Сдающим ЕГЭ и не только…
Странно, что в школах на уроках информатики обычно показывают ученикам самый сложный и неудобный способ перевода чисел из одной системы в другую. Это способ заключается в последовательном делении исходного числа на основание и сборе остатков от деления в обратном порядке.
Например, нужно перевести число 810 10 в двоичную систему:
Результат записываем в обратном порядке снизу вверх. Получается 81010 = 11001010102
Если нужно переводить в двоичную систему довольно большие числа, то лестница делений приобретает размер многоэтажного дома. И как тут собрать все единички с нулями и ни одной не пропустить?
В программу ЕГЭ по информатике входят несколько задач, связанных с переводом чисел из одной системы в другую. Как правило, это преобразование между 8- и 16-ричными системами и двоичной. Это разделы А1, В11. Но есть и задачи с другими системами счисления, как например, в разделе B7.
Для начала напомним две таблицы, которые хорошо бы знать наизусть тем, кто выбирает информатику своей дальнейшей профессией.
Таблица степеней числа 2:
2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 | 2 7 | 2 8 | 2 9 | 2 10 |
2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
Таблица двоичных чисел от 0 до 15 c 16-ричным представлением:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
Перевод целых чисел
Итак, начнем с перевода сразу в двоичную систему. Возьмём то же число 810 10 . Нам нужно разложить это число на слагаемые, равные степеням двойки.
Способ 1 : Расставить 1 по тем разрядам, какие получились показатели у слагаемых. В нашем примере это 9, 8, 5, 3 и 1. В остальных местах будут стоять нули. Итак, мы получили двоичное представление числа 810 10 = 1100101010 2 . Единицы стоят на 9-м, 8-м, 5-м, 3-м и 1-м местах, считая справа налево с нуля.
Способ 2 : Распишем слагаемые как степени двойки друг под другом, начиная с большего.
810 =
А теперь сложим эти ступеньки вместе, как складывают веер: 1100101010
.
Вот и всё. Попутно также просто решается задача «сколько единиц в двоичной записи числа 810?».
Ответ - столько, сколько слагаемых (степеней двойки) в таком его представлении. У 810 их 5.
Теперь пример попроще.
Переведём число 63 в 5-ричную систему счисления. Ближайшая к 63 степень числа 5 - это 25 (квадрат 5). Куб (125) будет уже много. То есть 63 лежит между квадратом 5 и кубом. Тогда подберем коэффициент для 5 2 . Это 2.
Получаем 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5 .
Ну и, наконец, совсем лёгкие переводы между 8- и 16-ричными системами. Так как их основанием является степень двойки, то перевод делается автоматически, просто заменой цифр на их двоичное представление. Для 8-ричной системы каждая цифра заменяется тремя двоичными разрядами, а для 16-ричной четырьмя. При этом все ведущие нули обязательны, кроме самого старшего разряда.
Переведем в двоичную систему число 547 8 .
547 8 = | 101 | 100 | 111 |
5 | 4 | 7 |
Ещё одно, например 7D6A 16 .
7D6A 16 = | (0)111 | 1101 | 0110 | 1010 |
7 | D | 6 | A |
Переведем в 16-ричную систему число 7368. Сначала цифры запишем тройками, а потом поделим их на четверки с конца: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16 . Переведем в 8-ричную систему число C25 16 . Сначала цифры запишем четвёрками, а потом поделим их на тройки с конца: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8 . Теперь рассмотрим перевод обратно в десятичную. Он труда не представляет, главное не ошибиться в расчётах. Раскладываем число на многочлен со степенями основания и коэффициентами при них. Потом всё умножаем и складываем. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688 . 732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 .
Перевод отрицательных чисел
Здесь нужно учесть, что число будет представлено в дополнительном коде. Для перевода числа в дополнительный код нужно знать конечный размер числа, то есть во что мы хотим его вписать - в байт, в два байта, в четыре. Старший разряд числа означает знак. Если там 0, то число положительное, если 1, то отрицательное. Слева число дополняется знаковым разрядом. Беззнаковые (unsigned) числа мы не рассматриваем, они всегда положительные, а старший разряд в них используется как информационный.
Для перевода отрицательного числа в двоичный дополнительный код нужно перевести положительное число в двоичную систему, потом поменять нули на единицы и единицы на нули. Затем прибавить к результату 1.
Итак, переведем число -79 в двоичную систему. Число займёт у нас один байт.
Переводим 79 в двоичную систему, 79 = 1001111. Дополним слева нулями до размера байта, 8 разрядов, получаем 01001111. Меняем 1 на 0 и 0 на 1. Получаем 10110000. К результату прибавляем 1, получаем ответ 10110001 . Попутно отвечаем на вопрос ЕГЭ «сколько единиц в двоичном представлении числа -79?». Ответ - 4.
Прибавление 1 к инверсии числа позволяет устранить разницу между представлениями +0 = 00000000 и -0 = 11111111. В дополнительном коде они будут записаны одинаково 00000000.
Перевод дробных чисел
Дробные числа переводятся способом, обратным делению целых чисел на основание, который мы рассмотрели в самом начале. То есть при помощи последовательного умножения на новое основание с собиранием целых частей. Полученные при умножении целые части собираются, но не участвуют в следующих операциях. Умножаются только дробные. Если исходное число больше 1, то целая и дробная части переводятся отдельно, потом склеиваются.
Переведем число 0,6752 в двоичную систему.
0 | ,6752 |
*2 | |
1 | ,3504 |
*2 | |
0 | ,7008 |
*2 | |
1 | ,4016 |
*2 | |
0 | ,8032 |
*2 | |
1 | ,6064 |
*2 | |
1 | ,2128 |
Процесс можно продолжать долго, пока не получим все нули в дробной части или будет достигнута требуемая точность. Остановимся пока на 6-м знаке.
Получается 0,6752 = 0,101011 .
Если число было 5,6752, то в двоичном виде оно будет 101,101011 .
Инструкция
Видео по теме
В той системе счета, которой мы пользуемся каждый день, десять цифр - от нуля до девяти. Поэтому она называется десятичной. Однако в технических расчетах, особенно тех, которые имеют отношение к компьютерам, используются и другие системы , в частности, двоичная и шестнадцатеричная. Поэтому нужно уметь переводить числа из одной системы счисления в другую.
Вам понадобится
Инструкция
Двоичная система - самая простая. В ней всего две цифры - ноль и единица. Каждая цифра двоичного числа , начиная с конца, соответствует степени двойки. Два в равняется одному, в первой - двум, во второй - четырем, в третьей - восьми, и так далее.
Предположим, что вам дано двоичное число 1010110. Единицы в нем стоят на втором, третьем, пятом и седьмом с конца местах. Поэтому в десятичной системе это число равно 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.
Обратная задача - десятичного числа
систему. Предположим, у вас есть число 57. Чтобы получить его запись, вы должны последовательно делить это число на 2 и записывать остаток от деления. Двоичное число будет строиться от конца к началу.
Первый шаг даст вам последнюю цифру: 57/2 = 28 (остаток 1).
Затем вы получаете вторую с конца: 28/2 = 14 (остаток 0).
Дальнейшие шаги: 14/2 = 7 (остаток 0);
7/2 = 3 (остаток 1);
3/2 = 1 (остаток 1);
1/2 = 0 (остаток 1).
Это последний шаг, потому что результат деления равен нулю. В итоге вы получили двоичное число 111001.
Проверьте правильность ответа: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.
Вторая , используемая в компьютерных вопросах - шестнадцатеричная. В ней не десять, а шестнадцать цифр. Чтобы не новых условных обозначений, первые десять цифр шестнадцатеричной системы обозначаются обычными цифрами, а остальные шесть - латинскими буквами: A, B, C, D, E, F. десятичной записи они соответствуют числа м от 10 до 15. Во избежание путаницы перед числом, записанным по шестнадцатеричной системе, ставят знак # или символы 0x.
Чтобы число из шестнадцатеричной системы , нужно каждую его цифру умножить на соответствующую степень шестнадцати и сложить результаты. Например, число #11A в десятичной записи равняется 10*(16^0) + 1*(16^1) + 1*(16^2) = 10 + 16 + 256 = 282.
Обратный перевод из десятичной системы
в шестнадцатеричную совершается тем же методом остатков, что и в двоичную. Например, возьмите число 10000. Последовательно деля его на 16 и записывая остатки, вы получите:
10000/16 = 625 (остаток 0).
625/16 = 39 (остаток 1).
39/16 = 2 (остаток 7).
2/16 = 0 (остаток 2).
Результатом вычислений станет шестнадцатеричное число #2710.
Проверьте правильность ответа: #2710 = 1*(16^1) + 7*(16^2) + 2*(16^3) = 16 + 1792 + 8192 = 10000.
Переводить числа
из шестнадцатеричной системы
в двоичную гораздо проще. Число 16 является двойки: 16 = 2^4. Поэтому каждую шестнадцатеричную цифру можно записать как четырехзначное двоичное число. Если у вас в двоичном числе получается меньше четырех знаков, добавляйте в начало нули.
Например, #1F7E = (0001)(1111)(0111)(1110) = 1111101111110.
Проверьте правильность ответа: оба числа
в десятичной записи равны 8062.
Для перевода вам нужно разбить двоичное число на группы по четыре цифры, начиная с конца, и каждую такую группу заменить шестнадцатеричной цифрой.
Например, 11000110101001 превращается в (0011)(0001)(1010)(1001), что в шестнадцатеричной записи дает #31A9. Правильность ответа подтверждается переводом в десятичную запись: оба числа
равны 12713.
Благодаря ограниченности в использовании символов двоичная система является наиболее удобной для использования в компьютерах и других цифровых устройствах. Символов всего два: 1 и 0, поэтому эту систему применяют в работе регистров.
Инструкция
Двоичная является позиционной, т.е. позиции каждой цифры в числе соответствует определенный разряд, который равен двум в соответствующей степени. Степень начинается с нуля и увеличивается по мере движения справа налево. Например, число 101 равно 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5.
Широким распространением среди позиционных систем пользуются также восьмеричная, шестнадцатеричная и десятичная системы . И если для первых двух более применим второй метод, то для перевода из применимы оба.
Рассмотрим десятичного числа в двоичную систему методом последовательного деления на 2.Чтобы перевести десятичное число 25 в
Привет, посетитель сайта сайт! Продолжаем изучать и протокол сетевого уровня IP, а если быть более точным, то его версию IPv4. На первый взгляд тема двоичных чисел и двоичной системы счисления не имеет отношения к протоколу IP, но если вспомнить, что компьютеры работают с нулями и единицами, то оказывается, что двоичная система и ее понимание — это основа основ, нам нужно научиться переводить числа из двоичной системы счисления в десятичную и наоборот: из десятичной в двоичную . Это нам поможет лучше понять протокол IP, а также принцип работы масок сети переменной длины. Давайте приступать!
Если тема компьютерных сетей вам интересна, то можете ознакомиться с другими записями курса.
Прежде чем мы начнем, стоит вообще объяснить зачем нужна эта тема сетевому инженеру. Хотя вы могли убедиться в ее необходимости, когда мы говорили , но, вы можете сказать, что есть IP-калькуляторы, которые существенно облегчают задачу по распределению IP-адресов, вычислению нужных масок подсетей/сетей и определению номера сети и номера узла в IP-адресе. Так-то оно так, но IP-калькулятор не всегда под рукой, это причина номер раз. Причина номер два заключается в том, что на экзаменах Cisco вам не дадут IP-калькулятор и все преобразования IP-адресов из десятичной системы счисления в двоичную вам придется делать на листе бумаги , а вопросов, где это требуется на экзамене/экзаменах по получению сертификата CCNA не так уж и мало, будет обидно, если из-за такой мелочи экзамен будет завален. Ну и наконец понимания двоичной системы счисления ведет к лучшему пониманию принципа работы .
Вообще сетевой инженер не обязан уметь делать перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную и наоборот в уме. Более того, это редко кто умеет делать в уме, в основном к такой категории относятся преподаватели различных курсов по компьютерным сетям, так как они сталкиваются с этим постоянно изо дня в день. Но при помощи листа бумаги и ручки вам стоит научиться осуществлять перевод.
Давайте начнем с простого и поговорим про двоичные цифры и числа , вы же знаете, что цифры и числа – это две разные вещи. Цифра – это специальный символ для обозначения, а число – это абстрактная запись, означающая количество. Например, чтобы записать, что у нас пять пальцев на руке мы можем использовать римские и арабский цифры: V и 5. В данном случае пять является одновременно и числом, и цифрой. А, например, для записи числа 20 мы используем две цифры: 2 и 0.
Итого, в десятичной системе счисления у нас есть десять цифр или десять символов (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), комбинируя которые мы можем записывать различные числа. Каким принципом мы руководствуемся, используя десятичную систему счисления? Да все очень просто, мы возводим десятку в ту или иную степень, для примера возьмём число 321. Как его можно записать по-другому, да вот так: 3*10 2 +2*10 1 +1*10 0 . Таким образом получается, что число 321 представляет собой три разряда:
То есть в данной записи двойка это не просто двойка, а две десятки или два раза по десять. А тройка это не просто тройка, а три раза по сто. Получается такая зависимость: единица каждого следующего разряда в десять раз больше единицы предыдущего, ведь, что такое 300 – это три раза по сто. Отступление по поводу десятичной системы счисление было нужно, чтобы проще понять двоичную.
В двоичной системе счисления всего две цифры: 0 и 1 . Поэтому запись числа в двоичной системе зачастую гораздо больше, чем в десятичной. За исключением чисел 0 и 1, ноль в двоичной системе счисления равен нулю в десятичной, аналогично и для единицы. Иногда, чтобы не перепутать в какой системе счисления записано число, используют суб-индексы: 267 10 , 10100 12 , 4712 8 . Число в суб-индексе указывает на систему счисления.
Для записи двоичных чисел могут быть использованы символы 0b и &(амперсанд): 0b10111, &111 . Если в десятичной системе счисления, чтобы произнести число 245 мы воспользуемся вот такой конструкцией: двести сорок пять, то в двоичной системе счисления чтобы назвать число, нам нужно произнести цифру из каждого разряда, например, число 1100 в двоичной системе счисления следует произносить не как тысяча сто, а как один, один, ноль, ноль. Давайте посмотрим на запись чисел от 0 до 10 в двоичной системе счисления:
Думаю, логика должна быть уже понятна. Если в десятичной системе счисления для каждого разряда у нас было доступно десять вариантов (от 0 до 9 включительно), то в двоичной системе счисления в каждом из разрядов двоичного числа у нас только два варианта: 0 или 1 .
Для работы с IP-адресами и масками подсети нам достаточно натуральных чисел в двоичной системе счисления, хотя двоичная система позволяет записывать дробные и отрицательные числа, но нам это без надобности .
Давайте лучше разберемся с тем, как преобразовать число из десятичной системы счисления в двоичную . И тут все на самом деле очень и очень просто, хотя на словах объяснить трудно, поэтому сразу приведу пример преобразования чисел из десятичной системы счисления в двоичную . Возьмем число 61, чтобы выполнить преобразование в двоичную систему, нам нужно это число делить на два и смотреть, что получается в остатке от деления. А результат деления снова делить на два. В данном случае 61 – это делимое, в качестве делителя у нас всегда будет двойка, а частное (результат деления) мы делим снова на два, продолжаем деление до тех пор, пока в частном не окажется 1, эта последняя единица и будет крайним левым разрядом. Рисунок ниже это демонстрирует.
При этом обратите внимание, что число 61, это не 101111, а 111101, то есть выписываем результат с конца. Единицу в последнем частном смысла делить на два нет, поскольку в данном случае используется целочисленное деление, а при таком подходе получается так, как на Рисунке 4.4.2.
Это не самый быстрый способ перевода числа из двоичной системы счисления в десятичную
. У нас есть несколько ускорителей. Например, число 7 в двоичной системе записывается как 111, число 3 как 11, а число 255 как 11111111. Все эти случаи до безобразия просты. Дело в том, что числа 8, 4, и 256 являются степенями двойки, а числа 7, 3 и 255 на единицу меньше этих чисел. Так вот для числа, которые на единицу меньше, чем число равное степени двойки, действует простое правило: в двоичной системе такое десятичное число записывается количеством единиц равным степени двойки. Так, например, число 256 это два в восьмой степени, следовательно, 255 записывается как 11111111, а число 8 это два в третьей степени, а это говорит нам о том, что 7 в двоичной системе счисления будет записано как 111. Ну а понять, как записать 256, 4 и 8 в двоичной системе счисления тоже не трудно, достаточно просто прибавить единицу: 256 = 11111111 + 1 = 100000000; 8 = 111 + 1 = 1000; 4 = 11 + 1 = 100.
Любой свой результат вы можете проверить на калькуляторе и по началу лучше так и делать.
Как видим, делить мы еще не разучились. И теперь можем двигаться дальше.
Преобразование чисел из двоичной системы счисления выполняется гораздо проще, чем перевод из десятичной в двоичную. В качестве примера перевода будем использовать число 11110. Обратите внимание на табличку ниже, она показывает степень, в которую нужно возвести двойку, чтобы потом в итоге получить десятичное число.
Чтобы из этого двоичной числа получить десятичное, нужно каждое число в разряде умножить на два в степени, а затем сложить результаты перемножения, проще показать:
1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 16+8+4+2+0=30
Откроем калькулятор и убедимся, что 30 в десятичной системе счисления, это 11110 в двоичной.
Видим, что всё сделано верно. Из примера видно, что перевод числа из двоичной системы счисления в десятичную выполняется куда проще, чем обратный перевод . Чтобы уверенно работать с нужно лишь помнить степени двойки до 2 8 . Для наглядности приведу таблицу.
Нам больше и не нужно, поскольку максимально возможное число, которое можно записать в один байт (8 бит или восемь двоичных значений) равно 255, то есть в каждом октете IP-адреса или маски подсети протокола IPv4 максимально возможное значение — 255. В есть поля, в которых есть значения больше 255, но их нам рассчитывать не нужно.
Давайте теперь посмотрим на операции, которые можно выполнять с двоичными числами . Начнем с простых арифметических операций, а затем перейдем к операциям булевой алгебры.
Складывать двоичные числа не так уж сложно: 1+0 =1; 1+1=0 (в дальнейшем дам пояснение); 0+0=0. Это были простые примеры, где использовался лишь один разряд, давайте посмотрим на примеры, где количество разрядов больше, чем один.
101+1101 в десятичной системе это будет 5 + 13 = 18. Давайте посчитаем в столбик.
Результат выделен оранжевым цветом, калькулятор говорит, что мы посчитали верно, можете проверить. Теперь давайте смотреть почему так получилось, ведь вначале я написал, что 1+1=0, но это для случая, когда у нас есть только один разряд, для случаев, когда разрядов больше, чем один, 1+1=10 (или два в десятичной), что логично.
Тогда смотрите, что получается, мы выполняем сложения по разрядам справа налево:
1. 1+1=10, записываем ноль, а единица уходит в следующий разряд.
2. В следующем разряде получается 0+0+1=1 (эта единица пришла к нам из результата сложения на шаге 1).
4. Тут у нас есть единица только у второго числа, но сюда еще перенеслась, поэтому 0+1+1 = 10.
5. Склеиваем всё воедино:10|0|1|0.
Если лень в столбик, то давайте считать так: 101011+11011 или 43 + 27 = 70. Как тут можно поступить, а давайте смотреть, ведь нам никто не запрещает делать преобразования, а от перемены мест слагаемых сумма не меняется, для двоичной системы счисления это правило также актуально.
Можете проверить калькулятором, 1000110 в двоичной системе счисления это 70 в десятичной.
Сразу пример для вычитания одноразрядных чисел в двоичной системе счисления , про отрицательные числа мы не говорили, поэтому 0-1 не берем в расчет: 1 – 0 = 1; 0 – 0 = 0; 1 – 1 = 0. Если разрядов больше чем один, то тоже все просто, даже никаких столбиков и ухищрений не нужно: 110111 – 1000, это то же самое, что и 55 – 8. В результате мы получим 101111. И биться сердце перестало, откуда единица в третьем разряде (нумерация слева направо и начинается с нуля)? Да всё просто! Во втором разряде числа 110111 стоит 0, а в первом разряде стоит 1 (если примем, что нумерация разрядов начинается с 0 и идет слева направо), но единица четвертого разряда получается путем сложения двух единиц третьего разряда (получается этакая виртуальная двойка) и от этой двойки мы отнимаем единицу, которая стоит в нулевом разряде числа 1000, ну а 2 — 1 = 1, ну а 1 является допустимой цифрой в двоичной системе счисления.
Нам осталось рассмотреть умножение двоичных чисел, которое реализует за счет сдвига на один разряд влево . Но для начала давайте посмотрим на результаты одноразрядного умножения: 1*1 = 1; 1*0=0 0*0=0. Собственно, всё просто, теперь давайте посмотрим на что-нибудь более сложное. Возьмем числа 101001 (41) и 1100 (12). Умножать будем столбиком.
Если из таблицы непонятно как так получилось, то попробую объяснить словами:
В общем-то, операция умножения не такая уж и сложная, нужно лишь немного попрактиковаться.
В булевой алгебре есть два очень важных понятия: true (истина) и false (ложь), эквивалентом для них служат ноль и единица в двоичной системе счисления. Операторы булевой алгебры расширяют количество доступных операторов над этими значениями, давайте на них посмотрим.
Операция «Логическое И» или AND эквивалентно умножению одноразрядных двоичных чисел.
1 AND 1 = 1; 1 AND 0 = 1; 0 AND 0 = 0; 0 AND 1 = 0.
1 AND 1 = 1 ; 1 AND 0 = 1 ; 0 AND 0 = 0 ; 0 AND 1 = 0. |
Единица в результате «Логического И» будет только в том случае, если оба значения равны единицы, во всех остальных случаях будет ноль.
Операция «Логическое ИЛИ» или OR работает по следующему принципу: если хотя бы одно значение равно единице, то в результате будет единица.
1 OR 1 = 1; 1 OR 0 = 1; 0 OR 1 = 1; 0 OR 0 = 0.
1 OR 1 = 1 ; 1 OR 0 = 1 ; 0 OR 1 = 1 ; 0 OR 0 = 0. |
Операция «Исключающее ИЛИ» или XOR даст нам в результате единицу только в том случае, если один из операндов равен единице, а второй равен нулю. Если оба операнда равны нулю, будет ноль и даже если оба операнда равны единице, в результате получится ноль.
Самой короткой системой счисления является двоичная. Она полностью основана на позиционной форме записи числа. Основной характеристикой считается принцип удвоения цифры при выполнении перехода от определённой позиции к последующей. Из одной системы счисления в другую можно осуществить перевод как при помощи специальной программы, так и вручную.
Вконтакте
Появление двоичной СС в истории связано с учёным математиком В.Г. Лейбницем. Именно он впервые заговорил о правилах выполнения операций с числовыми значениями данного рода. Но первоначально этот принцип остался невостребованным . Мировое признание и применение алгоритм получил на заре возникновения вычислительных машин.
Удобство и несложность выполнения операций привели к необходимости более детального изучения данного подраздела арифметики, который стал незаменимым при развитии компьютерной технологии с программным обеспечением. Впервые такие механизмы появились на немецком и французском рынках.
Внимание! Конкретную точку над превосходством двоичной системы по отношению десятичной, именно в данной отрасли, было поставлено в 1946 году и обосновано в статье А. Бекса, Х. Гольдстайна и Дж.Фон Неймана.
Перевод числа из десятичной системы счисления в двоичную.
Вся двоичная СС основана на применении только двух символов , которые очень точно совпадают с особенностями цифровой схемы. Каждый из символов отвечает за определённое действие, которое зачастую подразумевает два состояния:
В науке, в которой применяется СС, введена определённая терминология, суть ее состоит в следующем:
Многие модули воспринимают и обрабатывают информацию порциями или словами . Каждое слово имеет разный вес и может состоять из 8-ми, 16-ти или 32-х битов .
Одним из важнейших факторов арифметики машин является перевод из одной СС в другую . Поэтому обратим внимание на основные алгоритмы выполнения процесса, который покажет, как перевести число в двоичную систему.
Первоначально обратимся к вопросу, как осуществить перевод системы из десятичной в двоичную систему счисления. Для этого существует правило перевода из десятичных чисел в двоичный код, которое подразумевает математические действия .
Необходимо число, записанное в десятичном виде разделить на 2 . Деление выполнять до тех пор, пока в частном не останется единица . Если необходима двоичная система счисления перевод осуществляется так:
186:2=93 (ост. 0)
93:2=46 (ост. 1)
46:2=23 (ост. 0)
23:2=11 (ост. 1)
11:2=5 (ост. 1)
5:2=2 (ост.1)
После того, как процесс деления закончен, то единицу в частном и все остатки записываем последовательно в обратном делению порядке . То есть, 18610=1111010. Правило перевода десятичных чисел в СС надо соблюдать всегда.
Перевод числа из десятичной системы в двоичную.
Аналогичный процесс проводится при переводе из десятичной СС в восьмеричную. Его ещё называют «правилом замещения ». Если в предыдущем примере деление данных осуществлялось на 2, то здесь необходимо делить на 8. Алгоритм перевода числа X10 в восьмеричную состоит из следующих шагов:
К примеру, необходимо перевести число 160110 в восьмеричное.
1601:8=200 (ост. 1)
200:8=25 (ост. 0)
25:8=3 (ост.1)
Итак, получим: 161010=31018.
Перевод из десятичной системы в восьмеричную.
Перевод из десятичной в шестнадцатиричную СС осуществляется аналогично с использованием системы замещения. Но кроме цифр применяют ещё и буквы латинского алфавита A, B, C, D, E, F. Где A обозначает остаток 10, а F остаток 15. Десятичное число делят на 16. К примеру, переводим 10710 в шестнадцатеричную:
107:16=6 (ост. 11 – заменяем В)
6 – меньше, чем шестнадцать. Деление прекращаем и записываем 10710=6В16.
Следующий вопрос, как преобразовать из восьмеричной в двоичную запись числа. Перевод чисел из любой системы в двоичную выполняется достаточно просто. Помощником в этом деле выступает таблица для систем счисления .
1. Порядковый счет в различных системах счисления.
В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные».
Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы.
Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее.
Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение для 2-ной системы, для 3-ной и т.д.):
0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 10 | 2 | 2 |
3 | 11 | 10 | 3 |
4 | 100 | 11 | 4 |
5 | 101 | 12 | 10 |
6 | 110 | 20 | 11 |
7 | 111 | 21 | 12 |
8 | 1000 | 22 | 13 |
9 | 1001 | 100 | 14 |
10 | 1010 | 101 | 20 |
11 | 1011 | 102 | 21 |
12 | 1100 | 110 | 22 |
13 | 1101 | 111 | 23 |
14 | 1110 | 112 | 24 |
15 | 1111 | 120 | 30 |
Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита. Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы ( и ):
0 | 0 |
1 | 1 |
2 | 2 |
3 | 3 |
4 | 4 |
5 | 5 |
6 | 6 |
7 | 7 |
8 | 8 |
9 | 9 |
10 | |
11 | |
12 | 10 |
13 | 11 |
14 | 12 |
15 | 13 |
2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую.
Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.
Пример 1. Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления.
Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.
Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.
3. Перевод из любой системы счисления в десятичную.
Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа.
Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е.
Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа:
Это и есть десятичная запись нашего числа, т.е.
Пример 4. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.
Пример 5. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.
4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.).
Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления.
Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. ), а затем воспользуемся таблицей соответствия и заменим каждую группу на новую цифру:
Таблицу соответствия мы научились строить в п.1.
0 | 0 |
1 | 1 |
10 | 2 |
11 | 3 |
100 | 4 |
101 | 5 |
110 | 6 |
111 | 7 |
Т.е.
Пример 6. Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему.
0 | 0 |
1 | 1 |
10 | 2 |
11 | 3 |
100 | 4 |
101 | 5 |
110 | 6 |
111 | 7 |
1000 | 8 |
1001 | 9 |
1010 | A |
1011 | B |
1100 | C |
1101 | D |
1110 | E |
1111 | F |
5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную.
Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия.
Пример 7. Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления.
Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. ) из таблицы соответствия, дополнив при необходимости группу нулями вначале: