица Кирхгофа - (Laplacian matrix) одно из представлений графа с помощью матрицы. Матрица Кирхгофа используется для подсчета остовных деревьев данного графа (матричная теорема о деревьях), а также используется в спектральной теории графов. Содержание 1… … Википедия
УРАВНЕНИЯ - Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например, соотношение вида… … Энциклопедия Кольера
Определение. Если в определителе n-го порядка выбрать произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении указанных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k. Определитель такой квадратной матрицы называют минором k-го порядка .
Обозначается M k . Если k=1, то минор первого порядка - это элемент определителя.
Элементы, стоящие на пересечении оставшихся (n-k) строк и (n-k) столбцов, составляют квадратную матрицу порядка (n-k). Определитель такой матрицы называется минором, дополнительным к минору M k . Обозначается M n-k .
Алгебраическим дополнением минора M k будем называть его дополнительный минор, взятый со знаком “+” или “-” в зависимости от того, четна или нечетна сумма номеров всех строк и столбцов, в которых расположен минор M k .
Если k=1, то алгебраическое дополнение к элементу a ik вычисляется по формуле
A ik =(-1) i+k M ik , где M ik - минор (n-1) порядка.
Теорема . Произведение минора k-го порядка на его алгебраическое дополнение равно сумме некоторого числа членов определителя D n .
Доказательство
1. Рассмотрим частный случай. Пусть минор M k занимает левый верхний угол определителя, то есть располагается в строках с номерами 1, 2, ..., k, тогда минор M n-k будет занимать строки k+1, k+2, ..., n.
Вычислим алгебраическое дополнение к минору M k . По определению,
A n-k =(-1) s M n-k , где s=(1+2+...+k) +(1+2+...+k)= 2(1+2+...+k), тогда
(-1) s =1 и A n-k = M n-k . Получим
M k A n-k = M k M n-k . (*)
Берем произвольный член минора M k
, (1)
где s - число инверсий в подстановке
и произвольный член минора M n-k
где s * - число инверсий в подстановке
(4)
Перемножая (1) и (3), получим
Произведение состоит из n элементов, расположенных в различных строках и столбцах определителя D. Следовательно, это произведение является членом определителя D. Знак произведения (5) определяется суммой инверсий в подстановках (2) и (4), а знак аналогичного произведения в определителе D определяется числом инверсий s k в подстановке
Очевидно, что s k =s+s * .
Таким образом, возвращаясь к равенству (*), получим, что произведение M k A n-k состоит только из членов определителя.
2. Пусть минор M k расположен в строках с номерами i 1 , i 2 , ..., i k и в столбцах с номерами j 1 , j 2 , ..., j k , причем i 1 < i 2 < ...< i k и j 1 < j 2 < ...< j k .
Используя свойства определителей, с помощью транспозиций сместим минор в левый верхний угол. Получим определитель D ¢ , в котором минор M k занимает левый верхний угол, а дополнительный к нему минор M¢ n-k - правый нижний угол, тогда, по доказанному в пункте 1, получим, что произведение M k M¢ n-k является суммой некоторого количества элементов определителя D ¢ , взятых со своим знаком. Но D ¢ получен из D с помощью (i 1 -1)+(i 2 -2)+ ...+(i k -k)=(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k) транспозиций строк и (j 1 -1)+(j 2 -2)+ ...+(j k -k)=(j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k) транспозиций столбцов. То есть всего было выполнено
(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k)= (i 1 + i 2 + ...+ i k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- 2(1+2+...+k)=s-2(1+2+...+k). Поэтому члены определителей D и D ¢ отличаются знаком (-1) s-2(1+2+...+k) =(-1) s , следовательно, произведение (-1) s M k M¢ n-k будет состоять из некоторого количества членов определителя D, взятых с теми же знаками, какие они имеют в этом определителе.
Теорема Лапласа . Если в определителе n-го порядка выбрать произвольно k строк (или k столбцов) 1£k£n-1, тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю D.
Доказательство
Выберем произвольно строки i 1 , i 2 , ..., i k и докажем, что
Ранее было доказано, что все элементы в левой части равенства содержатся в качестве слагаемых в определителе D. Покажем, что каждый член определителя D попадает только в одно из слагаемых . Действительно, всякое t s имеет вид t s = . если в этом произведении отметить сомножители, у которых первые индексы i 1 , i 2 , ..., i k , и составить их произведение , то можно заметить, что полученное произведение принадлежит минору k-го порядка. Следовательно, оставшиеся члены, взятые из оставшихся n-k строк и n-k столбцов, образуют элемент, принадлежащий дополнительному минору, а с учетом знака - алгебраическому дополнению, следовательно, любое t s попадает только в одно из произведений , что доказывает теорему.
Следствие (теорема о разложении определителя по строке). Сумма произведений элементов некоторой строки определителя на соответствующие алгебраические дополнения равна определителю.
(Доказательство в качестве упражнения.)
Теорема . Сумма произведений элементов i-ой строки определителя на соответствующие алгебраические дополнения к элементам j-ой строки (i¹j) равна 0.
